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考点29 二项分布、超几何分布和正态分布10种常见考法归类-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版选择性必修第三册)
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这是一份考点29 二项分布、超几何分布和正态分布10种常见考法归类-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版选择性必修第三册)，文件包含考点29二项分布超几何分布和正态分布10种常见考法归类-高二数学题型归纳与解题策略人教A版选择性必修第三册原卷版docx、考点29二项分布超几何分布和正态分布10种常见考法归类-高二数学题型归纳与解题策略人教A版选择性必修第三册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共72页， 欢迎下载使用。
1. 二项分布
(1)伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 我们将一个伯努利试验重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. 显然， n重伯努利试验具有共同特征：同一个伯努利试验重复做n次，且各次试验的结果相互独立.
(2)二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，且有E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
2. 超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. E(X)＝np.
注：超几何分布和二项分布的区别和联系
（1）区别
由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从二项分布，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题.
（2）联系
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，超几何分布可以近似为二项分布.
3. 正态分布
(1)连续型随机变量：随机变量的取值充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
(2)正态分布：函数f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))eeq \s\up6(\f(－（x－μ）2,2σ2))，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数. 我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，如图所示. 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布. 记为X～N(μ，σ2). 特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布.
若X～N(μ，σ2)，则如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积.
(3)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
②曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
④在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示.
图1
⑤当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定. 当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2所示.
图2
(4)正态分布的均值、方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
(5)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0. 682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0. 954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0. 997 3.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
4. n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是Pn(k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k与Pk＝(1－p)k－1p.
5. 二项分布的增减性与最大值
记pk＝P(x＝k)，则当k<(n＋1)p时，pk>pk－1，pk递增；当k<(n＋1)p时，pk6. 正态分布计算常用结论
(1)P(X(2)P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a).
(3)P(X<μ－b)＝eq \f(1－P（μ－b≤X≤μ＋b）,2)(b>0).
7. 在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率.
8. 判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①试验是否为n重伯努利试验；②随机变量是否为这n重伯努利试验中某事件发生的次数.
9.①超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆：P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))，即恰取了k件次品的概率＝eq \f(次品中取了k件×正品中取了n－k件,N件产品中任取n件). ②当n较小，N较大时，超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替. 也就是说虽然超几何分布是不放回抽样，二项分布是放回抽样，但是当n较小而产品总数N很大时，不放回抽样近似于放回抽样. ③超几何分布在计算出均值后，可以用eq \f(nM,N)进行验证.
10.利用正态曲线解题的关键是，利用对称性把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化. 解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用.
11.解决正态分布问题有三个关键点：①对称轴x＝μ；②标准差σ；③分布区间. 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为σ，2σ或3σ特殊区间，从而求出所求概率.
考点一 二项分布的均值和方差
考点二 二项分布的应用
考点三 服从二项分布的随机变量概率最大问题
考点四 二项分布的综合应用
考点五 超几何分布
考点六 二项分布与超几何分布的综合
考点七 正态曲线的应用
考点八 正态分布的概率计算
考点九 正态分布的实际应用
考点十 正态分布与二项分布的综合应用
考点一 二项分布的均值和方差
1．（2023春·高二课时练习）若离散型随机变量，，且，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二项分布的期望公式及二项分布的概率公式即得.
【详解】因为，
所以，得，
所以
.
故选：C.
2．（2023·江苏·高二专题练习）已知随机变量X服从二项分布，若，则等于（ ）
A．B．8C．12D．24
【答案】D
【分析】根据二项分布的数学期望和方差公式，再结合数学期望和方差性质求解即可.
【详解】随机变量X服从二项分布，，
因为，所以.
因为，
所以.
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二项分布的均值和方差公式求解即可得，再求解，根据对立事件的概率和为1求解即可
【详解】因为，故，故，因为，解得.故，故
故选：B
4．（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）已知，且，则下列说法不正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据二项分布期望和方差公式建立方程求解即可判断A、B，利用根据二项分布概率公式即可计算判断C、D.
【详解】因为，
由时，，所以，所以，
故选项A错误，选项B正确，
又，，，故选项C、D正确.
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下：
其中，2，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】由题知，进而根据二项分布的期望与方差公式，方差的性质依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：由表中数据可知，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，.
故选：B
考点二 二项分布的应用
6．（2023秋·山东德州·高二统考期末）已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B，则A，B的值分别为（ ）
A．，5B．，10C．，5D．，10
【答案】B
【分析】根据题意得其机种次数和期望符合二项分布，利用其期望公式即可得到值，再利用其概率公式计算值即可.
【详解】设10门大炮击中目标的次数为,则根据题意可得,
门大炮总得分的期望值为，
，
故选：B.
7．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断AB选项；利用二项分布的期望和方差的性质可判断CD选项.
【详解】设“向右下落”， “向左下落”，则，
因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，
而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以，
对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确；
故选：B
8．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）、两组各3人独立的破译某密码，组每个人译出该密码的概率均为，组每个人译出该密码的概率均为，记、两组中译出密码的人数分别为、，且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】由题意分析，均服从二项分布，利用二项分布的均值和方差公式直接求得.
【详解】由题意可知：服从二项分布，所以.
同理：服从二项分布，所以.
因为，所以，所以.
对于二次函数，对称轴，所以在上函数单调递减，
所以当时，有，即.
故选：B
9．（2023春·江苏苏州·高二校联考期中）近年来，我国电影市场非常火爆，有多部优秀国产电影陆续上映，某影评网站统计了100名观众对某部电影的评分情况，得到如下表格：
以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立.从全国所有观众中随机抽取名，
(1)求恰有人评价为五星，人评价为四星的概率；
(2)记其中评价为五星的观众人数为，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）首先求出评价为五星、四星的频率，再根据相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）依题意可得，利用二项分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到概率分布列与数学期望.
【详解】（1）依题意样本中抽取人，评价为五星的频率为，评价为四星的频率为，
所以从全国所有观众中随机抽取名，恰有人评价为五星，人评价为四星的概率.
（2）依题意的可能取值为、、、、，且，
所以，，
，，
，
所以随机变量的分布列为：
所以.
10．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）2022年10月1日，某超市举行“迎国庆促销抽奖活动”，所有购物的顾客，以收银台机打发票为准，尾数为偶数（尾数中的奇偶数随机出现）的顾客，可以获得三次抽奖，三次抽奖获得奖品的概率分别为，，，每次中奖都可以获得一份奖品，且每次抽奖是否中奖互不影响.
(1)求顾客获得两个奖品的概率；
(2)若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列详见解析，数学期望为
【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
（2）根据二项分布的知识求得分布列并求得数学期望.
【详解】（1）顾客获得两个奖品的概率为：
.
（2）个顾客没有获奖的概率为，
所以，则的可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以.
11．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）快到采摘季节了，某农民发现自家果园里的某种果实每颗的重量有一定的差别，故随机采摘了100颗，分别称出它们的重量（单位：克），并以每10克为一组进行分组，发现它们分布在区间，，，，并据此画得频率分布直方图如下：
(1)求的值，并据此估计这批果实的第70百分位数；
(2)若重量在（单位：克）的果实不为此次采摘对象，则从果园里随机选择3颗果实，其中不是此次采摘对象的颗数为，求的分布列和数学期望.
注意：把频率分布直方图中的频率视为概率.
【答案】(1)0.030；31
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据频率分布直方图和百分位数的计算方式直接计算即可；
（2）由题知，再根据二项分布求解即可；
【详解】（1）解：因为频率分布直方图的组距为10，
所以，落在区间，，上的频率分别为0.20，0.32，0.18，
所以，.
因为落在区间上的频率为，
而落在区间上的频率为，
所以第70百分位数落在区间之间，设为，
则，解得，
所以估计第70百分位数为31.
（2）解：由（1）知，重量落在的频率为0.2，由样本估计总体得其概率为0.2，
因为可取0，1，2，3，且，
则，，
，，
所以的分布列为：
所以的数学期望为（或直接由）.
12．（2023春·湖南张家界·高二慈利县第一中学校考期中）在开展某些问卷调查时，往往会因为涉及个人隐私而导致调查数据不准确，某小组为探究“甲校园中曾经有多少学生上课睡过觉”设计、两个问题，问题“你是否曾经上课睡过觉”，问题“你是否在上半年出生”，小组成员邀请学生逐一在装有、B问题的两个袋子中随机选取一个，若答案是肯定的，则向盒子中放入1个石子，否则直接离开（问题肯定与否定的概率视为相等），由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.
(1)若该小组共邀请了100名学生，盒子内出现了30个石子，甲校园内有1000个学生，试估计甲校园内曾经上课睡过觉的学生人数；
(2)视（1）问中的频率为概率，现从该校园中随机抽取名学生，记其中曾经上课睡过觉的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)100名
(2)分布列见解析，0.4
【分析】（1）由条件求出回答曾经上课睡过觉的学生人数，再由样本频率估计概率；
（2）由条件判断，再根据二项分布的分布列和均值公式结论求解.
【详解】（1）回答问题的学生有人，投入的石子有个，
回答问题的学生有人，投入的石子有个，
用样本估计总体，则学生上课睡觉的频率，
则估计甲校园内上课睡觉的学生人数有名；
（2）由已知随机变量的取值有，
由（1）从甲校园随机抽取一名同学，该同学曾经上课睡过觉的概率为，
所以，
则，
，
，
，
．
则随机变量的分布列为:
则的数学期望．
13．（2023春·山西太原·高二山西大附中校考期中）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
故，从面.
所以，随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.
且.
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
考点三 服从二项分布的随机变量概率最大问题
14．【多选】（2023春·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）已知某足球运动员每次定点射门的命中率为0.5，则下述正确的是（ ）
A．若共进行10次射门，则命中次数的数学期望等于5B．若共进行10次射门，则命中5次的概率最大
C．若共进行5次射门，则命中次数的方差等于1D．若共进行5次射门，则至少有两次命中的概率为
【答案】AB
【分析】由二项分布的概率公式以及期望方差公式依次判断即可.
【详解】设表示运动员命中次数为次，由题意可知，随机变量服从二项分布，若进行10次射门，则，
，若进行5次射门，则，
；
对于A，由二项分布期望公式得数学期望为，A正确；
由二项式系数性质知中最大，则命中5次的概率最大，B正确；
对于C，由二项分布方差公式知，命中次数的方差等于，C错误；
对于D，至少命中两次的概率，D错误.
故选：AB.
15．【多选】（2023春·山西太原·高二山西大附中校考期中）已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．时，
C．时，随着的增大而增大D．时，随着的增大而减小
【答案】ABC
【分析】选项A利用概率的基本性质即可，B选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分析，选项C，D根据题意把的表达式写出，然后利用单调性分析即可.
【详解】对于A选项，由概率的基本性质可知，，
故A正确，
对于B选项，由时，离散型随机变量服从二项分布，
则，
所以，
，
所以，故B正确，
对于C,D选项，，
当时，为正项且单调递增的数列，
故随着的增大而增大故选项C正确，
当时，为正负交替的摆动数列，
故选项D不正确.
故选：ABC.
16．（2023春·江西吉安·高二校考期中）某校高二年级为了丰富学生的课外活动，每个星期都举行“快乐体育”活动.在一次“套圈圈”的游戏中，规则如下：在规定的4米之外的地方有一个目标物体，选手站在原地丟圈，套中目标物即获胜；规定每小组两人，每人两次，套中的次数之和不少于3次称为“最佳拍档”，甲､乙两人同一组，甲､乙两人丟圈套中的概率为别为pi，p2，假设两人是否套中相互没有影响.
（1）若，设甲､乙两人丟圈套中的次数之和为，求的分布列及数学期望.
（2）若，则游戏中甲乙两人这一组要想获得“最佳拍档”次数为16次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）理论上至少要进行27轮游戏，.
【分析】(1)确定的所有可能取值并计算相应的概率，即可列出分布列，再根据期望公式求即可；
(2)求出他们在一轮游戏中获“最佳拍档”的概率并化简，再由，，，求出的取值范围，再利用换元法并结合二次函数的性质即可求出，从而可得的最小值及此时，的值.
【详解】解：（1）两人丢圈套中的次数值和为，则的值可能为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
分布列如下表：
.
（2）他们在一轮游戏中获“最佳拍档”的概率为
，
因为，所以，
因为，，，所以，，
所以，令，以，则，
当时，，
他们小组在轮游戏中获“最佳拍档”次数满足，
由，则，所以理论上至少要进行27轮游戏，
此时，，.
17．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）某学校有初中部和高中部两个学部，其中初中部有1800名学生．为了解全校学生两个月以来的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查，将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：，得到初中生组的频率分布直方图（图1）和高中生组的频数分布表（表1）．
表1高中生组
(1)求高中部的学生人数并估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数；
(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，记为3人中初中生的人数，求的分布列和数学期望；
(3)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该校高中部抽取10名学生进行调查，其中有k名学生的阅读时间在的概率为，请直接写出k为何值时取得最大值．（结论不要求证明）
【答案】(1)高中部的学生人数为人，估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数为人；
(2)的分布列见解析，；
(3).
【分析】（1）根据频率分布直方图和频数分布表，结合分层抽样的定义进行求解即可；
（2）根据古典型概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可；
（3）根据二项分布的性质进行求解即可.
【详解】（1）100名学生中高中生有人，初中生有人，
设高中部的学生人数为，则有，
设100名学生中初中生在小时内的人数为，则有，
100名学生中高中生在小时内的人数为人，
因此全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数估计为：
；
（2）课外阅读时间不足10个小时的样本中，
初中学生人数为人，
高中学生人数为人，所以，
因此有，，，
所以的分布列如下：
的数学期望为；
（3）由（1）高中部的学生人数为，
其中阅读时间在的人数为，
所以每个人被抽到内的概率为，
因此，
假设为最大项，则有，
解得：，因为，
所以当时，有最大值.
18．（2023春·山东烟台·高二山东省招远第一中学校考期中）某人在次射击中击中目标的次数为，若，若最大，则__________
【答案】8
【分析】依题意可得，则，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围，再结合的取值特征，即可得解.
【详解】在次射击中击中目标的次数为，
当时对应的概率，
因为取值最大，所以，即，
即，解得，
因为且，所以，即时概率最大．
故答案为：
考点四 二项分布的综合应用
19．（2023·江苏·高二专题练习）设随机变量ξ服从二项分布，则函数f(x)=x2+4x+ξ存在零点的概率是________.
【答案】
【分析】由存在零点结合判别式即可求出ξ≤4，由已知二项分布可求出.
【详解】由函数f(x)=x2+4x+ξ存在零点，得Δ=16-4ξ≥0，即ξ≤4.又因为变量ξ~B，
所以所求概率 .
故答案为:.
【点睛】关键点睛:
本题关键是由存在零点求出的取值范围，结合二项分布即可求出所求.
20．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取100件产品，则次品数的数学期望为__________.
【答案】/
【分析】记事件：选取的产品为次品，记事件：此件次品来自甲生产线，记事件：此件次品来自乙生产线，记事件：此件次品来自丙生产线，由题意可得，，，再利用全概率公式求出，结合二项分布的期望公式求解即可.
【详解】记事件：选取的产品为次品，
记事件：此件次品来自甲生产线，
记事件：此件次品来自乙生产线，
记事件：此件次品来自丙生产线，
由题意可得，，，
由全概率的公式可得，
从这三条生产线上随机任意选取1件产品为次品数的概率为，
则任意选取100件产品，设次品数为,则,即.
故答案为：.
21．【多选】（2023春·高二课时练习）已知展开式的二项式系数和为64，离散型随机变量，则下列命题中正确的有（ ）
A．
B．当时，取得最大值
C．当时，
D．的最小值为0
【答案】BC
【分析】由二项式系数和即可判断A选项；由二项分布的方差公式即可判断B选项；由二项分布概率公式及条件概率即可判断C选项；由及期望方差公式即可判断D选项.
【详解】由二项式系数和为64，可得，故，A错误；
，当时，取得最大值，B正确；
且，
，故，C正确；
由，
则，，
，故，
故时，取最小值，D错误.
故选：BC.
考点五 超几何分布
22．（2023秋·广西桂林·高二统考期末）一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先确定从100件中任取五件的取法数，再确定任取5件，则恰有1件不合格品的取法数，即可求得答案.
【详解】一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，
共有 种取法；
其中恰有1件不合格品的取法有种取法，
故恰有1件不合格品的概率是，
故选：A.
23．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）口袋中有6个球（除颜色外其他属性都相同），其中3个黑球，2个红球，1个白球，表示有放回的摸球3次，每次摸一个，取出红球的数目，表示不放回的摸球3次，每次摸一个，取出黑球的数目，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．无法判断
【答案】A
【分析】分别求得与的值，进而得到二者间的关系.
【详解】表示有放回的摸球3次，每次摸一个，取出红球的数目，
的可能取值为0，1，2 ，则，则；
表示不放回的摸球3次，每次摸一个，取出黑球的数目，
的可能取值为0，1，2 ，3，满足超几何分布，
则，则
故选：A
24．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列详见解析，数学期望为
【分析】（1）根据古典概型以及组合数的计算求得正确答案.
（2）根据超几何分布的知识求得的分布列并求得数学期望.
【详解】（1）依题意，既有豆沙粽又有白粽的概率为.
（2）的可能取值为，
则，
，
，
所以的分布列如下：
所以.
25．（2023秋·江西新余·高二统考期末）党的二十大是全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.认真学习宣传和全面贯彻落实党的二十大精神，是当前和今后一个时期的首要政治任务和头等大事.某校计划举行党的二十大知识竞赛，对前来报名者进行初试，初试合格者进入正赛.初试有备选题6道，从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲、乙两人报名参加，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立.
(1)分别求甲、乙两人进入正赛的概率；
(2)记甲、乙两人中进入正赛的人数为，求的分布列及.
【答案】(1)甲、乙两人进入正赛的概率分别为
(2)分布列见详解，
【分析】（1）根据超几何分布和二项分布运算求解；
（2）根据（1）中的数据，求分布列和期望，再根据期望性质求.
【详解】（1）设甲、乙两人答对的题目数分别为，则，
可得甲进入正赛的概率，
乙进入正赛的概率，
故甲、乙两人进入正赛的概率分别为.
（2）由题意可得：的可能取值为，则有：
，
，
，
则的分布列为：
则，
故.
26．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）某运动品牌旗舰店在双十一线下促销期间，统计了5个城市的专卖店销售数据如下：
(1)若分别从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条进行追踪调查，求抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率；
(2)现从这5家店中任选3家进行抽奖活动，用表示其中男装销量超过女装销量的专卖店个数，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见详解，
【分析】（1）根据题意利用对立事件求概率；
（2）根据题意结合超几何分布求分布列，进而求期望.
【详解】（1）从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条，抽中购买的是男装的概率分别为，
故抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率.
（2）这5家店中男装销量超过女装销量的专卖店有丁、戊，共两家，则的可能取值有：0，1，2，可得：
，
故的分布列为：
∴.
27．（2023春·云南昆明·高二校考期中）近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）．
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)若处理1吨厨余垃圾需要5元，处理1吨非厨余垃圾需要8元，请估计处理这400吨垃圾所需要的费用；
(3)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)2900元
(3)分布列见解析，
【分析】（1）由题表可得厨余垃圾共有吨，其中投入厨余垃圾桶的有吨，根据古典概型即可求出结果；
（2）由题表可得这吨垃圾由吨厨余垃圾，吨非厨余垃圾，根据题意，即可求出结果；
（3）由题意可知随机变量服从超几何分步，根据超几何分步即可求出分布列和期望.
【详解】（1）解：由题表可得厨余垃圾共有吨，其中投入厨余垃圾桶的有吨，所以厨余垃圾投放正确的概率；
（2）解：由题表可得这吨垃圾由吨厨余垃圾，吨非厨余垃圾，则处理费用为（元）
所以估计处理这吨垃圾需要元；
（3）解：随机变量的所有可能取值为0，1，2，3
，
，
所以的分布列为
所以
所以选出的3名志愿者中男性志愿者个数的数学期望为.
28．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动，为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；
(2)若采用分层抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，这2人中在的人数设为随机变量，请求出随机变量的分布列与数学期望.
【答案】(1)72
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据中位数的求法求得中位数.
（2）根据分层抽样求得和抽取的人数，然后按照超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.
【详解】（1）因为，
所以竞赛成绩的中位数在内.
设竞赛成绩的中位数为，则，解得.
所以估计这100名学生的竞赛成绩的中位数为72.
（2）和的频率分别为，
所以在的学生中抽取人，在的学生中抽取人，
的可能取值为，
，
，
,
所以随机变量的分布列为:
数学期望.
29．（2023·上海青浦·统考二模）在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位：)的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人.
(1)求频率分布直方图中实数的值；
(2)每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电舌访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；
(3)依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数分布和数学期望.
【答案】(1)，
(2)
(3)分布列详见解析，数学期望为
【分析】（1）根据频率分布直方图的知识求得.
（2）根据古典概型的知识求得所求概率.
（3）根据超几何分布的的知识求得分布列并求得数学期望.
【详解】（1）.
，解得.
（2）已知抽取的学生有男生，
则抽取的2人恰好为一男一女的概率为.
（3）每天学习时间在和的学生比例为，
所以在的学生中抽取人，在的学生中抽取人.
再从这8人中选3人进行电话访谈，
抽取的3人中每天学习时间在的人数的取值为，
，
，
，
所以的分布列如下：
数学期望.
考点六 二项分布与超几何分布的综合
30．【多选】（2023春·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期中）一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是（ ）
A．若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X服从二项分布
B．若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y服从超几何分布
C．若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为
D．若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为
【答案】ABD
【分析】直接利用二项分布和超几何分布的应用，排列数和组合数的应用直接判断.
【详解】对A，取出白球和取出黑球的概率分别为和，符合二项分布，故A正确；
对B，一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数的分布列，符合超几何分布，故B正确；
对C，一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为，故C错误；
对D，取出的白球为3和4，故，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正确理解二项分布和超几何分布的概念.
31．（2021春·湖南长沙·高二长沙市南雅中学校考开学考试）一个不透明的袋中有个白球和个红球，这些球除颜色外完全相同，
(1)若有放回的从袋中随机抽取个球，记其中红球的个数为，求的数学期望值；
(2)若不放回的从袋中随机抽取个球，记其中白球的个数为，求的分布列与数学期望值.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望
【分析】（1）由，根据二项分布数学期望公式可直接求得结果；
（2）首先确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值.
【详解】（1）从袋中任取个球，该球为红球的概率为，则，
的数学期望.
（2）由题意知：所有可能的取值为，
则；；；
的分布列为：
的数学期望.
32．（2021秋·广东揭阳·高三普宁市第二中学校考阶段练习）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取3个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）
（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取2个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】（1）设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果的事件为，求出，
抽到礼品果的个数，由概率公式可得答案；
（2）用分层抽样得到精品果和非精品果个数，精品果的数量，所有可能的取值为0，1，2，计算出相应的概率可得答案.
【详解】（1）设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果的事件为，则，
现有放回地随机抽取3个，设抽到礼品果的个数为，则，
∴恰好有2个水果是礼品果的概率为．
（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有4个，
非精品果有6个，再从中随机抽取2个，则精品果的数量，
所有可能的取值为0，1，2，
则，，．
∴的分布列为
所以，．
33．（2023春·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）某外国语高中三个年级的学生的人数相同，现按人数比例用分层随机抽样的方法从三个年级中随机抽取90位同学，调查他们外语词汇量（单位：个）掌握情况，统计结果如下：
(1)求，，的值；
(2)在这90份样本数据中，从词汇量位于区间的高三学生中随机抽取2人，记抽取的这2人词汇量位于区间的人数为，求的分布列与数学期望；
(3)以样本数据中词汇量位于各区间的频率作为学生词汇量位于该区间的概率，假设该学校有的学生外语选修日语，且选修日语的学生中有的人词汇量位于区间．现从该学校任选一位学生，若已知此学生词汇量位于区间，求他外语选修的是日语的概率．
【答案】(1)，，
(2)分布列见解析，数学期望为
(3)
【分析】（1）由条件可知，三个年级的样本人数都是30，根据表格数据，列式求解；
（2）利用超几何分布求概率，再根据分布列求期望；
（3）利用条件概率求解.
【详解】（1）由题意，得，解得；
（2）由题意可知，词汇量位于区间的高三学生有12人，位于区间的高三学生有8人，
则X的所有可能取值为0，1，2，
，，，
所以随机变量X的概率分布列为：
所以．
（3）由题知，词汇量位于区间的概率为，
从该学校任选一位学生，外语选修日语且词汇量位于区间的概率为，
根据条件概率的公式，在已知此学生词汇量位于区间的条件下，
他外语选修的是日语的概率为．
34．（2023春·山东烟台·高二统考期末）“微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己及好友每日行走的步数、排行榜，也可以与其他用户进行运动量的或点赞.现从某用户的“微信运动”朋友圈中随机选取40人，记录他们某一天的行走步数，并将数据整理如下：
规定：用户一天行走的步数超过8000步时为“运动型”，否则为“懈怠型”.
（1）将这40人中“运动型”用户的频率看作随机抽取1人为“运动型”用户的概率.从该用户的“微信运动”朋友圈中随机抽取4人，记为“运动型”用户的人数，求和的数学期望；
（2）现从这40人中选定8人（男性5人，女性3人），其中男性中“运动型”有3人，“懈怠型”有2人，女性中“运动型”有2人，“懈怠型”有1人.从这8人中任意选取男性3人、女性2人，记选到“运动型”的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1），（2）分布列见解析，
【详解】分析：（1）由题意可知，“运动型”的概率为， 且 ,由此可求求和的数学期望；
（2）由题意可知，的所有取值为，求出相应的概率，即可得到的分布列和数学期望.
详解：
（1）由题意可知，“运动型”的概率为，
且 ,则，
.
（2）由题意可知，的所有取值为，
相应的概率分别为：
,，
，，
所以的分布列为：
.
点睛：本题考查二项分布，超几何分布及其期望，属基础题.
考点七 正态曲线的应用
35．【多选】（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知随机变量，函数，则
A．当时，取得最大值
B．曲线关于直线对称
C．轴是曲线的渐近线
D．曲线与轴之间的面积小于1
【答案】ABC
【分析】由正态分布曲线的性质逐一判断即可.
【详解】解：因为随机变量，函数，
所以的对称轴为，且当时，取最大值为，
故A，B正确；
根据正态分布的曲线可得，轴是渐近线，且曲线与轴之间的面积等于1，
故C正确，D错误.
故选：ABC.
36．（2023春·河北石家庄·高二校联考期中）已知两个正态分布和相应的分布密度曲线如图，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由正态曲线和均值、标准差的意义判断即可.
【详解】由图象可得的密度曲线的对称轴在的密度曲线的对称轴的左侧，
故，
由图象可得的密度函数的最大值小于的密度函数的最大值，
所以，
故选：D .
37．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）设，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ）
A．对任意正实数，
B．对任意正实数，
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性即可求解.
【详解】依题意，由图可得，
对任意正实数，，
因为，
所以，故A错误，B正确；
，故C错误；
因为，所以，故D错误；
故选：B.
38．（2023·全国·模拟预测）甲､乙两所学校有同样多的学生参加数学能力测验，两所学校学生测验的成绩分布都接近于正态分布，其中甲校学生的平均分数为105分，标准差为10分；乙校学生的平均分数为115分，标准差为5分.若用粗线表示甲校学生成绩分布曲线，细线表示乙校学生成绩分布曲线，则下列哪一组分布曲线较为合理？（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据甲校、乙校学生的平均分数的大小结合图象中的对称轴进行识别，再根据方差的大小结合图象的波动情况进行判断.
【详解】依题意，由于甲校的学生成绩平均分低于乙校的学生成绩平均分，所以甲校的学生成绩正态曲线的对称轴比乙校的学生成绩的正态曲线的对称轴靠左；
由于甲校的学生成绩的标准差大于乙校的学生成绩的标准差，
所以甲校的学生成绩的正态曲线要“矮胖”些，乙校的学生成绩的正态曲线要“瘦高”些.
故选：A.
考点八 正态分布的概率计算
39．（2023·湖北·统考二模）在某项测量中，其测量结果服从正态分布，且，则_____________．
【答案】/0.8
【分析】利用正态分布的对称性求概率即可.
【详解】由题设，，而，
又，故，
所以.
故答案为：
40．（2023春·广西钦州·高二钦州一中校考期中）若随机变量，则_______.（附：若随机变量，则，）
【答案】0.84135
【分析】根据正态分布的对称性，结合原则求解即可
【详解】因为，所以.
故答案为：
41．（2023春·江苏南京·高二南京师范大学附属中学江宁分校校考期中）已知随机向量服从正态分布，且，则（ ）
A．B．4C．D．1
【答案】A
【分析】由正态分布的对称性求解即可.
【详解】∵随机变量服从正态分布，
∵，∴，
∴.
故答案为：A.
42．（2023秋·山东德州·高二统考期末）已知随机变量X服从正态分布，且，，则______．
【答案】0.52/
【分析】先根据对称性得到，结合求出答案.
【详解】由对称性可知，，故.
故答案为：0.52
43．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知随机变量，，且，，则_________.
【答案】
【分析】由题意可得出，，由，可求出的值.
【详解】因为随机变量，所以，
，且，所以，
所以，解得：.
故答案为：
44．（2023春·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）设随机变量，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题知，，进而根据正态分布的对称性求解即可.
【详解】解：因为随机变量，
所以，
因为，
所以，
所以，根据正态分布的对称性，.
故选：A
考点九 正态分布的实际应用
45．（2023春·福建福州·高二福建省福州高级中学校考期中）某校高二年段有名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计高二年段的学生数学成绩在分以上的人数为（ ）
A．130B．140C．150D．160
【答案】C
【分析】根据正态分布的对称性求出的概率，即可得到的概率，即可估计人数.
【详解】因为且，
所以，则，
所以该高二年段的学生数学成绩在分以上的人数约为（人）.
故选：C
46．（2023·江西·高二校联考阶段练习）某中学在高一年级抽取了720名同学进行身高调查，已知样本的身高（单位：cm）服从正态分布，且身高为165cm到175cm的人数占样本总数的，则样本中175cm以上的人数约为（ ）
A．30B．60C．120D．20
【答案】B
【分析】根据正态分布函数的性质分析计算即可.
【详解】正态分布的均值，依题意，身高在区间的概率为，
则身高在区间上的概率，则样本中175cm以上的同学人数约为人，
故选：B.
47．【多选】（2023·辽宁锦州·统考二模）已知我市某次考试高三数学成绩，从全市所有高三学生中随机抽取6名学生，成绩不少于80分的人数为，则（ ）
A．B．服从标准正态分布
C．D．
【答案】AD
【分析】确定，，，根据对称性得到A正确，服从标准正态分布，B错误，，计算得到C错误，D正确，得到答案.
【详解】，故，，，
对选项A：根据正态分布的对称性得到，正确；
对选项B：服从标准正态分布，错误；
对选项C：，则，故，错误；
对选项D：，正确.
故选：AD
48．（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）已知某地区有名同学参加某次数学模拟考试（满分分），其中考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
（参考数据：①；②；③）
A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分
B．的值越大，成绩不低于分的人数越少
C．若，则这次考试分数高于分的约有人
D．从参加考试的同学中任取人，至少有人的分数超过分的概率为
【答案】D
【分析】根据正态分布中，的意义判断AB选项，根据计算对应的概率求出人数判断C，由独立重复试验计算至少有人的分数超过分的概率判断D.
【详解】对A，根据正态分布知，数学考试成绩的平均值为，故A错误；
对B，根据中标准差的意义，的值越大则高于分低于分的人数变小，所以成绩不低分的人数增多，故B错误；
对于C，时，，故这次考试分数高于分的约有人，故C错误；
对D，由数学考试成绩近似服从正态分布知，
由次独立重复试验可知，从参加考试的同学中任取人，至少有人的分数超过分的概率为，故D正确，
故选：D.
49．（2023春·广东深圳·高二校考期中）2023年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这些收费口每天至少有一个通过的小汽车超过600辆的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据对称性求，再利用对立事件求概率.
【详解】根据对称性可知，,
则3个收费口每天至少有一个通过的小汽车超过600的概率.
故选：C
50．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）公共汽车门的高度是按照确保以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的.如果某地成年男子的身高（单位：），则车门应设计至少高__________（结果精确到）.参考数据：若，则.
【答案】
【分析】设车门设计的高度为，由题意结合题中所给数据可得，从而可得出答案.
【详解】设车门设计的高度为，
由题意需使，
因为，，
所以，解得，
所以车门应设计至少高.
故答案为：.
51．（2023春·湖南张家界·高二慈利县第一中学校考期中）月日是世界睡眠日，年世界睡眠日的中国主题是“良好睡眠，健康同行”．中国睡眠研究会常务理会吕云辉教授围绕这一主题进行了深度解读，以严谨的理论和丰富的案例佐证了良好睡眠于健康体魄的重要性．某中学数学兴趣小组为了研究良好睡眠与学习状态的关系，调查发现该校名学生平均每天的睡眠时间，则该校每天平均睡眠时间为小时的学生人数约为（ ）（结果四舍五入保留整数）
附：若，则，，．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合原则，可求得，由此可确定对应的学生人数.
【详解】，，，
，
该校每天平均睡眠时间为小时的学生人数约为.
故选：B.
考点十 正态分布与二项分布的综合应用
52．（2022·全国·高三专题练习）教育部门最近出台了“双减”政策.即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）.“双减”政策的出合对校外的培训机构经济效益产生了严重影响.某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2021年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表.
(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；
(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2021年所有学员的消费金额可视为服从正态分布，，分别为报名前200名学员消费的平均数x以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）.
①试估计该机构学员2021年消费金额为的概率（保留一位小数）；
②若从该机构2021年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的方差.
参考数据：；若随机变量，则，，.
【答案】(1)X的分布列为：
；
(2)①．
②．
【分析】（1）由已知频数统计表，得出频率，从而可得抽取的5人在两个区间的人数，得出的可能值为，计算出概率的分布列，然后由期望公式计算期望；
（2）①由频数分布表得各概率，计算出平均值和标准差，再由正态分布的概率性质求得概率发；②由二项分布的方差公式计算方差．
【详解】（1）由题意得，抽中的5人中消费金额为的人数为，
消费金额为的人数为，设消费金额为的人数为X，则，
所以，，，
所以X的分布列为：
；
（2）①由题意得，
所以，
所以．
②由题意及①得，，，所以．
53．（2023春·浙江宁波·高二校联考期中）为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．
(1)求a的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
(2)若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；
②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列､均值．
附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，．
【答案】(1)；
(2)① ；②分布列见解析；期望为
【分析】（1）由频率分布直方图的性质求，根据样本频率分布直方图确定获奖人数，再求得从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩基本事件总数，与“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”情况数，利用古典概型计算概率即可；
（2）由样本频率分布直方图得，求解样本平均数的估计值，即可得正态分布的均值，按照正态分布的性质求解参赛学生中成绩超过79分的学生数；由样本估计总体可知随机变量服从二项分布，根据二项分布确定概率分布列与数学期望即可.
【详解】（1）由频率分布直方图性质可得：
所以，，
由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有人，
获二等奖的有人，获三等奖的有人，
共有30人获奖，70人没有获奖，
从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，
设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件，
则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，
即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为
（2）由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值，
则所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，
①因为，，
所以，
故参赛学生中成绩超过79分的学生数约为．
②由，得，
即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为，
所以随机变量服从二项分布，
所以，，
，，
所以随机变量的分布列为：
.
54．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）：
由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望；
市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格.棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.
①设棋子移到第格的概率为，求证：当时，是等比数列；
②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】；①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.
【解析】根据数据算出，由服从正态分布，算出概率，即，进而算出的数学期望；
①棋子开始在第格为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即.棋子移到第格的情况是下列两种，即棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为.所以.即，进而求证当时，是等比数列；②由①知，，，，，得，所以，算出相应概率判断出闯关成功的概率大于闯关失败的概率.
【详解】解：
，
因为服从正态分布，所以.
所以，
所以的数学期望为.
①棋子开始在第格为必然事件，.
第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即.
棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：
棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；
棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，
所以，
即，且，
所以当时，数列是首项，公比为的等比数列.
②由①知，，，，，
以上各式相加，得，
所以.
所以闯关成功的概率为，
闯关失败的概率为.
，
所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.
【点睛】本题考查了根据已知数据求平均数，正态分布求概率，等比数列的证明以及数学期望的求法，题目较为综合，属于难题.
0
1
2
评价等级
★
★★
★★★
★★★★
★★★★★
人数
2
3
10
10
75
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0
1
2
3
0
1
2
3
4
分组区间
频数
2
10
14
12
2
0
1
2
款式/专卖店
甲
乙
丙
丁
戊
男装
60
60
130
80
110
女装
120
90
130
60
50
0
1
2
厨余垃圾桶
可回收物桶
其他垃圾桶
厨余垃圾
60
20
20
可回收物
10
40
10
其他垃圾
30
40
170
0
1
2
3
0
1
2
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
0
1
2
词汇量频数
高一年级
16
2
2
0
高二年级
8
8
4
2
高三年级
6
8
8
4
X
0
1
2
P
步数/步
0～2000
2001～5000
5001～8000
8001～10000
10000以上
男性人数/人
1
6
9
5
4
女性人数/人
0
3
6
4
2
2
3
4
5
消费金额（千元）
人数
30
50
60
20
30
10
X
1
2
3
P
X
1
2
3
P
0
1
2
3
消费金额（单位：百元）
频数
1. 二项分布
(1)伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 我们将一个伯努利试验重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. 显然， n重伯努利试验具有共同特征：同一个伯努利试验重复做n次，且各次试验的结果相互独立.
(2)二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，且有E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
2. 超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. E(X)＝np.
注：超几何分布和二项分布的区别和联系
（1）区别
由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从二项分布，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题.
（2）联系
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，超几何分布可以近似为二项分布.
3. 正态分布
(1)连续型随机变量：随机变量的取值充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
(2)正态分布：函数f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))eeq \s\up6(\f(－（x－μ）2,2σ2))，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数. 我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，如图所示. 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布. 记为X～N(μ，σ2). 特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布.
若X～N(μ，σ2)，则如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积.
(3)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
②曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
④在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示.
图1
⑤当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定. 当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2所示.
图2
(4)正态分布的均值、方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
(5)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0. 682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0. 954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0. 997 3.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
4. n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是Pn(k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k与Pk＝(1－p)k－1p.
5. 二项分布的增减性与最大值
记pk＝P(x＝k)，则当k<(n＋1)p时，pk>pk－1，pk递增；当k<(n＋1)p时，pk
(1)P(X
(3)P(X<μ－b)＝eq \f(1－P（μ－b≤X≤μ＋b）,2)(b>0).
7. 在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率.
8. 判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①试验是否为n重伯努利试验；②随机变量是否为这n重伯努利试验中某事件发生的次数.
9.①超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆：P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))，即恰取了k件次品的概率＝eq \f(次品中取了k件×正品中取了n－k件,N件产品中任取n件). ②当n较小，N较大时，超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替. 也就是说虽然超几何分布是不放回抽样，二项分布是放回抽样，但是当n较小而产品总数N很大时，不放回抽样近似于放回抽样. ③超几何分布在计算出均值后，可以用eq \f(nM,N)进行验证.
10.利用正态曲线解题的关键是，利用对称性把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化. 解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用.
11.解决正态分布问题有三个关键点：①对称轴x＝μ；②标准差σ；③分布区间. 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为σ，2σ或3σ特殊区间，从而求出所求概率.
考点一 二项分布的均值和方差
考点二 二项分布的应用
考点三 服从二项分布的随机变量概率最大问题
考点四 二项分布的综合应用
考点五 超几何分布
考点六 二项分布与超几何分布的综合
考点七 正态曲线的应用
考点八 正态分布的概率计算
考点九 正态分布的实际应用
考点十 正态分布与二项分布的综合应用
考点一 二项分布的均值和方差
1．（2023春·高二课时练习）若离散型随机变量，，且，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二项分布的期望公式及二项分布的概率公式即得.
【详解】因为，
所以，得，
所以
.
故选：C.
2．（2023·江苏·高二专题练习）已知随机变量X服从二项分布，若，则等于（ ）
A．B．8C．12D．24
【答案】D
【分析】根据二项分布的数学期望和方差公式，再结合数学期望和方差性质求解即可.
【详解】随机变量X服从二项分布，，
因为，所以.
因为，
所以.
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二项分布的均值和方差公式求解即可得，再求解，根据对立事件的概率和为1求解即可
【详解】因为，故，故，因为，解得.故，故
故选：B
4．（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）已知，且，则下列说法不正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据二项分布期望和方差公式建立方程求解即可判断A、B，利用根据二项分布概率公式即可计算判断C、D.
【详解】因为，
由时，，所以，所以，
故选项A错误，选项B正确，
又，，，故选项C、D正确.
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下：
其中，2，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】由题知，进而根据二项分布的期望与方差公式，方差的性质依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：由表中数据可知，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，.
故选：B
考点二 二项分布的应用
6．（2023秋·山东德州·高二统考期末）已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B，则A，B的值分别为（ ）
A．，5B．，10C．，5D．，10
【答案】B
【分析】根据题意得其机种次数和期望符合二项分布，利用其期望公式即可得到值，再利用其概率公式计算值即可.
【详解】设10门大炮击中目标的次数为,则根据题意可得,
门大炮总得分的期望值为，
，
故选：B.
7．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为用表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断AB选项；利用二项分布的期望和方差的性质可判断CD选项.
【详解】设“向右下落”， “向左下落”，则，
因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，
而小球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以，
对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确；
故选：B
8．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）、两组各3人独立的破译某密码，组每个人译出该密码的概率均为，组每个人译出该密码的概率均为，记、两组中译出密码的人数分别为、，且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】由题意分析，均服从二项分布，利用二项分布的均值和方差公式直接求得.
【详解】由题意可知：服从二项分布，所以.
同理：服从二项分布，所以.
因为，所以，所以.
对于二次函数，对称轴，所以在上函数单调递减，
所以当时，有，即.
故选：B
9．（2023春·江苏苏州·高二校联考期中）近年来，我国电影市场非常火爆，有多部优秀国产电影陆续上映，某影评网站统计了100名观众对某部电影的评分情况，得到如下表格：
以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立.从全国所有观众中随机抽取名，
(1)求恰有人评价为五星，人评价为四星的概率；
(2)记其中评价为五星的观众人数为，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）首先求出评价为五星、四星的频率，再根据相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）依题意可得，利用二项分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到概率分布列与数学期望.
【详解】（1）依题意样本中抽取人，评价为五星的频率为，评价为四星的频率为，
所以从全国所有观众中随机抽取名，恰有人评价为五星，人评价为四星的概率.
（2）依题意的可能取值为、、、、，且，
所以，，
，，
，
所以随机变量的分布列为：
所以.
10．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）2022年10月1日，某超市举行“迎国庆促销抽奖活动”，所有购物的顾客，以收银台机打发票为准，尾数为偶数（尾数中的奇偶数随机出现）的顾客，可以获得三次抽奖，三次抽奖获得奖品的概率分别为，，，每次中奖都可以获得一份奖品，且每次抽奖是否中奖互不影响.
(1)求顾客获得两个奖品的概率；
(2)若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列详见解析，数学期望为
【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
（2）根据二项分布的知识求得分布列并求得数学期望.
【详解】（1）顾客获得两个奖品的概率为：
.
（2）个顾客没有获奖的概率为，
所以，则的可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以.
11．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）快到采摘季节了，某农民发现自家果园里的某种果实每颗的重量有一定的差别，故随机采摘了100颗，分别称出它们的重量（单位：克），并以每10克为一组进行分组，发现它们分布在区间，，，，并据此画得频率分布直方图如下：
(1)求的值，并据此估计这批果实的第70百分位数；
(2)若重量在（单位：克）的果实不为此次采摘对象，则从果园里随机选择3颗果实，其中不是此次采摘对象的颗数为，求的分布列和数学期望.
注意：把频率分布直方图中的频率视为概率.
【答案】(1)0.030；31
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据频率分布直方图和百分位数的计算方式直接计算即可；
（2）由题知，再根据二项分布求解即可；
【详解】（1）解：因为频率分布直方图的组距为10，
所以，落在区间，，上的频率分别为0.20，0.32，0.18，
所以，.
因为落在区间上的频率为，
而落在区间上的频率为，
所以第70百分位数落在区间之间，设为，
则，解得，
所以估计第70百分位数为31.
（2）解：由（1）知，重量落在的频率为0.2，由样本估计总体得其概率为0.2，
因为可取0，1，2，3，且，
则，，
，，
所以的分布列为：
所以的数学期望为（或直接由）.
12．（2023春·湖南张家界·高二慈利县第一中学校考期中）在开展某些问卷调查时，往往会因为涉及个人隐私而导致调查数据不准确，某小组为探究“甲校园中曾经有多少学生上课睡过觉”设计、两个问题，问题“你是否曾经上课睡过觉”，问题“你是否在上半年出生”，小组成员邀请学生逐一在装有、B问题的两个袋子中随机选取一个，若答案是肯定的，则向盒子中放入1个石子，否则直接离开（问题肯定与否定的概率视为相等），由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.
(1)若该小组共邀请了100名学生，盒子内出现了30个石子，甲校园内有1000个学生，试估计甲校园内曾经上课睡过觉的学生人数；
(2)视（1）问中的频率为概率，现从该校园中随机抽取名学生，记其中曾经上课睡过觉的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)100名
(2)分布列见解析，0.4
【分析】（1）由条件求出回答曾经上课睡过觉的学生人数，再由样本频率估计概率；
（2）由条件判断，再根据二项分布的分布列和均值公式结论求解.
【详解】（1）回答问题的学生有人，投入的石子有个，
回答问题的学生有人，投入的石子有个，
用样本估计总体，则学生上课睡觉的频率，
则估计甲校园内上课睡觉的学生人数有名；
（2）由已知随机变量的取值有，
由（1）从甲校园随机抽取一名同学，该同学曾经上课睡过觉的概率为，
所以，
则，
，
，
，
．
则随机变量的分布列为:
则的数学期望．
13．（2023春·山西太原·高二山西大附中校考期中）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，
故，从面.
所以，随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.
且.
由题意知事件与互斥，
且事件与，事件与均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
考点三 服从二项分布的随机变量概率最大问题
14．【多选】（2023春·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）已知某足球运动员每次定点射门的命中率为0.5，则下述正确的是（ ）
A．若共进行10次射门，则命中次数的数学期望等于5B．若共进行10次射门，则命中5次的概率最大
C．若共进行5次射门，则命中次数的方差等于1D．若共进行5次射门，则至少有两次命中的概率为
【答案】AB
【分析】由二项分布的概率公式以及期望方差公式依次判断即可.
【详解】设表示运动员命中次数为次，由题意可知，随机变量服从二项分布，若进行10次射门，则，
，若进行5次射门，则，
；
对于A，由二项分布期望公式得数学期望为，A正确；
由二项式系数性质知中最大，则命中5次的概率最大，B正确；
对于C，由二项分布方差公式知，命中次数的方差等于，C错误；
对于D，至少命中两次的概率，D错误.
故选：AB.
15．【多选】（2023春·山西太原·高二山西大附中校考期中）已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．时，
C．时，随着的增大而增大D．时，随着的增大而减小
【答案】ABC
【分析】选项A利用概率的基本性质即可，B选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分析，选项C，D根据题意把的表达式写出，然后利用单调性分析即可.
【详解】对于A选项，由概率的基本性质可知，，
故A正确，
对于B选项，由时，离散型随机变量服从二项分布，
则，
所以，
，
所以，故B正确，
对于C,D选项，，
当时，为正项且单调递增的数列，
故随着的增大而增大故选项C正确，
当时，为正负交替的摆动数列，
故选项D不正确.
故选：ABC.
16．（2023春·江西吉安·高二校考期中）某校高二年级为了丰富学生的课外活动，每个星期都举行“快乐体育”活动.在一次“套圈圈”的游戏中，规则如下：在规定的4米之外的地方有一个目标物体，选手站在原地丟圈，套中目标物即获胜；规定每小组两人，每人两次，套中的次数之和不少于3次称为“最佳拍档”，甲､乙两人同一组，甲､乙两人丟圈套中的概率为别为pi，p2，假设两人是否套中相互没有影响.
（1）若，设甲､乙两人丟圈套中的次数之和为，求的分布列及数学期望.
（2）若，则游戏中甲乙两人这一组要想获得“最佳拍档”次数为16次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）理论上至少要进行27轮游戏，.
【分析】(1)确定的所有可能取值并计算相应的概率，即可列出分布列，再根据期望公式求即可；
(2)求出他们在一轮游戏中获“最佳拍档”的概率并化简，再由，，，求出的取值范围，再利用换元法并结合二次函数的性质即可求出，从而可得的最小值及此时，的值.
【详解】解：（1）两人丢圈套中的次数值和为，则的值可能为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
分布列如下表：
.
（2）他们在一轮游戏中获“最佳拍档”的概率为
，
因为，所以，
因为，，，所以，，
所以，令，以，则，
当时，，
他们小组在轮游戏中获“最佳拍档”次数满足，
由，则，所以理论上至少要进行27轮游戏，
此时，，.
17．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）某学校有初中部和高中部两个学部，其中初中部有1800名学生．为了解全校学生两个月以来的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查，将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：，得到初中生组的频率分布直方图（图1）和高中生组的频数分布表（表1）．
表1高中生组
(1)求高中部的学生人数并估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数；
(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，记为3人中初中生的人数，求的分布列和数学期望；
(3)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该校高中部抽取10名学生进行调查，其中有k名学生的阅读时间在的概率为，请直接写出k为何值时取得最大值．（结论不要求证明）
【答案】(1)高中部的学生人数为人，估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数为人；
(2)的分布列见解析，；
(3).
【分析】（1）根据频率分布直方图和频数分布表，结合分层抽样的定义进行求解即可；
（2）根据古典型概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可；
（3）根据二项分布的性质进行求解即可.
【详解】（1）100名学生中高中生有人，初中生有人，
设高中部的学生人数为，则有，
设100名学生中初中生在小时内的人数为，则有，
100名学生中高中生在小时内的人数为人，
因此全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数估计为：
；
（2）课外阅读时间不足10个小时的样本中，
初中学生人数为人，
高中学生人数为人，所以，
因此有，，，
所以的分布列如下：
的数学期望为；
（3）由（1）高中部的学生人数为，
其中阅读时间在的人数为，
所以每个人被抽到内的概率为，
因此，
假设为最大项，则有，
解得：，因为，
所以当时，有最大值.
18．（2023春·山东烟台·高二山东省招远第一中学校考期中）某人在次射击中击中目标的次数为，若，若最大，则__________
【答案】8
【分析】依题意可得，则，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围，再结合的取值特征，即可得解.
【详解】在次射击中击中目标的次数为，
当时对应的概率，
因为取值最大，所以，即，
即，解得，
因为且，所以，即时概率最大．
故答案为：
考点四 二项分布的综合应用
19．（2023·江苏·高二专题练习）设随机变量ξ服从二项分布，则函数f(x)=x2+4x+ξ存在零点的概率是________.
【答案】
【分析】由存在零点结合判别式即可求出ξ≤4，由已知二项分布可求出.
【详解】由函数f(x)=x2+4x+ξ存在零点，得Δ=16-4ξ≥0，即ξ≤4.又因为变量ξ~B，
所以所求概率 .
故答案为:.
【点睛】关键点睛:
本题关键是由存在零点求出的取值范围，结合二项分布即可求出所求.
20．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取100件产品，则次品数的数学期望为__________.
【答案】/
【分析】记事件：选取的产品为次品，记事件：此件次品来自甲生产线，记事件：此件次品来自乙生产线，记事件：此件次品来自丙生产线，由题意可得，，，再利用全概率公式求出，结合二项分布的期望公式求解即可.
【详解】记事件：选取的产品为次品，
记事件：此件次品来自甲生产线，
记事件：此件次品来自乙生产线，
记事件：此件次品来自丙生产线，
由题意可得，，，
由全概率的公式可得，
从这三条生产线上随机任意选取1件产品为次品数的概率为，
则任意选取100件产品，设次品数为,则,即.
故答案为：.
21．【多选】（2023春·高二课时练习）已知展开式的二项式系数和为64，离散型随机变量，则下列命题中正确的有（ ）
A．
B．当时，取得最大值
C．当时，
D．的最小值为0
【答案】BC
【分析】由二项式系数和即可判断A选项；由二项分布的方差公式即可判断B选项；由二项分布概率公式及条件概率即可判断C选项；由及期望方差公式即可判断D选项.
【详解】由二项式系数和为64，可得，故，A错误；
，当时，取得最大值，B正确；
且，
，故，C正确；
由，
则，，
，故，
故时，取最小值，D错误.
故选：BC.
考点五 超几何分布
22．（2023秋·广西桂林·高二统考期末）一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先确定从100件中任取五件的取法数，再确定任取5件，则恰有1件不合格品的取法数，即可求得答案.
【详解】一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，
共有 种取法；
其中恰有1件不合格品的取法有种取法，
故恰有1件不合格品的概率是，
故选：A.
23．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）口袋中有6个球（除颜色外其他属性都相同），其中3个黑球，2个红球，1个白球，表示有放回的摸球3次，每次摸一个，取出红球的数目，表示不放回的摸球3次，每次摸一个，取出黑球的数目，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．无法判断
【答案】A
【分析】分别求得与的值，进而得到二者间的关系.
【详解】表示有放回的摸球3次，每次摸一个，取出红球的数目，
的可能取值为0，1，2 ，则，则；
表示不放回的摸球3次，每次摸一个，取出黑球的数目，
的可能取值为0，1，2 ，3，满足超几何分布，
则，则
故选：A
24．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列详见解析，数学期望为
【分析】（1）根据古典概型以及组合数的计算求得正确答案.
（2）根据超几何分布的知识求得的分布列并求得数学期望.
【详解】（1）依题意，既有豆沙粽又有白粽的概率为.
（2）的可能取值为，
则，
，
，
所以的分布列如下：
所以.
25．（2023秋·江西新余·高二统考期末）党的二十大是全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.认真学习宣传和全面贯彻落实党的二十大精神，是当前和今后一个时期的首要政治任务和头等大事.某校计划举行党的二十大知识竞赛，对前来报名者进行初试，初试合格者进入正赛.初试有备选题6道，从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲、乙两人报名参加，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立.
(1)分别求甲、乙两人进入正赛的概率；
(2)记甲、乙两人中进入正赛的人数为，求的分布列及.
【答案】(1)甲、乙两人进入正赛的概率分别为
(2)分布列见详解，
【分析】（1）根据超几何分布和二项分布运算求解；
（2）根据（1）中的数据，求分布列和期望，再根据期望性质求.
【详解】（1）设甲、乙两人答对的题目数分别为，则，
可得甲进入正赛的概率，
乙进入正赛的概率，
故甲、乙两人进入正赛的概率分别为.
（2）由题意可得：的可能取值为，则有：
，
，
，
则的分布列为：
则，
故.
26．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）某运动品牌旗舰店在双十一线下促销期间，统计了5个城市的专卖店销售数据如下：
(1)若分别从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条进行追踪调查，求抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率；
(2)现从这5家店中任选3家进行抽奖活动，用表示其中男装销量超过女装销量的专卖店个数，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见详解，
【分析】（1）根据题意利用对立事件求概率；
（2）根据题意结合超几何分布求分布列，进而求期望.
【详解】（1）从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条，抽中购买的是男装的概率分别为，
故抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率.
（2）这5家店中男装销量超过女装销量的专卖店有丁、戊，共两家，则的可能取值有：0，1，2，可得：
，
故的分布列为：
∴.
27．（2023春·云南昆明·高二校考期中）近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）．
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)若处理1吨厨余垃圾需要5元，处理1吨非厨余垃圾需要8元，请估计处理这400吨垃圾所需要的费用；
(3)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)2900元
(3)分布列见解析，
【分析】（1）由题表可得厨余垃圾共有吨，其中投入厨余垃圾桶的有吨，根据古典概型即可求出结果；
（2）由题表可得这吨垃圾由吨厨余垃圾，吨非厨余垃圾，根据题意，即可求出结果；
（3）由题意可知随机变量服从超几何分步，根据超几何分步即可求出分布列和期望.
【详解】（1）解：由题表可得厨余垃圾共有吨，其中投入厨余垃圾桶的有吨，所以厨余垃圾投放正确的概率；
（2）解：由题表可得这吨垃圾由吨厨余垃圾，吨非厨余垃圾，则处理费用为（元）
所以估计处理这吨垃圾需要元；
（3）解：随机变量的所有可能取值为0，1，2，3
，
，
所以的分布列为
所以
所以选出的3名志愿者中男性志愿者个数的数学期望为.
28．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动，为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；
(2)若采用分层抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，这2人中在的人数设为随机变量，请求出随机变量的分布列与数学期望.
【答案】(1)72
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据中位数的求法求得中位数.
（2）根据分层抽样求得和抽取的人数，然后按照超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.
【详解】（1）因为，
所以竞赛成绩的中位数在内.
设竞赛成绩的中位数为，则，解得.
所以估计这100名学生的竞赛成绩的中位数为72.
（2）和的频率分别为，
所以在的学生中抽取人，在的学生中抽取人，
的可能取值为，
，
，
,
所以随机变量的分布列为:
数学期望.
29．（2023·上海青浦·统考二模）在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位：)的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人.
(1)求频率分布直方图中实数的值；
(2)每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电舌访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；
(3)依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数分布和数学期望.
【答案】(1)，
(2)
(3)分布列详见解析，数学期望为
【分析】（1）根据频率分布直方图的知识求得.
（2）根据古典概型的知识求得所求概率.
（3）根据超几何分布的的知识求得分布列并求得数学期望.
【详解】（1）.
，解得.
（2）已知抽取的学生有男生，
则抽取的2人恰好为一男一女的概率为.
（3）每天学习时间在和的学生比例为，
所以在的学生中抽取人，在的学生中抽取人.
再从这8人中选3人进行电话访谈，
抽取的3人中每天学习时间在的人数的取值为，
，
，
，
所以的分布列如下：
数学期望.
考点六 二项分布与超几何分布的综合
30．【多选】（2023春·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期中）一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是（ ）
A．若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X服从二项分布
B．若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y服从超几何分布
C．若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为
D．若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为
【答案】ABD
【分析】直接利用二项分布和超几何分布的应用，排列数和组合数的应用直接判断.
【详解】对A，取出白球和取出黑球的概率分别为和，符合二项分布，故A正确；
对B，一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数的分布列，符合超几何分布，故B正确；
对C，一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为，故C错误；
对D，取出的白球为3和4，故，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正确理解二项分布和超几何分布的概念.
31．（2021春·湖南长沙·高二长沙市南雅中学校考开学考试）一个不透明的袋中有个白球和个红球，这些球除颜色外完全相同，
(1)若有放回的从袋中随机抽取个球，记其中红球的个数为，求的数学期望值；
(2)若不放回的从袋中随机抽取个球，记其中白球的个数为，求的分布列与数学期望值.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望
【分析】（1）由，根据二项分布数学期望公式可直接求得结果；
（2）首先确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值.
【详解】（1）从袋中任取个球，该球为红球的概率为，则，
的数学期望.
（2）由题意知：所有可能的取值为，
则；；；
的分布列为：
的数学期望.
32．（2021秋·广东揭阳·高三普宁市第二中学校考阶段练习）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取3个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）
（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取2个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】（1）设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果的事件为，求出，
抽到礼品果的个数，由概率公式可得答案；
（2）用分层抽样得到精品果和非精品果个数，精品果的数量，所有可能的取值为0，1，2，计算出相应的概率可得答案.
【详解】（1）设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果的事件为，则，
现有放回地随机抽取3个，设抽到礼品果的个数为，则，
∴恰好有2个水果是礼品果的概率为．
（2）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有4个，
非精品果有6个，再从中随机抽取2个，则精品果的数量，
所有可能的取值为0，1，2，
则，，．
∴的分布列为
所以，．
33．（2023春·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）某外国语高中三个年级的学生的人数相同，现按人数比例用分层随机抽样的方法从三个年级中随机抽取90位同学，调查他们外语词汇量（单位：个）掌握情况，统计结果如下：
(1)求，，的值；
(2)在这90份样本数据中，从词汇量位于区间的高三学生中随机抽取2人，记抽取的这2人词汇量位于区间的人数为，求的分布列与数学期望；
(3)以样本数据中词汇量位于各区间的频率作为学生词汇量位于该区间的概率，假设该学校有的学生外语选修日语，且选修日语的学生中有的人词汇量位于区间．现从该学校任选一位学生，若已知此学生词汇量位于区间，求他外语选修的是日语的概率．
【答案】(1)，，
(2)分布列见解析，数学期望为
(3)
【分析】（1）由条件可知，三个年级的样本人数都是30，根据表格数据，列式求解；
（2）利用超几何分布求概率，再根据分布列求期望；
（3）利用条件概率求解.
【详解】（1）由题意，得，解得；
（2）由题意可知，词汇量位于区间的高三学生有12人，位于区间的高三学生有8人，
则X的所有可能取值为0，1，2，
，，，
所以随机变量X的概率分布列为：
所以．
（3）由题知，词汇量位于区间的概率为，
从该学校任选一位学生，外语选修日语且词汇量位于区间的概率为，
根据条件概率的公式，在已知此学生词汇量位于区间的条件下，
他外语选修的是日语的概率为．
34．（2023春·山东烟台·高二统考期末）“微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己及好友每日行走的步数、排行榜，也可以与其他用户进行运动量的或点赞.现从某用户的“微信运动”朋友圈中随机选取40人，记录他们某一天的行走步数，并将数据整理如下：
规定：用户一天行走的步数超过8000步时为“运动型”，否则为“懈怠型”.
（1）将这40人中“运动型”用户的频率看作随机抽取1人为“运动型”用户的概率.从该用户的“微信运动”朋友圈中随机抽取4人，记为“运动型”用户的人数，求和的数学期望；
（2）现从这40人中选定8人（男性5人，女性3人），其中男性中“运动型”有3人，“懈怠型”有2人，女性中“运动型”有2人，“懈怠型”有1人.从这8人中任意选取男性3人、女性2人，记选到“运动型”的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1），（2）分布列见解析，
【详解】分析：（1）由题意可知，“运动型”的概率为， 且 ,由此可求求和的数学期望；
（2）由题意可知，的所有取值为，求出相应的概率，即可得到的分布列和数学期望.
详解：
（1）由题意可知，“运动型”的概率为，
且 ,则，
.
（2）由题意可知，的所有取值为，
相应的概率分别为：
,，
，，
所以的分布列为：
.
点睛：本题考查二项分布，超几何分布及其期望，属基础题.
考点七 正态曲线的应用
35．【多选】（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知随机变量，函数，则
A．当时，取得最大值
B．曲线关于直线对称
C．轴是曲线的渐近线
D．曲线与轴之间的面积小于1
【答案】ABC
【分析】由正态分布曲线的性质逐一判断即可.
【详解】解：因为随机变量，函数，
所以的对称轴为，且当时，取最大值为，
故A，B正确；
根据正态分布的曲线可得，轴是渐近线，且曲线与轴之间的面积等于1，
故C正确，D错误.
故选：ABC.
36．（2023春·河北石家庄·高二校联考期中）已知两个正态分布和相应的分布密度曲线如图，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由正态曲线和均值、标准差的意义判断即可.
【详解】由图象可得的密度曲线的对称轴在的密度曲线的对称轴的左侧，
故，
由图象可得的密度函数的最大值小于的密度函数的最大值，
所以，
故选：D .
37．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）设，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ）
A．对任意正实数，
B．对任意正实数，
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性即可求解.
【详解】依题意，由图可得，
对任意正实数，，
因为，
所以，故A错误，B正确；
，故C错误；
因为，所以，故D错误；
故选：B.
38．（2023·全国·模拟预测）甲､乙两所学校有同样多的学生参加数学能力测验，两所学校学生测验的成绩分布都接近于正态分布，其中甲校学生的平均分数为105分，标准差为10分；乙校学生的平均分数为115分，标准差为5分.若用粗线表示甲校学生成绩分布曲线，细线表示乙校学生成绩分布曲线，则下列哪一组分布曲线较为合理？（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据甲校、乙校学生的平均分数的大小结合图象中的对称轴进行识别，再根据方差的大小结合图象的波动情况进行判断.
【详解】依题意，由于甲校的学生成绩平均分低于乙校的学生成绩平均分，所以甲校的学生成绩正态曲线的对称轴比乙校的学生成绩的正态曲线的对称轴靠左；
由于甲校的学生成绩的标准差大于乙校的学生成绩的标准差，
所以甲校的学生成绩的正态曲线要“矮胖”些，乙校的学生成绩的正态曲线要“瘦高”些.
故选：A.
考点八 正态分布的概率计算
39．（2023·湖北·统考二模）在某项测量中，其测量结果服从正态分布，且，则_____________．
【答案】/0.8
【分析】利用正态分布的对称性求概率即可.
【详解】由题设，，而，
又，故，
所以.
故答案为：
40．（2023春·广西钦州·高二钦州一中校考期中）若随机变量，则_______.（附：若随机变量，则，）
【答案】0.84135
【分析】根据正态分布的对称性，结合原则求解即可
【详解】因为，所以.
故答案为：
41．（2023春·江苏南京·高二南京师范大学附属中学江宁分校校考期中）已知随机向量服从正态分布，且，则（ ）
A．B．4C．D．1
【答案】A
【分析】由正态分布的对称性求解即可.
【详解】∵随机变量服从正态分布，
∵，∴，
∴.
故答案为：A.
42．（2023秋·山东德州·高二统考期末）已知随机变量X服从正态分布，且，，则______．
【答案】0.52/
【分析】先根据对称性得到，结合求出答案.
【详解】由对称性可知，，故.
故答案为：0.52
43．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知随机变量，，且，，则_________.
【答案】
【分析】由题意可得出，，由，可求出的值.
【详解】因为随机变量，所以，
，且，所以，
所以，解得：.
故答案为：
44．（2023春·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）设随机变量，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题知，，进而根据正态分布的对称性求解即可.
【详解】解：因为随机变量，
所以，
因为，
所以，
所以，根据正态分布的对称性，.
故选：A
考点九 正态分布的实际应用
45．（2023春·福建福州·高二福建省福州高级中学校考期中）某校高二年段有名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计高二年段的学生数学成绩在分以上的人数为（ ）
A．130B．140C．150D．160
【答案】C
【分析】根据正态分布的对称性求出的概率，即可得到的概率，即可估计人数.
【详解】因为且，
所以，则，
所以该高二年段的学生数学成绩在分以上的人数约为（人）.
故选：C
46．（2023·江西·高二校联考阶段练习）某中学在高一年级抽取了720名同学进行身高调查，已知样本的身高（单位：cm）服从正态分布，且身高为165cm到175cm的人数占样本总数的，则样本中175cm以上的人数约为（ ）
A．30B．60C．120D．20
【答案】B
【分析】根据正态分布函数的性质分析计算即可.
【详解】正态分布的均值，依题意，身高在区间的概率为，
则身高在区间上的概率，则样本中175cm以上的同学人数约为人，
故选：B.
47．【多选】（2023·辽宁锦州·统考二模）已知我市某次考试高三数学成绩，从全市所有高三学生中随机抽取6名学生，成绩不少于80分的人数为，则（ ）
A．B．服从标准正态分布
C．D．
【答案】AD
【分析】确定，，，根据对称性得到A正确，服从标准正态分布，B错误，，计算得到C错误，D正确，得到答案.
【详解】，故，，，
对选项A：根据正态分布的对称性得到，正确；
对选项B：服从标准正态分布，错误；
对选项C：，则，故，错误；
对选项D：，正确.
故选：AD
48．（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）已知某地区有名同学参加某次数学模拟考试（满分分），其中考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
（参考数据：①；②；③）
A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分
B．的值越大，成绩不低于分的人数越少
C．若，则这次考试分数高于分的约有人
D．从参加考试的同学中任取人，至少有人的分数超过分的概率为
【答案】D
【分析】根据正态分布中，的意义判断AB选项，根据计算对应的概率求出人数判断C，由独立重复试验计算至少有人的分数超过分的概率判断D.
【详解】对A，根据正态分布知，数学考试成绩的平均值为，故A错误；
对B，根据中标准差的意义，的值越大则高于分低于分的人数变小，所以成绩不低分的人数增多，故B错误；
对于C，时，，故这次考试分数高于分的约有人，故C错误；
对D，由数学考试成绩近似服从正态分布知，
由次独立重复试验可知，从参加考试的同学中任取人，至少有人的分数超过分的概率为，故D正确，
故选：D.
49．（2023春·广东深圳·高二校考期中）2023年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这些收费口每天至少有一个通过的小汽车超过600辆的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据对称性求，再利用对立事件求概率.
【详解】根据对称性可知，,
则3个收费口每天至少有一个通过的小汽车超过600的概率.
故选：C
50．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）公共汽车门的高度是按照确保以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的.如果某地成年男子的身高（单位：），则车门应设计至少高__________（结果精确到）.参考数据：若，则.
【答案】
【分析】设车门设计的高度为，由题意结合题中所给数据可得，从而可得出答案.
【详解】设车门设计的高度为，
由题意需使，
因为，，
所以，解得，
所以车门应设计至少高.
故答案为：.
51．（2023春·湖南张家界·高二慈利县第一中学校考期中）月日是世界睡眠日，年世界睡眠日的中国主题是“良好睡眠，健康同行”．中国睡眠研究会常务理会吕云辉教授围绕这一主题进行了深度解读，以严谨的理论和丰富的案例佐证了良好睡眠于健康体魄的重要性．某中学数学兴趣小组为了研究良好睡眠与学习状态的关系，调查发现该校名学生平均每天的睡眠时间，则该校每天平均睡眠时间为小时的学生人数约为（ ）（结果四舍五入保留整数）
附：若，则，，．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合原则，可求得，由此可确定对应的学生人数.
【详解】，，，
，
该校每天平均睡眠时间为小时的学生人数约为.
故选：B.
考点十 正态分布与二项分布的综合应用
52．（2022·全国·高三专题练习）教育部门最近出台了“双减”政策.即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）.“双减”政策的出合对校外的培训机构经济效益产生了严重影响.某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2021年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表.
(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；
(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2021年所有学员的消费金额可视为服从正态分布，，分别为报名前200名学员消费的平均数x以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）.
①试估计该机构学员2021年消费金额为的概率（保留一位小数）；
②若从该机构2021年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的方差.
参考数据：；若随机变量，则，，.
【答案】(1)X的分布列为：
；
(2)①．
②．
【分析】（1）由已知频数统计表，得出频率，从而可得抽取的5人在两个区间的人数，得出的可能值为，计算出概率的分布列，然后由期望公式计算期望；
（2）①由频数分布表得各概率，计算出平均值和标准差，再由正态分布的概率性质求得概率发；②由二项分布的方差公式计算方差．
【详解】（1）由题意得，抽中的5人中消费金额为的人数为，
消费金额为的人数为，设消费金额为的人数为X，则，
所以，，，
所以X的分布列为：
；
（2）①由题意得，
所以，
所以．
②由题意及①得，，，所以．
53．（2023春·浙江宁波·高二校联考期中）为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．
(1)求a的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
(2)若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；
②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列､均值．
附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，．
【答案】(1)；
(2)① ；②分布列见解析；期望为
【分析】（1）由频率分布直方图的性质求，根据样本频率分布直方图确定获奖人数，再求得从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩基本事件总数，与“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”情况数，利用古典概型计算概率即可；
（2）由样本频率分布直方图得，求解样本平均数的估计值，即可得正态分布的均值，按照正态分布的性质求解参赛学生中成绩超过79分的学生数；由样本估计总体可知随机变量服从二项分布，根据二项分布确定概率分布列与数学期望即可.
【详解】（1）由频率分布直方图性质可得：
所以，，
由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有人，
获二等奖的有人，获三等奖的有人，
共有30人获奖，70人没有获奖，
从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，
设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件，
则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，
即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为
（2）由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值，
则所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，
①因为，，
所以，
故参赛学生中成绩超过79分的学生数约为．
②由，得，
即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为，
所以随机变量服从二项分布，
所以，，
，，
所以随机变量的分布列为：
.
54．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）：
由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望；
市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格.棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.
①设棋子移到第格的概率为，求证：当时，是等比数列；
②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】；①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.
【解析】根据数据算出，由服从正态分布，算出概率，即，进而算出的数学期望；
①棋子开始在第格为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即.棋子移到第格的情况是下列两种，即棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为.所以.即，进而求证当时，是等比数列；②由①知，，，，，得，所以，算出相应概率判断出闯关成功的概率大于闯关失败的概率.
【详解】解：
，
因为服从正态分布，所以.
所以，
所以的数学期望为.
①棋子开始在第格为必然事件，.
第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即.
棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：
棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；
棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，
所以，
即，且，
所以当时，数列是首项，公比为的等比数列.
②由①知，，，，，
以上各式相加，得，
所以.
所以闯关成功的概率为，
闯关失败的概率为.
，
所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.
【点睛】本题考查了根据已知数据求平均数，正态分布求概率，等比数列的证明以及数学期望的求法，题目较为综合，属于难题.
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