专题2.4特殊的平行四边形大题专练（分层培优30题，八下苏科）-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习高分攻略(苏科版)

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（限时50分钟，每题10分，满分100分）
1．（2023春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）已知如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，延长CD至E，且CD=DE．求证：AC=AE．
2．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图所示，点A是菱形BDEF对角线的交点，BC∥FD，CD∥BE，连接AC，交BD于O．
(1)求征：四边形ABCD是矩形；
(2)若BE=10，DF=24，求AC的长．
3．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在AB延长线上，且BE=2．求证：DE平分∠BDC．
4．（2021春·江苏南京·八年级统考期中）如图，E是矩形ABCD边BC上一点，AB＝5，AD＝3．将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对称点为B′．当点B′恰好落在边CD上时，求CB′的长．
5．（2021春·江苏泰州·八年级统考期末）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE//AC，CE//DB．
（1）若∠AOD=120°，AB=4cm，求AC的长；
（2）求证：四边形OBEC是菱形．
6．（2021春·江苏·八年级专题练习）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF=45°．求证：四边形ABCD是正方形．
7．（2020春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．
（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）当△ABD满足什么条件时，四边形EBFD是菱形，请说明理由．
8．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．
(1)在图（1）中以格点为顶点画一个面积为17的正方形（正方形是四条边相等，四个内角都是90°的四边形）；
(2)在图（2）中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其底边为32，腰长为5；
(3)在图（3）中，A、B均为格点，请画出一个格点C，使得∠CBA=45°．
9．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE．
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面积．
10．（2022春·江苏南京·八年级期末）如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O．
(1)求证：AF与DE互相平分；
(2)当△ABC满足___________时，四边形ADFE是正方形．
B卷 能力提升卷
（限时60分钟，每题10分，满分100分）
11．（2022春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；
(2)当AB＝AC时，求证：四边形ADCF矩形；
(3)当△ABC满足条件 时，四边形ADCF是菱形．
12．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF，EF与AC相交于点P．
(1)求证：PA＝PC．
(2)当EF⊥AC时，连接AF、CE，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
13．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE、AG、FG．
(1)求证：△BCE≌△FDE；
(2)当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
14．（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC的平分线交AD于点F，EF∥AB交BC于点E．
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若AB＝5，AE＝6，▱ABCD的面积为36，求CE的长．
15．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．给出下列信息：①MN∥BC；②OE=OC；③OF=OC．
(1)请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE=OF；
(2)在（1）的条件下，连接AE、AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
16．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，E为边BC上方一点，EB=EC，∠BEC=90∘．
(1)在图1中，请仅用无刻度的直尺作出BC边的中点F；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接AE、AF、DE、DF，若四边形AEDF为菱形，请探究AB、BC之间的数量关系．
17．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
(1)求证：OP=OQ；
(2)若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．
18．（2021春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）已知：在△ABC中，AD为中线，以AB、AC为边向△ABC的形外作正方形ABEF、正方形ACGH．
(1)如图①，当∠BAC=90°时，求证：FH=2AD．
(2)如图②③，当∠BAC≠90°时，FH与AD有怎样的关系？在图②和图③中可任选一个图，证明你的结论．
19．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，折叠△ABE使点A落在CD边上的点F处，折痕为BE，过点A作AG∥EF交BE于点G，连接GF．
(1)求证：四边形AEFG是菱形．
(2)若AD=6，AB=10，求四边形AEFG的面积．
20．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）在矩形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10，BC=AD=8．P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）．
(1)如图1，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图①中作出△AEP（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，求BP的长．
(3)如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC=FE，求BP的长．
C卷 培优压轴卷
（限时80分钟，每题10分，满分100分）
21．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图1矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为ts.
(1)当t=2时，求△PBQ的面积；
(2)当t为何值时，△DPQ是以PQ为底的等腰三角形；
(3)当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中， DP是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由.
22．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F，连接EF与边CD相交于点G，与对角线BD相交于点H．
(1)若AB=6，且BD=BF，求BE的长；
(2)若∠2=2∠1，求证：HF=HE+HD．
23．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）【方法回顾】
如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直l交边BC于点P，BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F，猜想BE，DF，EF三条线段的数量关系： ，并证明你的猜想．
【问题解决】
如图2，菱形ABCD的边长为32，过点A作一条直线l交边BC于点P，且∠DAP=90°，点F是AP上一点，且∠BAD+∠AFD=180°，过点B作BE⊥AB，与直线l交于点E，若EF=1，求BE的长．
【思维拓展】
如图3，在正方形ABCD中，点P在AD所在直线上的上方，AP=2，连接PB，PD，若△PAD的面积与△PAB的面积之差为m(m>0)，则PB2−PD2的值为 （用含m的式子表示）
24．（2022春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图1，Rt△CEF中，∠C=90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B、D为垂足．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)已知AB的长为4，设BE=x，DF=y；试用y的代数式表示x；
(3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题:如图2若三角形PQR中，∠QPR=45°，一条高是PH，长度为6，QH=2，则△PQR的面积=_______（直接写答案）．
25．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形．
(1)初步尝试：如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，P为AC上一点，当AP= ______时，△ABP与△CBP为积等三角形；
(2)理解运用：如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB=2，AC=5，且线段AD的长度为正整数，求AD的长；
(3)综合应用：如图3，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，AB为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，求证：△AEG与△ABC为积等三角形．
26．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）（1）【阅读理解】如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上两动点，且满足∠DAE=12∠BAC，
求证：BD+CE>DE．
我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
小明的解题思路：将半角∠DAE两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的△AFE，然后证明与半角形成的△ADE全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系．
请你根据小明的思路写出完整的解答过程．
证明：将△ABD绕点A旋转至△ACF，使AB与AC重合，连接EF，
……
（2）【应用提升】如图，正方形ABCD（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD点D运动；点Q点D同时出发，以相同的速度沿射线AD方向向右运动，当点P到达点D时，点Q也停止运动，连接BP，过点P作BP的垂线交过点Q平行于CD的直线l于点E，BE与CD相交于点F，连接PF，设点P运动时间为ts，
①求∠PBE的度数；
②试探索在运动过程中△PDF的周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
27．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）数学活动课上，王老师带领同学们探索平行四边形的旋转，研究的路径是从特殊到一般．研究发现，在旋转的某些特殊时刻，图形具有特殊的性质．
(1)如图1，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，将矩形ABCD绕点A旋转，当B′ C′经过点D，连接D D′，线段DD′的长度为______________．
(2)如图2，菱形ABCD绕点A旋转，当B′ C′与CD共线时，延长BC、D′ C′交于点M，判断四边形AEMF的形状并说明理由．
(3)如图3，将▱ ABCD绕点A旋转．
①当点B落在边BC上时，小明发现点D也恰好在直线CD上，王老师提供了如下思路，请完成此图表．
②若AB=3，BC=4，∠B=60°，连接C C′，直接写出C C′的长．
28．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
(1)求证：四边形GEHF是平行四边形．
(2)若AB=4，BC=7，当四边形GEHF是矩形时BD的长为 ．
29．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）在△ABC中， ∠BAC=90°,AB=AC,D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合).以AD为边作正方形ADEF，连接CF.
(1)如图①,当点D在线段BC上时，求证：BD⊥CF
(2)如图②,当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.
(3)如图③,当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变:
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系;
②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由.
30．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点H为CF的中点．
(1)连接BH、GH．
①如图1，若点G在边AB上，猜想BH和GH的关系，并给予证明：
②若将图1中的正方形AEFG绕点A顺时针旋转，使点E落在对角线CA的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想BH和GH的关系，并给予证明．
(2)如图3，若AC=5，AF=3，将正方形AEFG绕点A旋转，连接EH．请你直接写出EH的取值范围___________．