天津市五所重点校2023-2024学年高三上学期期末质量联合测试数学试题

这是一份天津市五所重点校2023-2024学年高三上学期期末质量联合测试数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
出题学校：杨村一中 芦台一中
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．中国茶文化博大精深、茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某数学建模小组建立了茶水冷却时间和茶水温度的一组数据，经过分析，提出了四种回归模型，①②③④四种模型的残差平方和的值分别是．则拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型① B．模型② C．模型③ D．模型④
4．已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的。如图所示，已知正方体边长为6，则该石凳的体积为（ ）
A．180 B．36 C．72 D．216
6．如图为函数的大致图象，其解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则（ ）
A．2 B．5 C．10 D．20
8．已知函数，其图象相邻两个对称中心之间的距离为，且直线是其一条对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递增
C．点是函数图象的一个对称中心
D．将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象
9．已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且，则双曲线的渐进线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题6小题，每题5分，共30分）
10．设，则的共轭复数为_________．
11．二项式的展开式中常数项为_________．（用数字作答）
12．已知点是抛物线的焦点，为坐标原点，若以为圆心，为半径的圆与直线相切，则抛物线的方程为_________．
13．学校迎元旦文艺演出，邀选出小品、相声、独唱、魔术、合唱、朗诵等六个汇报演出节目，如果随机安排节目出场，则朗诵第一个出场的概率为_________；若已知朗诵第一个出场，则小品是第二个出场的概率为_________．
14．在梯形中，分别为线段和线段上的动点，且，则的取值范围为_________．
15．已知函数，且，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_________．
三、解答题（本题5小题，共75分．将解题过程写在答题纸上）
16．（本题满分14分）
在中，角的对边分别为，已知的面积为，周长为9，且满足．
（1）求的值；
（2）若．
（i）求的值；
（ii）求的值．
17．（本题满分15分）
在直三棱柱中，，点是的中点．
（1）求异面直线所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求直线到平面的距离．
18．（本题满分15分）
设椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，已知椭圆过点，且长轴长为6．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是椭圆上一点（不与顶点重合），直线交轴于点，且满足，若，求直线的方程．
19．（本题满分15分）
已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求；
（3）若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前项和．
20．（本题满分16分）
已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）令．
（i）讨论函数极值点的个数；
（ii）若是的一个极值点，且，证明：．
2023~2024学年度第一学期期末重点校联考
高三数学参考答案
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分．）
1-5 DABBA 6-9 CDCD
二、填空题（本题共6小题，共30分，每空5分，13题前空2分，后空3分）
10． 11．84 12． 13．； 14． 15．
三、解答题（本题共5小题，共75分）
16．（本题满分14分）
（1）在中，由
得：
而
解得
（i）由（1）知
且解得：
则
（ii）由
则
则
17．（本题满分15分）
解：（1）以为轴建立按直角坐标系，
则．
所以，
所以．故异面直线和所成角的余弦值为．
（2），
设平面的法向量为．
则即，取，得
设直线与平面所成角为，则
．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（3）连接交于点，连接，易得，
所以平面．
故点到平面的距离即为所求直线到平面的距离．记点到平面的距离为，
则．
所以直线到平面的距离为．
18．（本题满分15分）
（1）由题意得：
所以椭圆的标准方程方程为
（2）由（1）知：，如图，设，
由直题意知直线的斜率不等于0，设直线的方程为：，
令：，得：，
由，得：，
由根与系数关系得：，
所以得：，
由题意得：，
又因为：，
由：，
得：，
易知同号，则：，
得：，
故直线方程为或
（注：另一种设直线的方法需写斜率显然存在或不存在不成立且不等于0，否则扣1分）
19．（本题满分15分）
（1）由已知得，
解得，
（2）
（3）由（1）得，
所以
20．（本题满分16分）
解：（1）
所以
从而在处的切线方程为，即
（2）（i）
①当时，，
在上是增函数，不存在极值点
②当时，令，
显然函数在是增函数，
又因为，
必存在，使，
为减函数；
为增函数，
所以是的极小值点
综上，当时，无极值点，当时，有一个极值点．
（前面若分类分析清楚，综上不占分）
（ii）由，
即，
因为，
所以，
令，
在上是减函数，且，
由
得，所以
设，
所以为增函数，即，
即，
所以，所以，
所以
因为，所以，
相乘得，
所以
（注：其他方法平行给分）