江西省抚州市2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试题（Word版附解析）

这是一份江西省抚州市2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
说明：
（1）本试题卷共4页，22个小题，满分150分，考试时间120分钟；
（2）答案须写在答题卡相应的位置上，不得在本试题卷上作答，否则不给分；
（3）所有考试结束3天后，考生可凭准考证查询考试成绩，密码与准考证号相同
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，仅有一项符合题目要求．
1．已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的图象为折线，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为
6．若函数的定义域是，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（ ）
A．4或 B．4或 C．2或 D．2或
8．已知定义在区间上的函数，若存在时，成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．
9．下列选项中说法正确的是（ ）
A．若用分层随机抽样的方法抽得两组数据的平均数分别为8，12，若这两组数据的平均数是10，则这两组数据的权重比值为1
B．一组数据的分位数是6，则实数的取值范围是
C．一组数据的平均数为，将这组数据中的每一个数都加2，所得的一组新数据的平均数为
D．一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都乘2，所得的一组新数据的方差为
10．若方程在区间上有实数根，则实数的取值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
11．下列结论正确的是（ ）
A．函数且的图象过定点
B．是方程有两个实数根的充分不必要条件
C．的反函数是，则
D．定义在上的奇函数，当时，，则
12．若正实数满足，则下列结论中正确的有（ ）
A．的最小值为8． B．的最小值为
C．的最大值为． D．的最小值为．
三、填空题：共4小题，每题5分，共20分．
13．幂函数在区间上单调递增，则实数的值为________．
14．在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是________．
15．若，且，则称是“伙伴关系集合”在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为________．
16．已知函数，函数，若函数有5个雾点，则实数的取值范围是________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．
17．（本小题满分10分）已知函数为定义域上的奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若，试用表示．
18．（本小题满分12分）2023年9月23日，中国农历象征收获的秋分时节，第19届亚洲运动会在浙江杭州隆重开幕．杭州基础设施全面升级、城市面貌焕然一新、民生服务格局大变．为了解杭州老百姓对城市基础设施升级工作满意度，从该地的A，B两地区分别随机调查了40户居民，根据大家对城市基础设施升级工作的满意度评分（单位：分），得到地区的居民满意度评分的频率分布直方图（如图）和B地区的居民满意度评分的频数分布表（如表1）．
表2
（1）根据居民满意度评分，将居民的满意度分为三个等级（如表2），估计哪个地区的居民满意度等级为不满意的可能性大，说明理由。
（2）将频率看作概率，从A，B两地区居民中各随机抽查1户居民进行调查，求至少有一户居民评分满意度等级为“非常满意”的概率
19．（本小题满分12分）已知函数
（1）是否存在实数使得关于的不等式的解集为，若存在．求实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由；
（2）若关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围。
20．（本小题满分12分）临川菜梗是江西临川的传统民间特产，以“不怕辣”而著称，相传宋神宗熙宁年间王安石出任平章事（宰相），平时爱以家乡菜梗招待同僚进餐，美誉传至宋神宗，于是命（再想）家乡进贡来，尝后大悦御批为“天下一绝”．近日，临川一家食品店的店员对每天的莱梗销售情况盘点后发现：该商品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：
（1）给出以下四种函数模型：
①；②；③；④．
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
（2）设该店临川菜梗的日销售收入为（单位：元），求的最小值．
21．（本小题满分12分）已知定义域为的函数满足对任意，都有
（1）求证：是奇函数；
（2）设，且当时，，求不等式的解集．
22．（本小题满分12分）
对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数的定义域为时，值域也为，则称区间为函数的“保值”区间．
（1）求函数的所有“保值”区间．
（2）函数的一个“保值”区间为，当变化时，求的最大值．
抚州市2023—2024学年度上学期学生学业质量监测
高一数学试题卷答案
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，仅有一项符合题目要求．
1．D 【详解】对于A，因为，所以A错误，对于B，因为，所以B错误，
对于C，因为，所以集合不是集合的子集，所以C错误，
对于D，因为，所以所以D正确，
2．B 【详解】，反之，不一定成立．
3．A 【详解】
4．B 【详解】因为在函数的图像上，
当时，设解析式为
，即
当时，设解析式为，
，即
，
即
5．D 【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，
A，B相互独立，
对于A选项，2个球都是红球的事件为，则有A正确；
对于B选项，2个球中恰有1个红球的事件为
则，B正确；
对于C选项，至少有1个红球的事件的对立事件是，
则，
所以至少有1个红球的概率为，C正确；
对于D选项，2个球不都是红球的事件是事件的对立事件，其概率为，D不正确．
故选：D
6．C 【详解】函数的定义域是，
满足，即
又分母不为0，则
所以函数的定义域为：
7．A 【详解】由题意解得或（舍去），
①当时，函数在定义域内为增函数，则由题意得，
所以即，解得或（舍去）；
②当时，函数在定义域内为减函数，则由题意得，
所以即，解得；
综上可得：或．
8．D 【详解】由题意知．设．则
．因为在上单调递增，故在上单调递增．设．
若，则可得在区间[13]有解．
在区间上有解，且在区间上有解，
在区间恒成立．．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分．
9．AC 【详解】
A选项：设两组数据的权重为，由，又，可解得，所以这两组数据的权重比值为1，故A正确
B选项：因为，所以这组数据的分位数是从小到大第5项数据6，则，故B错误。
C选项：将一组数据中的每一个数都加2，则新数据的平均数为原来数据平均数加2，故C正确。
D选项：将一组数据中的每一个数都乘2，则新数据的方差为原来数据方差的倍，故D错误
10．BCD 【详解】由题意在上有解．
故选：BCD．
11．AC 【详解】函数，令，可得，故函数的图象过定点，故A正确；
根据方程有两个实数根，可得，即，故是方程有两个实数根的必要不充分条件，故B错误；
的反函数是，故C正确；
在上是奇函数，，解得，又时，，，故D错误．
12．ABC【详解】
A选项，因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，A正确；
B选项，因为，当且仅当即时取等号，故B项正确；
C选项，，
当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为，故C项正确；
D选项，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D项错误．
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
13．【详解】为幂函数，或
又在区间上单调递增，
14．7次【详解】设至少需要计算次，则满足，即，由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次。
15．．【详解】集合的所有非空子集的个数为．
若，则；
若，则；
若，则与成对出现；
若，则与成对出现，
集合的所有非空子集中，“伙伴关系集合”共有（个）．
在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为．故答案为．
16．
【详解】
当时，单调递增，单调递减，
当时，单调递减，单调递增
令，即
或，如图可知，要使有5个零点，方程有四个不同的实数根
结合函数的图象可得
四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，
（2）由（1）可知，
根据，
又
18．【答案】（1）A地区居民的满意度等级为不满意的可能性更大．
（2）至少有一户居民评分满意度等级为“非常满意”的概率为0.1925．
【详解】（1）由地区的居民满意度评分的频率分布直方图先算出
，可求得
由图可知地区的居民满意度等级为不满意的频率为
由表1可知地区的居民满意度等级为不满意的频率为
所以地区居民的满意度等级为不满意的可能性更大．
（2）根据样本频率可以估计总体频率，将频率看作概率。
记事件表示“从地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”，则．
记事件表示“从地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”，则．
易知事件和事件相互独立，则事件和事件相互独立，
记事件表示“至少有一户居民评分满意度等级为非常满意”，
则
19．【答案】（1）存在使得的解集为，（2）．
【详解】（1）设在恒成立，
显然当，即时不满足在上恒成立；
当时，
综上，存在使得的解集为
（2）由题意可设在上恒成立，
当，即时，，满足在上恒成立；
当，即时，
在上恒成立；
当，即时，
综上．
20．【答案】（1）（2）1681元
【详解】（1）由表中的数据知，当时间变化时，先增后减．
而函数模型①；③；④都是单调函数，
所以选择函数模型②．
根据表格数据可知，解得，
所以
（2），
即，
当时，，
当且仅当时等号成立，
当时，单调递减，
最小值为，
，所以的最小值为1681元
21．【答案】（1）证明见详解（2）或
【详解】（1）令，得
令，得
令，
得
是奇函数
（2），
，
设，则，所以
在上是减函数
是偶函数
不等式的解集为或
22．【答案】（1）（2）
【详解】
（1）按如下情况进行讨论
当时，在区间上单调递增，所以
所以是方程，即的两个不同的非正实根，
，方程两根异号，与矛盾，
不符合题意
当时，在上递增，在上递减，不满足条件，
当时，在区间上单调递减，
的一个保值区间为
（2）
单调递增，单调递增．
函数的一个保值区间是，
或在上单调递增，
的两根分别为，且与同号，
，
当时，
满意度评分
频数
2
8
14
10
6
满意度评分
低于70分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
10
15
20
25
30
170
175
180
175
170
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
B
D
C
A
D
题号
9
10
11
12
答案
AC
BCD
AC
ABC