2024年高考数学突破145分专题23 利用导数证明不等式(教师版)199

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1．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】
A．计算出的值，与比较大小并判断是否正确；B．利用导数分析的最小值，由此判断出是否正确；C．根据与的大小关系进行判断；D．构造函数，分析其单调性和最值，由此确定出，将变形可得，再将变形可判断结果.
【详解】
A选项，，A正确；
B选项，因为，所以当时，，所以单增，所以，
因为，所以，所以，B正确；
C选项，因为，所以，C错误；
D选项，令，，
所以在单调递增，所以，所以，
则，所以，即，
所以，所以D错误.
故选：AB.
【点睛】
易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：
（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
2．下列不等式正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】ABC
【分析】
构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确.
【详解】
对于A：设，则，令，解得，
当时函数单调递减，当时，函数单调递增，
所以函数在时，函数取得最小值，故当时，，故A正确；
对于B：设，所以，
令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
所以在时，（1），故当时，恒成立，故B正确；
对于C：设，所以，令，解得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
所以当时，（1），所以当时，，故C正确；
对于D：设函数，则，所以是定义在上单调递增的奇函数，
所以时，成立，时，，故D错误．
故选：ABC
3．已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．是R上的增函数D．，则有
【答案】AD
【分析】
由题意得，即为增函数，可得，即可判断，举出反例可判断C，根据单调性可判断D.
【详解】
由，得，即，
所以函数为增函数，故，
所以，故A正确，B不正确；
函数为增函数时，不一定为增函数，
如是增函数，但是减函数，所以C不正确；
因为函数为增函数，所以时，有，
故有成立，所以D正确.
故选：AD.
【点睛】
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造函数是解题的关键，属于中档题.
二、解答题
4．已知函数，，若最小值为0.
（1）求实数的值；
（2）设，证明：.
【答案】（1）1；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由，得，讨论当时，无最小值.当时， ，由可得答案得；
（2）由（1）可知，可得，由（1）可知，即，进而可得结论.
【详解】
（1）由已知，定义域为.
.
由，得.
当时，，在单调递增无最小值.
当时，，；，.
故，
令，.
，；，，，
所以由，得.
（2）由（1）可知，此时
等价于，
由（1）可知当时，.
故，即.
所以，
故.
【点睛】
不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
5．已知函数，.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）设，当，且，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）当时，，，由的单调性得出函数的最大值；
（2）由函数的单调性结合零点个数得出，结合分析法要证，只需证，由函数在上存在唯一零点证明，由函数在上存在唯一零点证明，从而得出.
【详解】
解1）当时，，.
当时，；当时，.
∴函数在上单调递增，在上单调递减.
∴.
（2）由题可知，是函数的零点.
当时，；当时，
∴函数在上单调递增，在上单调递减
故函数要有两个零点，必有，即.
要证，只需证
只需证 ①
由于，，，
∴函数在上存在唯一零点
即. ②
由（1）知，，所以，且当时，取等号
∴
∴函数在上存在唯一零点
即. ③
由②③可知①成立，故.
【点睛】
求解本题第（2）问的关键是根据题中条件将证明转化为证明，然后利用零点存在定理即可求解.
6．已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）当时，证明：；
（2）设实数，是函数的两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）构造函数，证明最小值大0即可得解；
（2）先求导可，
分，和进行讨论即可得解.
【详解】
（1）设，
∴，∴，
∵，∴，，
∴，∴在上单调递增，
又，∴时，，
在上单调递增，
又，∴时，，
故当时，，
∴．
（2）∵，
∴，
当时，易知函数只有一个零点，不符合题意．
当时，在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
又，，
不妨取且时，
，
[或者考虑：当，]，所以函数有两个零点，
∴符合题意，
当时，由得或．
（ⅰ）当，即时，在上，成立，
故在上单调递增，
所以函数至多有一个零点，不符合题意．
（ⅱ）当，即时，在和上，
，单调递增；
在上，，单调递减；
又，且，
所以函数至多有一个零点，不符合题意．
（ⅲ）当即时，
在和上，单调递增；
在上，单调递减，
以，所以函数至多有一个零点，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
【点睛】
本题考查了导数的应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造法证明不等式以及分类讨论求参数范围，要求较高的计算能力，属于难题.
解决本类问题的方法有以下几点：
（1）证明题常常利用构造法，通过构造函数来证明；
（2）分类讨论解决含参问题，是导数压轴题常考题型，在讨论时重点是找到讨论点.
7．已知，当时恒成立．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）移项构造函数，求导后分类讨论.
（2）利用（1）的结论构造新函数，求导后构造新函数再求导寻找极值点即可.
【详解】
（1）即恒成立，
令，则
当时，则在是增函数，，成立．
当时，使
，，为减函数，，，为增函数．
所以不合题意．
所以．
（2）由（1）得当时，所以要证只要证
即证：，设，，
，
所以在是增函数，
，，所以存在使．
故时，，则为减函数，时则为增函数
，，
所以时，故命题成立．
【点睛】
此题为导数综合题，属于难题.
方法点睛：利用导数求参数范围方法：
（1）变量分离，构造函数，转化为恒成立问题处理，求导数进步求新函数的最值.
（2）移项后，构造函数，求导讨论函数的单调性及极值.
8．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）首先求导得到，从而得到，再利用点斜式求切线方程即可.
（2）首先求导得到，根据在上单调递增，且，且，得到存在唯一，使得，再根据函数的单调性得到，利用基本不等式即可证明.
【详解】
（1）当时，.
∴，又，
∴在点处的切线方程为，即.
（2），
易知在上单调递增，且，
又，
∴存在唯一，使得，即.
当时，，为减函数；
当时，，为增函数.
∴.
当且仅当，即时，等号成立.
∴当时，.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数证明不等式，解题的关键为找到导函数的隐藏零点，属于中档题.
9．已知函数.
(1)若只有一个极值点，求的取值范围.
(2)若函数存在两个极值点，记过点的直线的斜率为，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求导，令，则.令，解不等式组即得解；
（2）只需证，设，函数，证明即得证.
【详解】
(1)解：，
令，则.令，
要使函数只有一个极值点，则需满足，即；
(2)证明：因为，
所以，
因为存在两个极值点，所以即
不妨假设，则
要证，即要证，
只需证，
只需证，
即证
设，函数，
因为，故，所以，即，
故在上单调递减，则
又因为，所以，即，
从而得证.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是通过分析得到只需证明.对于比较复杂的问题，我们可以通过分析把问题转化，再证明，提高解题效率.
10．函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当，时，证明：.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由得到 求导由， 求解.
（2）求导，分，讨论求解.
【详解】
（1）当时， ，.
所以
当时，；
当时，.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）因为，
所以.
①当，时，恒成立，
所以单调递增，
所以，而，所以恒成立；
②，时，由可得；由可得.
所以在单调递减，在单调递增，
所以.
设，则，
所以在单调递减，
故，
所以，从而.
综上，当，时，.
【点睛】
方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论；若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
2、利用导数证明不等式常构造函数φ(x)，将不等式转化为φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的单调性、最值，判定φ(x)与0的关系，从而证明不等式.
11．已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，求证：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先求导，分为，，和四种情形进行分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；
（2）等价于，令，利用当时的结论，根据导数判断与0的关系，即可证明.
【详解】
解：的定义域为，
则，
当时，，当时，，当时，，
函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，令，解得或，
当时，恒成立，
函数的单调递减区间为，无单调递增区间，
当时，，
当或时，，当，时，，
函数的单调递减区间为或，单调递增区间为，，
当，，
当或，时，，当时，，
函数的单调递减区间为或，，单调递增区间为．
综上所述：当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间，
当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，
当时，函数的单调递减区间为或，，单调递增区间为．
（2） 证明：要证，即证，
令，
则，
由（1），当时，，
可得的单调递减区间为，单调递增区间为，
即的单调递减区间为，单调递增区间为，
（1），
在上单调递增，
（1），
当时，，，
当时，，，
，
即．
【点睛】
含有参数的函数单调性讨论常见的形式：
（1）对二次项系数的符号进行讨论；
（2）导函数是否有零点进行讨论；
（3）导函数中零点的大小进行讨论；
（4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等.
12．函数.
（1）若，求的单调性；
（2）当时，若函数有两个零点，求证：.
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求导得，设，利用导数可得的单调性，并可得的零点，即可求出的单调性；
（2）由函数有两个零点，所以，即有两个不等实根，利用导数求得的单调性，结合题意可得，求出的范围，利用对勾函数的单调性即可证明.
【详解】
（1）因为，（），
所以.
设，则，
所以在单调递增，
又因为，所以当时，，则，单调递减；
当时，，则，单调递增.
综上，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：因为函数有两个零点，
所以方程有两个不等实根.
设，即有两个不等实根，
则.
设，则由可知，
而的对称轴方程为，且，
所以存在使得，即，
且当时，，则，所以单调递减；
当时，，则，所以单调递增.
因为有两个不等实根，所以必有，即.
将，代入整理可得.
设，则易得在上单调递减，
又，所以，
结合对勾函数在单调递增可知，
即成立，命题得证.
【点睛】
解题的关键是利用导数判断函数的单调性，当导函数无法直接判断正负时，可构造新函数，并继续求导，即可求出导函数的单调性和极值，进而可得导函数的正负，即原函数的单调性，考查分析理解，化简求值的能力，属中档题.
13．已知函数．
（1）试讨论的单调性；
（2）若，证明：．
【答案】（1）答案不唯一见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）对函数进行求导得，再对分三种情况讨论，即，，三种情况；
（2）要证明，只需证明，而，因此只需证明，再利用函数的单调性，即可得证；
【详解】
解析：（1）因为，
①当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，，
当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减；
③当时，，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增．
（2）要证明，只需证明，
而，因此只需证明，
当时，，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以；
当时，，
故．
【点睛】
利用导数研究含参函数的单调区间，要注意先求导后，再解导数不等式.
14．已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若对任意恒有不等式成立.
①求实数的值；
②证明：.
【答案】（1）；（2）①1；②证明见解析.
【分析】
（1）求出函数的定义域，对函数求导，令，构造，利用导数研究函数的单调性与实根个数，进而得出的单调性和最值；
（2）①当时，单调递增，值域为，不适合题意；当时，构造，求导得出函数的最大值，可得实数的值；
②由①可知，因此只需证：，只需证，即，按和分别证明即可．
【详解】
（1）法一：
的定义域为，
由题意，
令，得，
令，
，
所以在上为增函数，且，
所以有唯一实根，
即有唯一实根，设为，
即，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以.
法二：
.
设，则.
记.故最小值即为最小值.
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以的最小值为.
（2）①当时，单调递增，值域为，不适合题意，
当时，由（1）可知，
设，
所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即.
由已知，恒成立，所以，
所以，
所以.
②由①可知，因此只需证：
，
又因为，只需证
，即，
当时，结论成立，
当时，设，
，
当时，显然单调递增.
，故单调递减，
，
即.
综上结论成立.
【点睛】
方法点睛：本题考查导数研究函数的最值，导数解决恒成立问题以及导数证明不等式，导数对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题：
1.恒成立；
2.恒成立.
15．已知a＞0，函数．
（1）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围；
（2）当x＞1时，求证：．（e＝2.718…）
【答案】（1）0＜a≤1；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据题意可得在上，恒成立，即恒成立，设，求导数分析的单调性，使得，即可得结果；
（2）当0＜a≤1时，可得，；当时，先得在 上单调递减，，得出存在，使得上单调递增，在上单调递减，进而，结合函数的单调性可得结果.
【详解】
（1）解：由题意知f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝lnx-x＋a，
由f（x）为减函数可知f'（x）≤0恒成立．
设g（x）＝lnx-x＋a，，
令g'（x）＝0得x＝1，当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，即f'（x）单调递增；
当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，即f'（x）单调递减．
故f'（x）≤f'（1）＝-1＋a≤0，因此0＜a≤1．
（2）证明：由（1）知，当0＜a≤1时，f（x）为减函数，所以，
又0＜a≤1，．
设，ea＝t，则，t∈（1，e]．
又在区间（1，e]上单调递增，所以，
故，所以当0＜a≤1时，．
当a＞1时，由（1）知，当x∈（1，＋∞）时，f'（x）单调递减，且f'（1）＝a-1＞0．
f'（ea）＝2a-ea，令h（x）＝2x-ex，h'（x）＝2-ex，
当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，故h（a）＝2a-ea＜h（1）＝2-e＜0，
又ea＞1，f'（x）在（1，＋∞）上单调递减，
故存在x0∈（1，ea），使得f'（x0）＝0，即f'（x0）＝lnx0-x0＋a＝0，即a＝x0-lnx0，
因此有f（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，＋∞）上单调递减，
故，
将a＝x0-lnx0代入，得．
因为函数在（1，＋∞）上单调递增，
所以，即，
故成立。
【点睛】
方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
16．已知函数，.
（1）判断函数的单调性；
（2）若，判断是否存在实数，使函数的最小值为2？若存在求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）证明：.
【答案】（1）答案见解析；（2）存在，；（3）证明见解析.
【分析】
（1）先求，再对求导，对参数a进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性；
（2）对参数a进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性，再根据单调性确定最值等于2，解得符合条件的参数值即得结果；
（3）先构造函数，证明其小于零，即得时，再将代入求和即证结论.
【详解】
解：（1）由，知，，故，.
当时，，即在为减函数，
当时，在上，所以在为减函数，
在上，所以在增函数.
（2）当时，在为减函数，所以.故不存在最小值3.
当时，，在为减函数，所以
，所以，不合题意，舍去
当时，在上，函数单调递减；在上，函数单调递增，由此，所以.解得
故时，使函数的最小值为2.
（3）构造函数，则，
故在上递减，，故，
即时，而，故，即，将依次代入并相加得
，即.
【点睛】
本题解题关键在于观察证明式，构造函数，以证明，将代入求和即突破难点.用导数解决与正整数n有关的不等式证明问题，属于难点，突破点就在于观察构造合适的函数，通过导数证明不等式，再将关于n 的式子代入即可.
17．已知函数.
（1）求证：；
（2）函数，有两个不同的零点，.求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
(1)求出函数的导函数，从而可求出函数的单调性，进而可知.
(2)求出，不妨令，，由已知条件可得只需证明即可，令，结合导数求出函数单调性，从而可求出，即证出所证结论.
【详解】
（1）证明：易得：，令得，
令得，∴在上单调递增；在上单调递减.
∴.
（2）解：易得，∴，，
两式作差得：，要证：，只需证：，
只需证：，∵，不妨令，
只需证：，只需证：，令，
即证，令，，
∴在上单调递减，∴，∴.
【点睛】
关键点睛：
本题第二问的关键是通过零点的定义以及换元法，将所证命题转化为恒成立，结合导数单调性即可证明.
18．已知函数，.
（1）若函数在区间内是增函数，求的取值范围；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求得，由题意可得出在区间上恒成立，利用参变量分离法得出在上恒成立，利用导数求出当时，，由此可求得实数的取值范围；
（2）由（1）推导出，令可得出，然后利用不等式的可加性可证得结论成立.
【详解】
（1）由题意，在上恒成立.
当时，，则，即在上恒成立，
令，则，
所以，函数在上单调递减，则，，
因此，实数的取值范围是；
（2）证明：由（1）知，当时，在是减函数，
所以，即，则，
，
令，代入可得，
所以，，，，
上述不等式全部相加得：.
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题：
（1）直接构造法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
19．已知函数.
（1）若a= -2，求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由a= -2，求导，再由，求解即可,
（2）求导，根据f(x)有两个极值点x1，x2，得到x1，x2为方程的两个不等实根，然后结合韦达定理得到，再
令，用导数法证明即可.
【详解】
（1）f(x)的定义域是.
当a= -2时，，，
当时，，当时，，
所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），
因为f(x)有两个极值点x1，x2，
故x1，x2为方程的两个不等实根，
所以，
.
,
令，
则，
在单调递增，
故
.
【点睛】
思路点睛：利用导数证明不等式常构造函数φ(x)，将不等式转化为φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的单调性、最值，判定φ(x)与0的关系，从而证明不等式．
20．（1）当时，求证：；
（2）若对于任意的恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设a>0，求证；函数在上存在唯一的极大值点，且.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析
【分析】
（1）构造函数，转化为函数的最值问题求解；
（2）设，则，分，讨论，通过研究的最小值求解；
（3）求得，令得到，通正切函数的性质可得函数单调性，进而可得极值点．将证明转化为证明，令，则，即证，即证，构造函数利用导数求其最值即可．
【详解】
（1）证明：设，则，
从而在为增函数．所以，
故当时，成立；
（2）解：设，则，
考虑到当时，，
（ⅰ）当时，，则在上为增函数，
从而，此时适合题意．
（ⅱ）当时，，则当时，，从而在上是减函数，
所以当时，，这与“当时，恒成立”矛盾．故此时不适合题意．
由（ⅰ）（ⅱ）得所求实数的取值范围为．
（3）证明：，
令，得，当时，可化为，
由正切函数的性质及，得在内必存在唯一的实数，使得，
所以当时，，则在上为增函数：
当时，，则在上为减函数，
所以是的极大值点．且的极大值为．
下面证明：．
当时，由（1）知，由（2）易证．
所以，从而．
下面证明：．令，则，
即证，即证．
令，则，
从而在上为增函数，
所以当，，即．
故成立．
【点睛】
利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.