专题22 导数解答题（理科）-十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc140596753" 题型一：导数的概念及几何意义 PAGEREF _Tc140596753 \h 1
\l "_Tc140596754" 题型二：导数与函数的单调性 PAGEREF _Tc140596754 \h 2
\l "_Tc140596755" 题型三：导数与函数的极值、最值 PAGEREF _Tc140596755 \h 4
\l "_Tc140596756" 题型四：导数与函数零点问题 PAGEREF _Tc140596756 \h 7
\l "_Tc140596757" 题型五：导数与不等式的证明 PAGEREF _Tc140596757 \h 9
\l "_Tc140596758" 题型六：导数与其他知识的交汇题型 PAGEREF _Tc140596758 \h 11
\l "_Tc140596759" 题型七：利用导数研究恒成立、能成立问题 PAGEREF _Tc140596759 \h 12
\l "_Tc140596760" 题型八：导数的综合应用 PAGEREF _Tc140596760 \h 14
题型一：导数的概念及几何意义
1．(2020北京高考·第19题) 已知函数．
(Ⅰ)求曲线的斜率等于的切线方程；
(Ⅱ)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
2．(2018年高考数学天津（理）·第20题) (本小题满分14分)已知函数，，其中．
(1)求函数的单调区间；
(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明
；
(3)证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．
3．(2020年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第21题) 已知函数．
(1)当时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1，求a取值范围．
4．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第22题) 已知函数．
(1)当时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．
5．(2018年高考数学浙江卷·第22题) (本题满分15分)已知函数．
(1)若在处导数相等，证明：；
(2)若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．
6．(2014高考数学课标1理科·第21题) 设函数,曲线在点处的切线．
(1)求;
(2)证明:．

7．(2019·全国Ⅲ·理·第20题)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)是否存在，使得在区间最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由．
8．(2019·全国Ⅱ·理·第20题)已知函数．
讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．
题型二：导数与函数的单调性
1．(2022高考北京卷·第20题) 已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意，有．
2．(本小题满分12分)已知函数，其中，为参数，且．
(Ⅰ)当时，判断函数是否有极值；
(Ⅱ)要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
(Ⅲ)若对(Ⅱ)中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．
3．(2014高考数学重庆理科·第20题) 已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为．
确定的值；
若，判断的单调性；
(3)若有极值，求的取值范围．
4．(2014高考数学天津理科·第20题) 设．已知函数有两个零点,且．
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)证明随着的减小而增大;
(Ⅲ)证明 随着的减小而增大．
5．(2014高考数学江西理科·第19题) 已知函数．
(1)当时,求的极值;
(2)若在区间上单调递增,求b的取值范围．

6．(2015高考数学重庆理科·第20题) (本小题满分12分，(1)小问7分，(2)小问5分)
设函数．
(1)若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；
(2)若在上为减函数，求的取值范围．
7．(2016高考数学北京理科·第18题)(本小题13分)设函数，曲线在点处的切线方程为．
(I)求的值；
(Ⅱ)求的单调区间．
8．(2021年高考全国甲卷理科·第21题)已知且，函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
9．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第21题)已知函数．
(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥x3+1，求a的取值范围．
题型三：导数与函数的极值、最值
1．(2023年北京卷·第20题) 设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第22题) (1)证明：当时，；
(2)已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．

3．(2021高考北京·第19题) 已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
4．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第21题) 已知函数．
(1)若，证明：当时，，当时，；
(2)若是的极大值点，求．
5．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）·第21题) (12分)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，证明：．
6．(2018年高考数学北京（理）·第18题) (本小题13分)设函数．
(Ⅰ)若曲线在点处的切线与轴平行，求；
(Ⅱ)若在处取得极小值，求的取值范围．

7．(2014高考数学山东理科·第20题) 设函数(为常数，是自然对数的底数)．
(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；
(Ⅱ)若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．
8．(2014高考数学湖南理科·第22题) 已知常数函数．
(Ⅰ)讨论在区间上的单调性；
(Ⅱ)若存在两个极值点，且求的取值范围．
9．(2014高考数学安徽理科·第18题) 设函数，其中．
(Ⅰ)讨论在其定义域上的单调性；
(Ⅱ)当时，求取得最大值和最小值时的的值．
10．(2015高考数学安徽理科·第21题) (本小题满分13分)设函数．
(Ⅰ)讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
(Ⅱ)记，求函数在上的最大值D；
(Ⅲ)在(Ⅱ)中，取，求满足时的最大值．
11．(2017年高考数学浙江文理科·第20题) 已知函数
(Ⅰ)求的导函数;
(Ⅱ)求在区间上的取值范围．
12．(2017年高考数学山东理科·第20题)已知函数,,其中是自然对数的底数．
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)令,讨论的单调性并判断有无极值;有极值时,求出极值．


13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第21题)(12分)已知函数．
(1)若，求的值；
(2)设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．

14．(2017年高考数学江苏文理科·第20题)已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求关于 的函数关系式,并写出定义域;
(2)证明:;
(3)若,这两个函数的所有极值之和不小于,求的取值范围．

15．(2017年高考数学北京理科·第19题)已知函数．
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值．

16．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第21题)(12分)已知函数且．
(1)求 ；
(2)证明：存在唯一的极大值点，且．
17．(2016高考数学天津理科·第20题)设函数，其中．
(Ⅰ)求的单调区间；
(Ⅱ)若存在极值点，且，其中，求证：；
(Ⅲ)设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．
18．(2023年全国乙卷理科·第21题)已知函数．
(1)当时，求曲线在点处切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由．
(3)若在存在极值，求a的取值范围．
19．(2019·北京·理·第19题)已知函数．
(Ⅰ)求曲线的斜率为1的切线方程；
(Ⅱ)当时，求证：；
(Ⅲ)设，记在区间上的最大值为，当最小时，求a的值．
题型四：导数与函数零点问题
1．(2022年高考全国甲卷数学（理）·第21题) 已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则环．
2．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第21题) (12分)
已知函数．
(1)若，证明：当时，；
(2)若在只有一个零点，求．
3．(2014高考数学四川理科·第21题) 已知函数其中为自然对数的底数．
(Ⅰ)设是函数的导函数，求函数在区间 上的最小值；
(Ⅱ)若，函数在区间内有零点，求的取值范围．
4．(2014高考数学辽宁理科·第21题) (本小题满分12分)
已知函数，．
证明：(1)存在唯一，使；
(2)存在唯一，使，且对(1)中的．
5．(2015高考数学新课标1理科·第21题) (本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)当为何值时，轴为曲线 的切线；
(Ⅱ)用 表示中的最小值，设函数 ，讨论零点的个数．
6．(2015高考数学天津理科·第20题) (本小题满分14分))已知函数，其中．
(I)讨论的单调性；
(II)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；
(III)若关于的方程为实数)有两个正实根，求证： ．
7．(2015高考数学四川理科·第21题) 已知函数，其中．
(1)设是的导函数，评论的单调性；
(2)证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解．
8．(2015高考数学江苏文理·第19题) 已知函数．
(1)试讨论的单调性；
(2)若(实数是与无关的常数)，当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值．
9．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第21题)已知函数．
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求的取值范围．

10．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第21题)(本小题满分12分)已知函数有两个零点．
(I)求a的取值范围；
(II)设是的两个零点，证明：．
11．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第21题)设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
(1)求b．
(2)若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
12．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第21题)已知函数
(1)当时，求曲线在点处切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
13．(2019·全国Ⅰ·理·第20题)已知函数，为的导数．证明：
(1)在区间存在唯一极大值点；
(2)有且仅有2个零点．
14．(2019·江苏·第19题)设函数、为的导函数．
(1)若，，求的值；
(2)若，且和的零点均在集合中，求的极小值；
(3)若，且的极大值为，求证:．
题型五：导数与不等式的证明
1．(2022年浙江省高考数学试题·第22题) 设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
(ⅰ)若，则；
(ⅱ)若，则．
(注：是自然对数的底数)
2．(2014高考数学大纲理科·第22题) 函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，证明：．
3．(2015高考数学广东理科·第19题) (本小题满分14分)
设，函数．
(1) 求的单调区间 ；
(2) 证明：在上仅有一个零点；
(3) 若曲线在点P处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明：．
4．(2017年高考数学天津理科·第20题)设,已知定义在上的函数在区间内有一个零点,为的导函数．
(1)求的单调区间;
(2)设,函数,求证:;
(3)求证:存在大于的常数,使得对于任意的正整数,且满足．
5．(2021年高考浙江卷·第22题)设a，b为实数，且，函数
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
(3)当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足．
(注：是自然对数的底数)
6．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第22题)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点
①；
②．
7．(2021年新高考Ⅰ卷·第22题)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，为两个不相等的正数，且，证明：．
8．(2022新高考全国II卷·第22题)已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
9．(2021年高考全国乙卷理科·第20题)设函数，已知是函数的极值点．
(1)求a；
(2)设函数．证明:．
题型六：导数与其他知识的交汇题型
1．(2022新高考全国I卷·第22题) 已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
2．(2015高考数学湖南理科·第23题) 已知，函数．记为的从小到大的第个极值点．证明：
(1)数列是等比数列;
(2)若，则对一切，恒成立．
3．(2015高考数学湖北理科·第22题) (本小题满分14分)已知数列的各项均为正数，，为自然对数的底数．
(Ⅰ)求函数的单调区间，并比较与的大小；
(Ⅱ)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
(Ⅲ)令，数列，的前项和分别记为,, 证明：．
4．(2015高考数学广东理科·第21题) (本小题满分14分)
数列满足 , ．
(1) 求的值；
(2) 求数列前项和；
(3) 令，，证明：数列的前项和满足．
5．(2023年天津卷·第20题)已知函数．
(1)求曲线在处切线的斜率；
(2)当时，证明：；
(3)证明：．
6．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第19题)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
7．(2018年高考数学江苏卷·第19题)(本小题满分16分)记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．
(1)证明：函数与不存在“S点”；
(2)若函数与存在“S点”，求实数a的值；
(3)已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．
题型七：利用导数研究恒成立、能成立问题
1．(2023年全国甲卷理科·第21题)已知函数
(1)当时，讨论单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
2．(2014高考数学浙江理科·第22题) 已知函数
(1)若在上的最大值和最小值分别记为，求；
(2)设若对恒成立，求的取值范围．
3．(2014高考数学陕西理科·第23题) 设函数，其中是的导函数．
⑴，求的表达式；
⑵若恒成立，求实数的取值范围；
⑶设，比较与的大小，并加以证明．
4．(2014高考数学福建理科·第20题) (本小题满分14分)
已知函数(为常数)的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为．
(1)求的值及函数的极值；
(2)证明：当时，；
(3)证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有．
5．(2014高考数学北京理科·第18题) 已知,
(1)求证：
(2)在上恒成立，求a的最大值与b的最小值
6．(2015高考数学新课标2理科·第21题) (本题满分12分)设函数．
(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；
(Ⅱ)若对于任意，都有，求的取值范围．
7．(2015高考数学山东理科·第21题) 设函数，其中．
(Ⅰ)讨论函数极值点的个数，并说明理由；
(Ⅱ)若成立，求的取值范围．
8．(2015高考数学北京理科·第18题) (本小题13分)已知函数．
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ)求证：当时，；
(Ⅲ)设实数使得对恒成立，求的最大值．
9．(2016高考数学四川理科·第21题)设函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立，(为自然对数的底数)
10．(2016高考数学山东理科·第20题)(本小题满分13分)已知．
( = 1 \* ROMAN I)讨论的单调性；
( = 2 \* ROMAN II)当时，证明对于任意的成立．
11．(2015高考数学福建理科·第20题)已知函数，
(Ⅰ)证明：当；
(Ⅱ)证明：当时，存在,使得对
(Ⅲ)确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有．
题型八：导数的综合应用
1．(2014高考数学课标2理科·第21题) (本小题满分12分)
已知函数=．
(Ⅰ)讨论的单调性；
(Ⅱ)设，当时，, 求的最大值；
(Ⅲ)已知，估计ln2的近似值(精确到0．001)
2．(2014高考数学湖北理科·第22题) 为圆周率，为自然对数的底数．
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)求，，，，，这6个数中的最大数与最小数；
(Ⅲ)将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．
3．(2014高考数学江苏·第19题) 已知函数，其中e是自然对数的底数．
(1)证明：是R上的偶函数；
(2)若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知正数满足：存在，使得成立． 试比较与的大小，并证明你的结论．
4．(2015高考数学江苏文理·第17题) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为．如图所示，为的两个端点，测得点到的距离分别为5千米和40千米，点到的距离分别为20千米和2．5千米，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系．假设曲线符合函数(其中为常数)模型．
(1)求的值；
(2)设公路与曲线相切于点,的横坐标为．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度．
O
C
5．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第21题)已知函数f(x)=sin2xsin2x．
(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
(2)证明：；
(3)设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤
6．(2020天津高考·第20题)已知函数，为的导函数．
(Ⅰ)当时，
(i)求曲线在点处的切线方程；
(ii)求函数的单调区间和极值；
(Ⅱ)当时，求证：对任意的，且，有．
7．(2019·浙江·第22题)已知实数，设函数，．
(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；
(Ⅱ)对任意均有，求的取值范围．
注：为自然对数的底数．
8．(2019·天津·理·第20题)设函数为的导函数．
(Ⅰ)求的单调区间；
(Ⅱ)当时，证明；
(Ⅲ)设为函数在区间内的零点，其中，证明．