第9讲：中考复习与抛物线性质有关的问题(讲义+课后巩固+课后测+答案）

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模块1：内接直角三角形斜边过定点问题
模块2：抛物线交点弦问题
模块3：抛物线切线问题
模块4：抛物线综合问题
【重要考点讲解】
模块1：内接直角三角形斜边过定点问题
【知识精讲】
【典例精讲】
例题1．（2022•荆门改编）如图，已知抛物线的顶点为，过作两条互相垂直的直线与抛物线交于不同于的，两点位于的右侧），过，分别作轴的垂线交轴于点，．
①求证：；
②设直线的方程为，求证：为常数．
例题2．（2023•青秀三中3月份月考）如图，二次函数的图象刚好经过，，三点．顶点为．过定点的直线与二次函数图象相交于，两点．
①若，求的值；
②证明：无论为何值，恒为直角三角形．
模块2：抛物线焦点弦问题
【典例精讲】
例题3．（2021•大庆改编）如图，抛物线与轴交于原点和点，且其顶点为．抛物线的对称轴上存在定点，使得抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等．
①证明上述结论并求出点的坐标；
②过点的直线与抛物线交于，两点．证明：当直线绕点旋转时，是定值，并求出该定值；
例题4．（2014•黄石改编）如图，直线与抛物线交于、两点，点的坐标为，求证：为定值．（参考公式：在平面直角坐标系中，若，，，，则，两点间的距离为
模块3：抛物线切线问题
【知识精讲】
【典例精讲】
例题5．（2021•武汉改编）如图，抛物线交轴于，两点在的左边）．是原点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点．若直线与抛物线只有一个公共点，求证：的值是定值．
例题6．（2017•南宁改编）如图，已知抛物线与坐标轴交于，，三点，其中，的平分线交轴于点，交于点，过点的直线与射线，分别交于点，．证明：当直线绕点旋转时，均为定值，并求出该定值．
模块4：抛物线综合问题
【典例精讲】
例题7．（2023•南充改编）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．抛物线顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
例题8．（2022•武汉）抛物线交轴于，两点在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点．
（1）如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点，使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标；
（2）如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）．
第9讲：与抛物线性质有关的问题课后巩固
1．（2023•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点到定点的距离，始终等于它到定直线的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线与轴的交点为．其中原点为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为，其中，．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线的方程： ， ；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线上一点，到焦点的距离是它到轴距离的3倍，求点的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线的焦点为，准线方程为．直线交轴于点，抛物线上动点到轴的距离为，到直线的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线过点且与轴平行．当动点在该抛物线上运动时，点到直线的距离始终等于点到点的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点到点的距离等于点到直线的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
（4）如图4，点是第二象限内一定点，点是抛物线上一动点．当取最小值时，请求出的面积．
2．（2018•黄石改编）如图，已知抛物线过点，为抛物线的顶点．直线与抛物线交于、两点．①求证：；②求面积的最小值．
3．（2014•鄂州改编）如图，以直线为对称轴的抛物线经过、、两点，设点，过任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于，，，两点，试探究是否为定值？请说明理由．
4．（2023•湖北改编）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，连接．若动直线与抛物线交于，两点（直线与不重合），连接，，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由．
5．（2017•益阳）如图1，直线与抛物线相交于、两点，与轴交于点，、关于轴对称，连接、．
（1）①求、的坐标；②求证：；
（2）如图2，将题中直线变为，抛物线变为，其他条件不变，那么是否仍然成立？请说明理由．
抛物线基本概念
标准方程
图形
焦点
准线方程
内接直角三角形斜边过定点问题
对于：
①；②．
抛物线交点弦问题
如图，为抛物线的焦点弦，则．
抛物线切线问题
如图，轴且与交于点，为关于抛物线顶点的对称点，为抛物线切线，则为定值．