专题2.7分式方程的无解及含参问题大题专练（分层培优强化40题）-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习高分攻略(苏科版)

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1．（2020秋•华龙区校级期中）已知关于x的方程k2x−4−1=xx−2的解为正数，求k的取值范围．
【分析】根据分式方程的解法求出x的表达式，然后利用题意列出关于k的不等式即可求出答案．
【解答】解：k2x−4−1=xx−2，
去分母得：k﹣2x+4＝2x
解得：x=k+44，
∵x﹣2≠0，
∴k+44＞0且k+44−2≠0
解得：k＞﹣4且k≠4．
2．（2022春•南关区校级月考）若关于x的分式方程x+kx+1−kx−1=1的解为正数，求k的取值范围．
【分析】根据分式方程的解法求出x的表达式，然后利用题意列出关于k的不等式即可求出答案．
【解答】解：分式方程去分母得：（x+k）（x﹣1）﹣k（x+1）＝（x+1）（x﹣1），
解得：x＝1﹣2k，
∵关于x的分式方程x+kx+1−kx−1=1的解为正数，
∵1﹣2k≠±1且1﹣2k＞0，
解得：k＜12且k≠0．
3．（2021秋•余干县期末）已知关于x的方程2x−2+x+m2−x=2的解为正数，求m的取值范围．
【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解的定义求得m的取值范围．
【解答】解：2x−2+x+m2−x=2，
去分母，得2﹣（x+m）＝2（x﹣2）．
去括号，得2﹣x﹣m＝2x﹣4．
移项，得﹣x﹣2x＝﹣4+m﹣2．
合并同类项，得﹣3x＝﹣6+m．
x的系数化为1，得x=2−m3．
∵关于x的方程2x−2+x+m2−x=2的解为正数，
∴2−m3＞0且2−m3≠2．
∴m＜6且m≠0．
4．（2022秋•洛川县校级期末）已知关于x的分式方程m−2x−1+31−x=1的解是非负数，求m的取值范围．
【分析】解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据x＝1时分式方程的增根，求出此时m的值，即可得到答案．
【解答】解：给分式方程两边同乘以x﹣1，得m﹣5＝x﹣1，
解得，x＝m﹣4．
∵方程的解是非负数，
∴m﹣4≥0，
解得m≥4；
又∵x﹣1≠0，即x≠1，
∴m≠5，
综上m的取值范围为m≥4且m≠5．
5．（2022秋•牟平区期中）若关于x的分式方程1x−2+2x+2=x+2mx2−4的解大于1，求m的取值范围．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，令解大于1求出m的范围即可．
【解答】解：1x−2+2x+2=x+2mx2−4，
方程两边同时乘以最简公分母（x+2）（x﹣2），
得（x+2）+2（x﹣2）＝x+2m，
去括号，得x+2+2x﹣4＝x+2m，
解方程，得x＝m+1，
检验：当m+1≠2，m+1≠﹣2，
即m≠1且m≠﹣3时，x＝m+1是原分式方程的解，
根据题意可得，m+1＞1，
∴m＞0且m≠1．
故m的取值范围为：m＞0且m≠1．
6．（2022秋•蓬莱区期中）已知：x＝1是分式方程2a+3a−x=34的解，求a得值．
【分析】把x＝1代入分式方程2a+3a−x=34就得到关于a的方程，从而求出a的值．
【解答】解：把x＝1代入分式方程2a+3a−x=34得：2a+3a−1=34，
去分母得：8a+12＝3a﹣3，
解得：a＝﹣3，
检验：当a＝﹣3时，a﹣1＝﹣4≠0，
∴a的值为﹣3．
7．（2022秋•冷水滩区校级月考）已知关于x的方程2x−ax−1=1的解为正数，求a的取值范围．
【分析】解分式方程求得方程的解，再利用已知条件列出不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：关于x的方程2x−ax−1=1的解为：x＝a﹣1，
∵分式方程有可能产生增根x＝1，
∴a﹣1≠1，
∵关于x的方程2x−ax−1=1的解为正数，
∴a−1＞0a−1≠1，
解得：a＞1且a≠2．
∴a的取值范围为：a＞1且a≠2．
8．（2022•杭州模拟）若关于x的分式方程mxx−2=4x−2+1无解，求m的值．
【分析】先解分式方程可得（m﹣1）x＝2，根据分式方程无解可知原方程有增根x＝2或m﹣1＝0，进一步即可求出m的值．
【解答】解：去分母，得mx＝4+x﹣2，
整理，得（m﹣1）x＝2，
∵关于x的分式方程mxx−2=4x−2+1无解，
当x＝2时原分式方程有增根，原方程无解，
∴2（m﹣1）＝2，
解得m＝2，
当m﹣1＝0时，原方程无解，
解得m＝1，
∴m＝2或1．
9．（2021春•恩阳区 月考）若关于x的分式方程xx−3+3a3−x=2a无解，求a的值．
【分析】将分式方程去分母，即可得到整式方程：（1﹣2a）x＝﹣3a，再根据分式方程无解，分情况讨论，即可得到a的值．
【解答】解：去分母得：x﹣3a＝2a（x﹣3），
整理得：（1﹣2a）x＝﹣3a，
当1﹣2a＝0时，方程无解，故a=12；
当1﹣2a≠0时，x=−3a1−2a=3时，分式方程无解，则a＝1，
故关于x的分式方程xx−3+3a3−x=2a无解，则a的值为：1或12．
10．（2019秋•冷水滩区校级月考）已知方程x−4x−3+m=m3−x是否存在m的值使方程无解？若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】先把原分式方程互为整式方程，再根据方程无解转化为方程求解．
【解答】解：存在，
理由：在方程两边同时乘以x﹣3得：x﹣4+m（x﹣3）＝﹣m，
化简得：（m+1）x＝2m+4，
由分式方程无解，得到m+1＝0或即x＝3，
把x＝3代入（m+1）x＝2m+4得：3（m+1）＝2m+4
解得：m＝1，
由m+1＝0得：m＝﹣1，
所以m＝±1．
【能力提升】（每题10分，满分100分，建议用时：30分钟）
11．若关于x的分式方程3xx−2−1=m+3x−2无解，求m的值．
【分析】将分式方程去分母得3x﹣x+2＝m+3，由于分式方程无解，可得到增根x＝2，代入得出m的值．
【解答】解：将关于x的分式方程3xx−2−1=m+3x−2去分母得，
3x﹣x+2＝m+3，
由于分式方程无解，即分式方程有增根x＝2，
把x＝2代入3x﹣x+2＝m+3，得
m＝3，
答：m的值为3．
12．若关于x的方程ax+1x−1−1＝0解为正数，求a的取值范围．
【分析】解分式方程求得方程的解，再利用已知条件列出不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：关于x的方程ax+1x−1−1＝0解为：x=21−a，
∵分式方程有可能产生增根x＝1，
∴1﹣a≠2，
∴a≠﹣1，
∵关于x的方程的解为正数，
∴1﹣a＞0，
∴a＜1，
∴a的取值范围为a＜1且a≠﹣1．
13．（2022秋•下陆区校级期末）阅读材料：关于x的方程：x+1x=c+1c的解为：x1＝c，x2=1c；x+2x=c+2c的解为：x1＝c，x2=2c；⋯⋯x−1x=c−1c（可变形为x+−1x=c+−1c)的解为：x1＝c，x2=−1c；根据以上材料解答下列问题：
（1）①方程x+1x=2+12的解为 x1＝2，x2=12 ；②方程x﹣1+1x−1=2+12的解为 x1＝3，x2＝112 ．
（2）解关于x的方程：x−3x−2=a−3a−2（a≠2）．
【分析】按照题目定义对方程进行变形求解．
【解答】解：（1）①∵x+1x=c+1c的解为：x1＝c，x2=1c，
∴方程x+1x=2+12的解为x1＝2，x2=12，
故答案为：x1＝2，x2=12；
②∵x+1x=c+1c的解为：x1＝c，x2=1c，
∴x﹣1+1x−1=2+12时，
x﹣1＝2或x﹣1=12，
解得x1＝3，x2＝112，
故答案为：x1＝3，x2＝112；
（2）原方程变形为，（x﹣2）−3x−2=（a﹣2）−3a−2（a≠2），
由题意可得x﹣2＝a﹣2或x﹣2=−3a−2，
解得x1＝a，x2=2a−7a−2，
即原方程的解为x1＝a，x2=2a−7a−2，
14．（2023•九龙坡区校级自主招生）若数m使关于y的不等式组至少有2y+1＞02(y+2m)≤5m三个整数解，且使关于x的分式方程8−mx2−x−2=xx−2有整数解，求所有满足条件的整数m的值的和（写出过程）．
【分析】分别解分式方程和一元一次不等式组，利用已知条件得到关于m的不等式，解不等式求得整数解后进行运算即可．
【解答】解：不等式组2y+1＞02(y+2m)≤5m的解集为：−12＜y≤12m，
∵关于x的不等式组至少有2y+1＞02(y+2m)≤5m三个整数解，
∴12m≥2，
∴m≥4．
关于x的分式方程8−mx2−x−2=xx−2的解为：x=4m−3，
∵关于x的分式方程8−mx2−x−2=xx−2有可能产生增根2，
∴4m−3≠2，
∴m≠5．
∵关于x的分式方程8−mx2−x−2=xx−2有整数解，
∴4m−3为整数，
∴m＝4或7．
∴所有满足条件的整数m的值的和为4+7＝11．
15．（2022秋•张店区校级月考）若整数a使得关于x的分式方程16x(x−4)+2x=ax−4有正整数解，且使得关于y的不等式组y+12−y−13＞11−y2≥3−a有解，那么符合条件的所有整数a的和是多少？
【分析】根据分式方程的解为为正整数解，求得a＝4或6或10，根据关于y的不等式组y+12−y−13＞11−y2≥3−a有解，解得：a＞3，所以符合题意的整数a的值有6，10，即和为16．
【解答】解：解方程分式方程16x(x−4)+2x=ax−4，
得x=8a−2，
∵分式方程的解为正整数解，
∴a﹣2＝1或2或4或8，
又x≠4且x≠0，
∴a≠4，
∴a＝3或6或10，
∵关于y的不等式组y+12−y−13＞11−y2≥3−a有解，
∴2a﹣5＞1，
解得：a＞3，
综上，符合题意的整数a的值有6，10，
∴符合条件的所有整数a的和为16．
16．（2022春•巴中期末）已知关于x的不等式组2x+b＞3a−x＞1的解集是1＜x＜2．
（1）求a﹣ᵇ的值；
（2）若关于x的方程xx+1−amx2−1=b的解是负数，求m的取值范围．
【分析】（1）根据不等式组解集的计算方法求出不等式组的解集，进而得到方程组求出a的值即可；
（2）根据分式方程的解法求出关于x的分式方程的解，再根据分式的分母不为0且解为负数，列不等式组进行解答即可．
【解答】解：（1）2x+b＞3①a−x＞1②，
解不等式①得，x＞3−b2，
解不等式②得，x＜a﹣1，
∵关于x的不等式组2x+b＞3a−x＞1的解集是1＜x＜2，
∴3−b2=1a−1=2，
解得，a=3b=1，
∴a﹣1＝3﹣1=13；
（2）由题意得：xx+1−3mx2−1=1，
去分母得，x（x﹣1）﹣3m＝x2﹣1，
即x＝1﹣3m，
∵方程的解为负数，
∴1−3m＜01−3m≠−1，
∴m＞13且m≠23．
17．（2022春•上蔡县校级月考）已知关于x的方程：x+1x−2=mxx−2−3．
（1）当方程的解为正整数时，求整数m的值；
（2）当方程的解为正数时，求m的取值范围．
【分析】（1）去分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再根据方程的解为正整数，得出关于m的方程，解方程即可得出m的值；
（2）去分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再根据方程的解为正数及分式方程的意义，得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）去分母得：x+1＝mx﹣3（x﹣2），
解得：x=54−m，
∵方程的解为正整数，且x≠2，
∴4﹣m＝5或4﹣m＝1且4﹣m≠2
解得：m＝﹣1或3，且m≠2，
∴整数m的值为﹣1或3；
（2）去分母得：x+1＝mx﹣3（x﹣2），
解得：x=54−m，
∵方程的解为正数且x≠2，
∴54−m＞0且54−m≠2，
解得：m＜4，且m≠32，
∴m的取值范围为m＜4且m≠32．
18．（2022春•西峡县校级月考）已知分式方程xx−1−1=m(x−1)(x+2)的解为非负数，求m的取值范围．
【分析】根据解分式方程的步骤，用含m的式子表示出x，根据x为非负数，求出m的取值范围即可．
【解答】解：去分母，得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝m，
解得：x＝m﹣2，
∵x为非负数，
∴m﹣2≥0，
即m≥2，
∵x≠1，m﹣2≠1，m≠3，
x≠﹣2，m﹣2≠﹣2，m≠0，
∴m的取值范围为m≥2且m≠3．
19．（2021秋•新泰市校级月考）（1）已知a﹣2b=12，ab＝2，求﹣a4b2+4a3b3﹣4a2b4 的值．
（2）已知1a+1b=4，求a−3ab+b2a+2b−7ab 的值．
（3）已知：a2+2a+b2﹣6b+10＝0，求（a+b）﹣2 的值．
（4）若关于x的方程1x−2+kx+2=3x2−4 无解，求k的值．
【分析】（1）先因式分解，再整体代换即可；
（2）由已知得a+b＝4ab，再整体代换即可；
（3）由已知得（a+1）2+（b﹣3）2＝0，得a＝﹣1，b＝3，即可求出答案；
（4）根据分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，即可解答．
【解答】解：（1）原式＝﹣a2b2（a2﹣4ab+4b2）
＝﹣（ab）2（a﹣2b）2
＝﹣4×14
＝﹣1．
（2）∵1a+1b=4，
∴a+b＝4ab，
∴原式=4ab−3ab8ab−7ab
=abab
＝1．
（3）∵a2+2a+b2﹣6b+10＝0，
∴（a+1）2+（b﹣3）2＝0，
∴a+1＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣1，b＝3，
∴（a+b）﹣2＝（﹣1+3）﹣2=14．
（4）去分母得x+2+k（x﹣2）＝3，
解得x=2k+1k+1，
∵方程无解，
∴2k+1k+1=2或﹣2，或k+1＝0，
∴k的值为−34或﹣1．
20．（2021春•乐至县月考）已知关于x的分式方程1x−2+3=k−22−x．
（1）若分式方程的解为x＝4，求k的值；
（2）若分式方程有正数解，求k的取值范围．
【分析】（1）将x＝4代入方程，即可求出k的值；
（2）先解分式方程，得x=−k+73，再根据方程有正数解以及分母不为0，即可求出k的取值范围．
【解答】解：（1）将x＝4代入分式方程1x−2+3=k−22−x，
得12+3=k−2−2，
解方程，得k＝﹣5，
∴k＝﹣5．
（2）解分式方程1x−2+3=k−22−x，
去分母，得1+3（x﹣2）＝﹣（k﹣2），
解得x=−k+73，
∵分式方程有正数解，
∴−k+73＞0且−k+73≠2，
解得k＜7且k≠1，
∴k的取值范围是k＜7且k≠1．
【培优拔高】（每题10分，满分100分，建议用时：30分钟）
21．（2021春•乐山期中）（1）已知关于x的方程2x+mx−2=3的解是正数，求m的取值范围；
（2）若关于x的方程2x+mx−2=3无解，求m的值．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数确定出m的范围即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出n的范围即可．
【解答】解：（1）去分母得：2x+m＝3x﹣6，
解得x＝m+6，
由分式方程的解为正数，
得到m+6＞0，且m+6≠2，
解得m＞﹣6且m≠﹣4；
（2）分式方程去分母得：2x+m＝3x﹣6，
解得x＝m+6，
由分式方程无解，即m+6＝2，
解得m＝﹣4．
22．（2022春•锡山区期中）阅读下列材料：
方程1x+1−1x=1x−2−1x−3的解为x＝1，
方程1x−1x−1=1x−3−1x−4的解为x＝2，
方程1x−1−1x−2=1x−4−1x−5的解为x＝3，
…
（1）请直接写出方程1x−4−1x−5=1x−7−1x−8的解为 x＝6 ；
（2）观察上述方程与解的特征，写出一个解为﹣5的分式方程： 1x+7−1x+6=1x+4−1x+3 ；
（3）观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解： 1x−n+2−1x−n+1=1x−n−1−1x−n−2 ； x＝n ．
【分析】（1）根据材料可知，方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，故方程的解为x＝6；
（2）根据材料信息，写出一个解为﹣5的分式方程即可；
（3）观察所给的材料信息时，要注意从特殊形式到一般形式的规律与特征，本题（1）中写相应方程时必须写出一般形式后来完成．
【解答】解：（1）根据材料发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，
∴方程1x−4−1x−5=1x−7−1x−8的解为x=4+5+7+84=6．
故答案为：x＝6；
（2）1x+7−1x+6=1x+4−1x+3的解是x＝﹣5，
故答案为：1x+7−1x+6=1x+4−1x+3；
（3）1x−n+2−1x−n+1=1x−n−1−1x−n−2的解是x＝n（本题答案不唯一），
故答案为：1x−n+2−1x−n+1=1x−n−1−1x−n−2，x＝n（本题答案不唯一）．
23．（2021•广东模拟）已知，关于x的分式方程a2x+3−b−xx−5=1．
（1）当a＝1，b＝0时，求分式方程的解；
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程a2x+3−b−xx−5=1无解；
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程a2x+3−b−xx−5=1的解为整数时，求b的值．
【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a＝3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
【解答】解：
（1）把a＝1，b＝0代入分式方程a2x+3−b−xx−5=1中，得
12x+3−−xx−5=1
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）+x（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）
x﹣5+2x2+3x＝2x2﹣7x﹣15
x=−1011
检验：把x=−1011代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x=−1011．
答：分式方程的解是x=−1011．
（2）把a＝1代入分式方程a2x+3−b−xx−5=1得
12x+3−b−xx−5=1
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）
x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15
（11﹣2b）x＝3b﹣10
①当11﹣2b＝0时，即b=112，方程无解；
②当11﹣2b≠0时，x=3b−1011−2b
x=−32时，分式方程无解，即3b−1011−2b=−32，b不存在；
x＝5时，分式方程无解，即3b−1011−2b=5，b＝5．
综上所述，b=112或b＝5时，分式方程a2x+3−b−xx−5=1无解．
（3）把a＝3b代入分式方程a2x+3−b−xx−5=1，得：
3b2x+3+x−bx−5=1
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）
整理得：（10+b）x＝18b﹣15
∴x=18b−1510+b
∵18b−1510+b=18(b+10)−19510+b=18−19510+b，且b为正整数，x为整数
∴10+b必为195的因数，10+b≥11
∵195＝3×5×13
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195
但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解x为3、5、13、15、17
由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，b只可以取3、29、55、185
所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
24．（2022秋•海淀区校级期末）已知关于x的分式方程2x−3+mxx2−9=5x+3．
（1）若这个方程的解是负数，求m取值范围；
（2）若这个方程无解，则m＝ 3或10或﹣4 .（直接写出答案）
【分析】（1）先把方程化为整式方程，再根据题意求解；
（2）根据：“分式方程无解，则整式方程无解，或是增根”求解．
【解答】解：（1）方程两边同乘以（x+3）（x﹣3）得：2（x+3）+mx＝5（x﹣3），
解得：x=213−m
由题意得：213−m＜0，213−m≠±3，
解得：m＞3且≠10；
（2）由（1）得：2（x+3）+mx＝5（x﹣3），
由题意得：m﹣3＝0或213−m=±3，
解得：m＝3或m＝10或m＝﹣4，
故答案为：3或10或﹣4．
25．（2022秋•潍坊期中）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式(x−a)(x−b)x的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为(x−a)(x−b)x=x2−(a+b)x+abx=x+abx−（a+b），所以关于x的方程x+abx=a+b的解为x1＝a，x2＝b．
（1）【理解应用】解方程x2+2x=5+25；
（2）【知识迁移】若关于x的方程x+3x=7的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值．
【分析】（1）根据给定的方法解方程即可；
（2）根据给定的方法可得a+b＝7，ab＝3，再根据完全平方公式进一步计算a2+b2即可．
【解答】解：（1）∵x2+2x=5+25，
即x+2x=5+25，
∴x1＝5，x2=25；
（2）∵关于x的方程x+3x=7的解为x1＝a，x2＝b，
∴a+b＝7，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝49﹣6＝43．
26．（2023春•万州区校级月考）阅读材料：
对于两个不相等的非零实数m，n，若分式(x−m)(x−n)x=0，则x＝m或x＝n．
因为(x−m)(x−n)x=x2−(m+n)x+mnx=x+mnx−(m+n)，
所以关于x的方程x+mnx=m+n有两个解，分别是x1＝m，x2＝n．
利用上面的结论解答下列问题：
（1）关于x方程x+ax=b的两个解分别是x1＝﹣2，x2＝﹣3，则a＝ 6 ，b＝ ﹣5 ．
（2）关于x的方程3x+(n+2)(n−5)3x+1=2n−4的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求x1+33x2+2的值．
【分析】（1）根据题中所给新定义运算可直接进行求解；
（2）方程两边同时加1，然后根据题中所给新定义运算可知x1=n−63，3x2+2=n+3，然后代入求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：关于x方程x+ax=b的两个解分别是x1＝﹣2，x2＝﹣3，
则a＝x1•x2＝6，b＝x1+x2＝﹣5；
故答案为6；﹣5；
（2）3x+(n+2)(n−5)3x+1=2n−4，
3x+1+(n+2)(n−5)3x+1=2n−3，
令3x+1＝t，则有t+(n+2)(n−5)t=2n−3，
设该方程的两个根为t1，t2，且t1＜t2，
∴t1•t2＝（n﹣5）（n+2），t1+t2＝2n﹣3，
∴t1＝n﹣5，t2＝n+2，即3x1+1＝n﹣5，3x2+1＝n+2，
∴x1=n−63，3x2+2=n+3，
∴x1+33x2+2=n−63+3n+3=13．
27．（2022春•高邮市期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx+6与y＝x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值．
【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断；
（2）根据题意用m表示出x的值，再根据“相伴方程”的定义及m为正整数即可求出m的值．
【解答】解：（1）一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1不是“相似方程”，理由如下：
解一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x，
解得：x=12，
解分式方程2x+12x−1−1=44x2−1，
解得：x=12，
检验：当x=12时，（2x+1）（2x﹣1）＝0，
∴原分式方程无解，
∴一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1不是“相似方程”；
（2）由题意，两个方程由相同的整数解，
∴mx+6＝x+4m，
∴（m﹣1）x＝4m﹣6，
①当m﹣1＝0时，方程无解，
②当m﹣1≠0，即m≠1时，x=4m−6m−1，即x＝4−2m−1，
∵x，y均为整数，
∴m﹣1＝1，2，﹣1，﹣2，
又∵m取正整数，
∴m＝2或3．
28．（2022春•原阳县期中）若关于x的方程xx−3−2=mx−3有非负数解，求m得取值范围．
【分析】先去分母把分式方程化成整式方程，再结合题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围．
【解答】解：去分母得：x﹣2（x﹣3）＝m，
解得：x＝6﹣m，
∵x≥0且x≠3，
∴6﹣m≥0且6﹣m≠3，
解得：m≤6且m≠3，
∴m得取值范围是m≤6且m≠3．
29．（2021秋•兴义市期末）关于y的方程：32−y=4+my−2+1无解，求m的值．
【分析】根据题意可得y＝2，再把y＝2代入整式方程中进行计算即可．
【解答】解：分式方程变形得：−3y−2=4+my−2+1，
两边同时乘以（y﹣2）得：﹣3＝4+m+y﹣2，
整理得：m+y＝﹣5，
∵方程无解，
∴y＝2，
把y＝2代入m+y＝﹣5中得：
m+2＝﹣5，
解得m＝﹣7．
30．（2022秋•虹口区校级月考）关于x的方程kx+7x−1−1x+4x+kx2−x=0只有一个实数解，求k的值．
【分析】化成整式方程得kx2+10x+k+1＝0，由题意可得Δ＝0或k＝0，求出k的值．
【解答】解：kx+7x−1−1x+4x+kx2−x=0，
方程两边同时乘以x（x﹣1），得x（kx+7）﹣（x﹣1）+（4x+k）＝0，
去括号得，kx2+7x﹣x+1+4x+k＝0，
整理得，kx2+10x+k+1＝0，
∵方程只有一个实数解，
当k＝0时，方程为10x+1＝0，解得x=−110，
当k≠0时，
x＝0时，k＝﹣1；
x＝1时，k=−112，
Δ＝102﹣4k（k+1）＝0，
∴k=−1±1012，
∴k=−1±1012或k＝0．
【满分冲刺】（每题10分，满分100分，建议用时：30分钟）
31．（2021春•龙岗区校级期末）若分式方程2x2+8xx2+3x−4=ax+11−x无解，求参数a的值．
【分析】将分式方程去分母，即可得到整式方程：（2+a）x＝﹣1，再根据分式方程无解，分情况讨论，即可得到a的值．
【解答】解：整理得：2x(x+4)(x+4)(x−1)=ax+11−x，
去分母得：2x＝﹣ax﹣1，
整理得：（2+a）x＝﹣1，
当2+a＝0时，方程无解，故a＝﹣2；
当2+a≠0时，x=−1a+2=1或﹣4时，分式方程无解，则a＝﹣3或−74，
故关于x的分式方程2x2+8xx2+3x−4=ax+11−x无解，
则参数a的值为：﹣2或﹣3或−74．
32．（2021春•玉门市期末）已知关于x的方程xx−3−2=k3−x．
（1）当k＝3时，求x的值？
（2）若原方程的解是正数．求k的取值范围？
【分析】（1）由已知可得xx−3−2=33−x，先去分母再求解，最后对根进行检验即可；
（2）先去分母再求解得到x＝6+k，由原方程解是正数，则6+k＞0，又由x≠3，则6+k≠3，即可求k的取值．
【解答】解：（1）k＝3时，方程为xx−3−2=33−x，
两边同乘以（x﹣3），得x﹣2（x﹣3）＝﹣3，
解得，x＝9，
经检验 x＝9是原方程的根，
∴原分式方程的解为x＝9；
（2）xx−3−2=k3−x，
两边同乘以（x﹣3），得x﹣2（x﹣3）＝﹣k，
解得：x＝6+k，
∵原方程解是正数，
∴6+k＞0，
∴得k＞﹣6
∵x≠3，
∴6+k≠3，
∴k≠﹣3，
∴k＞﹣6且k≠﹣3．
33．（2021春•沈北新区校级期中）当m为何实数时，关于x的方程2m−2(x−1)(x−2)=mx−2+1x−1有解．
【分析】方程两边同时乘（x﹣1）（x﹣2），得2m﹣2＝m（x﹣1）+（x﹣2），进行计算解得x=3mm+1，根据方程有解得m+1≠0，进行计算即可得．
【解答】解：2m−2(x−1)(x−2)=mx−2+1x−1，
方程两边同时乘（x﹣1）（x﹣2），得
2m﹣2＝m（x﹣1）+（x﹣2），
整理，得（m+1）x＝3m，
∵方程有解，
∴m+1≠0，
解得x=3mm+1，
∴m≠﹣1，
由于分式方程有增根时x＝2或x＝1，
当x=3mm+1=2时，
解得m＝2；
当x=3mm+1=1时，
解得m=12；
即当m＝2或m=12时，分式方程有增根，
综上，当m≠−1，m≠12，m≠2时，关于x的方程2m−2(x−1)(x−2)=mx−2+1x−1有解．
34．（2020秋•海淀区校级期中）已知关于x的方程xx−3−2m=mx−3，分别在下列情况下求m的取值范围．
（1）若方程无解；
（2）若方程有负根．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，确定出m的范围即可．
（2）表示出分式方程的解，由分式方程的解为负数，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可确定出m的范围．
【解答】解：（1）分式方程去分母得：x﹣2m（x﹣3）＝m，
整理得：（1﹣2m）x＝﹣5m，
当1﹣2m＝0时，方程无解，此时m=12；
当1﹣2m≠0时，解得：x=5m2m−1，要使方程无解，则有5m2m−1=3，即m＝3，
综上，m=12或m＝3．
（2）解关于x的分式方程得：x=5m2m−1，
∵方程有解，且解为负数，
∴2m−1＞05m＜05m2m−1≠3或2m−1＜05m＞05m2m−1≠3，
∴0＜m＜12．
35．（2020秋•雨花区校级月考）请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题：
（1）已知关于x的方程2mx−1x+2=1的解为负数，求m的取值范围；
（2）若关于x的分式方程3−2xx−3+2−nx3−x=−1无解，求n的取值范围．
【分析】（1）表示出分式方程的解，由分式方程的解为负数，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可确定出m的范围；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，确定出n的范围即可．
【解答】解：（1）解关于x的分式方程得：x=32m−1，
∵方程有解，且解为负数，
∴2m−1＜032m−1≠−2，
∴m＜12且m≠−14；
（2）分式方程去分母得：3﹣2x+nx﹣2＝3﹣x，
整理得：（n﹣1）x＝2，
当n﹣1＝0时，方程无解，此时n＝1；
当n﹣1≠0时，解得：x=2n−1，要使方程无解，则有2n−1=3，即n=53，
综上，n＝1或n=53．
36．（2021秋•广丰区期末）关于未知数x的分式方程：ax−2+3=x+12−x无解，求a的值．
【分析】先解分式方程求得x=5−a4，根据关于未知数x的分式方程：ax−2+3=x+12−x无解可得求解x值，即可得关于a的方程，解方程可求解a值．
【解答】解：去分母得：a+3（x﹣2）＝﹣x﹣1，
整理得：4x＝5﹣a，
解得：x=5−a4，
因为此分式方程无解，
所以x﹣2＝0，
解得x＝2，
即5−a4=2，
解得a＝﹣3．
37．（2021•丛台区校级开学）关于x的分式方程xx−3−2m=mx−3无解，求m的值．
【分析】先应用解分式分式方程的解法求解，得到关于x的代数式，根据分式方程无解可得关于m的方程，解方程求得m的值．
【解答】解：给分式方程两边同时乘以x﹣3，得，x﹣2m（x﹣3）＝m，
（2m﹣1）x＝5m，
①2m﹣1＝0，则m=12；
②2m≠1，解得x=5m2m−1，
由方程增根为x＝3，则5m2m−1=3，
解得m＝3，
综上，m=12或3．
38．（2021秋•冷水滩区校级月考）若关于x的分式方程2m+xx−3−1=2x无解，求m的值．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m的值即可．
【解答】解：去分母得：2mx+x2﹣x2+3x＝2x﹣6，即（2m+1）x+6＝0，
当2m+1＝0，即m＝﹣0.5时，方程无解；
当2m+1≠0，即m≠﹣0.5时，由分式方程无解，得到x＝0或x＝3，
把x＝0代入整式方程得：m无解；把x＝3代入整式方程得：6m+9＝0，
解得：m＝﹣1.5，
综上，m的值为﹣1.5或﹣0.5．
39．（2021秋•娄星区校级期中）如果关于x的方程x+1x+2−xx−1=ax+2(x−1)(x+2)无解，求a的值．
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：方程去分母得：（x﹣1）（x+1）﹣x（x+2）＝ax+2，即（a+2）x+3＝0
∵关于x的方程x+1x+2−xx−1=ax+2(x−1)(x+2)无解，
∴x＝1或x＝﹣2，
∴当x＝1时，﹣3＝a+2，即a＝﹣5，
当x＝﹣2时，3＝﹣2a+2，即a=−12，
另当a＝﹣2时，方程变为3＝0，不成立，所以a＝﹣2时，方程也无解
∴a＝﹣5或﹣2或−12时方程无解．
40．（2021秋•攸县期中）已知关于x的方程2x−2−mxx2−4=3x+2无解，求m的值．
【分析】先解分式方程得（1+m）x＝10，再由方程无解可得1+m＝0，1+m＝5或1+m＝﹣5，求出m的值即可．
【解答】解：2x−2−mxx2−4=3x+2，
方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）得，2（x+2）﹣mx＝3（x﹣2），
去括号，得2x+4﹣mx＝3x﹣6，
移项、合并同类项，得（1+m）x＝10，
∵方程无解，
∴1+m＝0，
∴m＝﹣1，
又∵x＝2或x＝﹣2，
∴1+m＝5或1+m＝﹣5，
解得m＝4或m＝﹣6，
综上所述：m值是4或﹣6或﹣1．