2023-2024学年江苏省盐城市五校联盟高二上学期1月期末考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市五校联盟高二上学期1月期末考试数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x=tan60∘的倾斜角为
( )
A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°
2.已知函数fx=3f′0x+x2+ex−1(f′x是fx的导函数)，则f′0+f0=( )
A. 32B. −32C. 12 D. −12
3.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有一高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第100项为( )
A. 4951B. 4953C. 4955D. 4957
4.在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为x2+y2=1，河岸所在直线方程为x+y=3，将军从点A0,2处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为
( )
A. 5B. 5−1C. 10D. 10−1
5.已知数列an满足a1=12，a4=18且an+1an+an−1an=2an+1an−1n≥2，若bn=anan+1，数列bn的前n项和为Tn，则T2024( )
A. 20238096B. 20232024C. 20242025D. 5062025
6.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不间断，在开区间(a,b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)成立，其中c叫做f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)=x3−3x在[−2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
7.过抛物线y2=8x的焦点作直线交抛物线于P、Q两点，则线段PQ的中点的轨迹方程为
( )
A. y=4x−1B. y2=−x4+1C. y2=x2−1D. y2=4x−2
8.已知圆C:x2+y2=4与x轴正半轴的交点为D，从直线2x+y=6上任一动点P向圆作切线，切点分别为A，B，过点0,23作直线AB的垂线，垂足为H，则DH的最小值为
( )
A. 2 5−33B. 2 5−23C. 2 5−43D. 2 53
9.下列结论正确的是( )
A. l1:x+2a−1y+2a−3=0,l2:ax+3y+a2+4=0，若l1//l2，则a=−1或a=32
B. 直线kx−y−k−1=0和以M(−3,1),N(3,2)为端点的线段相交，则k≤−12或k≥32
C. 直线x+y−1=0与直线2x+2y+1=0之间的距离是 2
D. 与点A−1,2的距离为1，且与点B3,−1的距离为4的直线共有3条
10.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为x1的点处作fx的切线，切线与x轴交点的横坐标为x2；用x2代替x1重复上面的过程得到x3；一直下去，得到数列xn，叫作牛顿数列.若函数fx=x2−x−6,an=lnxn+2xn−3且a1=1,xn>3，数列an的前n项和为Sn，则下列说法正确的是
( )
A. xn+1=xn−fxnf′xnB. 数列an是递减数列
C. 数列an是等比数列D. S2023=22023−1
11.阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号.若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称▵PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线x2=8y的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为x−y+2=0，弦AB的中点为C，则关于“阿基米德三角形”▵PAB，下列结论正确的是
( )
A. 点P 3,−2B. PC⊥x轴C. PA⊥PBD. PF⊥AB
12.已知函数fx及其导函数f′x的定义域为R，若f′2=8，函数f2x+1和f′x+2均为偶函数，则
( )
A. 函数f′x的图象关于点1,0对称B. 函数f′x是周期为4的周期函数
C. 函数fx的图象关于点3,0对称D. i=12023f′(i)=8
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13.已知数列an满足a3=5，an+an+1=4n，则i=110a2i= ．
14.曲线y=xlnx上一点到直线x−y−9=0的最短距离为 ．
15.学校餐厅每天供应1050名学生用餐，每周一有A，B两种套餐可供选择．调查表明，凡是本周一选A套餐的，下周一会有20%改选B套餐；而选B套餐的，下周一会有30%改选A套餐．用an，bn分别表示第n个周一选A套餐的人数和选B套餐的人数．第一个周一选A套餐的人数为a1人．
(1)如果每个周一选A套餐人数总相等，则a1= ．
(2)若a1=350，则从第 个周一开始，选A套餐人数首次超过选B套餐的人数．
16.已知椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，M是C上异于顶点的一点，O为坐标原点，E为线段MF1的中点，∠F1MF2的平分线与直线EO交于点P，当四边形MF1PF2的面积为2 2时，sin∠MF2F1= ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17.已知圆C过A(1,0)，B(0,−1)两点，且圆心C在直线x−y+2=0上．
(1)求圆C的方程；
(2)设点P是直线4x−3y−8=0上的动点，PM、PN是圆C的两条切线，M、N为切点，求四边形PMCN面积的最小值．
18.已知函数fx=e2x−2x．
(1)求fx的极值；
(2)若对于任意x∈R，不等式fx>2e−1x+m恒成立，求实数m的取值范围．
19.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A2 3,y0pλ⋅ann+1对任意n∈N∗恒成立，求整数λ的最大值．
21.在平面直角坐标系xOy中，设点Mx0,y0是椭圆C:x220+y25=1上一点，以M为圆心的一个半径r=2的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q．
(1)若直线OP,OQ的斜率都存在，且分别记为k1,k2.求证：k1k2为定值；
(2)探究OP2+OQ2是否为定值，若是，则求出OP⋅OQ的最大值；若不是，请说明理由．
22.已知函数f(x)=lnx+2ax，a∈R．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若对任意的x∈(0,+∞)，都有f(x)+1≤xe3x恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
由题意可知直线与x轴垂直，结合倾斜角的概念即可得解．
【解答】
解：由题意直线x=tan60∘= 3为与x轴垂直的直线，故它的倾斜角为90°．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】【分析】
对于原函数和导函数，分别取x=0，代入运算求解即可．
【解答】
解：因为fx=3f′0x+x2+ex−1，则f0=e0−1=0，
又因为f′x=3f′0+2x+ex，
当x=0时，f′0=3f′0+2×0+e0，解得f′0=−12，
所以f′0+f0=−12．
故选：D．
3.【答案】A
【解析】【分析】
根据累加法和等差数列的求和公式可求出结果．
【解答】
解：设该高阶等差数列为an，因为前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，
所以a2−a1=1,a3−a2=2,a4−a3=3,⋯,a100−a99=99,
所以a2−a1+a3−a2+a4−a3+⋯+a100−a99=1+2+3+⋯+99,
所以a100=1+1+2+3+⋯+99=1+991+992=4951，
故选：A．
4.【答案】D
【解析】【分析】
求出A(0,2)关于直线x+y=3的对称点为M，然后将距离和转化成圆外一点到圆上一点距离最值问题求解即可．
【解答】
解： 如图，设将军去河岸的B点喝水，回到军营的C点，所以需求出AB+BC最小值即可，
圆x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径r=1，
设A(0,2)关于直线x+y=3的对称点为M(a,b)，
则b−2a−0=1a2+b+22=3，解得a=1,b=3，
所以M(1,3)，此时AB+BC=MB+BC≥MO−r= 12+32−1= 10−1，
所以“将军饮马”的最短路程为 12+32−1= 10−1．
故选：D．
5.【答案】D
【解析】【分析】
由an+1an+an−1an=2an+1an−1n≥2可得数列1an是等差数列，进而可得数列an的通项公式，故可得数列bn的通项公式，进而通过裂项相消法得到数列bn的前n项和Tn，最后代入得到T2024．
【解答】
解：∵an+1an+an−1an=2an+1an−1n≥2，
∴1an−1+1an+1=2⋅1an，∴数列1an是等差数列，
∵a1=12，a4=18，∴1a1=2，1a4=8，
∴数列1an的公差d=2，
∴1an=2+2(n−1)=2n，既an=12n，
故bn=anan+1=12n⋅12(n+1)=14⋅1n−1n+1，
∴Tn=b1+b2+b3+⋯+bn=141−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=141−1n+1=14⋅nn+1，
∴T2024=14⋅20242025=5062025，
故选：D．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了新定义问题，解题的关键是弄懂题意，将问题转化为熟悉的知识进行求解，考查了运算能力，属于中档题．
根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．
【解答】
解：函数f(x)=x3−3x，
则有f(2)=2，f(−2)=−2，f′(x)=3x2−3，
由f(2)−f(−2)=f′(c)(2+2)，
可得f′(c)=1，即3c2−3=1，解得c=±2 33∈[−2,2]，
f(x)在[−2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】【分析】
分析可知直线PQ不与x轴重合，设点Px1,y1、Qx2,y2，设直线PQ的方程为x=my+2，将直线PQ的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出线段PQ的中点坐标，进而可得出线段PQ的中点的轨迹方程．
【解答】
解：抛物线y2=8x的焦点为F2,0，设点Px1,y1、Qx2,y2，
若直线PQ与x轴重合，则直线PQ与抛物线y2=8x只有一个交点，不合乎题意，
设直线PQ的方程为x=my+2，联立x=my+2y2=8x可得y2−8my−16=0，
Δ=64m2+64>0，由韦达定理可得y1+y2=8m，所以，x1+x2=my1+y2+4=8m2+4，
设线段PQ的中点为Ex,y，则x=4m2+2，y=4m，则m=y4，
所以，x=4×y42+2，化简可得y2=4x−2．
因此，线段PQ的中点的轨迹方程为y2=4x−2．
故选：D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
将直线AB转化为两个圆的公共弦方程，利用垂足确定H的轨迹为一个圆，然后结合点D到圆心的距离求DH最小值即可．
【解答】
解：易得D2,0，设Pa,6−2a，
因为PA,PB是圆C的两条切线，所以PA⊥CA,PB⊥CB,
所以A,B在以PC为直径的圆上，
又因为PC= a2+6−2a2，且PC的中点为a2,6−2a2，
所以以PC为直径的圆的方程为：x−a22+y−6−2a22=a2+6−2a24．
所以AB为以PC为直径的圆和圆C的的公共弦，
两个圆的方程相减得：ax+6−2ay−a24−6−2a24=4−a2+6−2a24
所以直线AB:ax+6−2ay=4，
直线AB恒过定点M43,23，
过点N0,23作直线AB的垂线，垂足为H，
则H在以MN为直径的圆上，设圆的圆心为T23,23，半径为12MN=23，
所以DT= 2−232+0−232=2 53，
所以DH的最小值为：DT−23=2 5−23．
故选：B
9.【答案】BD
【解析】【分析】
利用两直线平行求出实数a的值，可判断A选项；对于B，由于直线kx−y−k−1=0过定点P1,−1，所以求出kPM,kPN可得答案，利用平行线间的距离公式可判断C选项；利用圆与圆的位置关系可判断D选项．
【解答】
解：对于A，若l1//l2，则3−a2a−1=0，则−2a2+a+3=0，
解得a=−1或a=32，
当a=−1时，l1:x−3y−5=0,l2:−x+3y+5=0，则l1，l2重合；
当a=32时，l1:x+2y=0,l2:32x+3y+254=0，则l1//l2，故a=32，故 A错误；
对于B，由kx−y−k−1=0，得k(x−1)−(y+1)=0，
所以直线kx−y−k−1=0过定点P1,−1，
因为kPM=1−(−1)−3−1=−12,kPN=2−(−1)3−1=32，所k≤−12或k≥32，故 B正确；
对于C，将直线x+y−1=0化为2x+2y−2=0，所以两直线间的距离d=−2−1 4+4=3 24，故 C错误；
记以A−1,2为圆心，1为半径的圆为O1，以B3,−1为圆心，4为半径的圆为O2，
因为两圆的圆心距d= −1−32+2+12=5，且两圆的半径之和r1+r2=5，
所以d=r1+r2，所以两圆外切，所以两圆有三条公切线，
这三条公切线满足与点A−1,2距离为1，且与点B3,−1距离为4，故 D正确．
故选：BD．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
求导得切点处的切线方程，即可令y=0判断A，根据对数的运算，结合等差等比数列的定义即可判断BC，根据等比求和公式即可求解D．
【解答】
解：f′x=2x−1，所以fx在点xn,fxn处的切线方程为：y−fxn=f′xnx−xn，
令y=0，得xn+1=xn−fxnf′xn=xn−xn2−xn−62xn−1=xn2+62xn−1，故 A正确．
xn+1+2xn+1−3=xn2+62xn−1+2xn2+62xn−1−3=xn+2xn−32，故lnxn+1+2xn+1−3=2lnxn+2xn−3，即an+1=2an，
所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确，
所以S2023=a11−qn1−q=22023−1， D正确．
故选；ACD
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查抛物线的标准方程及性质，考查直线方程，考查直线的斜率，属于中档题．
联立方程组x2=8yy=x+2消y可得x2−8x−16=0，令A(x1,y1)，B(x2,y2)，可得x1+x2=8，x1x2=−16，求出直线PA，PB的方程，解出交点P即可逐一判断选项．
【解答】
解：联立方程组x2=8yy=x+2消y可得x2−8x−16=0，
令A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1+x2=8，x1x2=−16，
因为y=x28，所以y′=x4，则kPA=x14，
所以直线PA的方程为：y=x14(x−x1)+x128=x14x−x128，
同理直线PB的方程为：y=x24x−x228，
联立方程组y=x14x−x128y=x24x−x228，解得x=x1+x22=4y=x1x28=−2，则P(4,−2)，A错；
因为弦AB的中点为C，所以xC=x1+x22=4，∴PC⊥x轴，B对．
因为抛物线x2=8y的焦点为F(0,2)，P(4,−2)，所以kPF=−2−24−0=−1，
因为直线AB的方程为x−y+2=0，则kAB=1，
因为kPF⋅kAB=−1，所以PF⊥AB，D对．
因为kPA⋅kPB=x1x216=−1，所以PA⊥PB，C对，
故选BCD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
根据函数奇偶性的定义，结合函数的对称性的性质即可求解A，由周期函数的定义即可求解B，根据原函数与导数的关系即可求解C，根据函数周期性的性质即可求解D．
【解答】
解：因为f2x+1是偶函数，所以f−2x+1=f2x+1，则f−x+1=fx+1，
所以函数fx的图象关于直线x=1对称，由f−2x+1=f2x+1两边求导得−2f′−2x+1=2f′2x+1，
所以f′2x+1=−f′−2x+1，得f′x=−f′2−x，
所以函数f′x的图象关于点1,0对称，故选项 A正确；
令x=1得f′1=−f′1，所以f′1=0，因为函数f′x+2为偶函数，所以f′x+2=f′−x+2，
所以f′x=f′4−x，所以函数f′x的图象关于x=2对称，
所以函数f′x=−f′2−x=−f′x+2⇒f′x=f′x+4，所以f′x的周期为T=4，所以选项 B正确；
又因为f′x的周期为T=4，故f′4−x=f′−x=−f′2+x，所以−f4−x=−f2+x+c，
因此f4−x=f2+x−c,f4−x=fx−2=f2+x+c⇒c=0，所以函数fx的图象关于直线x=3对称，所以选项 C错误；
因为f′x=f′4−x，所以f′1=f′3=0，又因为f′x=−f′2−x，所以f′0+f′2=0，
所以i=12023f′(i)=f′(1)+f′(2)+f′(3)=8，所以选项 D正确．
故选：ABD．
13.【答案】4082
【解析】【分析】
给an+an+1=4n赋值n=1，n=2可求得a2，a1，由an+an+1=4n与an+1+an+2=4n+4作差可得an+2−an=4，分奇偶项可求得an=2n−1，结合分组求和及等比数列求和公式计算即可．
【解答】
解：因为an+an+1=4n，
所以a1+a2=4，a2+a3=8，
又a3=5，所以a2=3，a1=1，
因为an+an+1=4n，所以an+1+an+2=4n+4，
两式相减得an+2−an=4，
所以{an}的所有奇数项成等差数列，首项为1，公差为4，
{an}的所有偶数项成等差数列，首项为3，公差为4，
所以当n为奇数时，an=1+(n−12+1−1)×4=2n−1，
当n为偶数时，an=3+(n−22+1−1)×4=2n−1，
综述：an=2n−1(n∈N∗)，
所以a2i=2×2i−1=2i+1−1，
所以i=110a2i=22−1+23−1+⋯+211−1=(22+23+⋯+211)−10=22−211×21−2−10=212−14=4082．
故答案为：4082．
14.【答案】4 2
【解析】【分析】
先求在曲线y=xlnx上与直线x−y−9=0平行的切线方程，再根据两平行线间的距离公式求得正确答案．
【解答】
解：直线x−y−9=0的斜率为1，
令y′=lnx+1=1,x=1，
当x=1时，y=1×ln1=0，
所以曲线y=xlnx在点1,0处的切线方程为y=x−1，即x−y−1=0，
x−y−1=0与x−y−9=0的距离为−1−−9 2=8 2=4 2．
所以曲线y=xlnx上一点到直线x−y−9=0的最短距离为4 2．
故答案为：4 2
15.【答案】630；3
【解析】【分析】
本题主要考查等比数列的定义及基本量的计算、数列的递推关系式在实际问题中的应用等知识点，属于较难题．
(1)先由题设推导出数列{an}的递推关系式，再利用an=an+1，求出a1的值；
(2)先由题设求得an与bn，再利用an>bn，得到关于n的不等式，然后根据n的范围，得到结果．
【解答】
解：由题设，可得an+bn=1050及an+1=45an+310bn，
整理得an+1=12an+315，bn=1050−an，
(1)∵an=an+1，∴an=12an+315，解得an=630，
∴a1=630；
(2)由an+1=12an+315可得an+1−630=12(an−630)，
又a1−630=350−630=−280，
∴数列{an−630}是首项为−280，公比为12的等比数列，
∴an−630=−280×(12)n−1，即an=630−280×(12)n−1，
bn=1050−[630−280×(12)n−1]=420+280×(12)n−1，
由an>bn，可得630−280×(12)n−1>420+280×(12)n−1，
整理得560×(12)n−1163，
解得n>lg2163，∴n的最小值为3，
故答案为：(1)630；(2)3．
16.【答案】 63
【解析】【分析】
本题考查椭圆方程的定义与几何性质综合应用，为中档题．
【解答】
解：由椭圆方程可知a=2，b=1，c= 3，
F1F2=2c=2 3,MF1+MF2=2a=4，
因为∠F1MF2的平分线与直线EO交于点P，
所以点P到直线MF1和直线MF2的距离相等，设为ℎ，
所以SMF1PF2=12MF1+MF2·ℎ=2ℎ=2 2，解得ℎ= 2，
又OE为△MF1F2的中位线，
所以可得2ℎ=|F1F2|⋅sin∠MF2F1，解得sin∠MF2F1= 63．
17.【答案】解：(1)根据题意，设圆的圆心为(a,b)，半径为r，
则有(1−a)2+(0−b)2=r2(0−a)2+(−1−b)2=r2a−b+2=0，解可得a=−1，b=1，r= 5；
故要求圆的方程为(x+1)2+(y−1)2=5；
(2)根据题意，四边形PMCN的面积
S=SΔPMC+SΔPNC=12(|CM|×|MP|+|CN|×|NP|)= 5|PM|，
而|PM|2=|PC|2−|CM|2=|PC|2−5，
当|PC|最小时，四边形PMCN面积的最小，
而|PC|的最小值为点C到直线x−y+2=0的距离，则|PC|的最小值为|PC|min=|4×(−1)−3×1−8| 16+9=3；
故|PM|的最小值为2，
故四边形PMCN面积的最小值为2 5．

【解析】(1)根据题意，设圆的圆心为(a,b)，半径为r，结合题意可得(1−a)2+(0−b)2=r2(0−a)2+(−1−b)2=r2a−b+2=0，解可得a、b、r的值，结合圆的标准方程即可得答案；
(2)根据题意，分析可得四边形PMCN的面积S=SΔPMC+SΔPNC= 5|PM|，又由切线长公式可得当|PC|最小时，四边形PMCN面积的最小，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，考查运算求解能力．
18.【答案】解：(1)由函数fx=e2x−2x，可得f′x=2e2x−2，
令f′x>0，即e2x−1>0，解得x>0；
令f′xm恒成立，
设gx=e2x−2ex，可得g′x=2e2x−2e，
令g′x>0，即2e2x−2e>0，解得x>12；
令g′x0，ℎ(13)=13e+ln13=13(e−3ln3)0，
所以t(x)=xex在(0,+∞)上为增函数，
所以由3x0e3x0=−lnx0x0=ln1x0×eln1x0，得t(3x0)=t(ln1x0)，
所以3x0=ln1x0，即e3x0=1x0，所以lnx0x0=−3，
所以g(x)min=g(x0)=e3x0−lnx0x0−1x0=3，
所以2a≤3，所以a≤32，
所以a的取值范围为(−∞,32]．
【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的综合应用以及函数恒成立问题，属难题．
(1)f′(x)=1x+2a，当a≥0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当a0)，则g′(x)=3x2e3x+lnxx2，令ℎ(x)=3x2e3x+lnx，则ℎ′(x)=6xe3x+9x2e3x+1x>0，ℎ(1)=3e3+ln1=3e3>0，ℎ(13)=13e+ln13=13(e−3ln3)