2023-2024学年陕西省西安二十六中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安二十六中九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数中，y是x的反比例函数的是( )
A. y=5xB. y=−1x2C. y=x2D. y=−x+1
2.将一元二次方程3x2−2=4x化成一般形式后，若二次项的系数是3，则一次项的系数是( )
A. −2B. 2C. −4D. 4
3.如图，该几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边AB的中点E处，已知AB=6m，则点C到点E的距离是( )
A. 6m
B. 2.5m
C. 4m
D. 3m
5.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=80°，BA=BE，则∠AED=( )
A. 95°
B. 105°
C. 100°
D. 110°
6.如图，某展览大厅有2个入口和2个出口，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开.小明从入口1进入并从出口B离开的概率是( )
A. 12
B. 13
C. 14
D. 16
7.某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧(如图所示)，他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你，请你算出大石头的半径是( )
A. 40cmB. 30cmC. 20cmD. 50cm
8.如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1,1)，(1,5)，(5,1)，(7,1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( )
A. (7,−2)B. (5,−1)C. (6,0)D. (7,3)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么csB=______．
10.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=26°，则∠BAC的度数为______．
11.若二次函数y=−a(x+1)2−k的图象与x轴交于A(−4,0)，B两点，则点B的坐标是______．
12.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC=6，S菱形ABCD=24，则AB的长为______．
13.已知二次函数y=ax2−4ax+3a，若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
解方程：x2−4=−2x．
15.(本小题5分)
计算：tan45°−cs30°sin60°− 2sin45°．
16.(本小题5分)
已知反比例函数y1=k+2x与一次函数y2=2x+k(k是常数)，它们的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标是−3，求k的值．
17.(本小题5分)
如图，在△ABC中，D为边AB上一点，用尺规在边AC上求作一点E，使△ADE∽△ABC.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题5分)
如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DAB=66°，求∠ACD的度数．
19.(本小题5分)
为了让学生养成热爱读书的习惯，陕西某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2021年该学校用于购买图书的费用为3000元，2023年用于购买图书的费用是3630元，求该校用于买书的资金的年平均增长率．
20.(本小题5分)
如图，有4张大小、形状和背面完全相同的扑克牌，小康和小新玩扑克游戏.(扑克牌A当作数字1)

(1)小康将这4张扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上，小新从中随机抽出一张牌，牌面数字是奇数的概率是______．
(2)小新将这4张扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上，让小康随机抽取一张(不放回)记下牌面上的数字，接着小新从中抽取一张，再记下牌面上的数字，求他们抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是偶数的概率．
21.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=m(x+5)2+n与y=m(x−3)2+n+1交于点A.如图，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C(点B在点C左侧)，求线段BC的长．
22.(本小题7分)
如图，在一个坡角为30°的斜坡上有一棵树BC.当太阳光AC与水平线成70°角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段AB，AB=4米．
(1)求树根到地面的距离BD．
(2)求树BC的高度.(结果保留一位小数，参考数据： 3≈1.7，sin20°≈0.3，sin70°≈0.9，tan70°≈2.8)
23.(本小题7分)
某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品.如图，这是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里的温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y=kx的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
(1)求k的值．
(2)求恒温系统在这一天内保持大棚内温度不低于16℃的时间有多长．
24.(本小题8分)
如图，这是一张以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，使点B落在⊙O上的点D处，连接AD，CB，CD，CD与直径AB交于点E，连接OD，AC，且OD/​/AC．
(1)求证：四边形ACOD是菱形．
(2)若BC=4 3，求扇形AOC的面积．
25.(本小题8分)
如图，一小球(看作一个点)从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线可以用抛物线y=−12x2+bx刻画，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡OA可以用直线y=12x刻画，若小球到达的最高点M的坐标为(4,m)，解答下列问题：
(1)求b和m的值．
(2)小球落点为A，求点A的坐标．
(3)在斜坡OA上的点B处有一棵树(树高看成线段且垂直于x轴)，点B的横坐标为6，树高为2，小球能否飞过这棵树？请通过计算说明理由．
26.(本小题10分)
问题提出
(1)如图1，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，求证：△AFD∽△DCE．
问题探究
(2)如图2，将矩形ABCD折叠，使顶点B落在边CD上的点P处.已知折痕与边BC交于点O，求证：OCPD=OPAP．
问题解决
(3)如图3，菱形ABCD是一座避暑山庄的平面示意图，其中∠BAD=60°，AB=180米，现计划在山庄内修建一个三角形花园APQ，点P，Q分别在线段BC，CD上，根据设计要求，需满足∠APQ=120°，且AP=3PQ，问能否建造出符合要求的三角形花园APQ？若能，请找出点P，Q的位置(即求出DQ与BP的长)；若不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、符合反比例函数的定义，故此选项符合题意；
B、不符合反比例函数的一般式y=kx(k≠0)，故此选项不符合题意；
C、为正比例函数，故此选项不符合题意；
D、是一次函数，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据反比例函数的一般形式即可判断．
本题考查反比例函数的定义，熟记反比例函数解析式的一般式y=kx(k≠0)是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：3x2−2=4x，
∴3x2−4x−2=0，
∴一次项的系数是−4．
故选：C．
先化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式．掌握一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0 (a≠0)，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：从左面看到该几何体，是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线．
故选：B．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图象是左视图．
4.【答案】D
【解析】解：∵∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，
∴CE=12AB=12×6=3(m)，
即点C到点E的距离是3m，
故选：D．
由直角三角形斜边上的中线性质得CE=12AB=3m，即可得出结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=80°，
∴∠ABD=12∠ABC=40°．
∵BA=BE，
∴∠BAE=∠BEA=12×(180°−40°)=70°，
∴∠AED=∠BAE+∠ABD=70°+40°=110°，
故选：D．
由菱形的性质得∠ABD=12∠ABC=40°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠BAE=∠BEA=70°，然后由三角形的外角性质即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中小明从入口1进入并从出口B离开的结果有1种，
∴小明从入口1进入并从出口B离开的概率为14．
故选：C．
画树状图得出所有等可能的结果数以及小明从入口1进入并从出口B离开的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，连接AB、OC交AB于点D；
则AB=80，CD=20，OD⊥AB；
设⊙O的半径为λ，则OD=λ−20；
在直角△AOD中，AD=40，
由勾股定理得：λ2=(λ−20)2+402
解得：λ=50．
故选D．
如图，作辅助线；首先根据题意求出线段AD、DC的长度；设圆的半径为λ，运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ，即可解决问题．
该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用垂径定理、勾股定理来分析、判断、解答．
8.【答案】A
【解析】解：∵点A，B，C的坐标分别是(1,1)，(1,5)，(5,1)，
∴AB=AC=2，∠BAC=90°，即△ABC为等腰直角三角形，
∵以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，
∴△CDE为等腰直角三角形，
当CD=CE=2时，如图：E1(5,3)，E2(7,3)，E3(5,−1)，E4(7,−1)，
当CE=DE时，过点E作EF⊥CD于点F，如图：
∵CE=DE，EF⊥CD，
∴点F为CD中点，
∴CF=1，
∵∠CFE=90°，
∴EF=12CD=1，
∴E5(6,2)，E6(6,0)，
综上：点E的坐标可能是：(5,3)，(7,3)，(5,−1)，(7,−1)，(6,2)，(6,0)．
故选：A．
根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，则△CDE为等腰直角三角形那个，再进行分类讨论：当CD=CE=2时，当CE=DE时．
本题主要考查了相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形形状相同，对应边成比例．
9.【答案】45
【解析】解：如图，∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴csB=BCAB=45，
故答案为：45．
锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，根据余弦的定义计算即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．
10.【答案】13°
【解析】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=12(180°−∠P)=12×(180°−26°)=77°，
∵PA是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，
∴AC⊥AP，
∴∠PAC=90°，
∴∠BAC=90°−∠PAB=90°−77°=13°．
故答案为：13°．
先根据切线的性质的PA=PB，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠PAB=77°，接着利用切线的性质得到∠PAC=90°，然后利用互余可计算出∠BAC的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
11.【答案】(2,0)
【解析】解：由抛物线的解析式可知对称轴x=−1，
∵A(−4,0)，A，B关于x=−1对称，
∴B(2,0)，
故答案为：(2,0)．
根据抛物线的对称轴和对称性即可得出结论．
本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键对二次函数图象和性质的掌握与运用，属于中考常考题型．
12.【答案】5
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，DO=BO，AO=OC=12AC=3，
∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×6BD=24，
∴BD=8，
∴BO=12BD=4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= AO2+BO2= 32+42=5，
故答案为：5．
由菱形的性质得AC⊥BD，DO=BO，AO=OC=12AC=3，再由菱形的面积求出BD=8，则BO=12BD=4，然后由勾股定理求出AB的长即可．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理，由菱形的面积求出BD的长是解题的关键．
13.【答案】43或−4
【解析】解：∵二次函数y=ax2−4ax+3a=a(x−2)2−a
∴抛物线的对称轴是直线x=2，
∵1≤x≤4，
∴当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x=2右侧y随x的增大而增大，
当x=4时y有最大值，
a×(4−2)2−a=4，解得a=43，
当a<0时，抛物线开口向下，x=2时y有最大值，
a×(2−2)2−a=4，解得a=−4．
故答案为：43或−4．
先求出抛物线的对称轴是直线x=2，然后分a>0和a<0两种情况讨论，根据函数增减性即可求出a的值．
本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
14.【答案】解：方程整理得：x2+2x−4=0，
这里a=1，b=2，c=−4，
∵Δ=22−4×1×(−4)
=4+16
=20>0，
∴x=−2±2 52=−1± 5，
解得：x1=−1+ 5，x2=−1− 5．
【解析】方程整理后，利用公式法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
15.【答案】解：tan45°−cs30°sin60°− 2sin45°
=1− 32× 32− 2× 22
=1−34−1
=−34．
【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】解：∵反比例函数y1=k+2x与一次函数y2=2x+k图象有一个交点的横坐标是−3，
∴k+2−3=−6+k，
解得：k=4．
∴k的值为4．
【解析】由题意k+2−3=−6+k，然后解方程法即可求得k的值．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
17.【答案】解：如图所示，点E即为所作．

【解析】过点D作∠ADE=∠B，与AC交于点E，据此可得答案．
本题主要考查作图−相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定及作一个角等于已知角的尺规作图．
18.【答案】解：连接OD，
∵∠DAB=66°，
∴∠DOB=2∠DAB=2×66°=132°，
∴∠AOD=180°−132°=48°，
∴∠ACD=12∠AOD=24°．
【解析】连接OD，利用圆周角定理得出∠BOD的度数，进而可得出∠AOD的度数，据此得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
19.【答案】解：设该校用于买书的资金的年平均增长率为x，
根据题意得：3000(1+x)2=3630，
解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1(不符合题意，舍去)．
答：该校用于买书的资金的年平均增长率为10%．
【解析】设该校用于买书的资金的年平均增长率为x，利用该校2023用于购买图书的费用=该校2021用于购买图书的费用×(1+该校用于买书的资金的年平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20.【答案】12
【解析】解：(1)数字1，2，3，4中，是奇数的有1和3，
∴小新从中随机抽出一张牌，牌面数字是奇数的概率是24=12．
故答案为：12．
(2)列表如下：
共有12种等可能的结果，其中他们抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是偶数的结果有：(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共4种，
∴他们抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是偶数的概率为412=13．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)列表可得出所有等可能的结果数以及他们抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21.【答案】解：由题知，
两条抛物线的对称轴分别为直线x=−5和直线x=3，
令直线BC与这两条对称轴的交点分别为M和N，
因为直线BC平行于y轴，
则MN=3−(−5)=8，
又因为BM=AM，CN=AN，
所以BC=AB+AC=2(AM+AN)=2MN=16，
故线段BC的长为16．
【解析】根据抛物线的对称性即可解决问题．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线的对称性是解题的关键．
22.【答案】解：(1)在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=4米，
则BD=12AB=12×4=2(米)，
答：树根到地面的距离BD为2米；
(2)由勾股定理得：AD= AB2−BD2=2 3(米)，
在Rt△CAD中，∠CAD=70°，
则CD=AD⋅tan∠CAD=2 3×2.8≈9.52(米)，
∴BC=CD=BD=9.52−2≈7.5(米)，
答：树BC的高度约为7.5米．
【解析】(1)根据含30°角的直角三角形的性质求出BD；
(2)根据勾股定理求出AD，再根据正切的定义求出CD，进而求出BC．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23.【答案】解：(1)把B(12,20)代入y=kx中得：
k=12×20=240；
(2)如图，

设AD的解析式为：y=mx+n．
把(0,10)、(2,20)代入y=mx+n中得：
10=n20=2m+n，
解得：m=5n=10，
∴AD的解析式为：y=5x+10，
当y=16时，16=5x+10，x=1.2．
16=240x，
解得：x=15，
15−1.2=13.8(小时)．
答：恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于16℃的时间有13.8小时．
【解析】(1)直接将点B的坐标代入即可；
(2)观察图象可知：三段函数都有y≥16的点，而且AB段是恒温阶段，y=20，所以计算AD和BC两段当y=16时对应的x值，相减就是结论．
本题考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
24.【答案】(1)证明：如图，连接BD，由轴对称可知，直线CO是线段BD的垂直平分线，
即CO⊥BD，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BD，
∴CO//AD，
又∵OD/​/AC，
∴四边形ACOD是平行四边形，
∵OD=OC，
∴四边形ACOD是菱形，
(2)解：∵四边形ACOD是菱形，
∴AC=AD=OC=OD，
∵OC=OD=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
在Rt△ACB中，∠OAC=60°，BC=4 3，
∴AB=BC 32=8，
∴OA=4，
∴扇形AOC的面积=60π×42360=83π．
【解析】(1)根据圆周角定理可得AD⊥BD，由对称的性质可得CO⊥BD，进而得到CO//AD，得出四边形ACOD是平行四边形，进而得出四边形ACOD是菱形；
(2)证得△AOC是等边三角形，即可求出∠ABC的度数，由特殊锐角三角函数值可求出AB，从而求得OA，利用扇形面积公式即可求得．
本题考查扇形的面积，轴对称，圆周角定理．菱形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，掌握圆周角定理以及等腰三角形的性质是正确解答的前提．
25.【答案】解：(1)由题意，得−b2×(−12)=4，
∴b=4．
∴抛物线的解析式为y=−12x2+4x．
∴当x=4时，m=−12×42+4×4=8．
∴b=4，m=8．
(2)由题意，得y=−12x2+4xy=12x，
∴解得x=0y=0或x=7y=72．
∴点A的坐标为(7,72)．
(3)由题意，当x=6时，代入y=12x，得y=3；
当x=6时，代入y=−12x2+4x，得y=6．
∵3+2=5，且5<6，
∴小球能飞过这棵树．
【解析】(1)依据题意，得−b2×(−12)=4，从而b=4，可得抛物线的解析式为y=−12x2+4x，又把x=4代入解析式即可求出m的值；
(2)依据题意，联立两解析式，即可求出交点A的坐标；
(3)把x=6分别代入y=−12x2+4x和y=12x，即可得到答案．
本题主要考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，AD//BC，
∴∠ADF=∠DEC，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°，
∴∠AFD=∠C，
∴△AFD∽△DCE；
(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠CPO+∠POC=90°，
由折叠得，
∠APO=∠B=90°，
∴∠APD+∠CPO=90°，
∴∠APD=∠POC，
∴△POC∽△APD，
∴OCPD=OPAP；
(3)解：如图，
．
在BC截取BP=90m，在CD上截取CQ=30m，则∠APQ=120°，AP=3PQ，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AB=BC=180m，∠C=∠BAD=60°，AD//BC，
∴∠B=180°−∠DAB=120°，
在CB上截取CW=CQ，连接QW，
∴△CQW是等边三角形，
∴∠CWQ=60°，CW=QW，
∴∠PQW+∠WPQ=60°，∠PWQ=120°，
∴∠PWQ=∠B，
∵∠APQ=120°，
∴∠APB+∠WPQ=60°，
∴∠APB=∠PQW，
∴△ABP∽△PWQ，
∴BPQW=ABPW=APPQ=3，
∴PW=13AB=60m，QW=13BP，
∴CW=13BP，
∴CW+BP=120m，
∴CQ=CW=30m，BP=90m，
∴DQ=180−30=150(m)．
【解析】(1)可证得∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠C=90°，从而得出结论；
(2)可证明△POC∽△APD，从而得出结论；
(3)在BC截取BP=90m，在CD上截取CQ=30m，则∠APQ=120°，AP=3PQ.CB上截取CW=CQ，连接QW，可证得△ABP∽△PWQ，BPQW=ABPW=APPQ=3，从而PW=13AB=60m，QW=13BP，进一步得出结果．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．1
2
3
4
1
(1,2)
(1,3)
(1,4)
2
(2,1)
(2,3)
(2,4)
3
(3,1)
(3,2)
(3,4)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)