高二下学期第一次月考测试卷（一）(选择性必修一~选择性必修二）-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版)

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2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（2022秋·湖北黄冈·高二校考阶段练习）已知直线与直线，则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先证明充分性是否成立，即由m＝2能否推出 l1⊥l2；再证必要性是否成立，即由l1⊥l2 能否推出 m＝2，从而做出结论．
【详解】当 m＝2时，直线l1：2x﹣2y+1＝0，l2：x+y﹣1＝0，两直线的斜率之积等于﹣1，故l1⊥l2，充分性成立．
当l1⊥l2时，
∵m﹣1≠0，m≠0，由斜率之积的等于﹣1得：1，
∴m＝2 或 m＝﹣1，
故不能由l1⊥l2 推出 m＝2，故必要性不成立．
综上，“m＝2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的定义，两直线垂直的条件和性质．
2．（2023春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考阶段练习）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的极小值点为 B．的极大值点为
C．有唯一的极小值点D．函数在（a，b）上的极值点的个数为2
【答案】D
【分析】求得的极小值点判断选项A；求得的极大值点判断选项B；求得的极小值点判断选项C；求得函数在（a，b）上的极值点的个数判断选项D.
【详解】由导函数的图像可知，有2个极小值点.选项C判断错误；
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.
则的极小值点为，选项A判断错误；
的极大值点为，选项B判断错误；
函数在（a，b）上的极值点为，共2个. 选项D判断正确；
故选：D
3．（2023春·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）已知等差数列满足，则数列的前5项和为（ ）
A．15B．16C．20D．30
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出，再利用前n项和公式计算作答.
【详解】等差数列中，，解得，而，
所以数列的前5项和.
故选：A
4．（2023·湖北十堰·高二统考期末）直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先由圆的方程，得出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，根据几何法，即可求出弦长.
【详解】由可得，
则圆心坐标为，半径，
所以圆心到直线的距离为，
所以所求弦长为.
故选：C.
5．（2022秋·湖北武汉·高二武汉市黄陂区第一中学校考阶段练习）已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为（ ）
A．5B．512C．1024D．2048
【答案】C
【分析】根据等比数列的通项公式求出首项与公比，得出通项公式即可求出的值.
【详解】设等比数列的公比为q，
因为，
所以，解得，
因为与的等差中项为，则有，即，解得，所以，故，
则，
所以．
故选：C
6．（2022·湖北·校联考）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性，再求导判断函数的单调性
【详解】解：函数的定义域为，
因为，
所以为偶函数，图像关于轴对称，所以排除B，
设，
所以当时，
所以，
所以在上单调递增，所以排除B，D，
故选：A
【点睛】此题考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题
7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性、单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式组，解得即可.
【详解】解：对于函数，令，解得或，
所以函数的定义域为，
又，所以为偶函数，
当时，则在上单调递增，
令，，所以，
所以在上单调递增，
则在上单调递增，从而得到在上单调递减，
则不等式等价于，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：C
8．（2023春·河南郑州·高二郑州一中校考期中）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出函数的导数，由导函数在上有两个零点可得实数的取值范围.
【详解】∵有两个不同的极值点，
∴在上有2个不同的零点，
∴在有2个不同的实数根，
∴，解得．
故选：B
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2022秋·湖北武汉·高二校考期中）已知曲线的方程为（），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线为圆
B．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件
C．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为
【答案】AC
【解析】根据圆锥曲线的定义及几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐一对四个选项作出判断即可.
【详解】当时，曲线C的方程为，即，显然曲线C为圆心为，半径为的圆，选项A正确；
当曲线的方程为（）表示焦点在轴上的椭圆时需满足：，解得，所以“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的而必要不充分条件，选项B错误；
当时，曲线C的方程为，可得，，双曲线C的渐近线方程为，选项C正确；
当曲线的方程为（）表示离心率为的双曲线时，，即，则，解得，此时曲线C的轨迹为圆，故不存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为，选项D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点睛：牢记椭圆、双曲线的标准方程及其几何意义是解题的关键.
10．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）若为正实数，且，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据幂函数与对数函数单调性分别判断AB；构造函数，进而研究其单调性判断C；构造函数，进而研究其单调性判断D.
【详解】解：对于A选项，因为函数在上单调递减，故当时，，故A选项错误；
对于B选项，由于函数在上单调递增，故当时，，故B选项正确；
对于C选项，令，则，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以与大小不定，故C选项错误；
对于D选项，令，则在上恒成立，故函数在在上单调递增，
所以，当时，，即，故D选项正确.
故选：BD
11．（2023春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B，若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（ ）
A．为定值4B．的面积为
C．直线PB，QB的斜率之积为定值D．四边形不可能是矩形
【答案】AC
【分析】A.先判断四边形是平行四边形，再根据椭圆的定义求解即可；
B.先求出，，然后利用三角形的面积公式求解；
C.设出点P的坐标，利用斜率计算公式求直线PB，QB的斜率之积即可；
D.利用椭圆的对称性求的最大值，结合A选项即可得到结果.
【详解】A选项：根据对称性，连接OP，OQ；则，，易知四边形是平行四边形，
则，所以，故A正确；
B选项：由题意知，，
所以的面积为，故B不正确；
C选项：由题意得，设，则，
所以，故C正确；
D选项：因为，所以，
则，故椭圆上存在点P，使得，
（点拨：根据椭圆的对称性知，当点P位于椭圆的上顶点或下顶点处时，
最大，找到此特殊位置，判断最大角的情况，即可判断满足题意的点P是否存在）
又四边形是平行四边形，所以四边形可能是矩形，故D不正确.
故选：AC
12．（2022春·湖北十堰·高二丹江口市第一中学校考阶段练习）已知函数的导函数的两个零点为1，2，则下列结论正确的有（ ）
A．abc＜0B．在区间[0，3]的最大值为0
C．只有一个零点D．的极大值是正数
【答案】BC
【解析】求导，根据的两个零点为1，2，由，，求得，，再逐项验证.
【详解】因为，且，，所以，化简得，解得，，因为，所以，所以abc>0，故A错误；
由，可知为开口向下的二次函数，且零点为1，2，则当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以x=1为极小值点，x=2为极大值点，则的极大值为，故D错误；
由函数的单调性可知，函数在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，，所以在区间[0，3]的最大值为0，故选项B正确；
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，，，所以只有一个零点0，故C正确；
故选：BC.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2023春·湖北武汉·高二校联考期中）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是_________.
【答案】
【分析】先对函数求导，将问题转化为存在，使成立，只需使即可；进而可求出结果.
【详解】由得，
为使函数在上存在单调递增区间，
只需存在，使成立，
即只需即可；
当时，显然单调递减，
所以的最大值为，
由，解得，
所以a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由函数存在增区间求参数，根据导数的方法求解即可，属于常考题型.
14．（2022秋·湖北·高二校联考期中）已知是等差数列，是等比数列，是数列的前n项和，，，则=______．
【答案】−1
【分析】根据等差数列的求和公式以及等差中项，求第六项，再根据等比数列的等比中项，解得第六项的平方，结合对数运算可得答案.
【详解】因为是等差数列，且是数列的前n项和，所以，解得，
因为是等比数列，所以，
则.
故答案为：.
15．（2022秋·湖北鄂州·高二统考期末）若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最小值为_________.
【答案】36−242##−242+36
【分析】建立直角坐标系，设出P的坐标，求出轨迹方程，然后推出的表达式，转化求解最小值即可.
【详解】以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.
则设，由，则，
所以两边平方并整理得，
所以P点的轨迹是以(3，0)为圆心，为半径的圆，
所以，，
则有，
则的最小值为.
故答案为：.
16．（2022秋·湖北黄石·高二统考开学考试）已知函数，则的最小值为________．
【答案】
【分析】利用导数求得的单调区间，由此求得的最小值.
【详解】.
，
所以当时，，当时，.
结合复合函数单调性同增异减可知，当时，有最小值为.
故答案为：
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023春·湖北孝感·高二校联考期中）已知函数.
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值.
【答案】（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值，无极大值.
【分析】（1）利用导数的几何意义可求得的图象在点处的切线方程；
（2）分析导数的符号变化，可得出函数的单调递增区间和递减区间，进一步可求得函数的极小值.
【详解】（1）由，得，所以，，
所以的图象在点处的切线方程为；
（2）函数的定义域为，由得.
当时，；当时，.
故的单调递减区间为，单调递增区间为，
从而函数在处有极小值，无极大值.
18．（2023秋·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）已知数列是等差数列，是等比数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值和最小值.
【答案】(1)，
(2)的最大值为，最小值为4.
【分析】(1)根据给定的条件，求出等差数列的首项及公差，等比数列的公比即可求解作答；
(2)由（1）可得，再分为奇数和偶数时，结合的单调性求解即可.
【详解】（1）设的公差为的公比为，
，所以，由，解得：，
，
又，所以，
；
（2）由（1）和等比数列的前项和公式可知：
，
显然，当为奇数时，单调递减；
当为偶数时，单调递增，
时，有最大值为，
时，有最小值为4.
19．（2023秋·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）若等差数列的前n项和为，数列是等比数列，并且 ，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)若，求数列的前n项和
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据条件列方程组求出 ；
（2）运用错位相减法求解；
（3）运用裂项相消法求解；
【详解】（1）设 的公差为d， 的公比为q，
依题意有： ，
，解得 （舍）， ，
；
（2）令 ， ，
…①，
…②，
①-②得：

，
；
（3） ，

.
20．（2022秋·湖北襄阳·高二襄阳四中校考阶段练习）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）证明：由于，，所以，
由于，，、平面，所以平面，
平面，由平面，得.
取的中点，连接，
因为底面是直角梯形，且，，
故四边形为矩形，且且，，
所以在中，，，，即，
由于，、平面，所以平面.
（2）解：平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
，，，
设平面的法向量为，则，取，可得，
所以，.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
21．（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，且，都在圆上，连接双曲线C的两个实轴端点、两个虚轴端点组成的菱形的面积为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设P是双曲线C与圆在第一象限的交点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据焦点，都在圆上得出，再根据菱形的面积为和的关系可得，，进而求解；
(2)根据题意得到，然后利用勾股定理得出，进而求解即可.
【详解】（1）由双曲线方程知：焦点，
∵，都在圆，
∴，解得（负值舍去），
∵连接双曲线C的两个实轴端点、两个虚轴端点组成的菱形的面积为，
∴，得，①
又，②
联立①②，解得，或，，
∵，∴，舍去，∴，，
故双曲线C的标准方程为．
（2）由（1）知：，，
∴是圆的直径，∴，
∴，
∴，
∴．
22．（2023春·河南安阳·高二安阳一中校联考阶段练习）已知函数 .
(1)当时，求的极小值；
(2)若在区间上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）求导，判断函数的单调性，即可求得函数的极小值；
（2）将在区间上有且仅有一个零点转化为在上有唯一解. 令，可知，讨论a的取值范围，判断函数单调性，解不等式，求得参数范围.
【详解】（1）当时，，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
故当时，取得极小值；
（2）由题意，在上有唯一解，即在上有唯一解.
令，显然，，
∴当时，在上恒成立，故在上单调递增，
此时在上只有一个零点1；
当时，在]上恒成立，故在]上单调递减，
此时在上只有一个零点1；
当时，当时，，当时，，
可知在上单调递减，在上单调递增，
结合，要使原函数只有一个零点，只需，解得，
∴，
综上所述，实数a的取值范围是.
【点睛】方法点睛：解答本题在区间上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围问题时，将问题转化为方程有唯一解的问题，进而设函数，分类讨论，利用导数判断其单调性，进而求得参数范围.