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    广东省高州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试题

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    广东省高州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试题

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    这是一份广东省高州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试题,共13页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容,欢迎下载使用。
    全卷满分150分,考试时间120分钟.
    注意事项:
    1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
    2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区战内作答,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
    3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答;字体工签,笔远清楚.
    4.考试结束后,请将试卷和答题卡一并上交.
    5.本卷主要考查内容:选择性必修第一册,选择性必修第二册第四章~第五章5.2.
    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.已知函整,则函数在处的瞬时变化率为( )
    A.5 B.6 C.7 D.8
    2.地物线的焦点坐标为( )
    A. B. C. D.
    3.已知直线的方向向量为,平面的一个法向量为,若直线平面,则( )
    A.-7 B.2 C.-1 D.-4
    4.如图,这是一个落地青花瓷,其中底座和瓶口的直径相等,其外形被称为单叶双曲面,可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为,最大直径为,双曲线的离心率为,则该花瓶的高为( )
    A. B. C. D.
    5.已知等差数列的前项和为,则数列的公差是( )
    A.-5 B.2 C.3 D.5
    6.已知直线与圆相交于两点,且,则实数( )
    A.或 B. C.或 D.
    7.在数列中,,则的前2022项和为( )
    A.1771 B. C. D.
    8.如图,已知椭圆的左、右焦点分别为,过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点,,,则椭圆的离心率为( )
    A. B. C. D.
    二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
    9.已知两条平行直线,直线,直线,直线之间的距离为,则的值可以是( )
    A.-8 B.-6 C.2 D.4
    10.已知为等差数列,满足为等比数列,满足,则下列说法正确的是( )
    A.数列的首项为4 B.
    C. D.数列的公比为
    11.如图,在直三棱柱中,为上一点,为上一点,,则( )
    A.直线和为异面直线
    B.异面直线与的夹角为
    C.
    D.
    12.已知抛物线,点是抛物线准线上的一点,过点作抛物线的切线,切点分别为,直线的斜率分别为,则下列说法正确的是( )
    A.直线恒过定点 B.
    C. D.的面积最小值为16
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    13.在各项均为正数的等比数列中,,则__________.
    14.曲线在点处的切线的倾斜角为__________.
    15.已知抛物线的焦点为,准线为,点在抛物线上,过作的垂线,垂足为,若(为坐标原点),则__________.
    16.正四面体的棱长为6,点是该正四面体内切球球面上的动点,当取得最小值时,的面积为__________.
    四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
    17.(本小题满分10分)
    已知数列的前项和为.
    (1)求的通项公式;
    (2)若,求数列的前项和.
    18.(本小题满分12分)
    已知椭圆的长轴长为4,椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)倾斜角为的直线过椭圆的左焦点并交椭圆于两点(为坐标原点),求的面积.
    19.(本小题满分12分)
    已知点在圆上,直线平分圆.
    (1)求圆的标准方程;
    (2)求过点且与圆相切的直线方程.
    20.(本小题满分12分)
    如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,,平面平面.
    (1)当时,证明平面;
    (2)若平面与平面的夹角的余弦值为,求的值.
    21.(本小题满分12分)
    治理垃圾是市改善环境的重要举措.去年市产生的垃圾量为100万吨,通过扩大宣传、环保处理等一系列措施,预计从今年开始,连续6年,每年的垃圾排放量比上一年减少10万吨,从第7年开始,每年的垃圾排放量为上一年的.
    (1)写出市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式;
    (2)设为从今年开始年内的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势,则认为现有的治理措施是有效的;否则,认为无效,试判断现有的治理措施是否有效,并说明理由.
    22.(本小题满分12分)
    在平面直角坐标系中,已知双曲线的右焦点为,过点作
    垂直轴的直线交双曲线的渐近线分别于两点,且是面积为的等边三角形.
    (1)求双曲线的标准方程;
    (2)若点在直线上,点在双曲线上,且焦点在以线段为直径的圆上,分别记直线的斜率为,求的值.
    高州市2023~2024学年度第一学期高二期末教学质量监测·数学
    参考答案、提示及评分细则
    1.A 由,可得.故选A.
    2.A 因为抛物线的标准方程为,所以焦点坐标为,故选A.
    3.D 由直线平面,可得,有,得.故选D.
    4.B 由该花瓶横截面圆的最小直径为,有,又由双曲线的离心率为,有,可得双曲线的方程为,代入,可得,故该花瓶的高为.故选B.
    5.B .故选B.
    6.A 因为,所以点到直线的距离为,所以,解得或.故选.
    7.C 因为,所以,而,所以数列是以4为周期的周期数列,所以的前2022项和.故选C.
    8.B 设椭圆的焦距为,有,在中,由余弦定理有,有,可得,有.在中,由余弦定理有,可得.故选B.
    9.BC 根据题意得直线可化为之间的距离或-6.故选BC.
    10.BCD 设的公差为,由,得不确定,错误,B正确;C正确,D正确.故选BCD.
    11.BCD 由,可得四点共面,直线和共面,故选项错误;
    由,可得异面直线与的夹角为,故选项正确;
    由,有,有,有,有,有,故选项C正确;
    由向量两两垂直,有,有,故选项D正确.故选BCD.
    12.ACD 设,因为.所以,所以在点处的切线方程为,即.同理可得,在点处的切线方程为.所以,直线的方程为,直线恒过定点.故正确;由得.所以,所以,故B错误,C正确;,点到直线的距离,所以的面积,所以.故D正确.故选ACD.
    13.3 .
    14. 由,则倾斜角为.
    15. 因为,所以,即,又.
    16. 由正四面体的棱长为6,则其高为,
    则其体积为,
    设正四面体内切球的半径为,
    则,解得,
    如图,取的中点为,
    则,
    显然,当的长度最小时,取得最小值,
    设正四面体内切球的球心为,可求得,
    则球心到点的距离,
    所以内切球上的点到点的最小距离为是的
    中点,点共线,在中,边上的高为.
    .
    17.解:(1)且,有,
    当时,有,
    两式相减得,
    当时,由,适合,
    所以
    (2)由(1)知,
    所以
    .
    18.解:(1)根据题意得,
    椭圆的标准方程为;
    (2)直线的倾斜角为,可得斜率,左焦点为的方程为,
    直线与椭圆联立,

    到的距离.
    19.解:(1点在圆上,且直线平分圆,
    点所成线段的中垂线过圆心,
    此中垂线与直线的交点即为圆心,
    点所成线段的中垂线为:,
    即,则,圆'C的半径圆
    (2)①当切线的斜率不存在时,直线与圆相切,
    ②当切线的斜率存在时,设切线的方程为,整理为,
    有,解得,
    可得切线方程为,整理为,
    由①②知,过点且与圆相切的直线方程为或.
    20.解:(1)如图,过点作的平行线,与相交于点,连接,


    四边形是平行四边形,
    又平面平面平面;
    (2)如图,取的中点的中点,连,

    平面平面,平面平面平面,


    由两两垂直,以为坐标原点,向量方向分别为
    轴方向建立如图所求的空间直角坐标系,
    可得,
    设平面的法向量为,由,
    有,取,可得,
    设平面的法向量为,由,
    .
    有,取,可得,
    由和平面与平面的夹角的余弦值为,
    有,平方后整理为,解得或(舍去),
    故若平面与平面的夹角的余弦值为,可得的值为.
    21.解:(1)设治理年后,市的年垃圾排放量构成数列.
    当时,是首项为,公差为-10的等差数列,
    所以;

    当时,数列是以为首项,公比为的等比数列,
    所以,
    所以,治理年后,市的年垃圾排放量的表达式为
    (2)设为数列的前项和,
    则.
    由于

    由(1)知,时,,所以为递减数列,
    时,,所以为递减数列,
    且,所以为递减数列,
    于是,因此.
    所以数列为递减数列,即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势,故认为现有的治理措施是有效的.
    22.解:(1)是面积为的等边三角形,
    ,又,
    故双曲线的标准方程为;
    (2)设点的坐标为,设点的坐标为,
    由点在双曲线上,有,
    又由点在以线段为直径的圆上,可得,
    由,有,有,可得,
    又由

    有,
    故的值为.

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