专题2-2 圆与直线：求圆方程，切线、相交弦16种题型归类（讲+练）-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版选择性必修第一册)

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热点考题归纳
【题型一】求圆的方程1：求圆基础
【典例分析】
1.．（2022秋·湖南衡阳·高二校考期中）关于奇数的哥德巴赫猜想:任何大于的奇数都是三个素数之和，如，.若从中任取个不同的素数组成点，其中，且组成的所有点都在圆上，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
2.（2022·全国·高三专题练习）圆心在直线x-y-4＝0上，且经过两圆x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交点的圆的方程为（ ）
A．x2+y2-x+7y-32＝0B．x2+y2-x+7y-16＝0
C．x2+y2-4x+4y+9＝0D．x2+y2-4x+4y-8＝0
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·陕西榆林·高二校联考期末）若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2.（2022·高二课时练习）某圆经过两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
3.（2021·高二课时练习）在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点、，圆经过、，且圆心在轴上，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【题型二】求圆的方程2：外接圆型
【典例分析】
1.（2021·全国·高二单元测试）过点作圆两条切线，切点分别为A、B，O为坐标原点，则的外接圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2022·江苏·高二课时练习）已知中，，，点在直线上，的外接圆圆心为，则直线的方程为______．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021·全国·高二专题练习）已知三角形的三边所在直线为，，，则三角形的外接圆方程为________
2.（2022·全国·高二课时练习）已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A（2a，2），B（－4，a），C（2a＋2，2），则△ABC的外接圆的方程是________．
3.（2021·全国·高二专题练习）已知曲线与x轴交于M，N两点，与y轴交于P点，则外接圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【题型三】求圆的方程3：内切圆型
【典例分析】
1.（2018·江苏省如皋中学高三阶段练习）已知圆C：，不经过点C的直线：与圆C相交于，二点，求的内切圆的面积最大值为__________.
2.（2018·山西·太原五中高二阶段练习（文））如果三角形的顶点分别是，，，那么它的内切圆方程是______.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知三点，，，则的内切圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2.（2022·全国·高二单元测试）已知三角形三边所在直线的方程分别为、和，求这个三角形的内切圆圆心和半径．
【题型四】求圆的方程4：有弦长求圆方程型
【典例分析】
1.（2020·全国·高三专题练习）若圆过点，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为
A．或
B．或
C．或
D．或
2.．（2022秋·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考期中）已知圆心在轴上的圆与直线相切，且截直线所得的弦长为，则圆的方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021秋·河北衡水·高三校考期中）不经过坐标原点的直线被曲线截得的弦的长度等于，则直线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
2.2019秋·江西南昌·高二江西师大附中校考阶段练习）已知圆的圆心坐标为，且轴被截得的弦长为，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【题型五】求圆的方程5：切线型求圆
【典例分析】
1．（2020·北京·高三专题练习）已知圆与轴的正半轴相切于点，圆心在直线上，若点在直线的左上方且到该直线的距离等于，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
2.（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）过、两点，且与直线相切的圆的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022秋·青海海南·高二海南藏族自治州高级中学校考期末）圆心在x轴负半轴上，半径为4，且与直线相切的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2.（2022秋·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）已知直线xy+4＝0与圆心为（2，0）的圆C相切，则圆C的方程为（ ）
A．（x﹣2）2+y2＝3B．（x﹣2）2+y2＝9
C．（x+2）2+y2＝3D．（x+2）2+y2＝9
3.（2021秋·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）已知半径为6的圆与x轴相切，且与圆内切，则此圆的方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
【题型六】 求圆的方程6：最值型求圆
【典例分析】
1.（2022·高二课时练习）与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2022·全国·高二专题练习）已知圆C的半径为，其圆心C在直线上，圆C上的动点P到直线的距离的最大值为，则圆C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式演练】
1.（2020·全国·高三专题练习） 圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为
A．B．
C．D．
2.（2021·高二课时练习）已知过点(0，2)的圆的圆心在直线上，则圆的面积最小时圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
3.（2021·山东·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（ ）
A．x2＋(y－1)2＝4B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8D．x2＋(y－1)2＝16
【题型七】点与圆位置关系求参
【典例分析】
1.（2023·甘肃定西·统考模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（2023秋·甘肃酒泉·高三统考期末）若点在圆：的外部，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）已知点在圆的外部（不含边界），则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2.（2020秋·河北邯郸·高二校联考期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3.（2019秋·贵州贵阳·高二统考阶段练习）已知圆，若过点可作圆的两条切线，则的取值范围是
A．B．C．D．
【题型八】到直线距离为定值的圆上点求参
【典例分析】
1．（2023·河北唐山·模拟预测）已知直线，圆，若圆上恰有三个点到直线的距离都等于，则（ ）
A．2B．4C．D．8
2.（2023·全国·高二专题练习）已知直线 和圆，则“”是“圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）若圆上恰有一个点到直线的距离为1，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023秋·山东·高二山东师范大学附中校考期末）若圆上恰有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3.（2023春·甘肃张掖·高二统考阶段练习）若圆上存在四个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【题型九】直线与圆相交弦长求参
【典例分析】
1．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）直线与圆相交于、两点，若，则等于（ ）
A．0B．C．或0D．或0
2.（2023秋·河南·高三校联考开学考试）已知过坐标原点的直线l与圆相交于M，N两点，当线段MN的长为整数时，所有满足条件直线的条数为（ ）
A．12B．13C．25D．26
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）若直线与直线被圆截得的弦长之比为，则圆C的面积为（ ）
A．B．C．D．
2.．（2023秋·湖南永州·高三永州市第一中学校考阶段练习）已知直线是圆的一条对称轴，设直线与轴的交点为，将直线绕点按顺时针方向旋转得到直线，则直线被圆截得的弦长为（ ）
A．1B．C．2D．
3.（2022秋·江苏南通·高二统考期中）已知圆，圆，过点两条互相垂直的直线，，其中与圆交于A，B，与圆交于C，D，且，则（ ）
A．B．C．D．
【题型十】最短弦应用
【典例分析】
1.（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）圆被过点的直线截得的最短弦长为（ ）
A．2B．4C．D．
2.（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A．5B．4C．10D．2
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·江苏常州·高一华罗庚中学校考期末）若直线与圆交于，两点，当最小时，劣弧的长为（ ）
A．B．C．D．
2.（2019秋·安徽芜湖·高二芜湖一中校考阶段练习）已知直线l：和圆C：相交于A，B两点，则弦长的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
3.（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知点，，若直线关于的对称直线与圆：交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【题型十一】圆内三角形面积
【典例分析】
1.（2022秋·江西·高二统考阶段练习）已知直线与圆相交于，两点，则的面积为（ ）
A．2B．C．D．与有关的不确定值
2.（2021秋·福建龙岩·高二校联考期中）设直线与圆相交于、两点，且的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.（2022秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知直线与圆相交于、两点，点在圆上，且满足，则满足条件的点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2.（2016秋·云南大理·高二阶段练习）设直线与圆相交于两点，若，则圆的内接正三角形的面积为( )
A．4B．8C．D．
3.（2022秋·辽宁大连·高二大连八中校考期末）直线与圆相交于两点M，N，若满足，则 ．
【题型十二】圆内四边形面积
【典例分析】
1.（2021秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与圆交于，两点，已知四边形为菱形，则（ ）
A．B．C．2D．
2.（2021秋·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）过圆内一点作两条相互垂直的弦AB和CD，且，则四边形ACBD的面积为（ ）．
A．16B．17C．18D．19
【变式演练】
1.（2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期中）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形面积为（ ）
A．B．C．D．
2.（2021·江苏·高二专题练习）若过原点O的动直线l将圆分成两部分的面积之差最大时，直线l与圆的交点记为A，B，直线l将圆E分成两部分的面积相等时，直线l与圆的交点记为C，D，则四边形ACBD的面积为（ ）
A．B．C．D．
3.（2022秋·福建泉州·高二校考期中）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型十三】圆切线
【典例分析】
1．（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）圆在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·全国·高二专题练习）已知圆为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）已知圆，直线l过点且与圆C相切，若直线l与两坐标轴交点分别为M､N，则（ ）
A．B．4C．D．
2.（2023春·云南曲靖·高二校考阶段练习）已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
3.（2020·全国·高三专题练习）过点的直线与圆相切，则直线在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
【题型十四】圆外点切线
【典例分析】
1.．（2023春·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考开学考试）过点向圆引切线，则其切线方程为 .
2.（2022·全国·高三专题练习）已知曲线y=与直线kx−y+k−1=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 ．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知圆和圆，则过点且与都相切的直线方程为 .（写出一条即可）
2.（2022秋·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知圆C:，直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，则满足上述条件的直线l共有 条.
3.（2011秋·广东梅州·高三统考期末）已知直线经过坐标原点，且与圆相切，切点在第四象限，则直线的方程为 .
【题型十五】切点弦
【典例分析】
1.（2021·全国·高二课时练习）已知圆,过直线上第一象限内的一动点作圆的两条切线，切点分别为,过两点的直线与坐标轴分别交于两点，则面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2021·江西·高三阶段练习（文））已知圆О的方程为，过圆О外一点作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021·安徽·合肥市第八中学高二阶段练习（理））过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2.（2022·江苏·高二课时练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A．B．C．D．
3.（2021·四川省绵阳南山中学高二期中（理））已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（ ）
A．4B．6C．D．
【题型十六】切点弦长及其最值范围
【典例分析】
1.（2022秋·福建厦门·高二福建省厦门第二中学校考阶段练习）已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的一条切线，切点为，则（ ）
A．2B．C．D．7
2.（2023·全国·高二课堂例题）若圆关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．6
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三对口高考）已知点，动圆C与直线切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点满足的条件是（ ）
A．B．
C．或D．或
2.（2023·全国·高二专题练习）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
3.．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐八一中学校考期末）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为，，则最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
模考真题
一、单选题
1．（2023秋·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知O为坐标原点，过点作直线（不全为零）的垂线，垂足为，当变化时，的最小值为（ ）
A．B．C．1D．3
3．（2021秋·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
4．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）在平面直角坐标系Oxy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB为径的圆C与直线交于另一点.若，则A点的横坐标为（ ）
A．B．3C．3或D．2
5．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省阜南实验中学校考开学考试）已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（ ）
A．5B．C．D．
6．（2023春·四川成都·高二成都七中校考开学考试）已知，是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高二专题练习）已知，为圆上两个不同的点（为圆心），且满足，则（ ）
A．B．C．2D．4
8．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．13B．11C．9D．8
9．（2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）在平面直角坐标系中，为原点，已知，设动点满足，动点满足，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
11．（2023春·江西赣州·高二江西省大余中学校考期中）若M、N为圆上任意两点，P为直线上一个动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022秋·广东广州·高二校联考期末）直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）
A．6B．4C．D．
二、填空题
13．（2022秋·湖北黄冈·高二统考期中）由曲线围成的图形的面积为 .
14．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点，，，点P满足，则点P到点C距离的最大值为 ．
15．（2023·全国·高三专题练习）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线l的倾斜角的正切值的取值范围为 ．
16．（2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知，，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当取到最小值时，点P坐标为 .
三、解答题
17．（2022秋·山东淄博·高二校联考阶段练习）已知圆：与直线相切.
(1)若直线与圆交于，两点，求；
(2)已知，，设为圆上任意一点，证明：为定值.
18．（2023·全国·高三专题练习）设圆C的半径为r，圆心C是直线与直线的交点.
(1)若圆C过原点O，求圆C的方程；
(2)已知点，若圆C上存在点M，使，求r的取值范围.
19．（2023秋·湖南湘西·高二校联考阶段练习）已知圆，过点的直线与圆相交于不重合的A，B两点，是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．

(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值．
20．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）已知圆C：和定点，直线l：（）.
(1)当时，求直线l被圆C所截得的弦长；
(2)若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围.
一、热考题型归纳
【题型一】 求圆的方程1：求圆基础
【题型二】 求圆的方程2：外接圆型
【题型三】 求圆的方程3：内切圆型
【题型四】 求圆的方程4：有弦长求圆方程型
【题型五】 求圆的方程5：切线型求圆
【题型六】 求圆的方程6：最值型求圆
【题型七】 点与圆位置关系求参
【题型八】 到直线距离为定值的圆上的点
【题型九】 直线与圆相交弦长求参
【题型十】 最短弦应用
【题型十一】圆内三角形面积
【题型十二】圆内四边形面积
【题型十三】原切线
【题型十四】圆外点切线
【题型十五】切点弦
【题型十六】切点弦长及其最值
二、培优练
圆的一般方程表示的圆的圆心为，半径长为．
圆的标准方程：圆心为，半径长为r的圆的标准方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2 当时，方程为，表示以_原点O为圆心、半径为r的圆．
三角形内切圆，是三角形内角角平分线的交点。可以通过过角平分线上点到两边距离相等来进行求解
直线与圆相交时的弦长求法
几何法
利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2解题
代数法
若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长
弦长公式法
设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长
l＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
求过某一点的圆的切线方程
(1)点(x0，y0)在圆上．
①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可得切线方程．
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.

点与圆的关系求参数，若点在圆内，则点到圆心的距离小于半径；若点在圆上，则点到圆心的距离等于半径，若点在圆外，则点到圆心的距离大于半径，
判断点与圆位置关系的两种方法
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
解决圆上点到直线距离为定值的点的个数，可以以下几个图形来理解和计算.注意，不同的数据，图形会有出入，思维不变。



位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
_1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离
Dr
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式
>0
=0