（全国通用）中考数学总复习 专题10 一次函数及其应用（12个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析）

这是一份（全国通用）中考数学总复习 专题10 一次函数及其应用（12个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析），共56页。

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc1672" 【考点1 一次函数的定义】 PAGEREF _Tc1672 \h 1
\l "_Tc5589" 【考点2 一次函数的图像】 PAGEREF _Tc5589 \h 3
\l "_Tc27760" 【考点3 一次函数的性质】 PAGEREF _Tc27760 \h 4
\l "_Tc22669" 【考点4 一次函数的图像与系数的关系】 PAGEREF _Tc22669 \h 5
\l "_Tc3098" 【考点5 一次函数的图像上点的坐标特征】 PAGEREF _Tc3098 \h 6
\l "_Tc29362" 【考点6 一次函数的图像与几何变换】 PAGEREF _Tc29362 \h 7
\l "_Tc16477" 【考点7 待定系数法求一次函数解析式】 PAGEREF _Tc16477 \h 8
\l "_Tc889" 【考点8 一次函数与一元一次方程】 PAGEREF _Tc889 \h 10
\l "_Tc25729" 【考点9 一次函数与一元一次不等式】 PAGEREF _Tc25729 \h 11
\l "_Tc30276" 【考点10 一次函数与二元一次方程（组）】 PAGEREF _Tc30276 \h 12
\l "_Tc18072" 【考点11 一次函数的应用】 PAGEREF _Tc18072 \h 13
\l "_Tc6193" 【考点12 一次函数的综合】 PAGEREF _Tc6193 \h 15
【要点1 一次函数和正比例函数的概念】
一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。
【考点1 一次函数的定义】
【例1】（2022·山东济宁·二模）若函数y＝(m-1)xm﹣5是一次函数，则m的值为（ ）
A．±1B．﹣1C．1D．2
【变式1-1】（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模）下列式子中，哪个表示y是x的正比例函数（ ）
A．y=2xB．y=2xC．y=2x2D．y2=4x
【变式1-2】（2022·陕西宝鸡·一模）已知下列函数：（1）y=8x；（2）y=−8x；（3）y=8x2；（4）s=8t+1，其中是一次函数的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式1-3】（2022·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系
C．反比例函数关系D．二次函数关系
【要点2 一次函数与正比例函数的图象与性质】
1、正比例函数的图象与性质
2、一次函数的图象与性质
3、截距
【考点2 一次函数的图像】
【例2】（2022·贵州六盘水·中考真题）如图是一次函数y=kx+b的图象，下列说法正确的是（ ）
A．y随x增大而增大B．图象经过第三象限C．当x≥0时，y≤bD．当x<0时，y<0
【变式2-1】（2022·辽宁沈阳·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y=−x+1的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】（2022·内蒙古·镶黄旗第一中学模拟预测）已知正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝－kx＋k的图象大致是( )
A．B．C．D．
【变式2-3】（2022·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图像经过点(0，2)”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是____．
【考点3 一次函数的性质】
【例3】（2022·甘肃兰州·中考真题）若一次函数y=2x+1的图象经过点−3,y1，4,y2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1y2C．y1≤y2D．y1≥y2
【变式3-1】（2022·山东济宁·中考真题）已知直线y1＝x－1与y2＝kx＋b相交于点（2，1）．请写出b值____（写出一个即可），使x＞2时，y1＞y2．
【变式3-2】（2022·江苏泰州·中考真题）定义：对于一次函数y1=ax+b、y2=cx+d ，我们称函数y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)为函数y1、y2的“组合函数”.
(1)若m=3，n=1，试判断函数y=5x+2是否为函数y1=x+1,y2=2x−1的“组合函数”，并说明理由;
(2)设函数y1=x−p−2与y2=−x+3p的图像相交于点P.
①若m+n>1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
【变式3-3】（2022·广西柳州·中考真题）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【考点4 一次函数的图像与系数的关系】
【例4】（2022·辽宁·本溪市教师进修学院中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（ ）
A．k1⋅k2<0B．k1+k2<0C．b1−b2<0D．b1⋅b2<0
【变式4-1】（2022·贵州遵义·中考真题）若一次函数y=k+3x−1的函数值y随x的增大而减小，则k值可能是（ ）
A．2B．32C．−12D．−4
【变式4-2】（2022·内蒙古包头·中考真题）在一次函数y=−5ax+b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增大，且ab>0，则点A(a,b)在（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
【考点5 一次函数的图像上点的坐标特征】
【例5】（2022·浙江绍兴·中考真题）已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y=−2x+3上的三个点，且x1A．若x1x2>0，则y1y3>0B．若x1x3<0，则y1y2>0
C．若x2x3>0，则y1y3>0D．若x2x3<0，则y1y2>0
【变式5-1】（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知点A(a,b)，B(4,c)在直线y=kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
A．52B．2C．32D．1
【变式5-2】（2022·山东济南·模拟预测）如图，直线l是函数y=12x+3的图象．若点P（a，b）满足a<5，且b>12x+3，则P点的坐标可能是（ ）
A．(2,312)B．(3,5)C．(4,412)D．(5,6)
【变式5-3】（2022·湖北荆门·中考真题）如图，过原点的两条直线分别为l1：y＝2x，l2：y＝﹣x，过点A（1，0）作x轴的垂线与l1交于点A1，过点A1作y轴的垂线与l2交于点A2，过点A2作x轴的垂线与l1交于点A3，过点A3作y轴的垂线与l2交于点A4，过点A4作x轴的垂线与l1交于点A5，⋯，依次进行下去，则点A20的坐标为 _____．
【考点6 一次函数的图像与几何变换】
【例6】（2022·陕西铜川·一模）把函数y=3x−3的图象向上平移5个单位，则下列各坐标所表示的点中，在平移后的直线上的是（ ）
A．(1,2)B．(2,3)C．(2,6)D．(2,8)
【变式6-1】（2022·广西贵港·三模）将直线y=12x+2向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的直线必定经过（ ）
A．0,0B．0,−1C．1,0D．−1,32
【变式6-2】（2022·辽宁阜新·中考真题）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图像平移的性质”的探究过程，请补充完整．
(1)如图1，将一次函数y=x+2的图像向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了______个单位长度；
(2)将一次函数y=−2x+4的图像向下平移1个单位长度，相当于将它向______（填“左”或“右”）平移了______个单位长度；
(3)综上，对于一次函数y=kx+b(k≠0)的图像而言，将它向下平移m(m>0)个单位长度，相当于将它向______（填“左”或“右”）（k>0时）或将它向______（填“左”或“右”）（k<0时）平移了n(n>0)个单位长度，且m，n，k满足等式_______．
【变式6-3】（2022·山东威海·中考真题）如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为（0，2），（3，0），（1，4）．若MN∥PQ，则点N的坐标可能是( )
A．（2，3）B．（3，3）C．（4，2）D．（5，1）
【要点3 正比例函数和一次函数解析式的确定】
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
【考点7 待定系数法求一次函数解析式】
【例7】（2022·福建省南平市教师进修学院（南平市教育科学研究院、南平市普通教育教学研究室）模拟预测）如果P（2，m），A（1，1），B（4，0）三点在同一直线上，则m的值为（ ）
A．3B．4C．5D．23
【变式7-1】（2022·湖南益阳·中考真题）如图，直线y＝12x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．
(1)求点A′的坐标；
(2)确定直线A′B对应的函数表达式．
【变式7-2】（2022·河北·中考真题）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A−8,19，B6,5．
(1)求AB所在直线的解析式；
(2)某同学设计了一个动画：在函数y=mx+nm≠0,y≥0中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中Cc,0．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；
②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光，求此时整数m的个数．
【变式7-3】（2022·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=43．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
A．y=3xB．y=−34x+152
C．y=−2x+11D．y=−2x+12
【要点4 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】
1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．
而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.
【考点8 一次函数与一元一次方程】
【例8】（2022·山东·青岛大学附属中学二模）若关于x的方程−2x+b=0的解是x=2，则直线y=−2x+b一定经过点（ ）
A．(2,0)B．(0,2)C．(−2,0)D．(0,−2)
【变式8-1】（2022·山西大同·二模）数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，方程3x＝ax+b的解为（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝3D．x＝﹣3
【变式8-2】（2022·吉林省第二实验学校模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象中的信息可求得关于x的方程kx+b＝﹣1的解为_____．
【变式8-3】（2022·山东淄博·二模）若一次函数y=kx+3（k为常数且k≠0）的图像经过点（－2，0），则关于x的方程kx−5+3=0的解为（ ）
A．x=−5B．x=−3C．x=3D．x=5
【考点9 一次函数与一元一次不等式】
【例9】（2022·湖北鄂州·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝13x都经过点A（3，1），当kx+b＜13x时，x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x＜1D．x＞1
【变式9-1】（2022·青海西宁·中考真题）如图，直线y1=k1x与直线y2=k2x+b交于点A(1，2)．当y1【变式9-2】（2022·江苏徐州·中考真题）若一次函数y＝kx＋b的图像如图所示，则关于kx＋32b＞0的不等式的解集为________．
【变式9-3】（2022·福建省泉州实验中学三模）观察图中的函数图象，可以得到关于x的不等式ax−bxA．x<−2B．x<4C．x>−2D．x>4
【考点10 一次函数与二元一次方程（组）】
【例10】（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b与直线y=−3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组y=2x+by=−3x+6的解是（ ）
A．x=2y=0B．x=1y=3C．x=−1y=9D．x=3y=1
【变式10-1】（2022·陕西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，直线y=−x+4与y=2x+m相交于点P(3,n)，则关于x，y的方程组x+y−4=02x−y+m=0的解为（ ）
A．x=−1y=5B．x=1y=3C．x=3y=1D．x=9y=−5
【变式10-2】（2022·甘肃·平凉市第十中学三模）已知关于x，y的方程组y=−x+by=−3x+2的解是x=−1y=m，则直线y=−x+b与y=−3x+2的交点在第______象限．
【变式10-3】（2022·山西·太原师范学院附属中学一模）图中两直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组（ ）的解．
A．x−y=32x−y=−1B．x−y=−12x−y=1
C．x−y=32x−y=1D．x−y=−32x−y=−1
【考点11 一次函数的应用】
【例11】（2022·四川攀枝花·中考真题）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y1(km)与时间x(h)之间的函数关系：折线OABN表示轿车离西昌距离y2(km)与时间x(h)之间的函数关系，则以下结论错误的是（ ）
A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为60km/h
C．轿车从西昌到雅安的速度为110km/h
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有60km
【变式11-1】（2022·山东烟台·中考真题）周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t（秒）的关系图像如图所示．若不计转向时间，按照这一速度练习20分钟，迎面相遇的次数为（ ）
A．12B．16C．20D．24
【变式11-2】（2022·湖北襄阳·中考真题）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
(1)求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
(2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
(3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．
【变式11-3】（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
(1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；
(2)求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
【考点12 一次函数的综合】
【例12】（2022·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（ ）
A．4【变式12-1】（2022·山东聊城·中考真题）如图，一次函数y=x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C−2,0是x轴上一点，点E，F分别为直线y=x+4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为（ ）
A．E−52,32，F0,2B．E−2,2，F0,2
C．E−52,32，F0,23D．E−2,2，F0,23
【变式12-2】（2022·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是__________．
【变式12-3】（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，直线y=34x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段AB上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作∠OCD=∠OAB，射线CD交线段OB于点D，将射线OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD于点E，连接BE．
(1)证明：CDDB=ODDE；（用图1）
(2)当△BDE为直角三角形时，求DE的长度；（用图2）
(3)点A关于射线OC的对称点为F，求BF的最小值．（用图3） 解析式
y=kxk≠0
自变量取值范围
全体实数
图象
形状
过原点的一条直线
k的取值
k>0
k<0
示意图
位置
经过一、三象限
经过二、四象限
趋势
从左向右上升
从左向右下降
函数增减性
y随x的增大而增大，
即：当x1>x2时，y1>y2
y随x的增大而减小
即：当x1>x2时，y1解析式
y=kx+bk≠0
自变量取值范围
全体实数
图象
形状
过0，b和
−bk,0
的一条直线
k、b的取值
k>0
k<0
b>0
b<0
b>0
b<0
示意图
位置
经过一、二、三象限
经过一、三、四象限
经过一、二、四象限
经过二、三、四象限
趋势
从左向右上升
从左向右下降
函数增减性
y随x的增大而增大，
即：当x1>x2时，y1>y2
y随x的增大而减小
即：当x1>x2时，y1定义
直线y=kx+b与y轴相交于（0，b）,b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距，简称截距
举例
直线y=−2x−3的截距是−3
专题10 一次函数及其应用（12个高频考点）（举一反三）

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc1672" 【考点1 一次函数的定义】 PAGEREF _Tc1672 \h 1
\l "_Tc5589" 【考点2 一次函数的图像】 PAGEREF _Tc5589 \h 4
\l "_Tc27760" 【考点3 一次函数的性质】 PAGEREF _Tc27760 \h 6
\l "_Tc22669" 【考点4 一次函数的图像与系数的关系】 PAGEREF _Tc22669 \h 10
\l "_Tc3098" 【考点5 一次函数的图像上点的坐标特征】 PAGEREF _Tc3098 \h 12
\l "_Tc29362" 【考点6 一次函数的图像与几何变换】 PAGEREF _Tc29362 \h 15
\l "_Tc16477" 【考点7 待定系数法求一次函数解析式】 PAGEREF _Tc16477 \h 18
\l "_Tc889" 【考点8 一次函数与一元一次方程】 PAGEREF _Tc889 \h 24
\l "_Tc25729" 【考点9 一次函数与一元一次不等式】 PAGEREF _Tc25729 \h 26
\l "_Tc30276" 【考点10 一次函数与二元一次方程（组）】 PAGEREF _Tc30276 \h 28
\l "_Tc18072" 【考点11 一次函数的应用】 PAGEREF _Tc18072 \h 31
\l "_Tc6193" 【考点12 一次函数的综合】 PAGEREF _Tc6193 \h 36
【要点1 一次函数和正比例函数的概念】
一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。
【考点1 一次函数的定义】
【例1】（2022·山东济宁·二模）若函数y＝(m-1)xm﹣5是一次函数，则m的值为（ ）
A．±1B．﹣1C．1D．2
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义进行计算即可．
【详解】解：根据题意得，|m|＝1且m﹣1≠0，
解得m＝±1且m≠1，
所以，m＝﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
【变式1-1】（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模）下列式子中，哪个表示y是x的正比例函数（ ）
A．y=2xB．y=2xC．y=2x2D．y2=4x
【答案】A
【分析】根据正比例函数y=kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案．
【详解】A项，y=2x，符合正比例函数的定义，故本项符合题意；
B项，y=2x，不符合正比例函数的定义，故本项不符合题意；
C项，y=2x2，不符合正比例函数的定义，故本项不符合题意；
D项，y2=4x，不符合正比例函数的定义，故本项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的概念是解决此题关键．
【变式1-2】（2022·陕西宝鸡·一模）已知下列函数：（1）y=8x；（2）y=−8x；（3）y=8x2；（4）s=8t+1，其中是一次函数的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义（一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k,b为常数，k≠0）即可得．
【详解】解：由一次函数的定义可知，函数y=8x和s=8t+1是一次函数，函数y=−8x和y=8x2都不是一次函数，
即一次函数有2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数，熟记定义是解题关键．
【变式1-3】（2022·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系
C．反比例函数关系D．二次函数关系
【答案】B
【分析】根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答．
【详解】解：根据题意得：
2x+y=40，
∴y=−2x+40，
∴y与x满足的函数关系是一次函数；
故选：B．
【点睛】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式．
【要点2 一次函数与正比例函数的图象与性质】
1、正比例函数的图象与性质
2、一次函数的图象与性质
3、截距
【考点2 一次函数的图像】
【例2】（2022·贵州六盘水·中考真题）如图是一次函数y=kx+b的图象，下列说法正确的是（ ）
A．y随x增大而增大B．图象经过第三象限C．当x≥0时，y≤bD．当x<0时，y<0
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象与性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、y随x增大而减小，则此项错误，不符合题意；
B、图象不经过第三象限，则此项错误，不符合题意；
C、函数图象与y轴的交点的纵坐标为b，所以当x≥0时，y≤b，则此项正确，符合题意；
D、当x<0时，y>0，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
【变式2-1】（2022·辽宁沈阳·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y=−x+1的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象与性质即可得．
【详解】解：一次函数y=−x+1的一次项系数为−1<0，常数项为1>0，
∴函数图象经过一、二、四象限
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
【变式2-2】（2022·内蒙古·镶黄旗第一中学模拟预测）已知正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝－kx＋k的图象大致是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据正比例函数的性质可得k>0，再根据一次函数的图象与性质即可得．
【详解】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，
∴k>0，
∴一次函数y=−kx+k的y随x的增大而减小，与y轴的交点位于y轴正半轴，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质、一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
【变式2-3】（2022·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图像经过点(0，2)”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是____．
【答案】y=−2x+2（答案不唯一）
【分析】根据题意的要求，结合常见的函数，写出函数解析式即可，最好找有代表性的、特殊的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等．
【详解】解：根据题意，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；
可设函数为：y=−2x+b,
又满足乙：“函数图像经过点(0，2)”，
则函数关系式为y=−2x+2，
故答案为：y=−2x+2（答案不唯一）
【点睛】本题考查学生对函数图象的掌握程度与灵活运用的能力，属于开放性题．
【考点3 一次函数的性质】
【例3】（2022·甘肃兰州·中考真题）若一次函数y=2x+1的图象经过点−3,y1，4,y2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1y2C．y1≤y2D．y1≥y2
【答案】A
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-3＜4即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数y=2x+1中，k=2＞0，
∴y随着x的增大而增大．
∵点（-3，y1）和（4，y2）是一次函数y=2x+1图象上的两个点，-3＜4，
∴y1＜y2．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．
【变式3-1】（2022·山东济宁·中考真题）已知直线y1＝x－1与y2＝kx＋b相交于点（2，1）．请写出b值____（写出一个即可），使x＞2时，y1＞y2．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】根据题意将点（2，1）代入y2＝kx＋b可得2k+b=1，即k=1−b2，根据x＞2时，y1＞y2，可得k<1，即可求得b的范围，即可求解．
【详解】解：∵直线y1＝x－1与y2＝kx＋b相交于点（2，1），
∴点（2，1）代入y2＝kx＋b，
得2k+b=1，
解得k=1−b2,
∵直线y1＝x－1，y随x的增大而增大，
又 x＞2时，y1＞y2，
∴ k<1，
∴1−b<2，
解得b>−1，
故答案为：2（答案不唯一）
【点睛】本题考查了两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【变式3-2】（2022·江苏泰州·中考真题）定义：对于一次函数y1=ax+b、y2=cx+d ，我们称函数y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)为函数y1、y2的“组合函数”.
(1)若m=3，n=1，试判断函数y=5x+2是否为函数y1=x+1,y2=2x−1的“组合函数”，并说明理由;
(2)设函数y1=x−p−2与y2=−x+3p的图像相交于点P.
①若m+n>1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
【答案】(1)y=5x+2是函数y1=x+1,y2=2x−1的“组合函数”
(2)①p<1；②存在，见详解
【分析】（1）把m=3，n=1代入组合函数中，化简后进行判断即可；
（2）①先求出点P的坐标2p+1,p−1和“组合函数”y=m−nx+3pn−mp−2m，把x=2p+1代入“组合函数”，再根据题意，列不等式求解即可；②将点P代入“组合函数”，整理得m+n=1，把n=1-m代入“组合函数”，消去n，把y=0代入解一元一次方程即可求解．
（1）
解：y=5x+2是函数y1=x+1,y2=2x−1的“组合函数”，
理由：由函数y1=x+1,y2=2x−1的“组合函数”为：y=mx+1+n2x−1，
把m=3，n=1代入上式，得y=3x+1+2x−1=5x+2，
∴函数y=5x+2是函数y1=x+1,y2=2x−1的“组合函数”；
（2）
解：①解方程组y=x−p−2y=−x+3p得x=2p+1y=p−1，
∵ 函数y1=x−p−2与y2=−x+3p的图像相交于点P，
∴点P的坐标为2p+1,p−1，
∵y1、y2的“组合函数”为y=mx−p−2+n−x+3p， ∴y=m−nx+3pn−mp−2m，
∵m+n>1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图像的上方，
∴p−1＞m−n2p+1+3pn−mp−2m，整理，得p−1＞m+np−1，
∴p−1<0，p<1，
∴ p的取值范围为p<1；
②存在，理由如下：
∵函数y1、y2的“组合函数”图像经过点P．
∴将点P的坐标2p+1,p−1代入“组合函数”y=m−nx+3pn−mp−2m，得
p−1=m−n2p+1+3pn−mp−2m，
∴ p−1=m+np−1，
∵p≠1，
∴m+n=1，n=1−m，
将n=1−m代入y=m−nx+3pn−mp−2m=2m−1x+3p−4pm−2m，
把y=0代入y=2m−1x+3p−4pm−2m，得2m−1x+3p−4pm−2m=0
解得：x=p−3+4m+2m2m−1，
设−3+4m=0，则m=34，
∴x=2×342×34−1=3
∴Q3,0，
∴对于不等于1的任意实数p，存在“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与一元一次方程，正确理解“组合函数”的定义是解本题的关键．
【变式3-3】（2022·广西柳州·中考真题）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】由于P的纵坐标为2，故点P在直线y= 2上，要求符合题意的m值，则P点为直线y= 2与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得．
【详解】∵点P (m， 2)是△ABC内部(包括边上)的点．
∴点P在直线y= 2上，如图所示，，
当P为直线y= 2与直线y2的交点时，m取最大值，
当P为直线y= 2与直线y1的交点时，m取最小值，
∵y2 =-x+ 3中令y=2，则x= 1，
∵y1 =x+ 3中令y=2，则x= -1，
∴m的最大值为1， m的最小值为- 1．
则m的最大值与最小值之差为：1- (-1)= 2．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的性质， 要求符合题意的m值，关键要理解当P在何处时m存在最大值与最小值，由于P的纵坐标为2，故作出直线y= 2有助于判断P的位置．
【考点4 一次函数的图像与系数的关系】
【例4】（2022·辽宁·本溪市教师进修学院中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（ ）
A．k1⋅k2<0B．k1+k2<0C．b1−b2<0D．b1⋅b2<0
【答案】D
【分析】先根据两条直线的图象得到k1>0，b1>0，k2>0，b2<0，然后再进行判定求解．
【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，
∴k1>0，b1>0，k2>0，b2<0，
∴k1⋅k2>0，k1+k2>0，b1−b2>0，b1⋅b2<0，
故A，B，C项均错误，D项正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与k和b符号的关系，掌握当直线与y轴交于正半轴上时，b＞0；当直线与y轴交于负半轴时， b＜0是解答关键．
【变式4-1】（2022·贵州遵义·中考真题）若一次函数y=k+3x−1的函数值y随x的增大而减小，则k值可能是（ ）
A．2B．32C．−12D．−4
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质可得k+3<0，即可求解．
【详解】解：∵一次函数y=k+3x−1的函数值y随x的增大而减小，
∴k+3<0．
解得k<−3．
观察各选项，只有D选项的数字符合
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【变式4-2】（2022·内蒙古包头·中考真题）在一次函数y=−5ax+b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增大，且ab>0，则点A(a,b)在（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质求出a的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断A点所处的象限即可．
【详解】∵在一次函数y=−5ax+b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增大，
∴−5a＞0，即a＜0，
又∵ab>0，
∴b＜0，
∴点A(a,b)在第三象限，
故选：B
【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
【变式4-3】（2022·安徽·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+a2与y=a2x+a的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分为a>0和a<0两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可．
【详解】解：当x=1时，两个函数的函数值：y=a+a2，即两个图像都过点1,a+a2，故选项A、C不符合题意；
当a>0时，a2>0，一次函数y=ax+a2经过一、二、三象限，一次函数y=a2x+a经过一、二、三象限，都与y轴正半轴有交点，故选项B不符合题意；
当a<0时，a2>0，一次函数y=ax+a2经过一、二、四象限，与y轴正半轴有交点，一次函数y=a2x+a经过一、三、四象限，与y轴负半轴有交点，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质．理解和掌握它的性质是解题的关键．
一次函数y=kx+b的图像有四种情况：
①当k>0，b>0时，函数y=kx+b的图像经过第一、二、三象限；
②当k>0，b<0时，函数y=kx+b的图像经过第一、三、四象限；
③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图像经过第一、二、四象限；
④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图像经过第二、三、四象限．
【考点5 一次函数的图像上点的坐标特征】
【例5】（2022·浙江绍兴·中考真题）已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y=−2x+3上的三个点，且x1A．若x1x2>0，则y1y3>0B．若x1x3<0，则y1y2>0
C．若x2x3>0，则y1y3>0D．若x2x3<0，则y1y2>0
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵直线y=−2x+3
∴y随x增大而减小，当y=0时，x=1.5
∵(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y=−2x+3上的三个点，且x1∴若x1x2>0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A不符合题意；
若x1x3<0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意；
若x2x3>0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不符合题意；
若x2x3<0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2>0，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【变式5-1】（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知点A(a,b)，B(4,c)在直线y=kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
A．52B．2C．32D．1
【答案】B
【分析】把A(a,b)代入y=kx+3后表示出ab，再根据ab最大值求出k，最后把B(4,c)代入y=kx+3即可．
【详解】把A(a,b)代入y=kx+3得：b=ka+3
∴ab=a(ka+3)=ka2+3a=k(a+32k)2−94k
∵ab的最大值为9
∴k<0，且当a=−32k时，ab有最大值，此时ab=−94k=9
解得k=−14
∴直线解析式为y=−14x+3
把B(4,c)代入y=−14x+3得c=−14×4+3=2
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数上点的特点、二次函数最值，解题的关键是根据ab的最大值为9求出k的值．
【变式5-2】（2022·山东济南·模拟预测）如图，直线l是函数y=12x+3的图象．若点P（a，b）满足a<5，且b>12x+3，则P点的坐标可能是（ ）
A．(2,312)B．(3,5)C．(4,412)D．(5,6)
【答案】B
【分析】根据题意，代入横坐标求出纵坐标即可判断．
【详解】解：A、x=2时，y=12×2+3=4>312，不符合题意；
B、x=3时，y=12×3+3=92<5，符合题意；
C、x=4时，y=12×4+3=5<412，不符合题意；
D、因为a<5，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
【变式5-3】（2022·湖北荆门·中考真题）如图，过原点的两条直线分别为l1：y＝2x，l2：y＝﹣x，过点A（1，0）作x轴的垂线与l1交于点A1，过点A1作y轴的垂线与l2交于点A2，过点A2作x轴的垂线与l1交于点A3，过点A3作y轴的垂线与l2交于点A4，过点A4作x轴的垂线与l1交于点A5，⋯，依次进行下去，则点A20的坐标为 _____．
【答案】（210，﹣210）
【分析】首先把x＝1代入l1：y＝2x，可得点A1的坐标为（1，2），把y=2代入l2：y＝﹣x，可得点A2的坐标为（﹣2，2），据此即可求得A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9的坐标，即可找到规律，据此即可求得．
【详解】解：当x＝1时，y＝2，
∴点A1的坐标为（1，2）；
当y＝﹣x＝2时，x＝﹣2，
∴点A2的坐标为（﹣2，2）；
同理可得：A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），A6（﹣8，8），A7（﹣8，﹣16），A8（16，﹣16），A9（16，32），…，
∴A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1），
A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n为自然数）．
∵20＝4×4+4，
∴点A20的坐标为（22×4+2，﹣22×4+2），即（210，﹣210）．
故答案为：（210，﹣210）．
【点睛】本题考查了坐标与图形，坐标的规律，根据函数图象找到坐标规律是解决本题的关键．
【考点6 一次函数的图像与几何变换】
【例6】（2022·陕西铜川·一模）把函数y=3x−3的图象向上平移5个单位，则下列各坐标所表示的点中，在平移后的直线上的是（ ）
A．(1,2)B．(2,3)C．(2,6)D．(2,8)
【答案】D
【分析】根据上加下减可知平移后的图象对应的函数解析式为y=3x+2，将点代入验证即可．
【详解】解：由题意可知平移后的图象对应的函数解析式为y=3x-3+5=3x+2，
A选项，当x=1时，y=3+2=5≠2，所以点(1,2)不在平移后的直线上，A错误；
B选项，当x=2时，y=6+2=8≠3，所以点(2,3)不在平移后的直线上，B错误；
C选项，当x=2时，y=6+2=8≠6，所以点(2,6)在平移后的直线上，C错误；
D选项，当x=2时，y=6+2=8=8，所以点(2,8)在平移后的直线上，D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数图象上的点与相应的解析式的关系是解题的关键．
【变式6-1】（2022·广西贵港·三模）将直线y=12x+2向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的直线必定经过（ ）
A．0,0B．0,−1C．1,0D．−1,32
【答案】D
【分析】设平移后直线上一点（x，y），则点（x+2，y+1）在原直线上，代入原直线解析式可得平移后直线解析式，再代入坐标验证选项即可．
【详解】解：平移后的直线为：y=12x+2+2−1=12x+2，
A．x=0，y=2，选项不符合题意；
B．x=0，y=2，选项不符合题意；
C．x=1，y=52，选项不符合题意；
D．x=-1，y=32，符合题意；
故选： D．
【点睛】本题考查了直线的平移，掌握坐标的平移规律是解题关键．
【变式6-2】（2022·辽宁阜新·中考真题）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图像平移的性质”的探究过程，请补充完整．
(1)如图1，将一次函数y=x+2的图像向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了______个单位长度；
(2)将一次函数y=−2x+4的图像向下平移1个单位长度，相当于将它向______（填“左”或“右”）平移了______个单位长度；
(3)综上，对于一次函数y=kx+b(k≠0)的图像而言，将它向下平移m(m>0)个单位长度，相当于将它向______（填“左”或“右”）（k>0时）或将它向______（填“左”或“右”）（k<0时）平移了n(n>0)个单位长度，且m，n，k满足等式_______．
【答案】(1)1
(2)左，12
(3)右，左，m=n|k|
【分析】（1）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论；
（2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论；
（3）根据（1）（2）题得出结论即可．
（1）
解：∵将一次函数y=x+2的图像向下平移1个单位长度得到y=x+2−1=(x−1)+2，
∴相当于将它向右平移了1个单位长度，
故答案为：1；
（2）
解：将一次函数y=−2x+4的图像向下平移1个单位长度得到y=−2x+4−1=−2(x+12)+4，
∴相当于将它向左平移了12个单位长度；
故答案为：左；12；
（3）
解：综上，对于一次函数y=kx+b(k≠0)的图像而言，将它向下平移m(m>0)个单位长度，相当于将它向右(k>0时)或将它向左(k<0时)平移了n(n>0)个单位长度，且m，n，k满足等式m=n|k|．
故答案为：右，左，m=n|k|．
【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”，关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
【变式6-3】（2022·山东威海·中考真题）如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为（0，2），（3，0），（1，4）．若MN∥PQ，则点N的坐标可能是( )
A．（2，3）B．（3，3）C．（4，2）D．（5，1）
【答案】C
【分析】根据P，Q的坐标求得直线解析式，进而求得过点M的解析式，即可求解．
【详解】解：∵P，Q的坐标分别为（0，2），（3，0），设直线PQ的解析式为y=kx+b，
则b=23k+b=0，
解得k=−23b=2，
∴直线PQ的解析式为y=−23x+2，
∵ MN∥PQ，
设MN的解析式为y=−23x+t，∵M1，4，
则4=−23+t，
解得t=143，
∴ MN的解析式为y=−23x+143，
当x=2时，y=103，
当x=3时，y=83，
当x=4时，y=2，
当x=5时，y=43，
故选C
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数平移问题，掌握以上知识是解题的关键．
【要点3 正比例函数和一次函数解析式的确定】
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
【考点7 待定系数法求一次函数解析式】
【例7】（2022·福建省南平市教师进修学院（南平市教育科学研究院、南平市普通教育教学研究室）模拟预测）如果P（2，m），A（1，1），B（4，0）三点在同一直线上，则m的值为（ ）
A．3B．4C．5D．23
【答案】D
【分析】先设直线的解析式为y=kx+b（k≠0），再把A（1，1），B（4，0）代入求出k、b的值，进而得出直线AB的解析式，把点P（2，m）代入求出m的值即可．
【详解】解：设直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
把A（1，1），B（4，0）代入得：1=k+b0=4k+b，
解得：k=−13b=43，
∴直线AB的解析式为y=−13x+43，
∵P（2，m）在直线AB上，
∴m=（−13）×2+43=23，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是一次函数图象上点的坐标特点，求一次函数解析式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式，是解答此题的关键．
【变式7-1】（2022·湖南益阳·中考真题）如图，直线y＝12x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．
(1)求点A′的坐标；
(2)确定直线A′B对应的函数表达式．
【答案】(1)A′（2，0）
(2)y＝﹣x+2
【分析】（1）利用直线解析式求得点A坐标，利用关于y轴的对称点的坐标的特征解答即可；
（2）利用待定系数法解答即可．
（1）
解：令y＝0，则12x+1＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）．
∵点A关于y轴的对称点为A′，
∴A′（2，0）．
（2）
解：设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，
∴2k+b=0b=2，
解得：k=−1b=2，
∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质、一次函数图象上点的坐标的特征、待定系数法确定函数的解析式、关于y轴的对称点的坐标的特征等知识，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【变式7-2】（2022·河北·中考真题）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A−8,19，B6,5．
(1)求AB所在直线的解析式；
(2)某同学设计了一个动画：在函数y=mx+nm≠0,y≥0中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中Cc,0．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；
②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光，求此时整数m的个数．
【答案】(1)y=−x+11
(2)①n=−2m，理由见解析②5
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+bk≠0，把点A−8,19，B6,5代入，即可求解；
（2）①根据题意得，点C（2，0），把点C（2，0）代入y=mx+n，即可求解；
②由①得：n=−2m，可得y=x−2m，再根据题意找到线段AB上的整点，再逐一代入，即可求解．
（1）
解：设直线AB的解析式为y=kx+bk≠0，
把点A−8,19，B6,5代入得：
−8k+b=196k+b=5，解得：k=−1b=11，
∴AB所在直线的解析式为y=−x+11；
（2）
解： n=−2m，理由如下：
若有光点P弹出，则c＝2，
∴点C（2，0），
把点C（2，0）代入y=mx+nm≠0,y≥0得：
2m+n=0；
∴若有光点P弹出，m，n满足的数量关系为n=−2m；
②由①得：n=−2m，
∴y=mx+n=mx−2m=x−2m，
∵点A−8,19，B6,5，AB所在直线的解析式为y=−x+11，
∴线段AB上的其它整点为−7,18,−6,17,−5,16,−4,15,−3,14,−2,13,−1,12,0,11,1,10,2,9,3,8,4,7,5,6，
∵ 有光点P弹出，并击中线段AB上的整点，
∴直线CD过整数点，
∴当击中线段AB上的整点（-8，19）时，19=−8−2m，即m=−1910（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-7，18）时，18=−7−2m，即m=−2，
当击中线段AB上的整点（-6，17）时，17=（-6-2）m，即m=−178（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-5，16）时，16=（-5-2）m，即m=−167（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-4，15）时，15=（-4-2）m，即m=−52（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-3，14）时，14=（-3-2）m，即m=−145（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-2，13）时，13=（-2-2）m，即m=−134（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-1，12）时，12=（-1-2）m，即m=-4，
当击中线段AB上的整点（0，11）时，11=（0-2）m，即m=−112（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（1，10）时，10=（1-2）m，即m=-10，
当击中线段AB上的整点（2，9）时，9=（2-2）m，不存在，
当击中线段AB上的整点（3，8）时，8=（3-2）m，即m=8，
当击中线段AB上的整点（4，7）时，7=（4-2）m，即m=72（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（5，6）时，6=（5-2）m，即m=2，
当击中线段AB上的整点（6，5）时，5=（6-2）m，即m=54（不合题意，舍去），
综上所述，此时整数m的个数为5个．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，理解有光点P弹出，并击中线段AB上的整点，即直线CD过整数点是解题的关键．
【变式7-3】（2022·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=43．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
A．y=3xB．y=−34x+152
C．y=−2x+11D．y=−2x+12
【答案】D
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，利用三角函数求得EG=8，BG=6，AG=4，再求得点E的坐标为(4，12)，根据题意，直线l经过矩形OABC的对角线的交点H和菱形ABEF的对角线的交点D，根据中点坐标公式以及待定系数法即可求解．
【详解】解：过点E作EG⊥AB于点G，
∵矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，
∴AB=BE=10，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(10，0)，
在Rt△BEG中，tan∠ABE=43，BE=10，
∴sin∠ABE=45，即EGBE=45，
∴EG=8，BG=BE2−EG2=6，
∴AG=4，
∴点E的坐标为(4，12)，
根据题意，直线l经过矩形OABC的对角线的交点H和菱形ABEF的对角线的交点D，
点H的坐标为(0+102，0+42)，点D的坐标为(0+42，4+122)，
∴点H的坐标为(5，2)，点D的坐标为(2，8)，
设直线l的解析式为y=kx+b，
把(5，2)，(2，8)代入得5k+b=22k+b=8，
解得：k=−2b=12，
∴直线l的解析式为y=-2x+12，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，待定系数法求函数的解析式，矩形和菱形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【要点4 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】
1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．
而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.
【考点8 一次函数与一元一次方程】
【例8】（2022·山东·青岛大学附属中学二模）若关于x的方程−2x+b=0的解是x=2，则直线y=−2x+b一定经过点（ ）
A．(2,0)B．(0,2)C．(−2,0)D．(0,−2)
【答案】A
【分析】根据方程可知当x=2，y=0，从而可判断直线y=-2x+b经过点（2，0）．
【详解】解：由方程的解可知：当x=2时，-2x+b=0，即当x=2，y=0，
∴直线y=-2x+b的图象一定经过点（2，0），
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．
【变式8-1】（2022·山西大同·二模）数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，方程3x＝ax+b的解为（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝3D．x＝﹣3
【答案】A
【分析】根据方程的解即为函数图象的交点横坐标解答．
【详解】解：∵直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3）
∴方程3x＝ax+b的解为x＝1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
【变式8-2】（2022·吉林省第二实验学校模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象中的信息可求得关于x的方程kx+b＝﹣1的解为_____．
【答案】x＝﹣2．
【分析】运用待定系数法求出函数的解析式，再把y＝﹣1代入，即可求出x的值.
【详解】把（0，1）和（2，3）代入y＝kx+b得：b=12k+b=3 ，
解得：k＝1，b＝1，
即y＝x+1，
当y＝﹣1时，x+1＝﹣1，
解得：x＝﹣2，
故答案为x＝﹣2．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，比较简单，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键.
【变式8-3】（2022·山东淄博·二模）若一次函数y=kx+3（k为常数且k≠0）的图像经过点（－2，0），则关于x的方程kx−5+3=0的解为（ ）
A．x=−5B．x=−3C．x=3D．x=5
【答案】C
【分析】根据一次函数图象的平移即可得到答案．
【详解】解：∵y=kx−5+3是由y=kx+3的图像向右平移5个单位得到的，
∴将一次函数y=kx+3的图像上的点（－2，0）向右平移5个单位得到的点的坐标为（3，0）
∴当y=0时，方程kx−5+3=0的解为x=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值等于0的自变量x的取值，还考查了一次函数图像的平移，熟练掌握一次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是解决本题的关键．
【考点9 一次函数与一元一次不等式】
【例9】（2022·湖北鄂州·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝13x都经过点A（3，1），当kx+b＜13x时，x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x＜1D．x＞1
【答案】A
【分析】根据不等式kx+b＜13x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围求解即可
【详解】解：由函数图象可知不等式kx+b＜13x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围，
∴当kx+b＜13x时，x的取值范围是x>3，
故选A．
【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键．
【变式9-1】（2022·青海西宁·中考真题）如图，直线y1=k1x与直线y2=k2x+b交于点A(1，2)．当y1【答案】x<1
【分析】据函数图象，写出直线y1=k1x在直线y2=k2x+b2的下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：如图，已知直线y1=k1x与直线y2=k2x+b2相交于点A（1，2），则当y1＜y2时，x的取值范围为 x＜1．
故答案是：x＜1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【变式9-2】（2022·江苏徐州·中考真题）若一次函数y＝kx＋b的图像如图所示，则关于kx＋32b＞0的不等式的解集为________．
【答案】x>−3
【分析】根据函数图像得出b=−2k，然后解一元一次不等式即可求解．
【详解】解：∵根据图像可知y＝kx＋b与x轴交于点2,0，且k>0，
∴2k+b=0，
解得b=−2k，
∴kx+32b>0，
∴x>−3b2k，
即x>−32k2k，
解得x>−3，
故答案为：x>−3．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，解一元一次不等式，求得一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．
【变式9-3】（2022·福建省泉州实验中学三模）观察图中的函数图象，可以得到关于x的不等式ax−bxA．x<−2B．x<4C．x>−2D．x>4
【答案】C
【分析】观察函数图象即可得到不等式ax【详解】观察函数图象得当x>−2，函数y=ax都在函数y=bx+c的图象下方，
∴不等式ax−2．
∴不等式ax−bx−2．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）某一个值的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在直线上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【考点10 一次函数与二元一次方程（组）】
【例10】（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b与直线y=−3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组y=2x+by=−3x+6的解是（ ）
A．x=2y=0B．x=1y=3C．x=−1y=9D．x=3y=1
【答案】B
【分析】由图象交点坐标可得方程组的解．
【详解】解：由图象可得直线y=2x+b与直线y=−3x+6相交于点A（1，3），
∴关于x，y的二元一次方程组y=2x+by=−3x+6的解是x=1y=3．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x与y的值为方程组的解．
【变式10-1】（2022·陕西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，直线y=−x+4与y=2x+m相交于点P(3,n)，则关于x，y的方程组x+y−4=02x−y+m=0的解为（ ）
A．x=−1y=5B．x=1y=3C．x=3y=1D．x=9y=−5
【答案】C
【分析】先把点P代入直线y=−x+4求出n，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可；
【详解】解：∵直线y=−x+4与直线y=2x+m交于点P（3，n），
∴n=−3+4，
∴n=1，
∴P3,1，
∴1=3×2+m，
∴m=-5,
∴关于x，y的方程组x+y−4=02x−y−5=0的解x=3y=1；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二元一次方程与一次函数的关系，准确计算是解题的关键．
【变式10-2】（2022·甘肃·平凉市第十中学三模）已知关于x，y的方程组y=−x+by=−3x+2的解是x=−1y=m，则直线y=−x+b与y=−3x+2的交点在第______象限．
【答案】二
【分析】将x=−1代入y=−3x+2，求出交点坐标，即可确定象限．
【详解】将x=−1代入y=−3x+2，
得y=3+2=5，
∴交点坐标为(−1,5)，
∴交点在第二象限．
故答案为：二．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握二元一次方程组的解即是两一次函数的交点坐标是解题的关键．
【变式10-3】（2022·山西·太原师范学院附属中学一模）图中两直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组（ ）的解．
A．x−y=32x−y=−1B．x−y=−12x−y=1
C．x−y=32x−y=1D．x−y=−32x−y=−1
【答案】B
【分析】由函数图象可以知道两直线的交点坐标2，3，而两直线的交点坐标就是对应的方程组的解，把x=2y=3分别代入选项判断即可．
【详解】解：把x=2y=3代入方程组x−y=32x−y=−1可知，x−y=−1≠3，2x−y=1≠−1，故不是A中方程组的解；
把x=2y=3代入方程组x−y=−12x−y=1可知，两等式成立，故是B方程组的解；
把x=2y=3代入方程组x−y=32x−y=1可知，x−y=−1≠3，故不是C方程组的解；
把x=2y=3代入方程组x−y=−32x−y=−1可知，x−y=−1≠−3，2x−y=1≠−1，故不是D方程组的解；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与二元一次方程组之间的关系，理解其中的关系并熟练运用数形结合是解题的关键．
【考点11 一次函数的应用】
【例11】（2022·四川攀枝花·中考真题）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y1(km)与时间x(h)之间的函数关系：折线OABN表示轿车离西昌距离y2(km)与时间x(h)之间的函数关系，则以下结论错误的是（ ）
A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为60km/h
C．轿车从西昌到雅安的速度为110km/h
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有60km
【答案】D
【分析】结合函数图象，根据时间、速度、路程之间的关系逐项判断，即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，
货车从西昌到雅安的速度为：140÷4=60(km/h)，故选项B不合题意；
轿车从西昌到雅安的速度为：(240−75)÷(3−1.5)=110(km/h)，故选项C不合题意；
轿车从西昌到雅安所用时间为：240÷110=2211（小时），
3−2211=911（小时），即A点表示911h，
设货车出发x小时后与轿车相遇，根据题意得：
60x=110x−911，解得x=1.8，
∴货车出发1.8小时后与轿车相遇，故选项A不合题意；
轿车到雅安20分钟后，货车离雅安的距离为：60×60−2060=40km，故选项D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，能够从函数图象中获取相关信息．
【变式11-1】（2022·山东烟台·中考真题）周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t（秒）的关系图像如图所示．若不计转向时间，按照这一速度练习20分钟，迎面相遇的次数为（ ）
A．12B．16C．20D．24
【答案】B
【分析】先求出二人速度，即可得20分钟二人所跑路程之和，再总结出第n次迎面相遇时，两人所跑路程之和（400n﹣200）米，列方程求出n的值，即可得答案．
【详解】解：由图可知，父子速度分别为：200×2÷120=103（米/秒）和200÷100＝2（米/秒），
∴20分钟父子所走路程和为20×60×103+2=6400（米），
父子二人第一次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200米，
父子二人第二次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200×2+200＝600（米），
父子二人第三次迎面相遇时，两人所跑路程之和为400×2+200＝1000（米），
父子二人第四次迎面相遇时，两人所跑路程之和为600×2+200＝1400（米），
…
父子二人第n次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200（n﹣1）×2+200＝（400n﹣200）米，
令400n﹣200＝6400，
解得n＝16.5，
∴父子二人迎面相遇的次数为16．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出父子二人第n 次迎面相遇时，两人所跑路程之和400n−200米．
【变式11-2】（2022·湖北襄阳·中考真题）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
(1)求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
(2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
(3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．
【答案】(1)y=15x(0⩽x⩽2000)13x+4000(x>2000)．
(2)w=−x+24000(1600⩽x⩽2000)x+20000(2000(3)a的最大值为0.9．
【分析】（1）分当0⩽x⩽2000时，当x>2000时，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可知，分当1600⩽x⩽2000时，当2000（3）根据题意可知，降价后，w与x的关系式，并根据利润不低于15000，可得出a的取值范围．
【详解】（1）当0⩽x⩽2000时，设y=k′x，根据题意可得，2000k′=30000，
解得k′=15，
∴y=15x；
当x>2000时，设y=kx+b，
根据题意可得，2000k+b=300004000k+b=56000，
解得k=13b=4000，
∴y=13x+4000．
∴y=15x(0⩽x⩽2000)13x+4000(x>2000)．
（2）根据题意可知，购进甲种产品(6000−x)千克，
∵1600⩽x⩽4000，
当1600⩽x⩽2000时，w=(12−8)×(6000−x)+(18−15)⋅x=−x+24000，
∵−1<0，
∴当x=1600时，w的最大值为−1×1600+24000=22400；
当2000∵1>0，
∴当x=4000时，w的最大值为4000+20000=24000（元)，
综上，w=−1x+24000(1600⩽x⩽2000)x+20000(2000（3）根据题意可知，降价后，w=(12−8−a)×(6000−x)+(18−2a)x−(13x+4000)=(1−a)x+20000−6000a，
当x=4000时，w取得最大值，
∴(1−a)×4000+20000−6000a⩾15000，解得a⩽0.9．
∴a的最大值为0.9．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式．
【变式11-3】（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
(1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；
(2)求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
【答案】(1)300，800
(2)y=800x−2400（3≤x≤6）
(3)611分钟，185分钟，6分钟
【分析】（1）根据函数图象先求出乙的速度，然后分别求出乙到达C地的时间和甲到达C地的时间，进而可求甲的速度；
（2）利用待定系数法求出函数解析式，根据题意可得自变量x的取值范围；
（3）设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，分两种情况：①乙从B地到A地时，两人相距600米，②乙从A地前往C时，两人相距600米， 分别列方程求解即可．
（1）
解：由题意可得：乙的速度为：（800+800）÷（3－1）＝800米/分钟，
∴乙到达C地的时间为：3＋2400÷800＝6分钟，
∴甲到达C地的时间为：6＋2＝8分钟，
∴甲的速度为：2400÷8＝300米/分钟，
故答案为：300，800；
（2）
解：由（1）可知G（6，2 400），
设直线FG的解析式为y=kx+bk≠0，
∵y=kx+b过F（3，0），G（6，2 400）两点，
∴3k+b=06k+b=2400，
解得：k=800b=−2400，
∴直线FG的解析式为：y=800x−2400，
自变量x的取值范围是3≤x≤6；
（3）
解：设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，
①乙从B地到A地时，两人相距600米，
由题意得：300t＋800t＝600，
解得：t=611；
②乙从A地前往C时，两人相距600米，
由题意得：300t－800（t－3）＝600或800（t－3）－300t＝600，
解得：t=185或6，
答：出发611分钟或185分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
【考点12 一次函数的综合】
【例12】（2022·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（ ）
A．4【答案】A
【分析】先求确定A、C、B三个点坐标，然后求出AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：由题意可得C2,2,A4,0,B4+2,2，
设直线AB的解析式为y=kx+b
则0=4k+b2=4+2k+b 解得：k=1b=−4
∴直线AB的解析式为：y=x-4，
∴x=y+4，
设直线AC的解析式为y=mx+n
则0=4m+n2=2m+n 解得：m=22−4n=−422−4
∴直线AC的解析式为：y=22−4x−422−4，
∴x=4+y−22y，
∴点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：4+y−22y，
∴EF=y+4−4+y−22y=22y，
∵EP=3PF，
∴PF=14EF=22y，
∴点P的横坐标为：y+4−22y，
∵0∴4∴4故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形性质、求一次函数的解析式、不等式性质等知识，根据题意表示出点P的横坐标是解答本题的关键．
【变式12-1】（2022·山东聊城·中考真题）如图，一次函数y=x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C−2,0是x轴上一点，点E，F分别为直线y=x+4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E，F的坐标分别为（ ）
A．E−52,32，F0,2B．E−2,2，F0,2
C．E−52,32，F0,23D．E−2,2，F0,23
【答案】C
【分析】作C（−2，0）关于y轴的对称点G（2，0），作C（2，0）关于直线y=x+4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，此时△CEF周长最小，由y=x+4得A（-4，0），B（0，4），∠BAC=45°，根据C、D关于AB对称，可得D（-4，2），直线DG解析式为y=−13x+23，即可得F0,23，由y=x+4y=−13x+23，得E−52,23．
【详解】解：作C−2,0关于y轴的对称点G2,0，作C2,0关于直线y=x+4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，如图：
∴DE=CE，CF=GF，
∴CE+CF+EF=DE+GF+EF=DG，此时△CEF周长最小，
由y=x+4得A−4,0，B0,4，
∴OA=OB，△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵C、D关于AB对称，
∴∠DAB=∠BAC=45°，
∴∠DAC=90°，
∵C−2,0，
∴AC=OA−OC=2=AD，
∴D−4,2，
由D−4,2，G2,0可得直线DG解析式为y=−13x+23，
在y=−13x+23中，令x=0得y=23，
∴F0,23，
由y=x+4y=13x+23，得x=−52y=32，
∴E−52,32，
∴E的坐标为−52,32，F的坐标为0,23，
故选：C．
【点睛】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定△CEF周长最小时，E、F的位置．
【变式12-2】（2022·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是__________．
【答案】2
【分析】点F运动所形成的图象是一条直线，当OF⊥F1F2时，垂线段OF最短，当点F1在x轴上时，由勾股定理得：P1O=F1O=433，进而得P1A=P1F1=AF1=833，求得点F1的坐标为433,0，当点F2在y轴上时，求得点F2的坐标为（0，-4），最后根据待定系数法，求得直线F1F2的解析式为y=3x-4，再由线段中垂线性质得出F1F2=AF1=833，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则根据面积法得12×OF1×OF2=12×F1F2×ℎ，即12×433×4=12×833×ℎ，解得h=2，根据垂线段最短，即可得到线段OF的最小值为2．
【详解】解：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，
∴∠APF=60°，PF=PA，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=AF，
如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，
则P1A=P1F1=AF1，∠AP1F1=60°，
∵AO⊥P1F1，
∴P1O=F1O，∠AOP1=90°，
∴∠P1AO=30°，且AO=4，
由勾股定理得：P1O=F1O=433，
∴P1A=P1F1=AF1=833，
∴点F1的坐标为433,0，
如图，当点F2在y轴上时，
∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，
∴AO=F2O=4，
∴点F2的坐标为（0，-4），
∵tan∠OF1F2=OF2OF1=4433=3，
∴∠OF1F2=60°，
∴点F运动所形成的图象是一条直线，
∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，
设直线F1F2的解析式为y=kx+b，
则433k+b=0b=−4，
解得k=3b=−4，
∴直线F1F2的解析式为y=3x-4，
∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1，
∴F1F2=AF1=833，
在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2，
设点O到F1F2的距离为h，则12×OF1×OF2=12×F1F2×ℎ，
∴12×433×4=12×833×ℎ，
解得h=2，
即线段OF的最小值为2，
故答案为2．
【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用．
【变式12-3】（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，直线y=34x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段AB上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作∠OCD=∠OAB，射线CD交线段OB于点D，将射线OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD于点E，连接BE．
(1)证明：CDDB=ODDE；（用图1）
(2)当△BDE为直角三角形时，求DE的长度；（用图2）
(3)点A关于射线OC的对称点为F，求BF的最小值．（用图3）
【答案】(1)见解析
(2)DE=94
(3)2
【分析】（1）由条件可证得△BDC∽△EDO，根据相似三角形对应边成比例得CDOD=DBDE，即CDDB=ODDE；
（2）先根据函数关系式求出AO、BO的长度，然后作出对应的图2，可证明tan∠OCD=tan∠OAB，从而得到OBOA=ODCD=68=34，设OD=3m，CD=4m，结合△CDB∽△AOB对应边成比例，得到BD=3m，则OB=BD+OD=3m+3m=6，解方程得到m=1，所以OD=BD=3，CD=4，再由（1）的结论CDDB=ODDE，可计算出DE=94．
【详解】（1）证明：已知射线OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD于点E，
∴∠COE=90°，
∴∠AOB=∠COE=90°，
∵∠OCD=∠OAB，
∠ABO=90°−∠OAB,∠CEO=90°−∠OCD
∴∠ABO=∠CEO，
又∵∠BDC=∠EDO，
∴△BDC∽△EDO，
∴CDOD=DBDE
∴CDDB=ODDE；
（2）解：直线y=34x+6，当x=0时，y=6，
∴B(0,6)，
∴OB=6，
当y=0时，34x+6=0，
∴x=−8，
∴A(−8,0)，
∴OA=8，
如图2，∠BDE=90°，
∴∠ODC=∠BDE=90°，
∵∠OCD=∠OAB，
∴tan∠OCD=tan∠OAB，
∴OBOA=ODCD=68=34，
∴设OD=3m，CD=4m，
∵∠CDB=∠AOB=90°，
∴CD∥OA，
∴△CDB∽△AOB，
∴CDOA=BDOB，即4m8=BD6，
∴BD=3m，
∴OB=BD+OD=3m+3m=6，
∴m=1，
∴BD=3，CD=4，
由（1）知：CDDB=ODDE，
∴43=3DE，
∴DE=94
（3）解：如图3，由对称得：OA=OF,
则动点F在以O为圆心，以OA为半径的半圆AFA′上运动，
∴当F在y轴上，此时在B的正上方，BF的值最小，如图4，
此时BF=OF−OB=8−6=2，即BF的最小值是2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形、一次函数与坐标轴交点问题、轴对称图形特征、圆的性质、动点中的最短距离问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定，采用数形结合，利用相似比列方程求线段长是解题关键． 解析式
y=kxk≠0
自变量取值范围
全体实数
图象
形状
过原点的一条直线
k的取值
k>0
k<0
示意图
位置
经过一、三象限
经过二、四象限
趋势
从左向右上升
从左向右下降
函数增减性
y随x的增大而增大，
即：当x1>x2时，y1>y2
y随x的增大而减小
即：当x1>x2时，y1解析式
y=kx+bk≠0
自变量取值范围
全体实数
图象
形状
过0，b和
−bk,0
的一条直线
k、b的取值
k>0
k<0
b>0
b<0
b>0
b<0
示意图
位置
经过一、二、三象限
经过一、三、四象限
经过一、二、四象限
经过二、三、四象限
趋势
从左向右上升
从左向右下降
函数增减性
y随x的增大而增大，
即：当x1>x2时，y1>y2
y随x的增大而减小
即：当x1>x2时，y1定义
直线y=kx+b与y轴相交于（0，b）,b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距，简称截距
举例
直线y=−2x−3的截距是−3