2024天津市部分区高一上学期期末考试数学含解析

这是一份2024天津市部分区高一上学期期末考试数学含解析，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 设，则下列不等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 化简的值为（ ）
A. 1B. 3C. 4D. 8
9. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的图象的一个对称中心为（ ）
A B. C. D.
10. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（共80分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11. 函数定义域为______.
12. 已知集合，，则___________
13. 若对数函数和函数在区间上均单调递增，则实数的取值范围是___________.
14. 已知，，且，则的最大值为___________.
15. 设函数，若函数恰有三个不同的零点，分别为，则的值为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 已知全集，集合，.
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
17. 已知函数（，且）与幂函数.
（1）当图象过点时，求的值；
（2）当的图象过点时，求的值；
（3）在（1）、（2）的条件下，求函数在区间上的最大值和最小值.
18. 函数.
（1）若解集是或，求不等式的解集；
（2）当时，求关于的不等式的解集.
19. 已知函数.
（1）求值；
（2）求的最小正周期和单调递增区间；
（3）求在上的最大值和最小值.
20. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）根据函数单调性定义证明在上单调递减；
（3）如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习
高一数学
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的运算可得.
【详解】因为，，所以，
，
故选：C
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，根据包含关系结合充分、必要条件分析判断.
【详解】由解得或，
因为是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 设，则下列不等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助不等式的性质对选项逐个分析即可得.
【详解】对A：若，则由，有，故错误；
对B：若，则有，故错误；
对C：若，则有，故错误；
对D：由，则，，故，故正确.
故选：D.
4. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A. 与B. 与
C 与D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式及值域是否相同即可.
【详解】选项A：函数的定义域为，而的定义域为，故A错误；
选项B：函数的定义域为，而的定义域为，，故B错误；
选项C：函数定义域为，而的定义域为，解析式相同,故C正确；
选项D：函数的定义域为，而的定义域为，
但是，故解析式不一样，所以D错误；
故选：C.
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性比较大小.
【详解】由已知，
，
，即，
所以，
故选：A.
6. 函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.
【详解】因为，定义域为R
所以
所以为奇函数，且，排除AB；
当时，，即，排除D
故选：C.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助诱导公式计算即可得.
【详解】，故，
故.
故选：D.
8. 化简的值为（ ）
A. 1B. 3C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据换底公式结合运算性质运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：B.
9. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的图象的一个对称中心为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用三角函数图象变换规律求出平移后的解析式，再令可求出对称中心的横坐标，从而可求得答案.
【详解】将函数的图象向左平移后得到函数.
令，则，
所以所得图象的对称中心为，
当时，一个对称中心为.
故选：D
10. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由分段函数的定义域要求及所给不等式中的绝对值进行分类讨论，再借助参变分离进行计算即可得.
【详解】当时，，故，
即，由随增大而增大，故，
当时，恒成立。
当时，，故，
即，由随增大而增大，故，
当时，，故，
即，由随增大而减小，故，
即，
综上所述，.
故选：C.
第Ⅱ卷（共80分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11. 函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据解析式有意义列不等式求解可得.
【详解】由题可知，所以，即，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
12. 已知集合，，则___________
【答案】
【解析】
【分析】化简集合，，利用集合的交集的定义即可求.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：
13. 若对数函数和函数在区间上均单调递增，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数单调性和幂函数的单调性可直接求出实数的取值范围.
【详解】因为对数函数区间上均单调递增，
所以，解得，
又函数在区间上均单调递增，
所以，解得，
综上，实数的取值范围是，
故答案为：
14. 已知，，且，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由，借助基本不等式可先将的最小值求出，即可得的最大值.
【详解】，
由，故，
则
，
当且仅当，即、时，等号成立，
则.
故答案为：.
15. 设函数，若函数恰有三个不同的零点，分别为，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的对称性，先求出函数的对称轴，结合函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可.
【详解】由，得的对称轴为：，
因为，由，解得，
当时，对称轴为，当时，对称轴为，
若函数恰有三个不同的零点，等价于函数与的图象有三个交点，作出函数的图象如图，得，所以，
由图象可知，点和关于直线对称，则；点和关于直线对称，则 ，
因此，.
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 已知全集，集合，.
（1）当时，求，；
（2）若，求实数取值范围.
【答案】16. ；
17. 或
【解析】
【分析】（1）利用集合交集，并集，补集定义计算即可求；
（2）由，分和两种情况讨论即可.
【小问1详解】
当时，，又因为，
所以，或，
所以.
【小问2详解】
若时，成立，即，解得，
若时，则或，解得或，
综上，或.
17. 已知函数（，且）与幂函数.
（1）当的图象过点时，求的值；
（2）当的图象过点时，求的值；
（3）在（1）、（2）的条件下，求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2）5 （3）最大值为3，最小值为1
【解析】
【分析】（1）将点代入解析式即可求；
（2）由幂函数定义及过点，列方程组即可求；
（3）由（1）、（2）确定函数解析式，据函数单调性求出函数的最值.
【小问1详解】
因为的图象过点，
所以，故.
【小问2详解】
因为是幂函数，且图象过点
所以，解得，故.
【小问3详解】
由（1）、（2）可知，，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递减，
所以上单调递减，
所以，当时，取到最大值为3；当时，取到最小值为1.
18. 函数.
（1）若的解集是或，求不等式的解集；
（2）当时，求关于的不等式的解集.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用已知解集求出参数，解不含参数的不等式即可.
（2）分类讨论求解不等式即可.
【小问1详解】
由题意得的解集是或，故的解是或，由韦达定理得，，解得，，故求的解集即可，解得，
【小问2详解】
由得，故求的解集即可，
，开口向上，化简得，
令，解得或，
当时，，此时解集为，
当时，解得，此时令，解得，
当时，解得，此时令，解得，
综上当时，，当时，.
19. 已知函数.
（1）求的值；
（2）求的最小正周期和单调递增区间；
（3）求在上的最大值和最小值.
【答案】19.
20. ；
21. 最大值；最小值
【解析】
【分析】（1）化简的解析式，代入求值即可；
（2）利用计算周期，令，即可得到增区间；
（3）由得到，借助正弦函数的性质可求出最值.
【小问1详解】
因为，
所以
【小问2详解】
由（1）可知，的最小正周期，
由，
得，
所以，函数的单调递增区间为：.
【小问3详解】
因为，所以，
所以当时，即时，取到最大值；当时，即时，取到最小值.
20. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）根据函数单调性定义证明在上单调递减；
（3）如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】20.
21. 证明见解析 22.
【解析】
【分析】（1）利用函数为奇函数的定义即可得到m值；
（2）根据单调性的定义分析证明；
（3）利用的奇偶性和单调性将不等式转为恒成立，转为求函数最值问题，最后解不等式即可得t的取值范围.
【小问1详解】
因为是定义在R上的奇函数，
所以，即，
即，即.
【小问2详解】
由（1）可得：，
任取，则 ，
因为，则，可得，
可得，即，
所以函数在R上是减函数．
【小问3详解】
因为，且是奇函数，
可得，
又因为在R上单调递减，则，
即，
可知对任意都成立，
由于，
注意到，则，即最大值，
可得，即，解得或，
所以实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．