2023-2024学年湖南省岳阳市平江县高二上学期期末教学质量监测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省岳阳市平江县高二上学期期末教学质量监测数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线m的方程为 3x−y+2=0，则直线m的倾斜角为
( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 120∘
2.圆x2+y2+2x−4y−6=0的圆心和半径分别是
( )
A. −1,−2，11B. −1,2，11C. −1,−2， 11D. −1,2， 11
3.已知数列an是等比数列，若a1=1，q=2，Sn=31，则n等于( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
4.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1 中，AC与BD 的交点为M.设A1B1=a,A1D1=b,A1A=c，是下列向量中与MB1 相等的向量是
( )
A. 12a−12b−cB. −12a−12b−cC. −12a+12b−cD. 12a+12b−c
5.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为( )
A. 25.5尺B. 34.5尺C. 37.5尺D. 96尺
6.椭圆x225+y29=1与椭圆x225−k+y29−k=1(00)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上的动点，I和G分别是△PF1F2的内心和重心，若IG与x轴平行，则椭圆的离心率为
( )
A. 12B. 33C. 32D. 63
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知各项均为正数的等差数列an单调递增，且a5=2，则( )
A. 公差d的取值范围是−∞,12B. 2a7=a9+2
C. a8+a4>a6+a5D. a1+a9=4
10.下列说法中，正确的有( )
A. 过点P(1,2)且在x，y轴截距相等的直线方程为x+y−3=0
B. 直线y=kx−2在y轴的截距是−2
C. 直线x− 3y+1=0的倾斜角为60°
D. 过点(5,4)且倾斜角为90°的直线方程为x−5=0
11.对于非零空间向量a，b，c，现给出下列命题，其中为真命题的是
( )
A. 若a⋅b0与圆O:x2+y2=5交于A，B两点，且AB=4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是
( )
A. 若直线l的斜率为 33，则MN=8
B. MF+2NF的最小值为3+2 2
C. 若以MF为直径的圆与y轴的公共点为(0, 62)，则点M的横坐标为32
D. 若点G2,2，则△GFM周长的最小值为4+ 5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.数列an的前n项和Sn=2n2+n+1，则该数列的通项公式为 ．
14.过双曲线x24−y23=1的左顶点，且与直线2x−y+1=0平行的直线方程为 ．
15.已知函数fx=xx−c2在x=2处有极大值，则c=
16.正四棱锥P−ABCD，底面四边形ABCD为边长为2的正方形，PA= 5，其内切球为球G，平面α过AD与棱PB，PC分别交于点M，N，且与平面ABCD所成二面角为30∘，则平面α截球G所得的图形的面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知a=(2,−1,−4),b=(−1,k,2)．
(1)若(a−b)//(a+b)，求实数k的值；
(2)若(a+3b)⊥(a+b)，求实数k的值．
18.(本小题12分)
已知圆C:x−12+y−22=25，直线l:2m+1x+m+1y−7m−4=0m∈R．
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)当m=0时，求直线l被圆C截得的弦长．
19.(本小题12分)
已知数列{an}的首项a1=35，且满足an+1=3an2an+1．
(1)求证：数列1an−1为等比数列．
(2)若1a1+1a2+1a3+…+1an0．
22.(本小题12分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30．
(1)求双曲线C的方程；
(2)经过点F的直线与双曲线的右支交于A，B两点，与y轴交于P点，点P关于原点的对称点为点Q，求ΔQAB的面积的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】求出直线m的斜率，即可得出直线m的倾斜角．
【详解】设直线m的倾斜角为α，则tanα= 3，∵0∘≤α0，a1>0，a5=2，
所以a1=2−4d>0，解得d0，故a8+a4>a6+a5，C选项正确；
由等差数列性质，a1+a9=2a5=4，故 D正确．
故选：BCD
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查直线方程基础知识的掌握情况，及直线方程的综合求法，考查学生的计算能力，属于基础题．
根据直线方程的几种形式，逐项判断即可．
【解答】
解：对A:过点P(1,2)且在x，y轴截距相等的直线方程，
要分直线过原点和不过原点两种情况讨论，
当直线过原点时，直线方程为2x−y=0;
当直线不过原点时，直线方程为x+y−3=0，所以A错误．
对B：直线y=kx−2在y轴上的截距，令x=0，得y=−2，
所以直线y=kx−2在y轴上的截距为−2，所以B正确．
对C:直线x− 3y+1=0的斜率为 33，设倾斜角为α，
则tan⁡α= 33,α∈[0,π)，所以α=30°，所以C错误．
对D：过点(5,4)并且倾斜角为90​∘，斜率不存在，
所以直线方程为x=5,即x−5=0，所以D正确．
故选BD．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积运算，空间向量基本定理，空间向量垂直的坐标表示，属于较易题．
根据向量夹角可判断A；根据向量的数量积判断B，C；根据不共面的向量可以作为空间中的一组基底判断D．
【解答】
解：对于A，若a⋅b643×2564−3=163，
所以S△QAB>4 33.即ΔQAB的面积的取值范围为(4 33,+∞)．
【解析】本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于较难题．
(1)由双曲线C的焦点F为抛物线的焦点，一条渐近线的倾斜角为30°，列方程组，解得a，b，即可得出答案．
(2)设直线方程为：y=k(x−2)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，在计算S△QAB，利用配方法，可得答案．