重庆市北碚区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份重庆市北碚区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列二次根式不为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（ ）
A．3B．6C．8D．9
5．如图，在中，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
6．估计的值应在（ ）
A．6和7之间B．7和8之间C．8和9之间D．9和10之间
7．已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是的切线，为切点，经过圆心，若，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，四边形中，，点为对角线的中点，于点，若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．已知两个二次根式：，将这两个二次根式进行如下操作：
第一次操作：将与的和记为，差记为；
第二次操作：将与的和记为，差记为；
第三次操作：将与的和记为，差记为；以此类推．
下列说法：①当时，；②；
③（为自然数）．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．化简： ．
12．在一个布袋里装着标号分别为的3个小球，它们除标号外无其他区别，从布袋中随机摸出一个小球后不放回，将小球上的数字记为，摇匀再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为，则使二次根式的值为有理数的概率是 ．
13．某商品经过两次降价，每件零售价由60元降为元．已知每次降价的百分率均为，根据题意，可列方程为 ．
14．如图，在中，于点，点在上，且，，，，则点到的距离是 ．
15．如图，在矩形中，点是的中点，以为圆心，长为半径画弧，交于点．若，，则图中阴影部分的面积是 ．
16．已知关于的方程的根都是整数，且满足等式，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
17．如图，在中，分别是边上的点，将沿翻折至所在的平面内，得相交于点．若，，则的长是 ．
18．如果一个三位自然数的各数位上的数字均不为，且使得关于的方程有两个相等的实数根，那么称这个三位数为该方程的“等根数”．例如：三位数是方程的“等根数”．则关于的方程的最小“等根数”是 ；如果是关于的方程的“等根数”，记，，若是整数，则满足条件的最大值是 ．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．如图，在中，的平分线交于点，交于点．
(1)用直尺和圆规，作的平分线交于点，交于点（只保留作图痕迹）．
(2)在（1）所作的图中，若，试说明．请根据以下思路完成填空：证明：在中，，
，
平分，平分，
，___①___，
，
___②___，
，
___③___．
，
．
21．某校为了解学生每周课外阅读情况，从七、八年级学生中各随机抽取了10名学生，记录下他们每周课外阅读时长（小时），并对数据进行了整理、描述和分析（阅读时长记为，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息：
抽取的七年级学生每周课外阅读时长是：．
抽取的八年级学生每周课外阅读时长属于优等的数据是：．
抽取的七八年级学生每周课外阅读时长统计表
抽取的八年级学生每周课外阅读时长扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为哪个年级学生每周课外阅读情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若该校七年级有800人，八年级有720人，估计两个年级学生每周课外阅读时间为优等的共有多少人？
22．已知关于的方程．
(1)求证：对于任何实数，该方程总有两个实数根；
(2)若三角形的一边长为1，另外两边长为该方程的两个实数根，求的取值范围．
23．某商店准备进一种季节性小家电，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每降低1元，销售量将增多10台．
(1)商店若希望销售量为260台，则应降价多少元？
(2)商店若希望获利2000元，且使顾客得到实惠，则销售定价为多少元？
24．为了满足市民的需求，某市在一公园外围开辟了两条步道，如图：①，②．经勘测，点在点的正东方向300米处，点在点东北方向，点在点的正东方向，且在点的北偏东方向，米．
（参考数据：）
(1)求点到的距离；
(2)由于时间原因，小贝决定选择一条较短步道锻炼，请计算说明小贝应该选择步道①还是步道②？（结果精确到1米）
25．在中，，点是的中点，是延长线上一点，且．

(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，点是的中点，求证：．
26．在中，，点为外一点，和相交于点，．
图1 图2 图3
(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，若，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在（1）的条件下，将绕点旋转得到，连结，点是的中点，当取最小值时，直接写出此时的面积．
年级
七年级
八年级
平均数
中位数
众数
8
方差
“优等”所占百分比
参考答案：
1．B
【分析】由二次根式在实数范围内有意义，可得，继而求得答案．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件．注意二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．D
【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可．本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】A. ，是最简二次根式，不符合题意；
B. ，是最简二次根式，不符合题意；
C. ，是最简二次根式，不符合题意；
D. ，不是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】根据配方法可直接进行排除选项．
【详解】解：用配方法解方程可得：；
故选C．
【点睛】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查的是位似变换、及相似多边形的性质，熟知相似多边形的面积比等于相似比的平方是正确解决本题的关键．
由题意可知两个多边形的相似比为，可知两个图形的面积比为即可求出．
【详解】解：以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，
，
四边形的面积为1，
四边形的面积是9，
故答案为：D．
5．A
【分析】本题考查了勾股定理，正切函数，根据，
设，则，根据，计算即可．
【详解】∵，
∴设，
则，
∴．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查二次根式的混合运算，估算无理数的大小，掌握二次根式混合运算的方法以及算术平方根的定义是正确解答的前提．
根据二次根式的混合运算法则先计算的结果，再根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得出的大小即可．
【详解】解：
，
，
，
故答案为：C．
7．B
【分析】把代入，转化为m的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．
【详解】把代入，
得，
解得，
∵，
∴，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，根据切线长定理，得到，根据切线性质，得，勾股定理计算即可．
【详解】∵是的切线，为切点，经过圆心，，
∴，，，
∴，
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角性质，矩形的判定和性质，过点A作于点H，延长交于点G，延长到点F，使得，连接，证明，，，得到等腰直角三角形，得到，根据，解答即可．
【详解】如图，延长到点F，使得，连接，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴；
过点A作于点H，延长交于点G，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选A．
10．D
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，规律探索，解题的关键是根据题意得出一般规律，熟练掌握二次根式混合运算法则．
①根据题意得出，，，，然后相加即可；
②根据题意得出一般规律：，，，，求出即可；
③根据二次根式混合运算法则，求出即可．
【详解】解：①当时，，，
，，
，，
，，
…
按照此规律：，，，，
∴，故①正确；
②，，
，，
，，
，，
…
按照此规律可得：，，，，
∴，故②正确；
③根据以上规律可知，，，
∴
，故③正确．
综上分析可知，正确的有3个，故D正确．
故选：D．
11．
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟知是解题关键，据此进行化简即可求解
【详解】解：．
故答案为：
12．
【分析】本题考查简单概率的计算，列表列出所有等可能结果，再根据概率公式计算即可得．
【详解】解：所有机会均等的结果列表如下：
由列表可知一共有6种等可能结果，其中使二次根式的值为有理数有2种等可能结果，
∴使二次根式的值为有理数的概率，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，正确理解增长率是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，过点A作于H点，过点E作于G点，根据平行四边形的性质和直角三角形的性质可得，进而得到，再证明，即可求解．
【详解】解：
过点A作于H点，过点E作于G点，
在中，
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
．
故答案为：
15．
【分析】本题主要考查矩形的性质、扇形的面积公式，连接，根据矩形的性质和已知条件可得，再根据即可求解．
【详解】解：连接，
在矩形中，
∵点是的中点，，，
∴，
∴
，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了分类思想，二次根式有意义的条件，整数解的意义，分类计算求解，结合有意义的条件，计算确定m的值，后求和即可．
【详解】∵，
∴，
解得；
∵ m是整数，
故，
当时，即，方程变形为，
解得，是整数解，符合题意，
故；
当时，∵，
∴，
解得，，
∵ 方程的根都是整数，，
∴，
综上所述，符合题意的m值为，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，设，则，根据勾股定理，三角形相似计算即可．
【详解】∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，
则，，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了新定义运算，根据“等根数”的定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键．
【详解】解：∵是方程的“等根数”，
∴，
∴，
即，
∵为最小“等根数”，
∴，，
∴，
∴最小“等根数”为，
故答案为：；
∵，
∴，
∵是整数，
∴是整数，
∴当时，或，此时或，
∵，
∴不符，舍去；
当时，或，此时或，
由可得，不符，舍去，
∴，
∴，
∴，，，
∴的最大值是，
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的乘除计算，特殊角的三角函数混合运算．
（1）根据平方差公式，完全平方公式计算即可．
（2）根据特殊角的三角函数值，化简计算即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
20．(1)见解析
(2)；；
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质．
（1）根据尺规作图的基本步骤画图即可．
（2）根据平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，角的平分线证明即可．
【详解】（1）根据题意，画图如下：
则即为所求．
（2）证明：在中，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
．
，
．
故答案为：；；．
21．(1)8；；30
(2)八年级，见解析
(3)680人
【分析】(1)根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）和中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）即可得，利用山顶统计图的意义，得到，确定m值即可．
(2)根据统计特征量比较，说明即可．
(3)利用人，人，求和即可．本题考查了扇形统计图，圆心角的计算，中位数，众数的计算，样本估计总体，熟练掌握相应知识是解题的关键．
【详解】（1）∵抽取的七年级学生每周课外阅读时长是：．
∴中位数是，
故；
∵
∴中等的人数为：(人), 合格的人数为：(人), ，．
故8出现的次数最多，4次，
故，
故答案为：8；；30．
（2）八年级的更好些，理由是：平均数相同，但八年级的优等率高．
（3）根据题意，得人，人，
故(人),
答：两个年级学生每周课外阅读时间为优等的共有680人．
22．(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查利用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况、三角形的三边关系：
（1）直接利用即可求证；
（2）先求得该方程的两根，然后利用三角形的三边关系即可求解.
【详解】（1）解：
∵
∴对于任何实数，该方程总有两个实数根.
（2）解：
，
∴.
23．(1)应降价8元；
(2)售价为50元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设每个小家电销售定价为x元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设每个小家电销售定价为x元，
则销量为（个），
依题意得，
解得，
，
答：应降价8元；
（2）解：由题意，得，
整理得：
解得，，
使顾客得到实惠，售价为50元．
24．(1)200米
(2)步道②
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解直角三角形，方位角的计算．
（1）作出点B的正北方向，交于点E，根据得到，
根据，计算即可．
（2）过点C作于点F，结合，得到矩形，继而得到．
，利用三角函数计算即可．
【详解】（1）如图，作出点B的正北方向，交于点E，
∵点在点的正东方向300米处，点在点的正东方向，
∴
∴，
∵米, ，且，
∴，
答：点到的距离为200米．
．
（2）如图，过点C作于点F，
∵，
∴矩形．
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴步道①长为：
步道②长为：，
∵，
故选步道②．
25．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形的特征量，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．
（1）取的中点M，连接，利用三角形中位线定理，勾股定理计算即可．
（2）延长到点N，使得，则，连接，，证明四边形是平行四边形，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明即可．
【详解】（1）取的中点M，连接，
∵点是的中点，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）延长到点N，使得，则，
连接，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∴．
26．(1)
(2)，理由见解析
(3)当取最小值时，
【分析】（1）过点作，可解直角三角形求得，进而由可得，，再次解直角三角形可得，，可得，则，再利用平行线分线段成比例即可求解；
（2）过点作，则，设，，，利用解直角三角形和表示出、、、，再证明，可得，整理得，即可证得；
（3）由旋转，结合（1）可知，，，取的中点，连接，，由三角形中位线定理可得，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半可知，，则为等边三角形，由三角形三边关系可知：，当点在线段上时取最小值，如图，当取最小值时，过点作，可得，根据，即可求解．
【详解】（1）解：过点作，
∵，，，
∴，
∵，
∴，，则，，
∴，则，
又∵，则，
∴，即：，
∴；
（2），理由如下：
过点作，则，
设，，，
则，，
，，
∵，
∴，，则，
∵，
∴，
∴，即：，
整理得：，即：，
∴，即：；
（3）由旋转，结合（1）可知，，，
取的中点，连接，，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，
又∵，，
∴，则为等边三角形，
由三角形三边关系可知：，当点在线段上时取最小值，如下图，
当取最小值时，过点作，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
此时，，
综上，当取最小值时，．
【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，三角形三边关系的应用，旋转的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半等知识点，添加辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．
b
a
1
2
3
1
2
3