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2024年高考数学重难点突破专题二 函数概念与基本初等函数 第六讲函数综合及其应用答案70
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这是一份2024年高考数学重难点突破专题二 函数概念与基本初等函数 第六讲函数综合及其应用答案70，共8页。试卷主要包含了B【解析】由题意可知过点，等内容，欢迎下载使用。
答案部分
1．A【解析】解法一 函数的图象如图所示，当的图象经过点时，可知．当的图象与的图象相切时，由，得，由，并结合图象可得，要使恒成立，当时，需满足，即，当时，需满足，所以．
解法二 由题意时，的最小值2，所以不等式等价于
在上恒成立．
当时，令，得，不符合题意，排除C、D；
当时，令，得，不符合题意，排除B；
选A．
2．B【解析】由知的图像关于直线对称，
又函数的图像也关于直线对称，
所以这两个函数图像的交点也关于直线对称，
不妨设，则，即，
同理，……，由，
所以，
所以，故选B．
3．B【解析】由已知可设，则，因为为偶函数，所以只考虑的情况即可．若，则，所以．故选B．
4．B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升．而这段时间内行驶的里程数千米．所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B．
5．B 【解析】采用特殊值法，若，则，，，，由此可知最低的总费用是．
6．B【解析】由题意可知过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），
代入中可解得，
∴
∴当分钟时，可食用率最大．
7．D【解析】设年平均增长率为，原生产总值为，则，解得，故选D．
8．A【解析】解法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y= -x，在(2，0)处的切线方程为y= 3x-6，以此对选项进行检验．A选项，，显然过两个定点，又，
则，故条件都满足，由选择题的特点知应选A．
解法二 设该三次函数为，则
由题设有，解得．
故该函数的解析式为，选A．
9．A【解析】设所求函数解析式为，由题意知，
且，代入验证易得符合题意，故选A．
10．【解析】当时，恒成立等价于恒成立，即恒成立，所以；
当时恒成立等价于恒成立，
即恒成立，所以．
综上，的取值范围是．
11．【解析】取的中点，连接，
因为，所以．
因为平面平面，所以平面．
设，
所以，
所以球的表面积为．
12．【解析】由题意，，且，
又时，，时，，当时，，所以取值范围为．
13．【解析】由体积相等得：．
14．【解析】函数的定义域为，
根据已知得，
所以，恒成立，
即，令，，则只要直线在半圆上方即可，由，解得（舍去负值），故实数的取值范围是．
15．160【解析】设该容器的总造价为元，长方体的底面矩形的长，因为无盖长方体的容积为，高为，所以长方体的底面矩形的宽为，依题意，
得．
16．①③④【解析】对于①，根据题中定义，函数，的值域为，由函数值域的概念知，函数，的值域为
，所以①正确；对于②，例如函数的值域包含于区间，所以，但有最大值l，没有最小值，所以②错误；对于③，
若，则存在一个正数，使得函数的值域包含于区间，所以，由知，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间，所以，亦有，两式相加得≤≤，于是，与已知“.”矛盾，故，即③正确；对于④，如果，那么，如果，那么，所以有最大值，必须，此时在区间上，有，所以，即④正确，故填①③④．
17．【解析】(1)当时，恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；
当时，若，即，解得（舍）或；
∴当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
(2)设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为．
因此人均通勤时间，整理得：，
则当，即时，单调递减；
当时，单调递增．
实际意义：当有的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．
适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．
18．【解析】（1）由题意知，点，的坐标分别为，．
将其分别代入，得，解得．
（2） = 1 \* GB3 ①由（1）知，（），则点的坐标为，
设在点处的切线交，轴分别于，点，，
则的方程为，由此得，．
故，．
= 2 \* GB3 ②设，则．令，解得．
当时，，是减函数；
当时，，是增函数．
从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，
此时．
答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米．
19．【解析】（Ⅰ）因为蓄水池侧面积的总成本为元，底面的总成本为元，所以蓄水池的总成本为（）元.
又题意据，所以，
从而．因，又由可得，
故函数的定义域为.
（Ⅱ）因，故．令，
解得（因不在定义域内，舍去）.
当时，，故在上为增函数；
当时，，故在上为减函数.
由此可知，在处取得最大值，此时．
即当，时，该蓄水池的体积最大.
20．【解析】（1）当时，．
∵，∴在内存在零点．
又当时，，∴在上是单调递增的，
∴在区间内存在唯一的零点；
（2）解法一 由题意知即由图像知，在点取得最小值，在点取得最大值．
解法二 由题意知，即．…①
，即．…②
①+②得，
当时，；当时，．
所以的最小值，最大值．
解法三 由题意知，
解得，
．
又∵，∴．
当时，；当时，．
所以的最小值，最大值．
(3)当时,．
对任意都有有等价于在[-1,1]上的最大值与最小值之差．据此分类讨论如下:
(ⅰ)当,即时, ,与题设矛盾．
(ⅱ)当,即时, 恒成立．
(ⅲ) 当,即时, 恒成立．
综上可知,．
21．【解析】设包装盒的高为（cm），底面边长为（cm），由已知得
（1）
所以当时，取得最大值．
（2）
由（舍）或=20．
当时，；．
所以当=20时，V取得极大值，也是最小值．
此时，即装盒的高与底面边长的比值为．
答案部分
1．A【解析】解法一 函数的图象如图所示，当的图象经过点时，可知．当的图象与的图象相切时，由，得，由，并结合图象可得，要使恒成立，当时，需满足，即，当时，需满足，所以．
解法二 由题意时，的最小值2，所以不等式等价于
在上恒成立．
当时，令，得，不符合题意，排除C、D；
当时，令，得，不符合题意，排除B；
选A．
2．B【解析】由知的图像关于直线对称，
又函数的图像也关于直线对称，
所以这两个函数图像的交点也关于直线对称，
不妨设，则，即，
同理，……，由，
所以，
所以，故选B．
3．B【解析】由已知可设，则，因为为偶函数，所以只考虑的情况即可．若，则，所以．故选B．
4．B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升．而这段时间内行驶的里程数千米．所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B．
5．B 【解析】采用特殊值法，若，则，，，，由此可知最低的总费用是．
6．B【解析】由题意可知过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），
代入中可解得，
∴
∴当分钟时，可食用率最大．
7．D【解析】设年平均增长率为，原生产总值为，则，解得，故选D．
8．A【解析】解法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y= -x，在(2，0)处的切线方程为y= 3x-6，以此对选项进行检验．A选项，，显然过两个定点，又，
则，故条件都满足，由选择题的特点知应选A．
解法二 设该三次函数为，则
由题设有，解得．
故该函数的解析式为，选A．
9．A【解析】设所求函数解析式为，由题意知，
且，代入验证易得符合题意，故选A．
10．【解析】当时，恒成立等价于恒成立，即恒成立，所以；
当时恒成立等价于恒成立，
即恒成立，所以．
综上，的取值范围是．
11．【解析】取的中点，连接，
因为，所以．
因为平面平面，所以平面．
设，
所以，
所以球的表面积为．
12．【解析】由题意，，且，
又时，，时，，当时，，所以取值范围为．
13．【解析】由体积相等得：．
14．【解析】函数的定义域为，
根据已知得，
所以，恒成立，
即，令，，则只要直线在半圆上方即可，由，解得（舍去负值），故实数的取值范围是．
15．160【解析】设该容器的总造价为元，长方体的底面矩形的长，因为无盖长方体的容积为，高为，所以长方体的底面矩形的宽为，依题意，
得．
16．①③④【解析】对于①，根据题中定义，函数，的值域为，由函数值域的概念知，函数，的值域为
，所以①正确；对于②，例如函数的值域包含于区间，所以，但有最大值l，没有最小值，所以②错误；对于③，
若，则存在一个正数，使得函数的值域包含于区间，所以，由知，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间，所以，亦有，两式相加得≤≤，于是，与已知“.”矛盾，故，即③正确；对于④，如果，那么，如果，那么，所以有最大值，必须，此时在区间上，有，所以，即④正确，故填①③④．
17．【解析】(1)当时，恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；
当时，若，即，解得（舍）或；
∴当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
(2)设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为．
因此人均通勤时间，整理得：，
则当，即时，单调递减；
当时，单调递增．
实际意义：当有的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．
适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．
18．【解析】（1）由题意知，点，的坐标分别为，．
将其分别代入，得，解得．
（2） = 1 \* GB3 ①由（1）知，（），则点的坐标为，
设在点处的切线交，轴分别于，点，，
则的方程为，由此得，．
故，．
= 2 \* GB3 ②设，则．令，解得．
当时，，是减函数；
当时，，是增函数．
从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，
此时．
答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米．
19．【解析】（Ⅰ）因为蓄水池侧面积的总成本为元，底面的总成本为元，所以蓄水池的总成本为（）元.
又题意据，所以，
从而．因，又由可得，
故函数的定义域为.
（Ⅱ）因，故．令，
解得（因不在定义域内，舍去）.
当时，，故在上为增函数；
当时，，故在上为减函数.
由此可知，在处取得最大值，此时．
即当，时，该蓄水池的体积最大.
20．【解析】（1）当时，．
∵，∴在内存在零点．
又当时，，∴在上是单调递增的，
∴在区间内存在唯一的零点；
（2）解法一 由题意知即由图像知，在点取得最小值，在点取得最大值．
解法二 由题意知，即．…①
，即．…②
①+②得，
当时，；当时，．
所以的最小值，最大值．
解法三 由题意知，
解得，
．
又∵，∴．
当时，；当时，．
所以的最小值，最大值．
(3)当时,．
对任意都有有等价于在[-1,1]上的最大值与最小值之差．据此分类讨论如下:
(ⅰ)当,即时, ,与题设矛盾．
(ⅱ)当,即时, 恒成立．
(ⅲ) 当,即时, 恒成立．
综上可知,．
21．【解析】设包装盒的高为（cm），底面边长为（cm），由已知得
（1）
所以当时，取得最大值．
（2）
由（舍）或=20．
当时，；．
所以当=20时，V取得极大值，也是最小值．
此时，即装盒的高与底面边长的比值为．
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