2024年高考数学重难点突破专题十三 推理与证明第三十九讲 数学归纳法答案153

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答案部分
1．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：
当时，
假设时，，
那么时，若，则，矛盾，故．
因此
所以
因此
（Ⅱ）由得
记函数
函数在上单调递增，所以=0，
因此
故
（Ⅲ）因为
所以得
由得
所以
故
综上， ．
2．【解析】（Ⅰ）的定义域为，．
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减．
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
当时，，即．
令，得，即． ①
（Ⅱ）；；
．
由此推测： ． ②
下面用数学归纳法证明②．
（1）当时，左边右边，②成立．
（2）假设当时，②成立，即．
当时，，由归纳假设可得
．
所以当时，②也成立．
根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．
（Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得
，即．
3．【解析】（Ⅰ）由已知，得
于是
所以
故
（Ⅱ）证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，
即，类似可得
，
，
.
下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.
(i)当n=1时，由上可知等式成立.
(ii)假设当n=k时等式成立, 即.
因为
，
所以.
所以当n=k+1时,等式也成立.
综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.
令，可得().
所以()．
4．【解析】（Ⅰ）证：用数学归纳法证明
（1）当时，，原不等式成立。
（2）假设时，不等式成立
当时，
所以时，原不等式成立。
综合（1）（2）可得当且时，对一切整数，不等式均成立。
（Ⅱ）证法1：先用数学归纳法证明。
（1）当时由假设知成立。
（2）假设时，不等式成立
由易知
当时
由得
由（Ⅰ）中的结论得
因此，即
所以当时，不等式也成立。
综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立。
再由得，即
综上所述，
证法2：设，则，并且
，
由此可见，在上单调递增，因而当时。
（1）当时由，即可知
，
并且，从而
故当时，不等式成立。
（2）假设时，不等式成立，则
当时，即有，
所以当时原不等式也成立。
综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立。
5．【解析】：（Ⅰ）解法一：
再由题设条件知
从而是首项为0公差为1的等差数列，
故=，即
解法二：
可写为.因此猜想.
下用数学归纳法证明上式：
当时结论显然成立.
假设时结论成立，即.则
这就是说，当时结论成立.
所以
（Ⅱ）解法一：设，则.
令，即，解得.
下用数学归纳法证明加强命题：
当时，，所以，结论成立.
假设时结论成立，即
易知在上为减函数，从而
即
再由在上为减函数得.
故，因此，这就是说，当时结论成立.
综上，符合条件的存在，其中一个值为.
解法二：设，则
先证：…………………………①
当时，结论明显成立.
假设时结论成立，即
易知在上为减函数，从而
即这就是说，当时结论成立，故①成立.
再证：………………………………②
当时，，有，即当时结论②成立
假设时，结论成立，即
由①及在上为减函数，得
这就是说，当时②成立，所以②对一切成立.
由②得，即
因此
又由①、②及在上为减函数得，即
所以解得.
综上，由②③④知存在使对一切成立.
6．【解析】（Ⅰ），令，解得.
当时，，所以在内是减函数；
当 时，，所以在内是增函数.
故函数在处取得最小值.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，有，即 ①
若，中有一个为0，则成立；
若，均不为0，又，可得，于是
在①中令，，可得，
即，亦即.
综上，对，，为正有理数且，总有. ②
（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：
设为非负实数，为正有理数.
若，则. ③
用数学归纳法证明如下：
（1）当时，，有，③成立.
（2）假设当时，③成立，即若为非负实数，为正有理数，
且，则.
当时，已知为非负实数，为正有理数，
且，此时，即，于是
=.
因，由归纳假设可得
，
从而.
又因，由②得
，
从而．
故当时，③成立．
由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立．
说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对成立，则后续证明中不需讨论的情况.
7．【解析】（Ⅰ）由，而，
的一个零点，且在（1，2）内有零点。
因此至少有两个零点。
解法1：记则
当上单调递增，则内至多只有一个零点。又因为内有零点，所以内有且只有一个零点，记此零点为；当时，
所以，
当单调递减，而内无零点；
当单调递减，而内无零点；
当单调递增，而内至多只有一个零点。
从而内至多只有一个零点。
综上所述，有且只有两个零点。
解法2：由，则
当从而上单调递增，
则内至多只有一个零点，因此内也至多只有一个零点。
综上所述，有且只有两个零点。
（Ⅱ）记的正零点为
（1）当
而
由此猜测：。下面用数学归纳法证明。
①当显然成立。
②假设当时，由
因此，当成立。
故对任意的成立。
（2）当，由（I）知，上单调递增，则，
即，
由此猜测：，下面用数学归纳法证明，
①当显然成立。
②假设当成立，则当时，
由
因此，当成立，
故对任意的成立
综上所述，存在常数，使得对于任意的