2023-2024学年四川省宜宾市普通高中高二上学期学业质量监测数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省宜宾市普通高中高二上学期学业质量监测数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x− 3y+1=0的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.若直线x+my+1=0与直线2x−y−3=0相互平行，则m的值为
( )
A. 1B. −1C. −12D. 12
3.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为12、23则密码被成功破译的概率为
( )
A. 16B. 13C. 23D. 56
4.已知等比数列an的前n项和为Sn，，若S2=3,S6=9S3，则a1=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
5.袋子中装有4个大小质地完全相同的球，其中2个白球，2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球．记事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“两个球颜色相同”
( )
A. 事件A与事件B互斥B. 事件A与事件B独立
C. 事件A与事件B对立D. 事件C包含事件A∩B
6.已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1，点P满足AP=AB+23AD+13AA1，则P到CD的距离为
( )
A. 13B. 23C. 53D. 56
7.F1、F2双曲线x2−y23=1的左、右焦点，P是双曲线上一点，且PF1=2PF2.则△PF1F2的面积为
( )
A. 152B. 15C. 4D. 2 15
8.已知A、B是圆C1:x2+y2=3上的动点，且AB=2 2．P是圆C2:x−32+y−42=1的动点，则PA+PB的取值范围是
( )
A. 8,12B. 6,10C. 10,14D. 6,14
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=2x,1,1,b=1,−y,2，则
( )
A. 若x=14,y=−2，则a//b
B. 若x=1,y=1，则a⊥b
C. 若x=12,y=1，则csa,b= 23
D. 若x=12,y=1，则向量a在向量b上的投影向量c=13,−13,23
10.已知事件A、B.且PA=0.6、PB=0.3，则下列结论正确的是
( )
A. 若B⊆A.则PA∪B=0.3,PAB=0.6
B. 若A、B互斥，则PA∪B=0.9,PAB=0
C. 若A、B相互独立，则PA∪B=0.9,PAB=0
D. 若A、B相互独立，则PAB=0.28,PAB=0.42
11.已知圆C:x−52+y−52=9，A2,0,B0,2，则
( )
A. 在圆C上存在点P，使得BP=3
B. 在圆C上存在点P，使得点P到直线AB的距离为5
C. 在圆C上存在点P.使得∠APB=90∘
D. 在圆C上存在点P，使得AP=BP=4
12.已如抛物线E:y2=4x的点为F，直线x=my+1(m∈R)与E交于A、B两点、则下对说法正确的是
( )
A. O为坐标原点，则▵AOB面积的最小值为2．
B. 若AF=2BF，则AB=92．
C. 设M−1,0，AFAM的最小值为12．
D. 过A、B分别作直线x=−1的垂线，垂足分别为C、D.则CF2+DF2=4AFBF．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等差数列an的前7项和S7=14,a3=1，则a5=
14.在棱长为2的正四面体ABCD中，M为CD的中点，则．AM⋅BC=
15.过定点A的直线mx−y+1=0与过定点B的直线x+my−3=0交于P，则PA2+PB2=
16.已知F1、F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，若在直线l:x=−a上存在点P，使得∠F1PF2=45∘，则椭圆C的离心率的取值范围是
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知圆C过点O0,0,A0,4，且圆心在直线y=x上，
(1)求圆C的方程：
(2)过M−4,0作圆C的切线，求切线方程
18.(本小题12分)
已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1,2Snan是公差为1的等差数列，
(1)求an的通项公式;
(2)设bn=1an+1⋅an，求数列bn的前n项和为Tn．
19.(本小题12分)
某企业在招聘员工时，应聘者需要参加测试，测试分为初试和复试，初试从5道题中随机选择3道题回答，每答对题得1分，答错得0分，初试得分大于或等于2分才能参加复试，复试每人回答A、B两道题，每答对一题得2分，答错得−1分．已知在初试5道题中甲有3道题能答对，乙有2道题能答对；在复试的A、B两道题中，甲每题能答对的概率都是12，乙每题能答对的概率都是23
(1)求甲、乙两人各自能通过初试的概率；
(2)若测试总得分大于或等于4分为合格，请问：在参加完测试后，甲、乙合格的概率谁更大?
20.(本小题12分)
已知点A(4,4)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，斜率为−12的直线与C交于P、Q两点，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2
(1)证明：k1+k2为定值：
(2)若∠PAQ=90∘，求△PAQ的面积．
21.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形ACC1A1是菱形，E、F分别是AC、A1B1的中点，A1E⊥平面ABC，∠ABC=90∘．
(1)证明：BC⊥EF
(2)若AB=2，点A1到平面BCC1B1的距高为4 27.求直线EF与平面A1BC所成角的正弦值．
22.(本小题12分)
已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=± 3x，点2,3在E上．
(1)求E的方程．
(2)设B是双曲线E的左顶点，过点2,0的直线l与E的右支交于P、Q两点，直线BP,BQ分别与直线x=12交于M、N两点.试探究：是否存在定点T，使得以MN为直径的圆过点T？若存在求点T的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的 斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解．
点睛：本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．
【详解】由直线x− 3y+1=0，
则y= 33x+ 33，
设直线的倾斜角为α，
所以tanα= 33，
所以α=π6．
故选：A
2.【答案】C
【解析】【分析】利用直线平行的条件即得．
【详解】两条直线平行，所以12=m−1≠1−3，
可得m=−12．
故选：C
3.【答案】D
【解析】【分析】密码被成功破译的对立事件是两人都没有破译，利用概率公式计算即可．
【详解】设甲破译密码为事件A，乙破译密码为事件B，则有PA=12,PB=23，
则密码被成功破译的概率P=1−PAPB=1−1−121−23=56．
故选：D
4.【答案】C
【解析】【分析】由S6=9S3可得S3q3+1=9S3，进而可求出公比的值，即可求a1的值．
【详解】根据已知，
S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=a1+a2+a3+a1q3+a2q3+a3q3
=S3q3+1，
又S6=9S3，所以S3q3+1=9S3 解得q=2．
所以S2=a1+a1q=3a1=3，所以a1=1．
故选：C．
5.【答案】D
【解析】【分析】根据给定条件，利用列举法，结合古典概率逐项判断即得．
【详解】两个白球记为a,b，两个红球记为c,d，不放回依次取出两球的试验的样本空间
Ω={ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc}，共12个样本点，
事件A={ab,ac,ad,ba,bc,bd}，B={ba,ca,da,ab,cb,db}，C={ab,ba,cd,dc}，A∩B={ab,ba}，
由A∩B={ab,ba}，得事件A与事件B不互斥，不对立，AC错误；
P(A)=P(B)=612=12,P(AB)=212=16，显然P(AB)≠P(A)P(B)，事件A与事件B不独立，B错误；
显然(A∩B)⊆C， D正确．
故选：D
6.【答案】B
【解析】【分析】过点P作PM⊥平面ABCD于点M，过M作MN⊥CD于点N，连接PN，则PN为所求，再根据条件即可求解．
【详解】如图，过点P作PM⊥平面ABCD于点M，过M作MN⊥CD于点N，连接PN，因为PM⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，所以PM⊥CD，又MN⊥CD，PM∩MN=M，PM,MN⊂面PMN，所以CD⊥面PMN，
又PN⊂面PMN，所以CD⊥PN，即线段PN的长即为点P到直线CD的距离，因为正方体的棱长为1，且AP=AB+23AD+13AA1，延长NM交AB于H，
则MH=23,PM=13，得到MN=13，所以PN= PM2+MN2= 19+19= 23，
故选：B．
7.【答案】B
【解析】【分析】由双曲线的定义结合PF1=2PF2，解得PF1=4,PF2=2，又F1F2=4，可求△PF1F2的面积．
【详解】因为F1、F2双曲线x2−y23=1的左、右焦点，P是双曲线上一点，
由PF1=2PF2，又有PF1−PF2=2，所以PF1=4,PF2=2．
由F1F2=4，△PF1F2为等腰三角形，则底边PF2上的高ℎ= 42−12= 15，
S▵PF1F2=12PF2⋅ℎ= 15．
故选：B
8.【答案】D
【解析】【分析】根据AB=2 2，由弦长公式求得圆心C1到AB的距离，设AB中点为D，求出点D的轨迹为圆，从而由PA+PB化简得2PD，转化成两圆上的点间的距离问题即可求解．
点睛：本题属于圆与平面向量结合的问题，由圆的弦长先求出弦的中点轨迹也为圆，再由平面向量加法运算进行转化，从而转化为两圆上的点的距离问题．
【详解】设AB中点为D，
则由AB=4 2得|C1D|= 3−2=1，，
即D点的轨迹方程为x2+y2=1．
PA+PB=2PD，
由于P点在圆C2:x−32+y−42=1上，
所以C1C2=5，
所以C1C2−1−1≤PD≤C1C2+1+1，
即PD∈3,7，
所以PA+PB=2PD∈6,14．
故选：D．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】代入x,y的值，得到向量a,b的坐标，利用向量的坐标运算，判断向量的平行垂直，求向量夹角的余弦和投影向量的坐标．
【详解】向量a=2x,1,1,b=1,−y,2
若x=14,y=−2，则a=12,1,1,b=1,2,2，b=2a，所以a//b，A选项正确；
若x=1,y=1，a=2,1,1,b=1,−1,2，a⋅b=2−1+2≠0，不满足则a⊥b，B选项错误；
若x=12,y=1，a=1,1,1,b=1,−1,2，则csa,b=a⋅bab=1−1+2 3× 6= 23，C选项正确；
若x=12,y=1，a=1,1,1,b=1,−1,2，则向量a在向量b上的投影向量：
c=acsa,b⋅bb= 3× 23×1,−1,2 6=13,−13,23 ，D选项正确．
故选：ACD
10.【答案】BD
【解析】【分析】根据互斥事件与相互独立事件的概念及概率公式判断．
【详解】A.若B⊆A，则A∪B=A，AB=B，
所以PA∪B=0.6,PAB=0.3， A错误；
B.若A、B互斥，则PA∪B=PA+PB=0.9,PAB=0， B正确；
C.若A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=0.18， C错误；
D.若A、B相互独立，则A与B，A与B也相互独立，
PAB=PAPB=0.4×0.7=0.28，同理PAB=0.42， D正确．
故选：BD
11.【答案】AB
【解析】【分析】求出 34−30,y1>0,y20x1x2=my1+2my2+2=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=9m2−43m2−1>0，解得m2