山东省聊城市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量抽测数学试题

这是一份山东省聊城市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量抽测数学试题，共9页。试卷主要包含了考试结束后，只将答题卡交回，抛物线有如下光学性质，已知数列满足，则的值为，下列求导运算正确的是，若平面内的动点满足，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的相应位置上．
2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，只将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．直线在x轴上的截距为（ ）．
A．B．C．D．2
2．已知函数，则（ ）．
A．B．0C．1D．2
3．已知数列满足，若，则（ ）．
A．4B．3C．D．2
4．已知直线，，若，则它们的倾斜角为（ ）．
A．B．C．D．或
5．在三棱锥中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，若，则（ ）．
A．B．1C．2D．3
6．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上一点反射后，反射光线必过抛物线的焦点．已知抛物线，一束平行于x轴的光线，从点射入，经过C上一点A反射后﹐再经C上另一点B反射后，沿直线出，则线段AB的长为（ ）．
A．B．C．D．
7．已知直线与圆交于A，B两点，且圆C在A，B两点处的切线交于点M，若为正三角形，则（ ）．
A．1B．2C．3D．4
8．已知数列满足，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列求导运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．若平面内的动点满足，则（ ）．
A．时，点Р的轨迹为圆 B．时，点Р的轨迹为圆
C．时，点Р的轨迹为椭圆 D．时，点Р的轨迹为双曲线
11．如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点，则（ ）．
A．平面B．平面
C．平面平面D．直线与ED所成角的余弦值为
12．已知双曲线的右焦点为，右顶点为A，离心率为e，直线轴，且与C的左、右两支分别交于P，Q两点，О为坐标原点，则下列命题正确的是（ ）．
A．若，则C的虚轴长为 B．若，则
C．若存在l使，则 D．若存在l使，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为__________．
14．写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线l的一个方程__________．
15．已知椭圆的上顶点为A，过点A的直线与C交于另一点B，则的最大值为__________．
16．若直线l与曲线相切，也与曲线相切，则l的斜率为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等比数列中，，，，成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
18．（12分）如图，在长方体中，，，M为的中点．
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
19．（12分）已知x轴平分的一个内角，，，的外接圆为圆M．
（1）求的面积；
（2）证明圆与圆M相交，并求圆N与圆M的公共弦所在直线的方程．
20．（12分）已知数列与等差数列满足，，数列的前n项和．
（1）求的通项公式；
（2）求的前n项和．
21．（12分）图1是由，直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF组成的一个平面图形，其中，，，将直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF分别沿AC，CB折起使得CD，CG重合，连接EF，如图2．
图1图2
（1）求图2中的点B到平面ACDE的距离；
（2）证明图2中的A，B，F，E四点共面，并求平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值．
22．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，F，其中在抛物线的准线l上，过F的动直线m交于A，B两点，交于M，N两点，且当轴时，．
（1）求的方程；
（2）若于点H，判断坐标原点О是否在直线MH上，并说明理由．
2023～024学年度第一学期期末教学质量抽测
高二数学答案及评分标准
一、单项选择题
1．B 2．D 3．B 4．C 5．D 6．C 7．C 8．A
二、多项选择题
9．BCD 10．ABD 11．AC 12．BCD
三、填空题
13． 14．或（写出一个即可）
15． 16．
四、解答题
17．解：（1）设等比数列的公比为q，
因为，，成等差数列，所以，（1分）
又，所以，解得或（舍），（3分）
所以的通项公式为．（5分）
（2）由（1）得，（7分）
所以为等差数列，所以．
所以的前n项和．（10分）
18．（1）证明：由题意以D为原点，以DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图空间直角坐标系，
设，则，，，，
，．（3分）
因为，所以，即．（6分）
（2）解：时，，
由（1）知，，．
设平面的法向量为，
则，得，
令，则，，所以为平面的一个法向量．（9分）
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．（12分）
19．解：（1）由题意知x轴平分，所以，（1分）
设，则，解得，所以，（2分）
所以，所以为直角三角形，（3分）
因为，，所以．
即的面积为3．（5分）
（2）由（1）知，所以M为AB的中点，半径长为，
所以圆M的方程为，半径．（7分）
将圆N的方程化为标准方程，得，
所以圆心，半径．
所以．（9分）
又，，所以，
故圆N与圆M相交．（10分）
因为，圆M的方程可化为，
两方程作差，得．
所以圆N与圆M的公共弦所在直线的方程为．（12分）
20．解：（1）由题意知，时，，（2分）
因为符合上式，所以，（3分）
又，，所以，解得．（4分）
因为是等差数列，所以公差，，
所以的通项公式b．（6分）
（2）由（1）知，，所以．（7分）
所以
，①
，②
①－②得
，（11分）
所以，
所以的前n项和．（12分）
21．解：（1）由题意可知，图2中，．
又，所以平面BCDF．（1分）
在平面BCDF内，过D作于点H，则，
又，所以平面ABC．（2分）
以C为原点，以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，以过点C且与DH平行的直线为z轴，
建立如图空间直角坐标系，
由题意可得，，，，
，，，（3分）
设平面ACDE的法向量为，则，得，
令，则，，
所以为平面ACDE的一个法向量，（5分）
所以点B到平面ACDE的距离为．
即点B到平面ACDE的距离为．（6分）
（2）因为，所以图2中的A，B，F，E四点共面．（7分）
由（1）知，，，
所以．
设平面ABFE的法向量为，则，得，
令，则，，
所以为平面ABFE的一个法向量，（9分）
又是平面ACDE的一个法向量，
所以，
即平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值为．（12分）
22．解：（1）因为的准线l的方程为，在l上，
所以，．（1分）
又轴时，，所以点在上，（2分）
所以，解得．
所以的方程为．（5分）
（2）坐标原点О在直线MH上．（6分）
由题意设直线，联立，消去x，得，
设，则，则，（8分）
因为于点H，所以，
所以，，（10分）
因为，
所以M，O，H三点共线，即坐标原点О在直线MH上．（12分）