2024年高考数学重难点突破专题四 三角函数与解三角形第十一讲 三角函数的综合应用答案 (2)186

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答案部分
2019年
1.解析 解法一：
（1）过A作，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.'
因为PB⊥AB，
所以.
所以.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，联结AD，由（1）知，
从而，所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此，Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设为l上一点，且，由（1）知，B=15，
此时；
当∠OBP>90°时，在中，.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.
解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.
因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.
因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为.
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，
直线PB的方程为.
所以P（−13，9），.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，联结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），
所以线段AD：.
在线段AD上取点M（3，），因为，
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设为l上一点，且，由（1）知，B=15，此时（−13，9）；
当∠OBP>90°时，在中，.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当P（−13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离
.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）
2010-2018年
1．C【解析】由题意可得
（其中，），∵,
∴，，
∴当时，取得最大值3，故选C．
2．B【解析】由于．
当时，的最小正周期为；
当时，的最小正周期；
的变化会引起的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B．
注：在函数中，的最小正周期是和的最小正周期的公倍数．
3．C【解析】由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C．
4．D【解析】对于A，当或时，均为1，而与此时均有两个值，故A、B错误；对于C，当或时，，而由两个值，故C错误，选D．
5．B【解析】由于，故排除选项C、D；当点在上时，．不难发现的图象是非线性，排除A．
6．C【解析】由题意知，，当时，；当时，，故选C．
7．A【解析】由，
得，所以，所以，
由正弦函数的性质知与的图象的对称轴相同，
令，则，所以函数的图象的对称轴为
，当，得，选A．
8． 【解析】，所以
9．7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．
10．【解析】∵，∴，∴，∵，
∴．
11．（1）3；（2）【解析】（1），当，点P的坐标为（0，）时；
（2）曲线的半周期为，由图知，
，设的横坐标分别为．设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则，
由几何概型知该点在△ABC内的概率为．
12．【解析】(1)连结并延长交于，则⊥，所以=10．
过作⊥于，则∥，所以，
故，，
则矩形的面积为，
的面积为．
过作⊥，分别交圆弧和的延长线于和，则．
令，则，．
当时，才能作出满足条件的矩形，
所以的取值范围是．
答：矩形的面积为平方米，的面积为
，的取值范围是．
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为，乙的单位面积的年产值为，
则年总产值为
，．
设，，
则．
令，得，
当时，，所以为增函数；
当时，，所以为减函数，
因此，当时，取到最大值．
答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
13．【解析】（1）由正棱柱的定义，平面，
所以平面平面，．
记玻璃棒的另一端落在上点处．
因为，．
所以，从而．
记与水平的交点为，过作，为垂足，
则平面，故，
从而．
答：玻璃棒没入水中部分的长度为16cm.
( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)
（2）如图，，是正棱台的两底面中心.
由正棱台的定义，⊥平面 ，
所以平面⊥平面，⊥.
同理，平面⊥平面，⊥.
记玻璃棒的另一端落在上点处.
过作⊥，为垂足， 则==32.
因为= 14，= 62，
所以= ，从而.
设则.
因为，所以.
在中，由正弦定理可得，解得.
因为，所以.
于是
.
记与水面的交点为，过作，为垂足，则 ⊥平面，故=12，从而 =.
答:玻璃棒没入水中部分的长度为20cm.
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)
14．【解析】（Ⅰ）由题意
．
由()，可得()；
由()，得()；
所以的单调递增区间是（）；
单调递减区间是（）．
（Ⅱ），，
由题意是锐角，所以 ．
由余弦定理：，
可得
，且当时成立．
．面积最大值为．
15．【解析】（Ⅰ）因为，
又，所以，，
当时，；当时，；
于是在上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为，最低温度为，最大温差为
（Ⅱ）依题意，当时实验室需要降温.
由（Ⅰ）得，
所以，即，
又，因此，即，
故在10时至18时实验室需要降温.
16．【解析】（1）成等差数列，
由正弦定理得
（2）成等比数列，
由余弦定理得
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
即，所以的最小值为
17．【解析】（Ⅰ）由函数的周期为，，得
又曲线的一个对称中心为，
故，得，所以
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数
（Ⅱ）当时，，，
所以．
问题转化为方程在内是否有解
设，
则
因为，所以，在内单调递增
又，
且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在唯一零点，
即存在唯一的满足题意．
（Ⅲ）依题意，，令
当，即时，，从而不是方程的解，所以方程等价于关于的方程，
现研究时方程解的情况
令，
则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况
，令，得或．
当变化时，和变化情况如下表
当且趋近于时，趋向于
当且趋近于时，趋向于
当且趋近于时，趋向于
当且趋近于时，趋向于
故当时，直线与曲线在内有无交点，在内有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内无交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内有个交点由函数的周期性，可知当时，直线与曲线在内总有偶数个交点，从而不存在正整数，使得直线与曲线在内恰有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，由周期性，，所以
综上，当，时，函数在内恰有个零点