2022-2023学年浙江省金华市婺城区八年级（上）期末数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年浙江省金华市婺城区八年级（上）期末数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在平面直角坐标系中，点P(-1,-2)位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 下列四个数字图形，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是( )
A. x+3>0B. x-3<0C. 2x≥6D. 3-x<0
4. 线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a=1，b=3，则c的长度可以是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
5. 等腰三角形的底角为50°，则它的顶角度数是( )
A. 50°B. 80°C. 65°或80°D. 50°或80°
6. 如图，∠BAE=∠ABE，添加下列条件，不能使△ABC≌△BAD的是( )
A. ∠CAE=∠DBE
B. CE=DE
C. ∠C=∠D
D. AC=BD
7. 已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部.”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形
8. 如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF.根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有( )
A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③
9. 如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行米．( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
10. 如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点B(3,2)在直线l：y=kx+11上.将正方形ABCD沿x轴正方向向右平移m(m>0)个单位长度后，点C恰好落在直线l上.则m的值为( )
A. 5
B. 53
C. 83
D. 2
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 在正比例函数y=-2x中，当自变量x=1时，函数y的值为 ．
12. 小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是______．
13. 若a、b、c为三角形的三边，且a，b满足a-3+(b-2)2=0，则第三边c的取值范围是______ ．
14. 如图，已知△ABC≌△DBE，AB=4，BE=10，则CD的长是 ．
15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，D、E分别是边AB、AC上的点，将∠A沿DE折叠，使点F落在AB的下方，当△FDE的边EF与BC平行时，∠ADE的度数是______．
16. 图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，某一时刻的示意图，其中AB为门槛宽度．
(1)当∠CAB=∠DBA=60°时，双门间隙CD与门槛宽度AB的比值为 ．
(2)若双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离AB都为1尺(1尺=10寸)，则门槛宽度AB是 寸.
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解不等式组4x+6≥3x+73x+144>2x-9．
18. (本小题6.0分)
如图，已知AB=AD，BC=CD，求证：∠B=∠D．
19. (本小题6.0分)
如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上.请按要求画出格点线段(线段的端点在格点上)，并写出结论．

(1)在图1中画一条平行于AB，且与AB相等的线段．
(2)在图2中画一条与AB垂直的线段．
(3)在图3中画一条平分AB的线段．
20. (本小题8.0分)
笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B、其中AB=AC，由于周边施工，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H(A,H,B在同一直线上)，并新修一条路CH，测得BC=10千米，CH=8千米，BH=6千米．
(1)判断△BCH的形状，并说明理由；
(2)求原路线AC的长．
21. (本小题8.0分)
为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过对市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元．
(1)求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？
(2)该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号垃圾箱的方案有哪些？
22. (本小题10.0分)
某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型(图1)制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间(假设沙子足够).该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：
实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表．
探索发现：(1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表中的数据为坐标的各点．
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．
结论应用：应用上述发现的规律估算：
(3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？
(4)若本次实验开始记录的时间是上午7：30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？
23. (本小题10.0分)
定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．
【理解概念】
(1)顶角为120°的等腰三角形 “准等边三角形”.(填“是”或“不是”)
【巩固新知】
(2)已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A=35°，∠C>90°.求∠B的度数．
【解决问题】
(3)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1+3，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长．
24. (本小题12.0分)
如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是射线BO上的动点，过点B作直线AP的垂线交x轴于点Q，垂足为点C，连结OC．
(1)当点P在线段BO上时，
①求证：△AOP≌△BOQ；
②若点P为BO的中点，求△OCQ的面积．
(2)在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△OCQ成为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：在平面直角坐标系中，点P(-1,-2)位于第三象限，
故选：C．
根据第三象限内的点的横坐标小于零，纵坐标小于零，可得答案．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(-,+)；第三象限(-,-)；第四象限(+,-)．
2.【答案】D
【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形解答．
本题考查了轴对称图形的概念，对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
3.【答案】B
【解析】解：A、x>-3，故A不符合题意；
B、x<3，故B符合题意；
C、x≥3，故C不符合题意；
D、x>3，故D不符合题意．
故选：B．
解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法，可得答案．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
4.【答案】A
【解析】解：∵线段a=1，b=3，
∴3-1观察选项，只有选项A符合题意，
故选：A．
根据三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边直接列式计算即可．
本题考查的是三角形的三边关系定理，掌握三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：当50°角为顶角，顶角度数为50°；
当50°为底角时，顶角=180°-2×50°=80°．
故选：D．
等腰三角形一内角为50°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、当添加∠CAE=∠DBE时，且∠BAE=∠ABE，AB=BA，由“ASA”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
B、当添加CE=DE时，∵∠BAE=∠ABE，∴AE=BE，∴AD=BC，又∠BAE=∠ABE，AB=BA，由“SAS”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
C、当添加∠C=∠D时，且∠BAE=∠ABE，AB=BA，由“AAS”能证得△ABC≌△BAD，故本选项不符合题意；
D、当添加AC=BD时，且∠BAE=∠ABE，AB=BA，由“SSA”不能证得△ABC≌△BAD，故本选项符合题意；
故选：D．
根据全等三角形的判定方法，可得答案．
本题考查全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、AAS、SAS、SSS、HL，熟练掌握这些判定方法是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，钝角△ABC的三条高的交点在△ABC的外部．

故选：D．
根据证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论解答即可．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
8.【答案】A
【解析】解：①BC边上的中线AD：如图1，使点B、C重合，中点为点D，连接AD，此时AD即为BC边上的中线；

②∠A的平分线AE：如图2，沿直线AE折叠，使AB与AC重叠，此时AE即为BC边上的角平分线；

③BC边上的高AF：如图3，沿直线AF折叠，使BF与CF重合，此时AF即为BC边上的高．

综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③．
故选：A．
根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答．
本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：两棵树的高度差为8-2=6m，间距为8m，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=82+62=10m．
故选：C．
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
10.【答案】B
【解析】解：过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，

∴∠ABM+∠BAM=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=DA，
∴∠DAO+∠BAM=90°，
∴∠DAO=∠ABM，
在△DAO和△ABM中，
∠DAO=∠ABM∠DOA=∠AMB=90°DA=AB，
∴△DAO≌△ABM(AAS)，
∴OA=BM，OD=AM，
∵B(3,2)，
∴BM=2，OM=3，
∴OA=2，
∴AM=OM-OA=1，
∴OD=1，
同理可证△CDN≌△DAO，
∴DN=OA=2，CN=DO=1，
∴ON=OD+DN=3，
∴C(1,3)，
∵点B(3,2)在直线l：y=kx+11上，
∴3k+11=2，
∴k=-3，
∴直线l的解析式为y=-3x+11，
设正方形ABCD沿y轴向右平移m个单位长度后点C的坐标为(1+m,3)，
∵点C在直线l上，
∴-3(1+m)+11=3，
解得：m=53，
故选：B．
过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，根据全等三角形的性质求出C点的坐标为(1,3)，由待定系数法求出直线l的解析式为y=-3x+11，设平移后点C的坐标为(1+m,3)，代入解析式即可求出m．
本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化-平移，全等三角形的判定与性质定理，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，求出C点的坐标是解决问题的关键．
11.【答案】-2
【解析】解：当x=1时的函数值为y=-2×1=-2，
故答案为：-2．
根据题意，x=1，求出相应的函数值．
本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答．
12.【答案】∠B=60°(答案不唯一)
【解析】解：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，
故答案为：∠B=60°(答案不唯一)．
根据等边三角形的判定定理填空即可．
本题考查等边三角形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的定义及等边三角形与等腰三角形的关系．
13.【答案】1【解析】解：由题意得，a2-9=0，b-2=0，
解得a=3，b=2，
∵3-2=1，3+2=5，
∴1故答案为：1根据非负数的性质列式求出a、b，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；三角形的三边关系．
14.【答案】6
【解析】解：∵△ABC≌△DBE，AB=4，BE=10，
∴BD=AB=4，BC=BE=10，
∴CD=BC-BD=10-4=6．
故答案为：6．
根据全等三角形的性质分别求出BD、BC的长，结合图形计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
15.【答案】25°
【解析】解：∵EF//BC，
∴∠CEF=∠C=90°，
∴∠AEF=90°，
∵∠C=90°，∠B=70°，
∴∠A=90°-70°=20°，
由折叠的性质可知，∠AED=∠FED=135°，
∴∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-135°-20°=25°，
故答案为：25°．
根据平行线的性质得到∠CEF=∠C=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据折叠的性质计算，得到答案．
本题考查的是翻折变换的性质、直角三角形的性质，折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
16.【答案】12 101
【解析】解：(1)过D作DE//AC交AB于E，
∵∠CAB=∠DBA=60°，
∴∠DEA=∠A=60°，
∵∠EDB=180°-∠B-∠DEA=60°，
∴∠B=∠DEB=∠EDB，
∴△EDB是等边三角形，
∴BE=BD=DE，
∵AC=BD，
∴AC=DE，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∴CD=AE，
∵AC+BD=AB=AE+BE=2BD=2BE，
∴AE=BE，
∴DCAB=12，
∴双门间隙CD与门槛宽度AB的比值为12，
故答案为：12；
(2)作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，
∵点C和点D距离AB都为1尺，
∴CM=DN=10(寸)，
∵AC=BD，
∴RtACM≌Rt△BDN(HL)，
∴AM=BN，
设AM=x寸，则BN=x寸，
∵CD=2寸，
∴AB=(2x+2)(寸)，
∵AC+BD=AB，AC=BD，
∴AC=(x+1)(寸)，
∵AC2=AM2+CM2，
∴(x+1)2=x2+102，
∴2x+1=100，
∴AB=2x+2=100+1=101(寸)，
∴门槛宽度AB是101寸．
故答案为：101．
(1)过D作DE//AC交AB于你E，得到△DEB是等边三角形，四边形AEDC是平行四边形，从而推出CD=12AB，即可得到答案；
(2)作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，得到RtACM≌Rt△BDN，得到AM=BN，设AM=x寸，则BN=x寸，由勾股定理列出关于x的方程，即可解决问题．
本题考查勾股定理的应用，等腰梯形，关键是通过作辅助线把梯形转化成三角形，平行四边形来解决问题．
17.【答案】解：解不等式4x+6≥3x+7得，x≥1；
解不等式3x+144>2x-9得，x<10，
∴原不等式组的解集为：1≤x<10．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】证明：连接AC，在△ADC和△ABC中，
CD=CBAC=ACAD=AB，
∴△ADC≌△ABC(SSS)，
∴∠B=∠D．
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．欲证明∠B=∠D，只要证明△ADC≌△ABC即可．
19.【答案】解：(1)如图1中，线段CD即为所求；
(2)如图2中，线段AE即为所求；
(3)如图3中，线段KJ即为所求．

【解析】(1)根据要求作出图形即可(答案不唯一)；
(2)根据垂线的定义画出图形(答案不唯一)；
(3)构造矩形，利用矩形的性质解决问题．
本题考查作图-应用与设计作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20.【答案】解：(1)△BCH是直角三角形，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=82+62=100，
BC2=100，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；
(2)设AC=AB=x千米，则AH=AB-BH=(x-6)千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-6，CH=8，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，
∴x2=(x-6)2+82
解这个方程，得x=813，
答：原来的路线AC的长为813千米．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理解答即可；
(2)根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理．
21.【答案】解：(1)设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元．
依题意，得：3x+2y=540y-2x=20，
解得：x=50y=120．
答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元；
(2)设购买m个B型垃圾箱，则购买(20-m)个A型垃圾箱．
依题意，得：50(20-m)+120m≤150020-m≤m，
解得：5≤m≤152．
又m为整数，m可以为5，6，7，
∴有3种购买方案：方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱；
方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱；
方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱．
【解析】(1)设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买B型垃圾箱m个，则购买A型垃圾箱(20-m)个，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元”列出不等式组，求出m的范围，可得出答案．
本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找准数量关系，正确列出二元一次方程组与不等式组．
22.【答案】解：【探索发现】(1)如图2，

(2)观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，
设这条直线所对应的函数表达式为y=kx+b，
则，20k+b=060k+b=40，
解得：k=6b=6，
∴y=6x+6；
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
(3)x=9时，y=6×9+6=60，
∴漏沙时间达到9小时时，精密电子称的读数为60厘米；
②y=72时，6x+6=72，解得：x=11，
∴漏沙时间为11小时，
∵本次实验记录的开始时间是上午7：30，
∴当精密电子称的读数为72克时是下午6点半．
【解析】【探索发现】(1)在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可；
(2)观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y=kx+b，利用待定系数法即可求解；
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
(3)利用前面求得的函数表达式求出x=9时，y的值即可得出精密电子称的读数；
(4)利用前面求得的函数表达式求出y=72时，x的值，由本次实验记录的开始时间是上午7：30，即可求解．
本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值，将图象中的y与x的含义理解透彻是解题关键．
23.【答案】不是
【解析】解：(1)∵等腰三角形的顶角为120°，
∴等腰三角形的两个底角度数分别为30°，30°，
∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”；
(2)∵△ABC是“准等边三角形”，∠A=35°，∠C>90°，
∴分两种情况：
当∠C-∠A=60°时，
∴∠C=∠A+60°=95°，
∴∠B=180°-∠C-∠A=50°；
当∠C-∠B=60°时，
∵∠A=35°，
∴∠C+∠B=180°-∠A=145°，
∴2∠B=85°，
∴∠B=42.5°；
综上所述：∠B的度数为50°或42.5°；
(3)∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1+3，
∴∠ABC=90°-∠A=60°，AB=2BC=2+23，
∵△BCD是“准等边三角形”，
∴分两种情况：
当∠C-∠CBD=60°时，
∴∠CBD=∠C-60°=30°，
∴BD=2CD，
∵CD2+BC2=BD2，
∴CD2+(1+3)2=(2CD)2，
解得：CD=3+33或CD=-3+33(舍去)，
∴BD=2CD=23+63；
当∠BDC-∠CBD=60°时，
过点D作DE⊥AB，垂足为E，

∵∠C=90°，
∴∠BDC+∠CBD=90°，
∴2∠BDC=150°，
∴∠BDC=75°，
∴∠ABD=∠BDC-∠A=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BE=DE，BD=2DE，
设DE=BE=x，
在Rt△ADE中，∠A=30°，
∴AE=3DE=3x，
∵BE+AE=AB，
∴x+3x=2+23，
解得：x=2，
∴BE=DE=2，
∴BD=2DE=22；
综上所述：BD的长为23+63或22．
(1)根据等腰三角形的性质求出等腰三角形的两个底角，然后根据“准等边三角形”的定义，即可解答；
(2)分两种情况：当∠C-∠A=60°时；当∠C-∠B=60°时；然后分别进行计算即可解答；
(3)在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得∠ABC=60°，AB=2+23，然后分两种情况：当∠C-∠CBD=60°时；当∠BDC-∠CBD=60°时；最后分别进行计算即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，分情况讨论是解题的关键．
24.【答案】(1)①证明：当x=0时，y=4，
∴OB=4，
当y=0时，x+4=0，
∴x=-4，
∴OA=4，
∴OA=OB，
∵∠BOQ=90°，
∴∠OBQ+∠OQB=90°，
∵BC⊥AC，
∴∠ACQ=90°，
∴∠OAP+∠OQB=90°，
∴∠OAP=∠OBQ，
∵∠AOP=∠BOQ=90°，
∴△AOP≌△BOQ(ASA)；
②解：∵OB=4，点P是OB 的中点，
∴OP=BP=12OB=2，
由①知：△AOP≌△BOQ，
∴OQ=OP=2，
∴Q(2,0)，
设直线AP的解析式为：y=kx+b，
∴b=2-4k+b=0，
∴y=12x+2，
同理可得：直线BQ的解析式为：y=-2x+4，
由y=12x+2y=-2x+4得，
x=45y=125，
∴C(45,125)，
∴S △OCQ=12OQ⋅yC=12×2×125=125；
(2)解：如图1，

当点P在线段OB上时，
∵∠OPC=∠AOP+∠OAP=90°+∠OAP，
∴OC>OP，
∵OP=OQ，
∴OC>OQ，
∵∠OCQ=∠OAB=45°，∠COQ=∠ABC>45°，
∴∠COQ>OCQ，
∴CQ>OQ，
∴当△COQ是等腰三角形时，只有OC=CQ，
∴∠COQ=∠CQO，
∵∠BOQ=90°，
∴∠COQ+∠BOC=90°，∠CQO+∠OBQ=90°，
∴∠OBQ=∠BOC，
∴OC=BC，
∴CO=BC，
∵AC⊥BQ，
∴AQ=AB=2OA=42
∴OP=OQ=AQ-AO=42-4，
∴P(0,42-4)，
如图2，

当点P在BO的延长线上时，
同理可得：P(0,-42-4)，
综上所述：P(0,42-4)或P(0,-42-4)．
【解析】(1)可得出OA=OB，∠OAP=∠OBQ，进而得出结论；
(2)可求得AC和BQ的解析式，进而求得点C的坐标，进一步得出结果；
(3)当点P在线段OB上时，可推出OC=CQ，此时点C是BQ的中点，进而得出AQ=AB，进一步得出结果；当点P 在BO的延长线上时，同理得出结果．
本题考查了求一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是正确分类，画出图形．
漏沙时间x(h)
0
2
4
6
8
电子秤读数y(克)
6
18
30
42
54