重庆市璧山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份重庆市璧山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形． 下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A．我B．爱C．中D．国
2．下列式子中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，要使△ABC≌△DEF，则需要再添加的一组条件不可以是（ ）
A．∠A=∠D，∠B=∠DEFB．BC=EF，AC=DF
C．AB⊥AC，DE⊥DFD．BE=CF，∠B=∠DEF
5．已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a＋b的值为（ ）
A．5B．1C．﹣1D．﹣5
6．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
7．从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，则的值是（ ）
A．30B．31C．32D．33
9．如图，在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（ ）
A．的重心处B．的中点处C．点处D．点处
10．阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以． 请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
二、填空题
11．要使分式有意义，则 ．
12．若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为 ．
13．因式分解的结果是 ．
14．若等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角的度数分别为 ．
15．如图，，，，此时点恰好在线段上，则的度数为 ．
16．如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点落在点的位置，与交于点． 若，求图中阴影部分的周长 ．
17．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
18．对于一个四位数，若其千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称数为“等合数”．例如：数3465，∵3，∴3465是“等合数”，数2364，∵，，∴，∴2364不是“等合数”，则最大的“等合数”为 ；若“等合数”各个数位上的数字互不相同且均不为零，将其千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，若 为完全平方数，则满足条件的的最小值为 ．
三、解答题
19．（1）分解因式：；
（2）化简：．
20．学习了轴对称后，小璧和小山来到乡村振兴基地进行了实践性研究． 如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户． 如果，，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同． 小山认为可以先作的平分线交于点，然后再过点作边的垂线即可，小壁思考片刻后认为小山的方法复杂了，她还有更简洁的方法就可以做到——只需要作边的垂直平分线一条辅助线即可办到． 请聪明的你根据小璧的思路完成以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规作的垂直平分线交于点，垂足为点．（只保留作图痕迹）
(2)已知：如图，中，，，边的垂直平分线交于点，垂足为点，连接．
求证：，
证明：，
_________，
由作图可知，
，
，
垂直平分，_________，
_________，
，
_________，
．
．
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步

(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
23．某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
24．上午8时，一条船从海岛出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛处，从望灯塔，测得，．
(1)求从海岛到灯塔的距离；
(2)这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔的距离最短？
25．已知：在平面直角坐标系中，的顶点分别在轴轴上，且，．
(1)如图1，，，当点在第四象限时，求点的坐标；
(2)如图2，若平分，交于，过作轴，垂足为，请猜测线段与线段之间存在怎样的数量关系？并写出证明过程；
(3)如图3，当点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴，点在第四象限时，作轴于点，试判断① 与②中 是定值（只填序号），定值为 ．
26．在中，，，点为的中点，点为线段上一动点．
(1)如图1，当点在线段上时，若，，求线段的长．
(2)如图2，当点在线段上时，以为边作等边，点是上一点，． 求证：．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
2．A
【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．据此解答即可．
【详解】解：A．是分式，故符合题意；
B．是整式，故不符合题意；
C．是整式，故不符合题意；
D．是整式，故不符合题意；
故选A．
3．D
【分析】本题考查完全平方公式，同底数幂的除法和乘法，分式的加法，掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：A. ，原计算错误；
B. ，原计算错误；
C. ，原计算错误；
D. ，计算正确；
故选D．
4．C
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项分析即可．
【详解】解：A、∵，∴可用ASA判定两个三角形全等，故不符合题意；
B、∵，∴根据SSS能判定两个三角形全等，故不符合题意；
C、由AB⊥AC，DE⊥DF可得∠A=∠D，这样只有一对角和一对边相等，无法判定两个三角形全等，故符合题意；
D、由BE=CF可得BC=EF，∵，∴根据SAS可以证明三角形全等，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
5．A
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值．
【详解】解：∵点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6．A
【详解】分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
详解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n-2）=3×360°
解得n=8．
故选A．
点睛：本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
7．D
【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
【详解】解：图1中阴影部分的面积为：，图2中阴影部分的面积为：，
∵两图中阴影部分的面积相等，
，
∴可以验证成立的公式为，
故选：D．
8．B
【分析】根据完全平方公式变形计算．
【详解】∵，，
∴==25-（-6）=31，
故选：B．
【点睛】此题考查完全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式及灵活变形求值是解题的关键．
9．A
【分析】连接，根据等边三角形的性质得到是的垂直平分线，根据三角形周长公式，两点间线段最短即可得出答案．
【详解】解：连接，
是等边三角形，是的中点，
是的垂直平分线，
，
的周长,
当、、在一条直线上时，的周长最小，
、都为中线，
点为的重心．
故选A．
【点睛】本题考查的是三角形重心的概念和性质，作辅助线利用求三角形周长是解答本题的关键．
10．B
【分析】本题考查完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
故选B．
11．
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分母不为零时，分式有意义，利用分母不为零列不等式即可.
【详解】解：∵分式有意义，
∴，解得：，
故答案为：．
12．/800度
【分析】根据多边形的内角和公式即可得．
【详解】解：∵七边形的内角中有一个角为，
∴其余六个内角之和为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键．
13．
【分析】解：本题考查了公式法进行因式分解，掌握进行因式分解是解题的关键．
【详解】，
故答案为：．
14．，或，．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两个底角相等．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．注意：遇到求等腰三角形的角时，常常要进行分类讨论．分两种情况：角为顶角和角为底角，分别计算另外两个角即可．
【详解】解：若角为顶角，则另外两个底角为：；
若角为底角，则另外一个底角也为，则顶角为：．
故答案为：，或，．
15．/32度
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，先利用三角形的内角和得到的度数，然后利用全等三角形的性质得到，然后利用等边对等角得到，进而求出结果即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了图形的折叠问题及矩形的性质．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的线段是解题的关键．阴影部分的周长为，即矩形的周长计算解题．
【详解】证明：∵四边形为矩形，
∴，，
由翻折可得，
∴阴影部分的周长为
，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．先解不等式组，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正数解，确定出的值且，把所有满足条件的整数的值相加即可得到答案．
【详解】，
由①得: ，
由②得 ，
∵一元一次不等式组的解集为 ，
，
，
分式方程去分母得：
，
∵分式方程的解是正数，
∴且，
或 或 或 或，
∴所有满足条件的整数的值之和为
故答案为：．
18． 9999 1265
【分析】根据“等合数”的定义可得最大的“等合数”为；设“等合数”为，根据“等合数”各个数位上的数字互不相同且均不为零，将其千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，若为完全平方数，得到，再根据完全平方数的定义得到或，依此分析即可求解．
【详解】解：根据“等合数”的定义可得最大的“等合数”为；
设“等合数”为，则，即，为，
∴
∵，
∴，
故原式
∵为完全平方数，
即的值为1或4，
∵“等合数”各个数位上的数字互不相同且均不为零，
∴或
若使的值最小，即的值最小为1，
当时，d的值为2，
则的值最小取3，的值为4，
此时“等合数”为；
当，d的值为5，
则的值最小取2，的值为6，
此时“等合数”为；
∵，
故满足条件的的最小值为．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了完全平方数，用字母表示数字，理解新定义的运算是解题的关键．
19．（1）（2）
【分析】本题考查了提公因式与完全平方公式和平方差公式的应用，正确应用乘法公式是解题关键．
（1）先提取公因式x，然后利用平方差公式再进行因式分解即可；
（2）直接利用完全平方公式和平方差公式进行分解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
20．(1)见解析
(2)，， ，，
【分析】本题考查尺规作图，角平分线，的直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质．
（1）尺规作图作的垂直平分线即可，
（2）根据含的直角三角形的性质证明，在通过证明得到．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：，
，
由作图可知，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
．
．
故答案为：．
21．，
【分析】括号内部先因式分解、通分，然后根据分式的乘除运算进行求解．化简得到最后的式子，再代入x的值求解．
【详解】解：
=
=
=；
当时，原式=；
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式的运算法则是解题的关键，需注意要先化简再求值，不能直接代入求值．
22．(1)二
(2)见解析
【分析】（1）根据证明过程即可求解．
（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．
【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二．
（2）证明：∵，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
23．(1)购买杂酱面80份，购买牛肉面90份
(2)购买牛肉面60份
【分析】（1）设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，由题意知，，解方程可得的值，然后代入，计算求解，进而可得结果；
（2）设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，由题意知，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，
由题意知，，
解得，，
∴，
∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份；
（2）解：设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，
由题意知，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴购买牛肉面60份．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．
24．(1)30海里
(2)上午11时
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握各性质是解决本题的关键．
（1）根据三角形外角的性质求出，得到，则，求出即可；
（2）如图，过点C作于点P，根据垂线段最短可知线段的长为小船与灯塔C的最短距离，求出，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再计算得出从B到P的时间即可．
【详解】（1）解：由题意得：（海里），
∵，，
∴，
∴，
∴（海里），
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里；
（2）解：如图，过点C作CP⊥AB于点P，
根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，，
∵，
∴，
∴在中，（海里），
∵，
．
∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短．
25．(1)
(2)，证明见解析
(3)是定值，定值为1
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，等腰直角三角形性质：
（1）过点作于，由“”可证得，根据全等三角形对应边相等，即可得到答案；
（2）延长，交于点，利用“”证得，进而证得，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（3）作于，则，利用“”可证得，可得，即可得出结论．
【详解】（1）解：过点作于，

，，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
点B坐标为；
（2）解：，理由如下：
延长，交于点，

，，
，
平分，
，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
（3）解：是定值，
理由如下：作于，则，

，，
，
在和中，
，
，
，
．
，是定值．
26．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，作辅助线构造矩形是解题的关键．
（1）由角的直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到，然后利用线段的和差解题即可；
（2）过点作于点Q，作于点P，则为矩形，然后利用角所对的直角边等于斜边的一半得到，利用等腰三角形的三线合一得到，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
又∵点为的中点，
∴，
∴；
（2）证明：过点作于点Q，作于点P，
则为矩形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．