专题2-1 直线方程：斜率范围、动直线与截距最值10种题型归类（讲+练）-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版选择性必修第一册)

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热点考题归纳
【题型一】斜率倾斜角：三角函数型范围最值
【典例分析】
1.（2023·全国·高二专题练习）直线的倾斜角的取值范围是 ．
2.（2022秋·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考期中）直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2019秋·江西上饶·高二校联考阶段练习）直线，的倾斜角是
A．B．C．D．
2.（2022秋·高二单元测试）已知直线：，若，则倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3.．（2022秋·贵州贵阳·高二校联考阶段练习）设直线的方程则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型二】斜率倾斜角：代数值域型范围最值
【典例分析】
1.（2021秋·北京西城·高二北京四中校考阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是 .
2.（2022秋·河南鹤壁·高二鹤壁高中校考阶段练习）直线为常数）的倾斜角的取值范围是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【变式演练】
1.（2020秋·江西南昌·高二南昌二中校考期末）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·全国·高三专题练习）若直线经过，两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．或
【题型三】直线与线段有公共点求斜率范围
【典例分析】
1.（2023·全国·高二专题练习）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2020·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期中）已知直线与函数的图象有两个交点.则实数m的取值范围是 .
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022秋·山东菏泽·高二山东省郓城第一中学校考期中）已知点，若直线与线段没有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
3.（2022·全国·高二专题练习）已知点P，Q的坐标分别为，，直线l：与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范围是 .
【题型四】斜率公式几何意义应用
【典例分析】
1.（2023·全国·高二专题练习）已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
2.．（2023秋·高二课时练习）已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式演练】
1.．（2022秋·湖北武汉·高二校考阶段练习）已知实数，满足方程，当时，的取值范围为 .
2.（2023·全国·高二专题练习）若点在函数的图像上，当时，则的取值范围是 .
3.（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足方程，当]时，的取值范围为 .
【题型五】函数型斜率数形结合
【典例分析】
1.（2023秋·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值集合为（ ）

A．B．C．D．
2.（2022·全国·高二专题练习）已知在矩形ABCD中，，，其对角线的交点E在第一象限内且到y轴的距离为1，动点沿矩形的一边BC运动，则的取值范围是 ．
【变式演练】
1.（2022秋·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【题型六】含参直线过定点
【典例分析】
1．（2023·全国·高二专题练习）无论取何实数时，直线恒过定点，则定点的坐标为（ ）
2.（2022秋·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）已知直线，直线，则下列命题中不正确的是（ ）
A．直线过定点B．若，则
C．直线过定点D．若，则
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023秋·河北邯郸·高二武安市第三中学校考开学考试）不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·全国·高二专题练习）若直线和直线关于直线对称，则直线恒过定点（ ）
A．B． C．D．
3.（2021秋·陕西·高二校考阶段练习）已知直线过定点P，若点P在直线上，且，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型七】含参双动直线
【典例分析】
1.（2021秋·广东深圳·高二校考期中）过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（ ）
A．B．3C．D．
2.（2023·全国·高三专题练习）过定点M的直线与过定点N的直线交于点A（A与M，N不重合），则面积的最大值为（ ）
A．B．C．8D．16
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（ ）
A．点的坐标为B．
C．D．的最大值为5
2.（2023·全国·高二专题练习）已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则的最大值（ ）
A．B．C．4D．
3.（2023秋·山西大同·高二大同一中校考阶段练习）过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
【题型八】截距直线应用
【典例分析】
1.（2023·全国·高三专题练习）若直线在轴上的截距在范围内，则该直线在轴上的截距大于的概率是（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·全国·高二专题练习）已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高二专题练习）已知直线过，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线的方程是（ ）．
A．或B．或
C．或D．或
2.（2023·全国·高二专题练习）某直线l过点，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ）
A．B．C．或D．或
3.（2023·全国·高二专题练习）经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（ ）
A．或B．或或
C．或D．或或
【题型九】截距直线条数判断
【典例分析】
1.（2021·高二课时练习）过点在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（ ）
A．4B．5C．6D．7
2.（2022·高二课时练习）满足过点且在两坐标轴上截距相等的直线l的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【提分秘籍】
【变式演练】
1.．（2021·高二课前预习）过点P(4，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有( )
A．1条B．2条C．3条D．4条
2.（2020春·江苏无锡·高一校考期中）过点且在两坐标轴上截距相等的直线有
A．1条B．2条C．3条D．4条
【题型十】截距最值
【典例分析】
1.（2022秋·四川广安·高三广安二中校考期中）若直线过点，则该直线在轴、轴上的截距之和的最小值为（ ）
A．1B．4C．9D．16
2.（2022·高二课时练习）已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.（2023·四川宜宾·校考二模）若直线过点，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
2.（2021·全国·高三专题练习）已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a>1)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，实数a的值是（ ）
A．1B．
C．2D．3
3.（2022秋·河南洛阳·高二洛阳市第一高级中学校考阶段练习）经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为
A．x+2y﹣6=0B．2x+y﹣6=0C．x﹣2y+7=0D．x﹣2y﹣7=0
一、单选题
1．（2021·北京·北京市十一学校校考模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则满足条件的整数的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．无数
2．（2021秋·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期中）已知直线，，，若且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2020秋·北京密云·高二统考期中）函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数、、、，使得，则的取值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·北京·高二北京市第二十二中学校考期中）已知点， ， 若点在线段上，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021秋·北京朝阳·高二北京市陈经纶中学校考阶段练习）若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为
A．1B．2C．3D．4
6．（2018秋·北京东城·高二统考期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题：
①存在正实数，使的面积为的直线仅有一条；
②存在正实数，使的面积为的直线仅有二条；
③存在正实数，使的面积为的直线仅有三条；
④存在正实数，使的面积为的直线仅有四条．
其中，所有真命题的序号是．
A．①②③B．③④C．②④D．②③④
7．（2022秋·北京·高二北京市第二十二中学校考阶段练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A．4B．10C．5D．
8．（2021秋·北京·高二人大附中校考期中）设，为不同的两点，直线.记，则下列结论中正确的个数是（ ）
①不论为何值，点都不在直线上；
②若，则过的直线与直线相交；
③若，则直线经过的中点.
A．0个B．1个
C．2个D．3个.
二、填空题
9．（2022秋·北京·高二人大附中校考期末）已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 .
10．（2022秋·北京大兴·高二统考期中）已知直线和直线，给出下列四个结论：
①存在，使得的倾斜角为； ②不存在，使得与重合；
③对任意的，与都有公共点； ④对任意的，与都不垂直.
其中，所有正确结论的序号是 .
11．（2022秋·北京·高二校考阶段练习）对于直线，现有下列四个命题：
① 无论a如何变化，直线l的倾斜角大小不变；
② 无论a如何变化，直线l一定不经过第三象限；
③ 无论a如何变化，直线l必经过第一、二、三象限；
④ 当a取不同数值时，可得到一组平行直线．
其中正确的命题为 （请写出所有的正确命题序号）
12．（2022秋·北京·高二校考期中）已知在中，顶点，点在直线：上，点在轴上，则的周长的最小值 .
三、解答题
13．（2022秋·北京西城·高二北京市西城外国语学校校考期中）已知平面上的直线，且l与x轴和y轴分别相交于点.
(1)当时，求面积的最小值.
(2)若的面积为，求k的值.
14．（2022秋·北京·高二人大附中校考期末）已知直线
(1)若直线的倾斜角，求实数m的取值范围；
(2)若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求面积的最小值及此时直线l的方程．
15．（2022秋·北京·高二校考阶段练习）如图直线l与x轴、y轴分别交于、点P为线段AB上一动点,且交OA于点Q．
(1)求直线AB的方程;
(2)若的面积与四边形OQPB的面积满足:时,请你确定P点的坐标．
(3)在y轴上是否存在点M,使为等腰直角三角形,若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由．
16．（2022秋·北京·高二大峪中学校考期中）已知直线均过点P(1，2).
(1)若直线过点A(-1，3)，且求直线的方程；
(2)如图，O为坐标原点，若直线的斜率为k，其中，且与y轴交于点N，直线过点，且与x轴交于点M，求直线与两坐标轴围成的四边形PNOM面积的最小值.
一、热考题型归纳
【题型一】 三角函数型斜率倾斜角范围
【题型二】 代数值域型斜率倾斜角最值
【题型三】 直线与线段有公共点型斜率范围
【题型四】 斜率公式几何意义应用
【题型五】 函数型斜率数形结合
【题型六】 含参直线过定点
【题型七】含参双动直线过定点最值
【题型八】截距直线型应用
【题型九】截距直线条数判断
【题型十】截距最值
二、培优练
求直线的斜率（或取值范围）的方法：
（1）定义法：已知直线的倾斜角为，且，则斜率；
（2）公式法：若直线过两点，，且，则斜率；
（3）数形结合方法：
已知线段的两端点及线段外一点，求过点且与线段有交点的直线斜率的取值范围.
若直线的斜率都存在，解题步骤如下：
①连接；
②由，求出和；
③结合图形写出满足条件的直线斜率的取值范围.
直线系：
过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。
每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。
两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两条直线是否互相“动态垂直”。
如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。
如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的最值求解计算

名称
截距式方程
已知条件
直线l在x，y轴上的截距分别为a，b且，
示意图
方程形式
适用条件
斜率存在且不为零，不过原点
使用截距式判断两直线的截距关系时，要注意直线过原点，也存在截距，截距是0