河南省开封市五校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题

这是一份河南省开封市五校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题，共12页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，记为等比数列的前项和，若，则，定义“等方差数列”，设，则的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列满足，若，则（ ）
A．－1B．C．1D．2
2．已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆经过点，且圆心在直线上，则圆的面积为（ ）
A．B．C．D，
5．记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．21B．18C．15D．12
6．已知点是双曲线上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为（ ）
A．B．C．D．
7．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前60项和（ ）
A．B．5C．59D．60
8．设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知直线 l与直线垂直，且与圆相切，则直线l的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
11．某高中通过甲、乙两家餐厅给1920名学生提供午餐，通过调查发现：开学后第一天有的学生到甲餐厅就餐，剩余的学生到乙餐厅就餐，从第二天起，在前一天选择甲餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择甲餐厅，在前一天选择乙餐厅就餐的学生中，次日会有的学生选择甲餐厅．设开学后第天选择甲餐厅就餐的学生比例为，则（ ）
A．
B．是等比数列
C．第100天选择甲餐厅就餐的学生比例约为
D．开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有5750人次
12．已知函数，则（ ）
A．曲线在点处的切线方程是
B．函数有极大值，且极大值点
C．
D．函数只有1个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，则______．
14．已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是______．
15．若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是______．
16．已知点是离心率为2的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
在等差数列中，是和的等差中项．
（1）求的通项公式；
（2）若的前项和为，求使成立的最大正整数的值．
18．（本小题满分12分）
已知函数，且当时，有极值－5．
（1）求的值；
（2）求在上的值域．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，点是的中点，点分别是线段上的点，且．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且满足，等差数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
21．（本小题满分12分）
已知离心率为的椭圆与拋物线有共同的焦点是椭圆上任意一点，且的最小值是1．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，若，求直线的方程．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若在定义域内单调递增，求的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围．
开封五校2023~2024学年上学期期末联考－高二数学
参考答案、提示及评分细则
1．B因为数列满足，所以，所以数列是以3为周期的周期数列，所以．故选B．
2．D直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，抛物线的标准方程为．故选D．
3．C因为，所以，令，则．故选C．
4．D由圆经过点和，可知圆心在直线上，又圆心在直线上，所以的坐标为，半径，所以圆的面积为．故选D．
5．A因为为等比数列的前项和且，所以成等比数列，即3，6，成等比数列，所以，所以．故选A．
6．C由双曲线的方程知渐近线方程为，设，由题意，得，即，点到渐近线的距离，点到渐近线的距离，所以．故选C．
7．B因为是方公差为2的等方差数列，所以是公差为2的等差数列，所以，解得，又，所以，所以，所以．故选B．
8．A 令，则，当时，单调递增，所以，即；令，则，当时，单调递增，所以，即，即．综上所述，．故选A．
9．CD 由直线与直线垂直可设直线为，圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为．因为直线与圆相切，所以，解得或，所以直线l的方程是．或．故选CD．
10．AC ，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误．故选AC．
11．BCD 由题意，得，故A错误；，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；，即，所以，故C正确；，又有1920名学生，所以开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有人次，故D正确．故选BCD．
12．BD 由，得，则，故曲线在点处的切线方程是，即，故A错误；令，则，所以在上单调递减，又，所以存在，使得，即，则在上单调递增，在上单调递减，所以有极大值，且极大值点，故B正确；由上知在上单调递减，故，故错误；当时，单调递增，又在有一个零点，当时，，则在上无零点，即只有一个零点，故D正确．故选BD．
13．12由题意知，所以，又由椭圆的定义，得．
14．由题意可知直线，所以当且时，有最小值，其最小值为平行直线与的距离，直线的方程可化为，所以，即的取值范围是．
15． ，令，得，由题意知在区间上只有一个变号的根，令，则，令，得，当时，单调递减；当时，单调递增．又，所以当时，在区间上只有一个变号的根，即函数在上有且仅有一个极值点时，的最小值为．
16．15 因为双曲线的离心率为2，所以，不妨设，因为点在上，所以两式相减，得，因为点是的中点，所以，所以，即，所以，同理，因为，所以．
17．解：（1）设数列的公差为，
因为 是 和 的等差中项， 所以 ，
即，解得，所以．
（2）因为，所以，
由，得， 又，
所以使成立的最大正整数为44．
18．解：（1）由，得，
又当时，有极值－5，所以，解得
所以，当时，单调递减；当时，单调递增．所以当时，有极小值－5．所以．
（2）由（1）知．令，得，
的值随x的变化情况如下表：
由表可知在上的最大值为，最小值为，
即在上的值域为．
19．（1）证明：因为平面，四边形是矩形，所以两两垂直，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意，可得．所以．
因为，所以，即．
（2）解：由（1）得．
设是平面的一个法向量，则，
令，得，所以．
因为平面，所以平面，
所以平面的一个法向量为．
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
20．解：（1）当时，，又，所以．
由，得，两式相减，得，即，
所以是首项为2，公比为的等比数列，因此的通项公式
设等差数列的公差为，则由，得，
又，所以，解得，
所以数列的通项公式为．
（2）由及，得，
所以
设的前项和为，则．
设的前项和为，则，
两式相减，得，所以．
所以．
21．解：（1）设椭圆的焦距为，由椭圆的离心率是，得，
因为的最小值为，所以，所以椭圆的方程为．
因为椭圆的焦点坐标为，椭圆与抛物线有共同的焦点，所以，
所以拋物线的方程为．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，不符合条件，舍去．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立得，，
．
所以．
联立，得，
，
则．
因为，所以，解得．
所以直线的方程为或．
22．解：（1）的定义域为，，
由在定义域内单调递增，得对任意的恒成立，
即恒成立，即恒成立．
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即的取值范围是．
（2），因为函数有两个极值点，
所以方程有两个不相等的实数根，
故且，所以， ，
又恒成立，即恒成立，
．
设，则
在上恒成立，故在上单调递减，
所以，
所以，即实数的取值范围为．－4
－1
3
4
+
0
－
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值－5
单调递增