（全国通用）中考数学总复习 专题16 全等三角形（10个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析）

这是一份（全国通用）中考数学总复习 专题16 全等三角形（10个高频考点）（举一反三）（原卷版+解析），共72页。
TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc1705" 【考点1 全等三角形的概念及其性质】 PAGEREF _Tc1705 \h 1
\l "_Tc25618" 【考点2 一次证明全等三角形】 PAGEREF _Tc25618 \h 3
\l "_Tc29671" 【考点3 多次证明全等三角形】 PAGEREF _Tc29671 \h 4
\l "_Tc4457" 【考点4 网格中的全等三角形】 PAGEREF _Tc4457 \h 6
\l "_Tc16976" 【考点5 尺规作图与全等三角形】 PAGEREF _Tc16976 \h 7
\l "_Tc520" 【考点6 利用倍长中线模型证明全等三角形】 PAGEREF _Tc520 \h 9
\l "_Tc16268" 【考点7 利用垂线模型证明全等三角形】 PAGEREF _Tc16268 \h 11
\l "_Tc29997" 【考点8 利用旋转模型证明全等三角形】 PAGEREF _Tc29997 \h 12
\l "_Tc7470" 【考点9 连接两点作辅助线证明全等三角形】 PAGEREF _Tc7470 \h 14
\l "_Tc20524" 【考点10 全等三角形的实际应用】 PAGEREF _Tc20524 \h 15
【要点1 全等图形的概念】
能完全重合的图形叫做全等图形.
【要点2 全等图形的性质】
两个图形全等，它们的形状相同，大小相同.
【要点3 全等三角形的性质】
全等三角形的对应边相等，对应角相等.（另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的中线、角平分线、
高线均相等）
【考点1 全等三角形的概念及其性质】
【例1】（2022·广东揭阳·校考三模）如图是小明用七巧板拼成的一个机器人，其中全等三角形有（ ）
A．1 对B．2 对C．3 对D．4 对
【变式1-1】（2022·广西·校联考一模）下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等形B．两个等边三角形是全等形
C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形D．两个全等图形的面积一定相等
【变式1-2】（2022·广西柳州·中考真题）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ ）
A．POB．PQC．MOD．MQ
【变式1-3】（2022·湖南邵阳·统考中考模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C=______．
【要点4 全等图形的判定】
【考点2 一次证明全等三角形】
【例2】（2022·浙江杭州·校考模拟预测）如图，正五边形ABCDE中，AF⊥CD，则∠BAF的度数是（ ）
A．50°B．54°C．60°D．72°
【变式2-1】（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．
【变式2-2】（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)若AB=4，CD=3，求四边形ABCD的面积．
【变式2-3】（2022·江苏连云港·校联考中考模拟）如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，AB上，点M在BA的延长线上，且CE=BF=AM，过点M，E分别作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，连接NF．
（1）求证：DE⊥DM；
（2）猜想并写出四边形CENF是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
【考点3 多次证明全等三角形】
【例3】（2022·山西·统考模拟预测）综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，以AE为一边在AE的下方作正方形AEFG，连接ED，试判断线段AH与DE的位置关系及线段 EH与DH的数量关系．
（1）图1中线段AH与DE的位置关系是 ，线段 EH与 DH的数量关系是 ．
（2）勤奋小组受到老师的启发，在老师提出问题的基础上将正方形ABCD绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，点D仍在正方形AEFG内部，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）①创新小组在勤奋小组研究的基础上延长线段ED交FG于点M，如图3所示，发现DH=FM，请证明；
②若图3中线段GM是线段 FM的2倍，请直接写出线段ED与AH的长度的比值．
【变式3-1】（2022·广西百色·统考二模）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．
(1)AB＝DC；
(2)△ABC≌△DCB．
【变式3-2】（2022·上海闵行·统考二模）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G．
(1)求证：BE=FG；
(2)如果AB•DM=EC•AE，连接AM、DE，求证：AM垂直平分DE．
【变式3-3】（2022·河北·一模）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有（ ）
A．①③④⑤B．①②④⑤C．①②③⑤D．①②③④
【考点4 网格中的全等三角形】
【例4】（2022·山东济南·统考二模）如图，在4×4的正方形网格中，求α+β=______度．
【变式4-1】（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．
(1)在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；
(2)在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．
【变式4-2】（2022·浙江金华·校联考二模）如图，△ABC是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上），请用无刻度直尺按要求分别作图：
(1)在图1中，过点C作与AB平行的线段CE（点E在格点上）；
(2)在图2中，以BC为边作一个△BCE（点E在格点上），使它与△ABC全等；
(3)在图3中，在AB，BC边上分别取点G，H，将△ABC沿着GH折叠，使点B与点A重合，画出线段AH．
【变式4-3】（2022·江苏苏州·校联考中考模拟）如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E中的三个顶点为顶点画三角形，
（1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等；
（2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等 但不全等.
【考点5 尺规作图与全等三角形】
【例5】（2022·重庆·统考中考真题）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图㾗迹）．
在△BAE和△EFB中，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB=90°．
又∠A=90°，
∴__________________①
∵AD∥BC，
∴__________________②
又__________________③
∴△BAE≌△EFBAAS．
同理可得__________________④
∴S△BCE=S△EFB+S△EFC=12S矩形ABFE+12S矩形EFCD=12S矩形ABCD．
【变式5-1】（2022·河南焦作·统考二模）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取点C，E，分别以点O为圆心，OC，OE长为半径作弧，交射线OB于点D，F；（2）连接CF，DE交于点P．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A．CE=DFB．PE=PF
C．若∠AOB=60°，则∠CPD=120°D．点P在∠AOB的平分线上
【变式5-2】（2022·福建三明·统考二模）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点．
(1)在CD边上求作一点F，使得∠CFB＝2∠ABE；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若AB＝BC＝4，求BF的长．
【变式5-3】（2022·福建·统考一模）求证：全等三角形对应中线相等.
要求：①根据给出的△ABC及线段A′B′，已知A′B′=AB，以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A′B′C′≅△ABC，不写作法，保留作图痕迹；
②若点D、D′分别是两个三角形的边AC、A′C′上的中点连接BD、B′D′，据此写出已知、求证和证明过程.
【考点6 利用倍长中线模型证明全等三角形】
【例6】（2022·河南周口·统考二模）如图，在△ABC中，AB=4，∠BAC=135°，D为边BC的中点，若AD=1.5，则AC的长度为______．
【变式6-1】（2022·全国·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，连接CE．
(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的长；
(2)求证：BC2﹣AC2＝2DE•AB；
(3)求证：CE＝12AB．
【变式6-2】（2022·山东烟台·统考一模）（1）方法呈现：
如图①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
【变式6-3】（2022·山东日照·校考一模）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α0°0）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是_______．
【变式7-2】（2022·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，BC交l2于D点．
（1）求AB的长．
（2）求sin∠BAD的值．
【变式7-3】（2022·浙江杭州·校联考一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：
“如图，ABCD是正方形，点E在BC上，DF⊥AE于F，请问图中是否存在一组全等三角形？”
小杰同学经过思考发现：△ADF≌△EAB．
理由如下：因为ABCD是正方形（已知）
所以∠B＝90°且AD＝AB和AD∥BC
又因为DF⊥AE（已知）
即∠DFA＝90°（垂直的意义）
所以∠DFA＝∠B（等量代换）
又AD∥BC
所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
在△ADF和△EAB中
∠DFA=∠B∠1=∠2AD=AB
所以△ADF≌△EAB（AAS）
小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．
你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．
【考点8 利用旋转模型证明全等三角形】
【例8】（2022·山东日照·校考二模）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5．将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论错误的是（ ）
A．点O与O′的距离为4B．∠AOB=150°
C．S四边形AOBO′=6+43D．S△AOB+S△AOC=3+43
【变式8-1】（2022·福建南平·一模）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE．
（1）点C到AB的最短距离是 _____；
（2）BE的最小值是 _____．
【变式8-2】（2022·上海·校联考模拟预测）如图，在直角坐标系中，B（0，3）、C（4，0）、D（0，2），AB与CD交于点P，若∠APC=45°，则A点坐标为______ .
【变式8-3】（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，将线段AB绕点A逆时针旋转α0°