专题2.10反比例函数与一次函数大题专练（培优强化40题）-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习高分攻略(苏科版)

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1．（2023•天宁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC．点D是x轴正半轴上一点，连接CD，∠ODC＝45°．
（1）求b和k的值；
（2）求△ACD的面积．
【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式，求出b的值，再利用平行线分线段成比例的性质得出OH＝OA＝1，CH＝2OB＝4，求出C点坐标，即可求出k的值；
（2）根据∠ODC＝45°得到△DCH是等腰直角三角形，求出AD，再求△ACD的面积即可．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）代入一次函数y＝2x+b，
得﹣2+b＝0，
解得b＝2，
∴B（0，2），
∴OB＝2，
在y＝2x+2中，令y＝0，则x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∴OA＝1，
过点C作CH⊥x轴于点H，则CH∥OB，
∴，
∵AB＝BC，
∴，
∴AH＝2，CH＝4，
∴OH＝OA＝1，
∴C（1，4），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点C，
∴k＝1×4＝4；
（2）∵∠ODC＝45°，CH⊥x轴于点H，
∴∠DCH＝45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴DH＝CH＝4，
∴AD＝1+1+4＝6，
∴△ACD的面积为：＝＝12．
2．（2023•金坛区一模）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图像与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图像交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）点P是x轴正半轴上一点，若BP＝BC，求△PAB的面积．
【分析】（1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
（2）由BP＝BC得出OP＝OC＝4，从而得出CP＝8，然后利用S△PAB＝S△PAC﹣S△PBC求得即可．
【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，得k＝，
∴y＝x+2，
把A（2，n）代入y＝x+2，得n＝3，
∴A（2，3），
把A（2，3）代入y＝，得m＝6，
∴k＝，m＝6；
（2）过点A作AH⊥x轴，垂足为H，则AH＝3．
∵一次函数的图像与y轴交于点B，
∴B（0，2），
∴OB＝2，
∵BP＝BC，BO⊥CP，C（﹣4，0），
∴OP＝OC＝4，
∴PC＝8，
∴S△PAB＝S△PAC﹣S△PBC＝＝＝4．
3．（2023•苏州一模）如图，一次函数y＝kx+b的图像与反比例函数的图像交于点A（1，2n）和点B（3n﹣6，2），与x轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接OA，OB，在直线AC上是否存在点D，使△OCD的面积是△AOB面积的？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据点A和点B在反比例函数的图像上，可得1•2n＝2（3n﹣6），求出n的值，可得点A和点B坐标，再待定系数法求一次函数表达式和反比例函数表达式即可；
（2）先求出C点坐标，根据S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求出△AOB的面积，设D点纵坐标为t，根据△OCD的面积＝，求出t的值，即可确定点D坐标．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图像与反比例函数的图像交于点A（1，2n）和点B（3n﹣6，2），
∴1•2n＝2（3n﹣6），
解得n＝3，
∴点A坐标为（1，6），点B坐标为（3，2），
∴m＝1×6＝6，
将点A（1，6）和点B（3，2）代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数表达式为y＝﹣2x+8，反比例函数表达式为y＝；
（2）∵一次函数y＝﹣2x+8的图像与x轴交于点C，
当y＝﹣2x+8＝0时，x＝4，
∴点C坐标为（4，0），
∴OC＝4，
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC
＝﹣
＝8，
∵△OCD的面积是△AOB面积的，
∴△OCD的面积为×8＝6，
设D点纵坐标为t，
∴，
解得t＝3或t＝﹣3，
∵点D在直线AC上，
∴3＝﹣2x+8或﹣3＝﹣2x+8，
解得x＝2.5或x＝5.5，
∴点D坐标为（2.5，3）或（5.5，﹣3）．
4．（2023•常州模拟）已知直线l：y＝kx（k≠0）过点A（﹣1，2），点P为直线l上一点，其横坐标为m，过点P作y轴的垂线，与函数y＝（x＞0）的图象交于点Q．
（1）求k的值；
（2）①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；
②若△POQ的面积等于3，求出点P的横坐标m的值．
【分析】（1）将点A（﹣1，2）代入y＝kx求解即可；
（2）①先求出点P纵坐标，根据过点P作y轴的垂线，与函数y＝（x＞0）的图象交于点Q，可知点Q纵坐标，代入反比例函数解析式，求出点Q的横坐标即可；
②根据△POQ的面积为3，可得＝3，求出m的值即可．
【解答】解：（1）∵直线l：y＝kx（k≠0）过点A（﹣1，2），
∴﹣k＝2，
∴k＝﹣2；
（2）①直线l：y＝﹣2x，
∵点P为直线l上一点，其横坐标为m，
∴点P纵坐标为﹣2m，
∵过点P作y轴的垂线，与函数y＝（x＞0）的图象交于点Q，
∴点Q纵坐标为﹣2m，
∴﹣2mx＝4，
∴x＝，
∴点Q坐标为（，﹣2m）；
②∴PQ＝﹣m，
∴△POQ的面积为，
∵△POQ的面积等于3，
∴＝3，
解得m＝1（舍去）或m＝﹣1，
∴m＝﹣1．
5．（2023•工业园区校级模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC＝∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．
【分析】将B（2，n）、P（3n﹣4，1）代入反比例函数解析式中，即可求出m和n的值，即可求出反比例函数的解析式；再求出点P关于直线x＝2的对称点为P′的坐标，进而求出一次函数的解析式．
【解答】解：将B（2，n）、P（3n﹣4，1）代入反比例函数y＝中，得
，
解得，
∴反比例函数的表达式为y＝；
由于∠PBC＝∠ABC，
则点P关于直线x＝2的对称点P′在直线AB上，
∵n＝4，
∴P（8，1），
∴点P关于直线x＝2的对称点为P′（﹣4，1）
将点P′（﹣4，1），B（2，4）代入直线的解析式得，
，
解得：，
∴一次函数的表达式为y＝x+3．
6．（2023•沭阳县模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1＝（n≠0）的图象与一次函数y2＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（﹣2，4），B（a，﹣3）．
（1）求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；
（2）结合图象，当y1＞y2时直接写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）把A（﹣2，4）代入y1＝，求出n，把B（a，﹣3）代入y1＝﹣，求出a的值，利用待定系数法列方程组可得一次函数的解析式；
（2）根据两交点的横坐标求出x的取值范围．
【解答】解：（1）∵y1＝的图象过点A（﹣2，4），
∴n＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数的表达式：y1＝﹣；
∵B（a，﹣3）在y1＝﹣的图象上，
∴﹣3a＝﹣8，
∴a＝，
∴B（，﹣3），
把A（﹣2，4），B（，﹣3）两点代入y2＝kx+b得：，
解得：，
∴一次函数的表达式：y2＝﹣x+1；
如图所示：
（2）由图象得：当x＞或﹣2＜x＜0时，y1＞y2．
7．（2023•苏州模拟）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点A（2，m ），点P是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）图象上的一动点．过点P作PH上x轴，垂足为H，交直线y＝x于点G．
（1）求k与m的值；
（2）若△OPG的面积是2，求此时点P的坐标．
【分析】（1）利用正比例函数的解析式求得m＝2，然后利用待定系数法即可求得k＝8；
（2）设H点的横坐标为x，则G（x，x），即可求得S△GOH＝x2，由S△POH＝k＝4，得出S△OPG＝S△POH﹣S△GOH＝4﹣x2＝2或S△OPG＝S△GOH﹣S△POH＝x2﹣4＝2，进而求得P点的坐标．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点A（2，m ），
∴m＝2，k＝2m，
∴k＝8，
（2）设H点的横坐标为x，则G（x，x），
∴S△GOH＝x2，
∵S△POH＝k＝4，
当P在A的上方时，S△OPG＝S△POH﹣S△GOH＝4﹣x2＝2，
∴x＝2（负数舍去），
∴P点的横坐标为2，
∴y＝＝4，
∴P点的坐标为（2，4）；
当P在A的下方时，S△OPG＝S△GOH﹣S△POH＝x2﹣4＝2，
∴x＝2（负数舍去），
∴P点的横坐标为2，
∴P点的坐标为（2，）；
故P点的坐标为（2，4）或（2，）．
8．（2023春•灌云县月考）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象相交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，已知A点的坐标是（2，3），BC＝2．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）点P为反比例函数图象上的任意一点，若S△POC＝3S△ABC，求点P的坐标．
【分析】（1）由一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3）、B两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）先求的三角形ABC的面积，再利用面积公式求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数过点A（2，3），
∴m＝2×3＝6，
∴反比例函数的关系式为，
∵BC＝2，
∴B的纵坐标为﹣2，
代入得，，解得x＝﹣3，
∴B（﹣3，﹣2），
∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y＝kx+b上，
∴解得：
∴一次函数的关系式为：y＝x+1；
（2）∵BC＝2，
∴，
∴S△POC＝3S△ABC＝15，
∴，
即，
∴|yP|＝10，
当点P的纵坐标为10时，则，解得，
当点P的纵坐标为﹣10时，则，解得，
∴点P的坐标为或 ．
9．（2022秋•射阳县校级期末）如图，反比例函数与正比例函数y＝mx（m≠0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接AC，BC．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
【分析】（1）把点A（﹣1，2）代入y＝（k≠0）可得k的值，求得反比例函数的解析式；
（2）根据对称性求得B、C的坐标然后利用三角形面积公式可求解．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，2）代入y＝（k≠0）得：2＝，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）∵反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，
∴B（1，﹣2），
∵点C是点A关于y轴的对称点，
∴C（1，2），
∴AC＝2，
∴S△ABC＝＝4．
10．（2022秋•如皋市期中）在平面直角坐标系xOy中，直线．y＝﹣x+4与双曲线y＝（x＞0）交于A，B两点，A点的坐标为（1，m）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求出点B坐标，并结合图象直接写出﹣x+4＞的解集．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，然后观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4与双曲线y＝（x＞0）交于A，B两点，A点的坐标为（1，m），
∴m＝﹣1+4＝3，
∴点A（1，3），
∴3＝，
∴k＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）由解得或，
∴B（3，1），
从图象看，﹣x+4＞的解集为1＜x＜3．
【能力提升】（每题10分，满分100分，建议用时：60分钟）
11．（2022秋•洪泽区校级月考）如图，一次函数y1＝x+1的图象与反比例函数y2＝（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2）、B（﹣2，n），设直线AB与y轴交于点C．
（1）m＝ 1 ，n＝ ﹣1 ，k＝ 2 ；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；
（3）结合图象直接写出：当 ﹣2＜x＜0或x＞1 时，y1＞y2．
【分析】（1）把A（m，2）和点B（﹣2，n）代入y1＝x+1即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据图象即可得到结论．
【解答】解：（1）把A（m，2）和点B（﹣2，n）代入y1＝x+1得，m＝1，n＝﹣1，
∴点A（1，2），点B（﹣2，﹣1）；
把A（1，2）代入y2＝得，k＝2；
故答案为：1，﹣1，2；
（2）∵一次函数y1＝x+1的图象与y轴交于（0，1），
∴△AOB的面积＝×1×1×1＝1；
（3）由图象知，当﹣2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2．
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞1．
12．（2021春•靖江市校级期中）如图，已知反比例函数的图象与直线y＝ax+b相交于点A（﹣2，3），B（1，m）．
（1）求出直线y＝ax+b的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18，求出点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据图象求得即可；
（3）根据△PAB＝PE•CA+PE•BD＝PE+PE＝PE＝18即可求解．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，3）代入得：3＝，
∴k＝﹣6，
故反比例函数表达式为：y＝﹣，
将点B（1，m）代入上式得：m＝﹣6，
故点B（1，﹣6），
将点A、B的坐标代入y＝ax+b得，解得，
故直线的表达式为：y＝﹣3x﹣3；
（2）由图象可知不等式的解集是﹣2≤x＜0或x≥1；
（3）连接AP、BP，
设直线与x轴的交点为E，当y＝0时，x＝﹣1，故点E（﹣1，0），
分别过点A、B作x轴的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，
则S△PAB＝PE•CA+PE•BD＝PE+PE＝PE＝18，
解得：PE＝4，
故点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
13．（2023•常州模拟）我们知道，可以借助于函数图象求方程的近似解．如图（甲），把方程x﹣2＝1﹣x的解看成函数y＝x﹣2的图象与函数y＝1﹣x的图象的交点的横坐标，求得方程x﹣2＝1﹣x的解为x＝1.5．
（1）如图（乙），已画出了反比例函数在第一象限内的图象，借助于此图象求出方程2x2﹣2x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象，结果精确到0.1）
（2）选择：三次方程x3﹣x2﹣2x+1＝0的根的正负情况是 C ．
A，有两个负根，一个正根
B．有三个负根
C．有一个负根，两个正根
D．有三个正根
【分析】（1）根据题意可知，方程2x2﹣2x﹣1＝0的解可看作是函数y＝与函数y＝2x﹣2的交点坐标，所以根据图象可得正数解约为1.4；
（2）方程x3﹣x2﹣2x+1＝0变形为x2﹣x﹣2＝﹣，在坐标系中画出函数y＝x2﹣x﹣2与函数y＝﹣的图象，根据图象的交点情况即可判断．
【解答】解：（1）∵x≠0，
∴将2x2﹣2x﹣1＝0两边同时除以x，
得2x﹣2﹣＝0，
即 ＝2x﹣2，
把2x2﹣2x﹣1＝0的正数解视为由函数y＝与函数y＝2x﹣2的图象在第一象限交点的横坐标．
如图：
∴正数解约为1.4；
（2）关于x的方程x3﹣x2﹣2x+1＝0变形为x2﹣x﹣2＝﹣，
在坐标系中画出函数y＝x2﹣x﹣2与函数y＝﹣的图象如图：
，
由图象可知，函数y＝x2﹣x﹣2与函数y＝﹣的交点在第三象限一个，第四象限两个，
∴关于x的方程x3﹣x2﹣2x+1＝0有两个正根，一个负根，
故选：C．
14．（2021春•高邮市期末）如图，在矩形OABC中，AB＝4，BC＝2，点E是AB的中点，反比例函数y1＝（k≠0且x＜0）的图象经过点E，交BC于点F，直线EF的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1＝的解析式和直线y2＝mx+n的解析式；
（2）在反比例函数y1＝的图象上找一点D，使△ADE的面积为1，求点D的坐标．
【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到E（﹣2，﹣2），代入y1＝（k≠0且x＜0）求得反比例函数的解析式，进而求得F（﹣1，﹣4），然后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）设D为（m，），由△ADE的面积为1，得到＝1，解得m＝﹣3或﹣1，即可求得D的坐标为（﹣3，﹣）或（﹣1，﹣4）．
【解答】解：（1）∵点E是AB的中点，AB＝4，
∴AE＝2，
∵四边形OABC是矩形，BC＝2，
∴E（﹣2，﹣2），
∵反比例函数y1＝（k≠0且x＜0）的图象经过点E，
∴k＝﹣2×（﹣2）＝4，
∴反比例函数的解析式为y1＝，
当y＝﹣4时，x＝﹣1，
∴F（﹣1，﹣4），
把F（﹣1，﹣4）和E（﹣2，﹣2）代入y2＝mx+n（m≠0）得，，
∴，
∴直线EF的解析式为y2＝﹣2x﹣6；
（2）设D为（m，），
∵△ADE的面积为1，
∴＝1，
解得m＝﹣3或﹣1，
∴D的坐标为（﹣3，﹣）或（﹣1，﹣4）．
15．（2020春•仪征市期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y＝图象于A（，4），B（3，m）两点．
（1）求m，n的值；
（2）点E是y轴上一点，且S△AOB＝S△EOB，求E点的坐标；
（3）请你根据图象直接写出不等式kx+b＞的解集．
【分析】（1）把点A（，4）代入y＝中，利用待定系数法求得n的值，即可求得反比例函数的解析式，进而把B（3，m）代入求得的解析式，即可求得m的值；根据待定系数法即可求得直线CD的表达式；
（2）根据待定系数法即可求得直线AB的表达式，即可求得直线与y轴的交点，根据S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD求得△AOB的面积，设E点的坐标为（0，a），根据S△AOB＝S△EOB得到关于a的方程，解方程求得a，从而求得E点的坐标；
（3）根据图象即可求得．
【解答】（1）把点A（，4）代入y＝中，得：n＝×4＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
将点B（3，m）代入y＝得m＝＝2；
（2）设直线AB的表达式为y＝kx+b，
把A（，4），B（3，2）代入得，
解得
∴直线AB的表达式为y＝﹣x+6，
∴D点的坐标为（0，6），
∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD＝6×3﹣6×＝，
设E点的坐标为（0，a），
∵S△AOB＝S△EOB，
∴|a|×3＝，
解得：|a|＝3，
∴E点的坐标为（0，3）或（0，﹣3）；
（3）不等式kx+b＞的解集是x＜0或＜x＜3．
16．（2022春•吴中区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（3，﹣2），B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C．
（1）求k2，n的值；
（2）请直接写出不等式k1x+b的解集；
（3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A'处，连接A′B，A′C，求△A'BC的面积．
【分析】（1）将A点坐标代入y＝求得k2，然后代入B（﹣2，n）即可求得n；
（2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；
（3）求出对称点坐标，求面积．
【解答】解：（1）将A（3，﹣2）代入y＝，得k2＝﹣6．
∴y＝﹣，
将（﹣2，n）代入y＝﹣，求得n＝3．
∴k2＝﹣6，n＝3；
（2）根据函数图象可知：不等式k1x+b≤的解集为x≥3或﹣2≤x＜0；
（3）将A（3，﹣2），B（﹣2，3）代入y＝k1x+b，得k1＝﹣1，b＝1，
∴一次函数的关系式为y＝﹣x+1，
与x轴交于点C（1，0），
∴图象沿x轴翻折后，得A′（3，2），
S△A'BC＝（3+2）×4﹣×4×（3﹣1）＝6，
∴△A'BC的面积为6．
17．（2022•亭湖区校级模拟）如图，正比例函数y＝kx（k为常数）的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（a，3）．点B为x轴正半轴上一动点，过点B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点 D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若CD＝，求线段OB的长．
【分析】（1）把点A（a，3）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；
（2）设点B的坐标为（b，0），代入函数表达式中，得到C和D的坐标，根据CD的长度列出方程，求出b值即可．
【解答】解：（1）把点A（a，3）代入反比例函数（x＞0）得，
a＝2，
∴点A（2，3），代入y＝kx得，k＝，
∴正比例函数的关系式为；
（2）设点B的坐标为（b，0），
将x＝b代入和中，
得，，
∴C（b，），D（b，），
∵CD＝，
DC线段在点A右侧时，
∴，
解得：b＝﹣1（舍）或b＝4，
DC线段在点A左侧时
解得：b＝1或b＝﹣4，
∴OB的长度为4或1．
18．（2022•海陵区校级三模）已知过原点的一条直线l与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，且A的横坐标为a（a＞0），c是反比例函数图象上位于A点上方的一点，连接AC并延长交y轴于点D，连接CB交y轴于点E．AC＝pCD，BC＝qCE．
（1）直接写出B点坐标（用a，k表示）．
（2）当p＝1，k＝8时
①求△ABD的面积．
②求p﹣q的值．
（3）当点c在A点上方运动时，请说明p﹣q是定值．
【分析】（1）根据反比例函数的中心对称性即可求得点B的坐标；
（2）①由AC＝pCD，BC＝qCE表示出A、B、C的坐标，进而利用待定系数法求得直线AC的解析式，求得D点的坐标，然后利用三角形面积公式即可△ABD的面积；
②利用平行线分相等成比例定理即可求得q＝3，进而求得p﹣q＝﹣2；
（3）利用平行线分线段成比例定理得到CM：AF：BN＝1：（1+p）：（1+p），CE：BE＝1：（1+p），由BC＝qCE得到CE：BE＝1：（q﹣1），从而得到1+p＝1﹣q，解得p﹣q＝﹣2．
【解答】解：（1）∵直线l与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，且A的横坐标为a（a＞0），
∴A（a，），
∵直线l过原点，
∴B（﹣a，﹣）；
（2）①当p＝1，k＝8时，则AC＝CD，BC＝qCE，y＝，
∵A的横坐标为a（a＞0），
∴C的横坐标为a，
∴A（a，），C（a，），
∴B（﹣a，﹣），
设直线AC为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线AC为y＝﹣x+，
∴D（0，），
∴△ABD的面积＝•（a+a）＝24；
②作CM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N，
∴CM∥BN，
∴＝，
∵C（a，），B（﹣a，﹣），
∴CM＝a，BN＝a，
∴＝，
∴BC＝3CE，
∴q＝3，
∴p﹣q＝1﹣3＝﹣2；
（3）如图，∵CM∥AF∥BN，AC＝pCD，
∴CM：AF：BN＝1：（1+p）：（1+p），
∴CE：BE＝1：（1+p），
∵BC＝qCE．
∴CE：BE＝1：（q﹣1），
∴1+p＝q﹣1，
∴p﹣q＝﹣2．
19．（2022春•吴中区校级月考）如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣6的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，n），B（m，2）．
（1）求反比例函数关系式及m的值；
（2）若x轴正半轴上有一点M满足△MAB的面积为16，求点M的坐标；
（3）根据函数图象直接写出关于x的不等式＜﹣2x﹣6的解集．
【分析】（1）先将A，B点坐标代入一次函数解析式，求出m和n的值，再进一步求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出直线AB与x轴交点C的坐标，再根据S△ABM＝S△ACM+S△BCM，△MAB的面积为16，可得5CM＝16，求出CM的长，进一步可得点M坐标；
（3）根据图象即可确定不等式的解集．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x﹣6的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，n），B（m，2），
∴n＝﹣2×1﹣6＝﹣8，﹣2m﹣6＝2，
∴m＝﹣4，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数关系式为，m＝﹣4；
（2）设直线AB与x轴交于点C，如图所示：
令y＝﹣2x﹣6＝0，得x＝﹣3，
∴点C坐标为（﹣3，0），
∵S△ABM＝S△ACM+S△BCM＝＝5CM，
∵△MAB的面积为16，
∴5CM＝16，
∴CM＝，
∵M在x轴正半轴上，
∴点M坐标为（，0）；
（3）根据函数图象，可知关于x的不等式＜﹣2x﹣6的解集为x＜﹣4或0＜x＜1．
20．（2022•亭湖区校级三模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（1，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围为 ﹣3＜x＜0，或x＞1 ．
【分析】（1）先把A点坐标代入求出m的值，从而得到反比例函数解析式，再把B（﹣3，n）代入反比例函数解析式求出n的值，然后把A点和B点坐标分别代入y＝kx+b得到a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，于是可得到一次函数解析式；
（2）根据函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】（1）把A（1，3）代入得：m＝3×1＝3，
所以反比例函数解析式为；
把B（﹣3，n）代入得：n＝﹣1，
∴B（﹣3，﹣1），
把A（1，3）和B（﹣3，﹣1）分别代入y＝kx+b得：，
解得，
所以一次函数解析式为y＝x+2；
（2）由（1）可知一次函数和反比例函数的交点是A（1，3）和B（﹣3，﹣1），
要使得一次函数的值大于反比例函数的值，即一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，此时对应的x的值的范围是：﹣3＜x＜0，或x＞1，
∴x的取值范围为：﹣3＜x＜0，或x＞1．
故答案为：﹣3＜x＜0，或x＞1．
【培优拔高】（每题10分，满分100分，建议用时：60分钟）
21．（2022秋•崇川区校级月考）如图，直线y＝k1x+b与双曲线y＝交于A、B两点，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D（0，﹣5），OA＝5，tan∠AOC＝，点B的纵坐标为﹣8．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOD的面积；
（3）直接写出不等式k1x+b≤的解集．
【分析】（1）作AE⊥x轴于点E，由OA＝5，tan∠AOC＝可得点A坐标，进而求解．
（2）通过待定系数法求出一次函数解析式，从而求得点C坐标，进而求解．
（3）将y＝﹣8代入反比例函数解析式求出点B坐标，进而求解．
【解答】解：（1）如图，作AE⊥x轴于点E，
在Rt△AEO中，tan∠AOC＝＝，
设AE＝3m，OE＝4m，则OA＝＝5m＝5，
∴m＝1，AE＝3，OE＝4，
∴A（﹣4，3）．
∵点A在反比例函数y＝图象上，
∴k2＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
（2）把（﹣4，3），（0，﹣5）代入y＝k1x+b得，
解得，
∴y＝﹣2x﹣5．
把y＝0代入y＝﹣2x﹣5得﹣2x﹣5＝0，
解得x＝﹣．
∴点C坐标为（﹣，0），OC＝．
∴S△AOD＝OD•OC+OC•yA＝OC（OD+yA）＝××（5+3）＝10．
（3）把y＝﹣8代入y＝﹣得﹣8＝﹣，
解得x＝，
∴不等式kx+b≤的解集为﹣4≤x＜0或x≥．
22．（2022•天宁区校级二模）如图，直线y＝x+m与双曲线相交于A（2，1）、B两点．
（1）求m及k的值；
（2）不解关于x、y的方程组直接写出点B的坐标；
（3）直接写出的取值范围．
【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数和反比例函数即可求；
（2）根据点B与点A关于二四象限角平分线对称写出即可；
（3）观察函数图象根据其性质直接写出即可．
【解答】解：（1）将点A（2，1）的坐标分别代入一次函数y＝x+m与反比例函数，
可得，1＝2+m，，
解得：m＝﹣1，k＝2；
（2）∵A，B两点关于直线y＝﹣x对称，
∴B点的坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）由得，
即反比例函数的函数值大于一次函数的函数值，
由图像可知：0＜x＜2或x＜﹣1．
23．（2022•丹徒区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+m的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（1，6），并与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，△OAC的面积是△BOC面积的一半．
（1）k＝ 6 ，m＝ 5 ；
（2）求点C的坐标；
（3）若将△BOC绕点O顺时针旋转，得到△B'OC'，当点C'正好落在x轴正半轴上时，判断此时点B'是否落在函数y＝（x＞0）的图象上，并说明理由．
【分析】（1）将A（1，6）代入y＝x+b可求出b的值；将A（1，6）代入y＝可求出k的值；
（2）过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，由△OBC与△OBA的面积比为2：3，可推出 ＝，由点A的坐标可知AN＝6，进一步求出CM＝4，即为点C的纵坐标，把y＝4代入y＝x+5中，可求出点C坐标；
（3）过点B'作B'F⊥x轴，垂足为F，由题意可知，OC'＝OC＝＝＝2，由旋转可知S△OBC＝S△OB'C′，可求出B'F＝2，在Rt△OB'F中，通过勾股定理求出OF的长度，即可写出点B'的坐标，将其坐标代入y＝可知没有落在函数y＝（x＞0）的图象上．
【解答】解：（1）将A（1，6）代入y＝x+m，
得，6＝1+m，
∴m＝5，
将A（1，6）代入y＝，
得，6＝，
∴k＝6，
故答案为：6，5；
（2）如图1，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，
∵△OBC与△OBA的面积比为1：2，
∴＝，
又∵点A的坐标为（1，6），
∴AN＝6，
∴CM＝4，即点C的纵坐标为4，
把y＝4代入y＝x+5中，
得，x＝﹣1，
∴C（﹣1，4）；
（3）由题意可知，OC'＝OC＝＝＝2，
如图2，过点B'作B'F⊥x轴，垂足为F，
∵S△OBC＝S△OB'C′，
由一次函数y＝x+5可知B（﹣5，0），
∴OB•CE＝OC'•B'F，
即5×4＝2B'F，
∴B'F＝2，
在Rt△OB'F中，
∵OF＝＝＝，
∴B'的坐标为（，2），
∵×≠6，
∴点B'不在函数y＝的图象上．
24．（2022春•沭阳县月考）如图，一次函数y＝﹣2x+8与函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（n，2）两点，AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D．
（1）求k的值；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）在x轴上找一点P，连接AP，BP，使△ABP周长最小，求点P坐标．
【分析】（1）由一次函数解析式求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值；
（2）由一次函数解析式求得与x轴的交点M的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOM﹣S△BOM即可求得；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′与x轴的交点即为所求．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+8与函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（n，2）两点，
∴6＝﹣2m+8，2＝﹣2n+8，
解得m＝1，n＝3，
∴点A（1，6），B（3，2），
∴k＝1×6＝6；
（2）设一次函数图象与x轴的交点为M，
在一次函数y＝﹣2x+8中，令y＝0，则求得x＝4，
∴M（4，0），
∴S△AOB＝S△AOM﹣S△BOM＝﹣＝8；
（3）由（1）知A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），
则点A关于对称轴的对称点A′的坐标（1，﹣6），
设直线BA′的解析式为y＝kx+b，
将点B、A′坐标代入，得：，
解得：，
则直线BA′的解析式为y＝4x﹣10，
当y＝0时，由4x﹣10＝0得：x＝，
∴点P的坐标为（，0）．
25．（2022秋•宜兴市月考）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x的图象l与函数y＝（k＞0，x＞0）的图象（记为Γ）交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，且AB＝1，点C在线段OB上（不含端点），且OC＝t，过点C作直线l1∥x轴，交l于点D，交函数图象于点E．
（1）则k的值为 2 ；
（2）点D的坐标为 （t，t） ；点E的坐标为 （，t） （用含t的式子表示）；
（3）连接OE、BE、AE，记△OBE、△ADE的面积分别为S1、S2，设U＝S1﹣S2，求U的最大值．
【分析】（1）先求出点A的横坐标，再代入直线y＝2x中求出点A的坐标，再将点A坐标代入反比例函数解析式中求出k；
（2）先求出点C的纵坐标，代入直线y＝2x中求出点D的横坐标，代入y＝求得点E的横坐标，即可得出结论；
（3）求出CE＝，进而得出S1＝，由A，D的坐标，求出DE＝﹣t，从而得出S2＝S△ADE＝t2﹣t+﹣1，进而得出U＝S1﹣S2＝﹣（t﹣1）2+，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB⊥y轴，且AB＝1，
∴点A的横坐标为1，
∵点A在直线y＝2x上，
∴y＝2×1＝2，
∴点A（1，2），
∴B（0，2），
∵点A在函数y＝上，
∴k＝1×2＝2，
故答案为：2；
（2）∵OC＝t，
∴C（0，t），
∵CE∥x轴，
∴点D点E的纵坐标为t，
∵点D在直线y＝2x上，t＝2x，
∴x＝t，
∴点D（t，t），
∵点E在函数y＝的图象上，t＝，
∴x＝，
∴点E（，t）；
故答案为：（t，t），（，t）；
（3）∵E（，t）；
∴CE＝，
∵B（0，2），
∴OB＝2．
∴S1＝S△OBE＝OB•CE＝×2×＝，
∵A（1，2），D（t，t），
∴DE＝﹣t，
∵CE∥x轴，
∴S2＝S△ADE＝DE（yA﹣yD）＝（﹣t）（2﹣t）＝t2﹣t+﹣1，
∴U＝S1﹣S2＝﹣（t2﹣t+﹣1）＝﹣t2+t+1＝﹣（t﹣1）2+，
∵点C在线段OB上（不含端点），
∴0＜t＜2，
∴当t＝1时，U最大值为．
26．（2022春•靖江市校级期末）如图，直线y＝﹣x+5与双曲线y＝（x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于点C，△BOC的面积为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若将直线y＝﹣x+5向下平移1个单位，说明所得直线与双曲线y＝（x＞0）的交点情况；
（3）P为坐标轴上的一点，若△PAB的面积等于△OAB面积的一半，请直接写出符合条件的点P坐标．
【分析】（1）令直线y＝﹣x+5与y轴的交点为点D，过点B作BE⊥x轴于点E，根据一次函数图象上点的坐标特征以及△BOC的面积是即可得出BE的长度，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，可得反比例函数的解析式；
（2）根据平移的性质找出平移后的直线的解析式将其代入反比例函数解析式中，整理后根据根的判别式的正负即可得出结论．
【解答】（1）解：令直线y＝﹣x+5与y轴的交点为点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．
令直线y＝﹣x+5中y＝0，则0＝﹣x+5，
解得x＝5，
即OC＝5．
∵△BOC的面积是，
∴OC•BE＝×5•BE＝，
解得BE＝1．
结合题意可知点B的纵坐标为1，
当y＝1时，有1＝﹣x+5，
解得x＝4，
∴点B的坐标为（4，1），
∴k＝4×1＝4，
即反比例函数的解析式为y＝；
（2）证明：将直线y＝﹣x+5向下平移1个单位得到的直线的解析式为y＝﹣x+5﹣1＝﹣x+4，
将y＝﹣x+4代入到y＝中，得：﹣x+4＝，
整理得：x2﹣4x+4＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×4＝0，
∴平移后的直线与双曲线y＝只有一个交点；
（3）解：联立方程组，
解得，，
∴A（1，4），
设直线AB与y轴交于点D，则D（0，5），
当点P在y轴上时，设P（0，n），
∵△PAB的面积等于△OAB面积的一半，
∴，
即，
解得n＝或，
∴P（0，）或（0，）；
当点P在x轴上时，设P（m，0），
令y＝0，得y＝﹣x+5＝0，
解得x＝5，
∴C（5，0），
∵△PAB的面积等于△OAB面积的一半，
∴，
即，
解得m＝或，
∴P（，0）或（，0）；
综上，P（，0）或（，0）或P（0，）或（0，）．
27．（2022春•灌云县期末）如图，平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b（k、b为常数，k≠0）分别与x，y轴相交于点A，B，与双曲线y2＝（m为常数，m≠0）分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作CE⊥x轴于点E．已知OA＝8，OE＝OB＝4．
（1）求直线y1和双曲线y2的解析式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使S△ABP＝S△CEO？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意点A，B的坐标分别为（﹣8，0），（0，4），利用待定系数法求得直线AB的解析式，进而求得C的坐标，将点C的坐标代入y2＝，即可求得反比例函数的解析式；
（2）设点P的坐标为（0，t）则S△CEO＝CE•OE＝12，即可得到△ABP＝BP•OA＝×|4﹣t|×8＝4×|4﹣t|＝12，解得t的值，即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OA＝8，OE＝OB＝4．
∴点A，B的坐标分别为（﹣8，0），（0，4），
将点A，B的坐标代入直线的表达式，得，
解得，
∴直线AB的表达式为y1＝x+4，
当x＝4时，y1＝x+4＝6，
∴点C的坐标为（4，6），
将点C的坐标代入y2＝得：6＝，
解得m＝24，
∴反比例函数的表达式y2＝；
（2）存在，
设点P的坐标为（0，t）
则S△CEO＝CE•OE＝6×4＝12，
而S△ABP＝BP•OA＝×|4﹣t|×8＝4×|4﹣t|＝12，
解得t＝1或﹣7，
∴点P的坐标为（0，1）或（0，﹣7）．
28．（2022春•靖江市期末）如图，直线y＝x+b与双曲线y＝（k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A（2，4），且与x轴，y轴分别交于B，C两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）点P在坐标轴上，且△BCP的面积等于8，求P点的坐标；
（3）将直线AB绕原点旋转180°后与x轴交于点D，与双曲线第三象限内的图象交于点E，猜想四边形ABED的形状，并证明你的猜想．
【分析】（1）把A（1，2）代入双曲线以及直线y＝x+b，分别可得k，b的值；
（2）先根据直线解析式得到BO＝CO＝2，再根据△BCP的面积等于8，即可得到P的坐标．
（3）根据题意得OA＝OE，OB＝OD，即可证明四边形ABED是平行四边形．
【解答】解：（1）把A（2，4）代入双曲线y＝，可得k＝8，
∴双曲线的解析式为y＝；
把A（2，4）代入直线y＝x+b，可得b＝2，
∴直线的解析式为y＝x+2；
（2）设P点的坐标为（x，0）或（0，y），
在y＝x+2中，令y＝0，则x＝﹣2；令x＝0，则y＝2，
∴B（﹣2，0），C（0，2），即BO＝2＝CO，
∵△BCP的面积等于2，
当P在x轴上时，则有CP×CO＝8，即|x+2|×2＝8，
解得x＝6或﹣10，
∴P点的坐标为（6，0）或（﹣10，0）．
当P在y轴上时，则有BP×BO＝8，即|y﹣2|×2＝8，
解得y＝10或﹣6，
∴P点的坐标为（0，10）或（0，﹣6）．
综上，P点的坐标为（6，0）或（﹣10，0）或（0，10）或（0，﹣6）．
（3）四边形ABED是平行四边形，
连接AE，
由题意可知，A、E关于原点对称，
∴OA＝OE，
∵OB＝OD，
∴四边形ABED是平行四边形．
29．（2022春•兴化市期末）已知一次函数y1＝kx+2（k≠0）和反比例函数为y2＝．
（1）如图1，若函数y1、y2的图象都经过点A（1，3），B（﹣3，a）．
①求m，k，a的值；
②连接AO，BO，判断△ABO的形状，并说明理由；
③当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y3＝cx（c≠0）的值小于一次函数y1＝kx+2的值，直接写出c的取值范围；
（2）当k＝2，m＝4，过点P（s，0）（s≠0）作x轴的垂线，交一次函数的图象于点M，交反比例函数的图象于点N，t取M与N的绝对值较小的纵坐标（若二者相等则任取其一），将所有这样的点（s，t）组成的图形记为图形T，直线y＝n（n≠0）与图形T的交点分别为C、D，若CD的值等于3，求n的值．
【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；
②利用勾股定理求得OA、OB，即可证得△ABO是等腰三角形；
③当x＝﹣3时，求出y1＝x+2的值，然后根据题意，得不等式，即可求出c的取值范围．
（2）由题意画出函数的T的图象，再数形结合解题即可．
【解答】解：（1）①一次函数y1＝kx+2（k≠0）和反比例函数为y2＝，函数y1、y2的图象都经过点A（1，3），B（﹣3，a），
∴3＝k+2，m＝1×3＝﹣3a，
解得k＝1，m＝3，a＝﹣1；
②∵A（1，3），B（﹣3，﹣1），
∴OA＝＝，OB＝＝，
∴OA＝OB，
∴△ABO是等腰三角形；
③当x＝﹣3时，y1＝x+2＝﹣1，
根据题意，可知当x＝﹣3时，﹣3c≤﹣1，
解得c≥，
∴c的取值范围是≤c＜1．
（2）∵函数y1、y2的图象都经过点A（1，3），B（﹣3，a）．
∴图形T如图所示：
∵y＝n，
∴C（，n），D（，n），
∵CD＝3，
∴﹣＝3或﹣＝3，
解﹣＝3得n＝4﹣2（正值舍去）
解﹣＝3得n＝﹣2+2（负数舍去）
∴n的值为4﹣2或﹣2+2．
30．（2022春•沭阳县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（1，4），B（3，m）两点．
（1）求上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，写出不等式k1x+b≥的解集 x＜0 或1≤x≤3 ．
【分析】（1）（1，4）代入y2＝，易求k2，从而可求反比例函数解析式，再把B点坐标代入反比例函数解析式，易求m，然后把A、B两点坐标代入一次函数解析式，易得关于k1、b的二元一次方程，解可求k1、b，从而可求一次函数解析式；
（2）设直线AB与x轴交于点C，再根据一次函数解析式，可求C点坐标，再根据分割法可求△AOB的面积；
（3）观察可知当x＜0 或1≤x≤3时，k1x+b≥．
【解答】解：（1）把（1，4）代入y2＝，得k2＝4，
∴反比例函数的解析式是y＝，
当x＝3时，y＝，
∴m＝，
把（1，4）、（3，）代入y1＝k1x+b中，得，
解得，
∴一次函数的解析式是y＝﹣x+；
（2）设直线AB与x轴交于点C，
当y＝0时，x＝4，
故C点坐标是（4，0），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×4×4﹣×4×＝；
（3）不等式k1x+b≥的解集x＜0 或1≤x≤3．
故答案为：x＜0 或1≤x≤3．
【满分冲刺】（每题10分，满分100分，建议用时：60分钟）
31．（2022春•江都区期末）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A（1，a）和B（b，1）两点，与x轴交于点C．
（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式﹣x+4﹣＞0的解集；
（3）若点P在y轴上，且△APB的面积为3，求点P的坐标．
【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+4上求a，进而代入反比例函数求得k，即可求得反比例函数的表达式；
（2）把A（1，a）代入反比例函数y＝，求得A（1，3），观察图象即可求得当x＞0时，不等式﹣x+4﹣＞0的解集；
（3）由直线y＝﹣x+4求得D（0，4），设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．
【解答】解：（1）把点B（b，1）代入y＝﹣x+4，得1＝﹣b+4，
解得b＝3，
∴B（3，1），
∵反比例函数的图象经过点B，
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）把A（1，a）代入反比例函数y＝得：a＝3，
∴A（1，3），
由图象可知，当x＞0时，不等式﹣x+4﹣＞0的解集为1＜x＜3；
（3）当x＝0时，则y＝﹣x+4＝4，
∴点D（0，4），
设点P的坐标为（0，y），
∵S△APB＝S△BPD﹣S△APD＝PD•xB﹣×PD•xA＝3，
∴PD•（3﹣1）＝3，
∴PD＝3，
∴点P（0，1）或（0，7）．
32．（2022春•丹阳市期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象和反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A（﹣2，n），B（1，4）两点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）△AOC的面积为 2 ；
（3）结合图象直接写出不等式kx+b＜的解集．
【分析】（1）把B点坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，再求出A点坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；
（2）由一次函数解析式求得C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（m≠0）的图象过A（﹣2，n），B（1，4）两点，
∴m＝﹣2n＝1×4，
解得m＝4，n＝﹣2，
∴反比例函数为y＝，A（﹣2，﹣2）；
把A （﹣2，﹣2），B（1，4）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
∴一次函数的表达式为y＝2x+2；
（2）令x＝0，则y＝2x+2＝2，
∴C（0，2），
∴OC＝2，
∴S△AOC＝＝2；
故答案为：2；
（3）由图象可知，不等式kx+b＜的解集x＜﹣2或0＜x＜1．
33．（2022春•泰兴市期末）如图，一次函数y1＝kx+2的图象与反比例函数y2＝﹣的图象相交于A（a，﹣2a）、B（4，﹣2）．
（1）求a、k的值；
（2）结合图象，直接写出不等式kx+2+＜0的解集：
（3）连接OA、OB，求△AOB的面积．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得k的值，即可求得一次函数的解析式，代入A（a，﹣2a）即可求得a；
（2）根据图象即可求得；
（3）由直线解析式求得C点的坐标，从而求出△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝kx+2的图象与反比例函数y2＝﹣的图象相交于A（a，﹣2a）、B（4，﹣2）．
∴﹣2＝4k+2，
∴k＝﹣1，
∴y1＝﹣x+2，
代入A（a，﹣2a）得，﹣2a＝﹣a+2，
解得a＝﹣2，
∴a的值为﹣2．k的值为﹣1；
（2）∵a＝﹣2，
∴A（﹣2，﹣4），
∵B（4，﹣2），
观察图象，当﹣2＜x＜0或x＞4时，kx+2＜，
∴不等式kx+2+＜0的解集为﹣2＜x＜0或x＞4；
（3）由直线y1＝﹣x+2可知C（2，0），
所以△AOB的面积＝×2×4+×2×2＝6．
34．（2022春•无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+m（m≠0）与反比例函数
y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，已知点A的横坐标为1，△AOB的面积为1．
（1）求m和k的值；
（2）直接写出关于x的不等式mx+m＜的解集为 x＜﹣2或0＜x＜1 ．
【分析】（1）先求得直线与x轴的交点C为（﹣1，0），然后利用一次函数解析式表示出A的坐标，利用△AOB的积，表示出点B的坐标，由于当时反比例函数图象上的点即可得出k＝2m＝（1﹣）（2m﹣2），求出m的值，进一步求得k的值；
（2）求出CA、B的坐标，根据函数的图象求出即可．
【解答】解：（1）∵y＝mx+m＝m（x+1），
∴直线y＝mx+m一定过定点C（﹣1，0），
∴OC＝1，
∵一次函数y＝mx+m（m≠0）与反比例函数y＝（k＞0）的图像交于A、B两点，点A的横坐标为1，
∴A（1，2m），
∵△AOB的面积为1，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝1，
∴|yB|＝2﹣2m，
∴B点的纵坐标为y＝2m﹣2，
代入y＝mx+m得，2m﹣2＝mx+m，解得x＝1﹣，
∴B（1﹣，2m﹣2），
∴k＝2m＝（1﹣）（2m﹣2），
解得m＝，
∴k＝2m＝；
（2）∵m＝，
∴A（1，），B（﹣2，﹣），
观察图象，关于x的不等式mx+m＜的解集为x＜﹣2或0＜x＜1．
故答案为：
35．（2022春•惠山区期末）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（1，6），B（6，1）两点．
（1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；
（2）当y1＞y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 1＜x＜6或x＜0 ；
（3）在平面内存在点P，使得点A、点B关于点P成中心对称的点恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的坐标为 （，）或（3，3） ．
【分析】（1）将A（1，6），B（6，1）两点代入y＝ax+b，解方程组即可；
（2）观察图象即可得出答案；
（3）根据题意，AB∥A′B′，AB＝A′B′，据此求得B′（0，5）或（0，﹣5），然后利用中点公式即可求得．
【解答】解：（1）将A（1，6），B（6，1）两点代入y＝ax+b，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+7，
将A（1，6）代入反比例函数y＝得：k＝6，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）由图象可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为：1＜x＜6或x＜0；
故答案为：1＜x＜6或x＜0；
（3）设A、B关于点P成中心对称的点为A′、B′，则直线A′B′∥AB，A、B、A′、B′四点构成平行四边形，
∴直线A′B′的解析式为y＝﹣x±5，
∴B′（0，5）或（0，﹣5），
∵A（1，6），B（6，1），
∴P（，）或（3，3），
故答案为（，）或（3，3）．
36．（2022春•工业园区校级期末）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B（b，1）两点，与x轴交于点C．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△AOB，求点P的坐标．
【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+5上求a，进而代入反比例函数y＝（k为常数且k≠0）求得k，即可求得反比例函数的表达式；
（2）把B（b，1）代入反比例函数y＝﹣，求得B（﹣4，1），由直线y＝x+5求得C（﹣5，0），设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，a）代入y＝x+5，得a＝4，
∴A（﹣1，4），
∵反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象经过点A，
∴k＝﹣1×4＝﹣4，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）把B（b，1）代入反比例函数y＝﹣，解得：b＝﹣4，
∴B（﹣4，1），
当y＝x+5＝0时，得x＝﹣5，
∴点C（﹣5，0），
设点P的坐标为（x，0），
∵S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×5×4﹣×5×1＝，S△ACP＝S△AOB，
∴×4×|x﹣（﹣5）|＝×＝3，解得x1＝﹣3.5，x2＝﹣6.5，
∴点P（﹣6.5，0）或（﹣3.5，0）．
37．（2023•工业园区校级模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数y＝﹣的图象在第二象限相交于点A（﹣1，m），过点A作AD⊥x轴，垂足为D，AD＝CD．
（1）求一次函数的表达式；
（2）已知点E（a，0）满足CE＝CA，求a的值．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出m，再求得C点坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）由勾股定理求出AC的长，再根据CE＝CA且E在x轴上，分类讨论得a的值．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴﹣m＝﹣2，解得：m＝2，
∴A（﹣1，2），
∵AD⊥x轴，
∴AD＝2，OD＝1，
∴CD＝AD＝2，
∴OC＝CD﹣OD＝1，
∴C（1，0），
把点A（﹣1，2），C（1，0）代入y＝kx+b中，
，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+1；
（2）在Rt△ADC中，AC＝＝2，
∴AC＝CE＝2，
当点E在点C的左侧时，a＝1﹣2，
当点E在点C的右侧时，a＝1+2，
∴a的值为1±2．
38．（2022春•常熟市期末）如图，直线y＝3x与反比例函数交于点A，B，点C的坐标为（5，0），AC＝5．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出不等式的解集为 x＜﹣1或0＜x＜1 ；（直接写出结果，无需解答过程）
（3）过点B作y轴的垂线，垂足为D，求△ACD的面积．
【分析】（1）根据勾股定理求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）由反比例函数的对称性可知B（﹣1，﹣3），根据图象即可求得不等式的解集；
（3）利用待定系数法求得直线AD的解析式，进而求得与x轴的交点F的坐标，然后根据S△ACD＝S△ACF+S△DCF求得即可．
【解答】解：（1）设点A坐标为（m，3m），作AE⊥x轴，则OE＝m，AE＝3m，
∴CE＝5﹣3m，
在Rt△AEC中，AE2+CE2＝AC2，
∴（3m）2+（5﹣m）2＝52，
解得m＝1，
∴A（1，3），
∴k＝xy＝3，
∴反比例函数解析式为；
（2）由反比例函数的对称性可知B（﹣1，﹣3），
∴不等式的解集为x＜﹣1或0＜x＜1，
故答案为：x＜﹣1或0＜x＜1；
（3）依题意点D坐标为（0，﹣3），
设直线AD的解析式为y＝k1x﹣3（k1≠0），
将A点坐标代入得3＝k1﹣3，解得k1＝6，
∴直线AD的解析式为y＝6x﹣3，
令y＝0得，
∴，
∴＝．
39．（2022•赣榆区二模）如图，已知一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（3，m）、B（n，﹣3）且与x轴相交于点D，过A点作AC⊥x轴，垂足为C，其中Rt△AOC的面积等于3．
（1）求出一次函数的表达式；
（2）直接写出不等式ax+b＞的解集；
（3）点P是一次函数y＝ax+b图象上的动点，若CP把△ABC分成面积比等于2：3的两部分，求点P的坐标．
【分析】（1）利用k的几何意义可知：k＝6，计算A，B两点的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式；
（2）根据图象即可求得；
（3）根据CP把△ABC分成面积比等于2：3的两部分，可分情况讨论，①当＝时；②当＝时；代入三角形面积公式可解答．
【解答】解：如图1，∵Rt△AOC的面积等于3，
∴k＝6，
∵点A（3，m）、B（n，﹣3）在反比例函数y＝的图象上，
∴3m＝﹣3n＝6，
∴m＝2，n＝﹣2，
∴点A（3，2），点B（﹣2，﹣3），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝x﹣1；
（2）不等式ax+b＞的解集为﹣2＜x＜0或x＞3；
（3）如图，设点P的坐标为（m，m﹣1），
CP把△ABC分成面积比等于2：3的两部分，分为两种情况：
①当＝时，即＝，
∴S△APC＝S△ABC，
∴×2×（3﹣m）＝××2×（3+2），
∴m＝1，
∴P（1，0）；
②当＝时，即＝，
∴S△APC＝S△ABC，
∴×2×（3﹣m）＝××2×（3+2），
∴m＝0，
∴P（0，﹣1）；
综上，点P的坐标为（1，0）或（0，﹣1）．
40．（2022•丹阳市二模）已知直线y＝mx+n与x轴交于点M（2，0），与反比例函数y＝图象交于点A（﹣2，a），C（b，﹣），若tan∠AMO＝．
（1）求反比例函数和直线的函数表达式；
（2）过点O作直线AO的垂线，交直线AC于点P，求P点坐标．
【分析】（1）解直角三角形求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，易证得△OPD∽△AMB，根据相似三角形的性质即可求得P点的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，a），C（b，﹣），M（2，0），
∴BM＝4，AB＝a，
∵，
∴即，
∴a＝3，
∴A（﹣2，3），
∵反比例函数y＝过点A，
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数关系式为；
将A点和M点代入y＝mx+n得，解得，
∴直线解析式为；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，
∵OP⊥AC，
∴∠OPC＝∠ODP＝90°，
∴∠PMO+∠POM＝∠OPD+∠POD，
∴∠OPD＝∠AMB，
∵∠ABM＝∠ODP，
∴△OPD∽△AMB，
∴AB：OD＝BM：PD，
设点P的坐标为，则OD＝m，PD＝﹣m+，
∴，解得，
∴P点坐标为．