专题2.14二次根式的应用及材料阅读大题专练（分层培优强化40题）-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习高分攻略(苏科版)

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1．（2023春•定远县校级月考）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=2ℎg（不考虑风速的影响，g≈10m/s2）．
（1）求从40m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）
（2）已知高空抛物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg的玩具在高空被抛出后经过4s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）
【分析】（1）将h＝40m代入t=2ℎg计算即可；
（2）将t＝4s代入t=2ℎg计算求出h，再将h及物体质量的值代入高空抛物动能计算即可．
【解答】解：（1）当h＝40m时，
t=2ℎg=2×4010=22（s），
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下：
当t＝4s时，2ℎg=2ℎ10=4，
解得h＝80，
∴高空抛物动能＝10×0.2×80＝160＞65，
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
2．（2023春•金乡县月考）在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话．
小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝2c2，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如△ABC的三边长分别是2，6和2，因为（2）2+（6）2＝2×22，所以△ABC是“类勾股三角形”．
小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！
根据对话回答问题：
（1）判断：小璐的说法 正确 ；（填“正确”或“错误”）
（2）已知△ABC的其中两边长分别为1，7，若△ABC为“类勾股三角形”，则另一边长为 2或13 ；
（3）如果Rt△ABC是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且x＜y，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积．
【分析】（1）根据“类勾股三角形”的定义进行判断即可；
（2）设出第三边，利用“类勾股三角形”的定义分三种情况讨论求解并进行验证即可；
（3）根据勾股定理和类勾股三角形的性质将b、c用a表示，即可求出结果．
【解答】解：（1）设等边三角形三边长分别是a，b，c，则a＝b＝c，
∴a2+b2＝2c2，
∴等边三角形是“类勾股三角形”，
∴小璐的说法正确．
故答案为：正确；
（2）设另一边长为x，
①12+（7）2＝2x2，解得x＝2，符合题意；
②12+x2＝2（7）2，解得x=13，符合题意；
③x2+（7）2＝2×12，x无解；
故答案为：2或13；
（3）∵Rt△ABC是“类勾股三角形”且x＜y，z为斜边长，
∴x2+z2＝2y2，
由勾股定理得x2+y2＝z2，
整理得x2+x2+y2＝2y2，即2x2＝y2，
∴y=2x，
∴z2＝3x2，
∴z=3x，
∴Rt△ABC的周长为x+y+z＝（1+2+3）x，
Rt△ABC的面积为12xy=12x•2x=22x2．
3．（2022秋•涟源市期末）甲、乙两个城市之间计划修建一条城际铁路，其中一段长为500m的路基的横
断面设计为一个梯形，梯形的上底宽42m，高为6m，这段路基的土石方（体
积）为50003cm3，求横断面梯形的下底宽．
【分析】先设下底宽为xm，根据题意列出方程，解出x的值即可求出．
【解答】解：设下底宽为xm，
根据题意可得：12(x+42)×6×500=50003，
解得：x=62，
答：横断面梯形的下底宽为62m．
4．（2022秋•驻马店期末）小明家装修，电视背景墙长BC为27m，宽AB为8m，中间要镶一个长为23m，宽为2m的大理石图案（图中阴影部分）．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布造价为6元/m2，大理石的造价为200元/m2，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【分析】（1）根据矩形的面积公式求解；
（2）先求大理石和壁布的面积，再求总费用．
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长为：2（27+8）＝2（33+22）＝（63+42）m，
答：长方形ABCD的周长是（63+42）m；
（2）长方形ABCD的面积：27×8=33×22=66(m2)，
大理石的面积：23×2=26(m2)，
壁布的面积：66−26=46(m2)，
整个电视墙的总费用：6×46+200×26=246+4006=4246（元），
答：整个电视墙需要花费4246元．
5．（2022秋•永兴县期末）如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．
（1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；
（2）求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据正方形的面积公式求得边长；
（2）先求出直角三角形BFG、ABD的面积，然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，这就是阴影部分的面积．
【解答】解：（1）正方形ABCD的边长为：BC=8=22，
正方形ECFG的边长为：CF=32=42；
（2）∵BF＝BC+CF，BC＝22，CF＝42，
∴BF＝62；
∴S△BFG=12GF•BF＝24；
又S△ABD=12AB•AD＝4，
∴S阴影＝S正方形ABCD+S正方形ECFG﹣S△BFG﹣S△ABD
＝8+32﹣24﹣4，
＝12．
6．（2022秋•攸县期末）已知长方形长a=1248，宽b=1327．
①求长方形的周长；
②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．
【分析】①根据周长公式列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
②先求出正方形的边长，再由周长公式求解可得．
【解答】解：①长方形的周长为2×（1248+1327）＝2×（23+3）＝63；
②长方形的面积为1248×1327=23×3=6，
则正方形的边长为6，
∴此正方形的周长为46，
∵63=108，46=96，且108＜96，
∴63＞46，
则长方形的周长大于正方形的周长．
7．（2022秋•南昌期末）如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a＝20+22，b＝20﹣22，x=2，求剩余部分的面积．
【分析】（1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可；
（2）根据（1）所列出的式子，再把a＝20+22，b＝20﹣22，x=2代入即可求出答案．
【解答】解：（1）剩余部分的面积为：ab﹣4x2；
（2）把a＝20+22，b＝20﹣22，x=2代入ab﹣4x2得：
（20+22）（20﹣22）﹣4×（2）2
＝400﹣8﹣4×2
＝400﹣8﹣8
＝384．
8．（2023•源城区开学）如图，B地在A地的正东方向，两地相距282km．A，B两地之间有一条东北走向的高速公路，且A，B两地到这条高速公路的距离相等．上午8：00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A地的正南方向P处，至上午8：20，B地发现该车在它的西北方向Q处，该段高速公路限速为110km/h．问：该车是否超速行驶？
【分析】根据题意得到AB＝282，∠P＝45°，∠PAC＝90°，∠ABQ＝45°，则∠ACP＝45°，∠BCQ＝45°，作AH⊥PQ于H，根据题意有AH＝BQ，再证明△ACH≌△BCQ，
得到AC＝BC=12AB＝142，根据等腰直角三角形的性质得PC=2AC＝28，CQ=BC2=14，所以PQ＝PC+CQ＝42，然后根据速度公式计算出该车的速度＝126（km/h），再与110km/h比较即可判断该车超速行驶了．
【解答】解：如图，AB＝282，∠P＝45°，∠PAC＝90°，∠ABQ＝45°，
∴∠ACP＝45°，
∴∠BCQ＝45°，
作AH⊥PQ于H，则AH＝BQ，
在△ACH和△BCQ中
∠AHC=∠BQC∠ACH=∠BCQAH=BQ，
∴△ACH≌△BCQ（AAS），
∴AC＝BC，
∴AC＝BC=12AB＝142，
∴PC=2AC＝28，CQ=BC2=14，
∴PQ＝PC+CQ＝42，
∴该车的速度=4213=126（km/h）
∵126km/h＞110km/h，
∴该车超速行驶了．
9．（2022春•澄城县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足t=ℎ5（不考虑风速的影响）．
（1）从200m高空抛物到落地所需时间t是多少？
（2）从高空抛物经过3s落地，该物体下落的高度是多少？
【分析】（1）把h＝200代入公式求解，可得结论；
（2）把t＝3代入公式求解，可得结论．
【解答】解：（1）当h＝200时，t=2004=52（秒）．
答：从200m高空抛物到落地所需时间t是52秒；
（2）当t＝3秒时，3=ℎ5，
∴h＝45，
答：从高空抛物经过3s落地，该物体下落的高度是45m．
10．（2022春•清丰县期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣秦九韶公式”．解答下列问题：如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．
（1）△ABC的面积；
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．
【分析】（1）先求得三角形周长的一半，即p的值，然后代入公式进行计算即可求解；
（2）根据三角形面积进行计算即可求解．
【解答】解：（1）∵a＝7，b＝5，c＝6，
∴p=7+5+62=9，
∴△ABC的面积S=9(9−7)(9−5)(9−6)=66；
（2）如图，∵△ABC的面积=12BC⋅AD，
∴12×7×AD=66，
∴AD=1267．
【能力提升】（每题10分，满分100分，建议用时：60分钟）
11．（2022春•巴东县期中）秦九韶（1208年﹣1268年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳县）人，祖籍鲁郡（今河南范县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的世界著名数学家．他所提出的大衍求一术（中国剩余定理）和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响．他写的《数书九章》序堪称一篇奇文．秦九韶的数学成果丰硕，其中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果统称海伦﹣秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为：s=p(p−a)(p−b)(p−c)．
（1）在△ABC中，BC＝4，AC＝AB＝3，请用上面的公式计算△ABC的面积．
（2）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E．求BE的长．
【分析】（1）根据题目的指示，了解海伦﹣秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可；
（2）根据角平分线的性质的到ED＝EH＝EF，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，由海伦﹣秦九韶公式求得△ABC的面积．再根据S△ABC=12(AB+BC+CA)⋅DE，即可求DE，根据勾股定理求出BE．
【解答】解：（1）p=AB+AC+BC2=3+3+42=5，
∴S△ABC的面积=5×(5−3)×(5−3)×(5−4)=25；
（2）如图，过点E作EF⊥AC，EH⊥AB，垂足为F，H．
由角平分线的性质可得：ED＝EH＝EF．
在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，由海伦—秦九韶公式：
求得p=AB+AC+BC2=7+7+62=10，
△ABC的面积为：S△ABC的面积=10×(10−7)×(10−7)×(10−6)=610．
S△ABC＝S△ABE+S△BEC+S△CAE，
∴S△ABC=12(AB+BC+CA)⋅DE，
即10DE=610，DE=3510；
又∵AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足为D，
∴BD=12BC=12×6=3，
∴在Rt△BDE中，由勾股定理得：
BE=BD2+DE2=32+(3105)2=3355．
12．（2022秋•绥宁县期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 （32dm ， 42dm ．
（2）求剩余木料的面积．
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 2 块这样的木条．
【分析】（1）由正方形的面积可得边长分别为18dm，32dm，再利用二次根式的性质化简，即可求解；
（2）先求矩形的长和宽，再用矩形的面积减去两个正方形的面积，即可求解；
（3）求剩余的木料的长和宽，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为18=32dm，32=42dm，
故答案为：32dm，42dm；
（2）根据题意得：矩形的长为32+42=72dm，宽为42dm，
∴剩余木料的面积=(72×42)−18−32=56−18−32=6dm2；
（3）根据题意得：从剩余的木料的长为32dm，宽为42−32=2dm，
∵32＜3×1.5，2＞1，
∴能截出2×1＝2块这样的木条．
故答案为：2
13．（2022春•潜山市月考）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为162m，宽AB为128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为(13+1)m，宽为(13−1)m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可；
（2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论．
【解答】解：（1）∵长方形的长BC为162m，宽AB为128m，
∴长方形ABCD的周长为：2(162+128)=2(92+82)=342(m)．
答：长方形ABCD的周长是342m．
（2）由题意，知[162×128−(13+1)×(13−1)]×5=[92×82−(13−1)]×5=（144﹣12）×5＝660（元）．
答：购买地砖需要花费660元．
14．（2022秋•桥西区期中）交通警察通常根据刹车后车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是v＝16df，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮划过的距离（单位：m），f表示摩擦系数，在某次交通事故调查中测得d＝20m，f＝1.2．
（1）求肇事汽车的速度；
（2）若此路段限速70km/h，请通过计算判断肇事汽车是否超速？
【分析】（1）直接用题目中速度公式和计算即可求出；
（2）比较两个速度的大小即可．
【解答】解：（1）当d＝20m，f＝1.2时，v＝1620×1.2=326（km/h），
答：肇事汽车的速度是326km/h；
（2）v＝326≈78＞70，
∴肇事汽车已经超速．
15．（2021秋•叙州区期末）已知△ABC三条边的长度分别是x+1，(x−5)2，4−(4−x)2，记△ABC的周长为C△ABC．
（1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是（请直接写出答案）；
（2）请求出C△ABC（用含x的代数式表示，结果要求化简）；
（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]．其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．若x为整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．
【分析】（1）把x＝2代入三角形的三边中，分别计算，比较后即可求解；
（2）把三角形的三边求和，利用二次根式的性质化简即可求解；
（3）先根据x的取值范围，确定三角形周长的最大值及三角形各边的长，代入公式求出三角形的面积．
【解答】解：（1）当x＝2时，x+1=3，(x−5)2=9=3，4−(4−x)2=4−2=2，
∴△ABC的最长边的长度是3；
（2）由题知：x+1≥04−x≥0，解得﹣1≤x≤4．
∴(x−5)2=5−x，4−(4−x)2=x，
∴C△ABC=x+1+(x−5)2+4−(4−x)2=x+1+5−x+x=x+1+5；
（3）∵C△ABC=x+1+5，﹣1≤x≤4，且x为整数，
∴x越大C△ABC越大，
∴当x＝4时，C△ABC取得最大值，此时三边为5，1，4，
∵5+1＜4，
∴不合题意舍去．
当x＝3时，三边为2，2，3，
∴S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]
=14[22×22−(22+22−322)2]
=14(16−14)
=374．
16．（2022秋•社旗县期中）（1）计算：（﹣2x）3•（3x2﹣xy﹣1）
（2）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=2ℎg（不考虑风速的影响，g≈9.8t/s2）．已知一幢大楼高78.4m，若一个鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．
【分析】直接将h＝78.4，g＝9.8代入公式计算即可．
【解答】解：将h＝78.4，g＝9.8代入公式t=2ℎg，
得：t=2×，
答：落到地面所用时间为4s．
17．（2022秋•南岸区校级期中）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为162m，宽AB为128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（13+1）m，宽为（13−1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【分析】（1）长方形ABCD的周长是2（162+128）（m）；
（2）先求出空白部分的面积，再根据通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖列式计算即可．
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2（162+128）＝2（92+82）＝342（m），
答：长方形ABCD的周长是342（m）；
（2）购买地砖需要花费＝50×[92×82−（13+1）（13−1）]
＝50×（144﹣12）
＝50×132
＝6600（元）；
答：购买地砖需要花费6600元．
18．（2022秋•南山区校级期中）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．
例如：3+22=1+2×1×2+2=12+2×1×2+(2)2=(1+2)2=1+2．
解决问题：
（1）在括号内填上适当的数：14+65=9+2×3×5+①=(3+②)2=③
①： 5 ，②： 5 ，③ 3+5 ．
（2）根据上述思路，化简并求出28−103+7+43的值．
【分析】（1）模仿样例进行解答便可；
（2）把28看成52+(3)2，7看成22+(3)2，借助完全平方公式将每个根号内化成完全平方数的形式，便可开方计算得结果．
【解答】解：（1）由题意得，14+65=9+2×3×5+5=(3+5)2=3+5，
则①＝5，②=5，③＝3+5，
故答案为：①5；②5；③3+5；
（2）28−103+7+43
=25−2×5×3+3+4+2×2×3+3
=(5−3)2+(2+3)2
＝5−3+2+3
＝7．
19．（2022秋•临汾期中）阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务：
法国数学家爱德华•卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．
“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第n个数F（n）可以表示为(1+52)n−1+(1−52)n−1，其中n≥1．（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列）
任务：
（1）卢卡斯数列中的第1个数F（1）＝ 2 ，第2个数F（2）＝ 1 ；
（2）卢卡斯数列有一个重要特征：当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣﹣1）+F（n﹣2）．请根据这一规律写出卢卡斯数列中的第6个数F（6）．
【分析】（1）根据F（n）=(1+52)n−1+(1−52)n−1，将n＝1，2分别代入计算即可求解；
（2）根据当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），先求出F（4），F（5），再进一步求出F（6）．
【解答】解：（1）F（1）＝1+1＝2，第2个数F（2）=1+52+1−52=1．
故答案为：2；1；
（2）∵F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），
∴F（3）＝F（2）+F（1）＝1+2＝3；
F（4）＝F（3）+F（2）＝3+1＝4，
F（5）＝F（4）+F（3）＝4+3＝7，
∴F（6）＝F（5）+F（4）＝7+4＝11．
20．（2022秋•西安月考）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=2ℎg（不考虑风速的影响，g≈10m/s2）．
（1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）
（2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）
【分析】（1）把60m代入公式t=2ℎg即可；
（2）先根据公式t=2ℎg求出h，再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断．
【解答】解：（1）由题意知h＝60m，
∴t=2×6010=12=23（s），
故从60m高空抛物到落地的时间为23s；
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
理由：当t＝3s时，3=ℎ5，
∴h＝45，
经检验，h＝45是原方程的根，
∴这个玩具产生的动能＝10×0.2×45＝90（J）＞65J，
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【培优拔高】（每题10分，满分100分，建议用时：70分钟）
21．（2022秋•忻州月考）小明在复习二次根式的性质后，在一本数学资料上看到这样一道题及它的解法：
请根据表中的解法，回答下列问题：
（1）这个问题的解法主要用了二次根式的 乘除 （填“乘除”或“加减”）．
（2）利用上述解法解答问题：已知a=5，b=6，试用含a，b的式子表示0.3．
【分析】（1）根据二次根式的乘除法即可求解；
（2）根据规律，把被开方数相乘，根指数不变，即可求出答案．
【解答】解：（1）这个问题的解法主要用了二次根式的乘除．
故答案为：乘除．
（2）0.3=30×0.01=5×6×0.01=5×6×0.01=ab1100=ab10．
22．（2021秋•钱塘区期末）（1）已知一个长方形的长是宽的2倍，面积是10，求这个长方形的周长．
（2）如图，已知长方形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据长方形面积公式为长×宽，代入计算即可；
（2）两个小阴影部分可以组成一个长为3，宽为（3−3）的长方形，直接计算即可．
【解答】解：（1）设长方形的宽为x，则长方形的长为2x，
则x•2x＝10，
解得x=5或−5（舍去），
∴长方形的长为25，
∴长方形的周长为（5+25）×2＝65．
（2）由题意可知，
大正方形的边长为3，小正方形的变成为3，
∴阴影部分的面积为（3−3）×3=33−3．
23．（2021春•天河区校级月考）若矩形的长a=6+5，宽b=6−5．
（1）求矩形的面积和周长；
（2）求a2+b2﹣20+2ab的值．
【分析】（1）直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案；
（2）直接利用完全平方公式结合二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）∵矩形的长a=6+5，宽b=6−5．
∴矩形的面积为：（6+5）（6−5）
＝6﹣5
＝1；
矩形的周长为：2（6+5+6−5）＝46；
（2）a2+b2﹣20+2ab
＝（a+b）2﹣20
＝（6+5+6−5）2﹣20
＝（26）2﹣20
＝24﹣20
＝4．
24．（2022春•海沧区校级期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板．
（1）求原矩形木板的面积；
（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．
【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
（2）求出23和3的范围，根据题意解答．
【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为12dm2和27dm2，
∴这两个正方形的边长分别为23dm和33dm，
∴原矩形木板的面积为33（23+33）＝45（dm2）；
（2）最多能裁出3块这样的木条．理由如下：
∵23≈3.464，3≈1.732，
3.46÷1≈3（块），
1.73÷1.5≈1（块），
3×1＝3（块）．
∴从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能裁出3块这样的木条．
25．（2022春•济源期末）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦﹣秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c)．
【解决问题】：已知在△ABC中，AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5．
（1）请你用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积．
（2）除了利用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
【分析】（1）直接代入海伦﹣秦九韶公式求解；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，再用两直角边的积除以2求出面积即可．
【解答】解：（l）∵AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5，
∴p=4+7.5+8.52=10，
∴S△ABC=10×(10−4)×(10−7.5)×(10−8.5)=10×6×2.5×1.5=225=15．
即△ABC的面积为15；
（2）∵AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5，
∴AC2=42=16=644，BC2=(152)2=2254，AB2=(172)2=2894，
∴AC2+BC2=644+2254=2894=AB2，
∴∠C＝90°，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12×4×7.5=15．
26．（2022春•石泉县期末）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为h（单位：km），观测者能看到的最远距离为d（单位：km），则d≈2ℎR，其中R是地球半径，通常取6400km．小红站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为5m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时观测者能看到的最远距离d约是多少千米？
【分析】根据d≈2ℎR，把R＝6400km，h＝0.005km代入计算即可．
【解答】解：由R＝6400km，h＝5m＝0.005km，
得d≈2×0.005×6400=8（km），
答：此时观测者能看到的最远距离d约是8km．
27．（2023•宜丰县校级开学）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如33，25，23+1，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简．
（一）23=2×33×3=233；
（二）25=2×55×5=105；
（三）23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2×(3−1)(3)2−12=2(3−1)2=3−1．
类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简：36= 62 ，23= 63 ，25+3= 5−3． ．
（2）化简计算：13+1+15+3+17+5+13+7．
（3）化简：472+7−11．
【分析】（1）分别分母有理化即可；
（2）对所求式子中的每一项进行分母有理化，再求和即可；
（3）将2+7作为整体，再对分式进行分母有理化即可．
【解答】解：（1）36=366×6=62；
23=2×33×3=63；
25+3=2(5−3)(5+3)×(5−3)=5−3．
故答案为：62；63；5−3；
（2）原式=3−12+5−32+7−52+3−72
=3−1+5−3+7−5+3−72
＝1；
（3）原式=47×(2+7+11)(2+7)2−(11)2
=47×(2+7+11)47
=2+7+11．
28．（2022秋•漳州期中）求代数式a+(1−a)2，a＝1007，如图是小亮和小芳的解答过程：
（1） 小芳 的解法是正确的；
（2）化简代数式a+a2−6a+9，（其中a＜0）；
（3）若(a−5)2+(a+8)2=13，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）由a＝1007知1﹣a＜0，据此可得(1−a)2=|1﹣a|＝a﹣1，从而作出判断；
（2）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得；
（3）分三种情况，化简等号左边，再求出相应a的值，合并即可．
【解答】解：（1）∵a＝1007，
∴1﹣a＜0，
则(1−a)2=|1﹣a|＝a﹣1，
所以小芳的解法是正确的，
故答案为：小芳；
（2）∵a＜0，
a+a2−6a+9
＝a+(a−3)2
＝a﹣a+3
＝3；
（3）(a−5)2+(a+8)2=|a﹣5|+|a﹣8|，
当a≤﹣8时，，|a﹣5|+|a+8|＝5﹣a﹣a﹣8＝﹣2a﹣3＝13，
解得：a＝﹣8；
当﹣8＜a＜5时，|a﹣5|+|a+8|＝5﹣a+a+8＝13；
当a≥5时，|a﹣5|+|a+8|＝a﹣5+a+8＝2a+3＝13，
解得：a＝5，
综上，a的取值范围是：﹣8≤a≤5．
29．（2022春•关岭县期末）王老师在小结时总结了这样一句话“对于任意两个正数a，b，如果a＞b，那么a＞b”，然后讲解了一道例题：比较15200和23的大小．
解：(15200)2=125×200＝8，（23）2＝4×3＝12．∵8＜12，∴15200＜23．
参考上面例题的解法，解答下列问题：
（1）比较﹣56与﹣65的大小；
（2）比较7+1与5+3的大小．
【分析】（1）先分别求出两数的平方，再根据求出的结果比较大小即可；
（2）先分别求出两数的平方，再根据求出的结果比较大小即可．
【解答】解：（1）（﹣56）2＝25×6＝150，（﹣65）2＝36×5＝180，
∵150＜180，
∴﹣56＞−65；
（2）（7+1）2＝7+27+1＝8+27=8+28，（5+3）2＝5+215+3＝8+215=8+60，
∵28＜60，
∴7+1＜5+3．
30．（2022秋•零陵区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+22=1+22+2＝（1+2）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b2=（m+n2）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn2．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=（m+n3）2，用含m、n的式子分别表示a、b的值；
（2）试着把7+43化成一个完全平方式．
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形，进而得出答案；
（2）利用完全平方公式将原式变形得出答案．
【解答】解：（1）∵a+b3=（m+n3）2，
∴a+b3=m2+23mn+3n2，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
（2）7+43=4+43+3＝（2+3）2．
【满分冲刺】（每题10分，满分100分，建议用时：80分钟）
31．（2022春•江都区期末）请阅读下列材料：
问题：已知x=5+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．
小明的做法是：根据x=5+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
仿照上述方法解决问题：
（1）已知x=10−3，求代数式x2+6x﹣8的值；
（2）已知x=5−12，求代数式x3+2x2的值．
【分析】（1）根据x=10−3求出x+3=10，两边平方后求出x2+6x+9＝10，求出x2+6x＝1，再代入求出答案即可；
（2）根据x=5−12求出2x+1=5，两边平方求出4x2+4x+1＝5，求出x2+x＝1，再变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x=10−3，
∴x+3=10，
两边平方得：（x+3）2＝10，
即x2+6x+9＝10，
∴x2+6x＝1，
∴x2+6x﹣8＝1﹣8＝﹣7；
（2）∵x=5−12，
∴2x=5−1，
∴2x+1=5，
两边平方，得（2x+1）2＝5，
即4x2+4x+1＝5，
∴4x2+4x＝4，
即x2+x＝1，
∴x3+2x2
＝x3+x2+x2
＝x（x2+x）+x2
＝x×1+x2
＝x+x2
＝1．
32．（2021春•石城县期末）在二次根式中如：(2+3)(2−3)=1，(5+2)(5−2)=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：13=1×33×3=33，2+32−3=(2+3)(2+3)(2+3)(2−3)=7+43．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4−7的有理化因式可以是 4+7 ，323分母有理化得 32 ．
（2）计算：
①已知x=3+13−1，y=3−13+1，求x2+y2的值；
②11+2+12+3+13+4+⋯+12020+2021．
【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）①将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．
②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．
【解答】解：（1）4−7的有理化因式可以是4+7，
323=3×323=32．
故答案为：4+7，32；
（2）①当x=3+13−1=(3+1)(3+1)(3−1)(3+1)=4+232=2+3，
y=3−13+1=(3−1)(3−1)(3+1)(3−1)=4−232=2−3时，
x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝（2+3+2−3）2﹣2×（2+3）×（2−3）
＝16﹣2×1
＝14．
②原式=2−1+3−2+4−3+⋯+2021−2020=2021−1．
33．（2022春•西城区校级期中）阅读下面的文字后，回答问题：
对题目“化简并求值：m+1−6m+9m2，其中m＝5”，甲、乙两人的解答不同：
甲的解答：原式＝m+(1−3m)2=m+1﹣3m＝1﹣2m＝1﹣2×5＝﹣9
乙的解答：原式＝m+(1−3m)2=m+3m﹣1＝4m﹣1＝4×5﹣1＝19
（1）你认为 甲 的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质： a2=|a| ；
（2）模仿上面正确的解答，化简并求值：m2−10m+25+9−6m+m2，其中m=72．
【分析】（1）根据二次根式的性质a2=|a|，即可解答；
（2）利用完全平方公式，和二次根式的性质a2=|a|，即可解答．
【解答】解：（1）当m＝5时，1﹣3m＜0，
∴(1−3m)2=|1﹣3m|＝3m﹣1，
∴我认为甲的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质：a2=|a|，
故答案为：甲，a2=|a|；
（2）m2−10m+25+9−6m+m2
=(m−5)2+(3−m)2
＝|m﹣5|+|3﹣m|
当m=72时，m﹣5＜0，3﹣m＜0，
∴原式＝5﹣m+m﹣3
＝2．
34．（2020春•同心县期中）先化简再求值：当a＝9时，求a+1−2a+a2的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式＝a+(1−a)2=a+（1﹣a）＝1．
乙的解答为：原式＝a+(1−a)2=a+（a﹣1）＝2a﹣1＝17．
两种解答中， 甲 的解答是错误的，错误的原因是当a＝9时 (1−a)2=a﹣1 ．
【分析】根据a≤0时，a2=−a得出答案即可．
【解答】解：两种解答中，甲的解答是错误的，
错误的原因是当x＝9时，(1−a)2=a﹣1＝8，
故答案为：甲，(1−a)2=a﹣1．
35．（2021•赫章县模拟）小红在作业本上书写了一个多项式运算的正确计算过程，他不小心将一点墨水滴到了本子上，恰好覆盖了算式的一部分，形式如图所示：
（1）通过计算，求出所覆盖的多项式；
（2）若x=6+1，求所覆盖的多项式的值．
【分析】（1）根据题意可得所覆盖的多项式＝x2﹣4x+1+2x，然后进行计算即可解答；
（2）利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
x2﹣4x+1+2x＝x2﹣2x+1，
∴所覆盖的多项式为：x2﹣2x+1；
（2）当x=6+1时，x2﹣2x+1＝（x﹣1）2
＝（6+1﹣1）2
＝（6）2
＝6，
∴所覆盖的多项式的值为6．
36．（2022秋•昌平区期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似ba的形式，我们把形如ba的式子称为根分式，例如32，x−1x都是根分式．
（1）下列式子中①aa2+1，②3x+1，③a2+32， ③ 是根分式（填写序号即可）；
（2）写出根分式x−1x−2中x的取值范围 x≥1且x≠2 ；
（3）已知两个根分式M=x2−6x+7x−2，N=2x−1x−2．
①若M2﹣N2＝1，求x的值；
②若M2+N2是一个整数，且x为整数，请直接写出x的值： 1 ．
【分析】（1）根据根分式的定义进行判断即可；
（2）根据二次根式的定义，分式有意义的条件进行分析即可；
（3）①对式子进行化简，再进行求解即可；
②对式子进行化简，结合分式有意义的条件及二次根式的定义进行求解即可．
【解答】解：（1）①aa2+1不是根分式，
②3x+1不是根分式，
③a2+32是根分式，
故答案为：③；
（2）由题意得：x﹣1≥0，x﹣2≠0，
解得：x≥1，x≠2，
故x的取值范围是：x≥1且x≠2；
故答案为：x≥1且x≠2；
（3）当M=x2−6x+7x−2，N=2x−1x−2时，
①M2﹣N2＝1，
（x2−6x+7x−2）2﹣（2x−1x−2）2＝1，
x2−6x+7(x−2)2−2x−1(x−2)2=1，
x2−8x+8(x−2)2=1，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解；
②M2+N2
＝（x2−6x+7x−2）2+（2x−1x−2）2
=x2−6x+7(x−2)2+2x−1(x−2)2
=x2−4x+6(x−2)2
=(x−2)2+2(x−2)2
＝1+2(x−2)2，
∵M2+N2是一个整数，且x为整数，
∴2(x−2)2是一个整数，
∴x﹣2＝±1，
解得：x＝3或1，
经检验，x＝1符合题意，
故答案为：1．
37．（2022•南京模拟）观察下列等式：11+3+13+5=5−12；15+7+17+9=3−52；…你根据观察得到的结论，解答下列各题：
（1）猜想：1111+113+1113+115= 115−1112 ；
（2）解方程：x1+3+x3+5+x5+7+⋯+x2021+2023=3．
【分析】（1）根据阅读部分提供的方法直接可得答案；
（2）根据阅读部分的方法把方程化为2023−12x＝3，再解方程即可．
【解答】解：（1）由题意可得：1111+113+1113+115=115−1112．
故答案为：115−1112；
（2）∵x1+3+x3+5+x5+7+⋯+x2021+2023=3，
∴(11+3+13+5+15+7+⋯+12021+2023)x=3，
∴2023−12x＝3，
解得：x=62023−1=2023+1337=177+1337．
38．（2020•太原三模）阅读下列材料，完成相应任务：
任务：
（1）卢卡斯数列中的第1个数F（1）＝ 2 ，第2个数F（2）＝ 1 ；
（2）求卢卡斯数列中的第3个数F（3）；
（3）卢卡斯数列有一个重要特征：当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）．请根据这一规律直接写出卢卡斯数列中的第5个数：F（5）＝ 7 ．
【分析】（1）代入计算即可求解；
（2）代入计算，再根据完全平方公式即可求解；
（3）根据当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），先求出F（4），进一步求出F（5）．
【解答】解：（1）F（1）＝1+1＝2，第2个数F（2）=1+52+1−52=1．
故答案为：2；1；
（2）F(3)=(1+52)3−1+(1−52)3−1=(1+52)2+(1−52)2=1+25+54+1−25+54=3；
（3）∵F（4）＝F（3）+F（2）＝3+1＝4，
∴F（5）＝F（4）+F（3）＝4+3＝7．
故答案为：7．
39．阅读：斐波那契（约1170一1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．斐波那契数列中的第个数可以用15[（1+52）n﹣（1−52）n]表示（其中n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．
【解答】解：第1个数，当n＝1时，
15[（1+52）n﹣（1−52）n]
=15（1+52−1−52）
=15×5
＝1；
第2个数，当n＝2时，
15[（1+52）n﹣（1−52）n]
=15[（1+52）2﹣（1−52）2]
=15×（1+52+1−52）（1+52−1−52）
=15×1×5
＝1．
40．（2022春•南部县校级月考）在《九章算术》中有求三角形面积公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（1208年﹣1261年）提出了“三斜求积术”，阐述了利用三角形三边长求三角形面积方法，简称秦九韶公式．在海伦（公元62年左右，生平不详）的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）得出的，故我国称这个公式为海伦﹣秦九韶公式．它的表述为：三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=p(p−a)(p−b)(p−c)．（公式里的p为半周长即周长的一半）
请利用海伦﹣秦九韶公式解决以下问题：
（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为 45 ．
（2）四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝7，AD＝6，∠B＝90°，四边形ABCD的面积为 6+66 ．
（3）五边形ABCDE中，AB＝BC=23，CD＝6，DE＝8，AE＝12，∠B＝120°，∠D＝90°，求出五边形ABCDE的面积．
【分析】（1）根据题意应用二次根式的计算解答即可；
（2）根据二次根式的计算解答即可；
（3）根据二次根式的混合计算解答即可．
【解答】解：（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为8×(8−3)×(8−6)×(8−7)=45；
故答案为：45；
（2）∵四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝5，
∴△ABC的面积=12×3×4=6，
∴△ACD的面积=9×(9−5)×(9−6)×(9−7)=66，
∴四边形ABCD的面积为：6+66，
故答案为：6+66；
（3）∵五边形ABCDE中，AB＝BC=23，CD＝6，DE＝8，AE＝12，∠B＝120°，∠D＝90°，
∴AC＝6，
∴△ABC的面积=12×6×3=33，
∴CE＝10，
∴△CDE的面积为：12×6×8=24，
∴AC＝6，AE＝12，CE＝10，
∴△ACE的面积=14×(14−10)×(14−12)×(14−6)=814，
∴五边形ABCDE的面积为24+33+814．
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问题
解法
已知a=2，b=3，
试用含a，b的式子表示0.6．
0.6=6×0.1=2×3×0.1=2×3×0.1=ab110=ab10=ab1010×10=ab1010
卢卡斯数列
法国数学家爱德华•卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．
“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第n个数F（n）可以表示为(1+52)n−1+(1−52)n−1，其中n≥1．
（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．）