2023-2024学年湖南师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则( )
A. (x+1)2+y2=1B. (x−1)2+y2=1
C. x2+(y−1)2=1D. x2+(y+1)2=1
2.直线2x+m+1y+4=0与直线mx+3y−2=0平行，则m=
A. 2B. 2或−3C. −3D. −2或−3
3.已知角α的终边与单位圆交于点P−12,y，则sinα⋅tanα=( )
A. − 33B. ± 33C. −32D. ±32
4.随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到( )
A. 2022年12月B. 2023年2月C. 2023年4月D. 2023年6月
5.已知(2x−1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则|a0|+|a1|+…+|a5|=．( )
A. 1B. 243C. 121D. 122
6.设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，F1F2为半径的圆与E交于P，Q两点，若ΔPF1F2为直角三角形，则E的离心率为
A. 5−12B. 2−1C. 22D. 2+1
7.如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若AF= xAE+yDC(x>0,y>0)，则2−3x4y2+1的最大值为
( )
A. 12B. 34C. 1D. 2
8.已知当x≥e时，不等式xa+1x−e1x≥alnx恒成立，则正实数a的最小值为( )
A. 1B. 1eC. eD. 1e2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 4个班分别从3个景点选择一处游览，不同的选法的种数是34；
B. 从1，2，3，4，5选择2个数(可重复)组成两位偶数一共有10个；
C. 两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，一共有5种取法；
D. 从1，3，5，7，10选择2个不相同的数作为分子分母组成分数，一共可以组成10个分数
10. 设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7·a8>1，a7−1a8−10)与双曲线x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)有公共焦点F1−c,0,F2c,0(c>0)，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，点P为两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=60∘,I为△F1PF2的内心，F1,I,G三点共线，且GP⋅IP=0,x轴上点A,B满足AI=λIP,BG=μGP，则e1e2的最小值为 ；λ2+μ2的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知函数fx=2 3sinx−csxcsx+sin2x．
(1)求函数fx的单调递减区间和最小正周期；
(2)若当x∈π6,π2时，不等式fx≥m有解，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
用总长为523m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边比另一边的长多1m，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？
19.(本小题12分)
在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=t(00)上的动点到焦点距离的最小值为12．
(1)求Γ的方程及其焦点坐标和准线方程；
(2)如图，A,B,C是Γ上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D,E,F，若AC//DF，求BDBF的值．
22.(本小题12分)
设fx=exex−2ax−1且fx≥0恒成立．
(1)求实数a的值；
(2)证明：fx存在唯一的极大值点x0，且e−20，
所以2−3x4y2+1=2y4y2+1=24y+1y⩽12，当且仅当y=12，x=13时取等号，
即2−3x4y2+1的最大值为12．
故选A．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查利用导数研究恒成立与存在性问题，考查数学运算的核心素养，属于中档题．
将问题转化为e1x−lne1x≤xa−lnxa，设f(x)=x−lnx，根据函数的单调性求出a≥1xlnx，令ℎ(x)=xlnx(x∈[e,+∞))，得到ℎ(x)min=ℎ(e)=e，进而可以求出a的取值范围．
【解答】
解：∵xa+1x−e1x≥alnx，
∴e1x−1x≤xa−alnx，
即e1x−lne1x≤xa−lnxa，
设f(x)=x−lnx，x∈0,+∞，则f(e1x)≤f(xa)，
∵f′(x)=1−1x=x−1x，x∈0,+∞
∴函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
∵当x≥e时，f(e1x)≤f(xa)恒成立，
∴e1x≤xa，
两边取对数得1x≤alnx，
∴a≥1xlnx，
令ℎ(x)=xlnx，x∈[e,+∞)，
∵ℎ′(x)=lnx+1>0，
∴ℎ(x)在[e,+∞)上单调递增，
∴ℎ(x)min=ℎ(e)=e，所以01,a7a8>1，a7−1a8−11,0