山东省青岛市2023-2024学年高二上学期期末学业水平检测数学试题

这是一份山东省青岛市2023-2024学年高二上学期期末学业水平检测数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l的一个方向向量为AB=(1, 3)，则直线l的倾斜角为( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
2.已知向量a=(1,1,0)，b=(−1,λ,2)，且7a+5b与2a−b互相垂直，则实数λ等于
( )
A. 35B. 35或75C. 0或35D. 0或75
3.已知双曲线C:x25−y2b2=1的焦距为6，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为( )
A. 3B. 2C. 4D. 31
4.正四面体ABCD各棱长均为 2，E，F，G分别是AB,AD,DC的中点，则GE⋅GF=( )
A. 22B. 2C. 1D. 12
5.点P在椭圆C:x23+y24=1上，F(0,1)，点P到直线y=4的距离为d，则( )
A. |PF|与d无关B. |PF|=dC. |PF|=d2D. |PF|=2d
6.过三点A(1,2)，B(3,2)，C(1,−6)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=( )
A. 3B. 2 3C. 13D. 2 13
7.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何?现有这样一个相关的问题：已知正整数p满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则Sn+an+7n的最小值为( )
A. 172B. 192C. 10D. 11
8.已知抛物线C:y2=4x与过焦点F的一条直线相交于A，B两点，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线l于点M，则下列结论正确的是( )
A. 准线l的方程是x=−2B. 以AB为直径的圆与y轴相切
C. |AB||MF|的最小值为2D. △ABM的面积最小值为2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5(PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：ug/m3)的日均值，依次为35，26，17，23，33，56，41，31，30，33，则( )
A. 这组数据的极差为39B. 这组数据的众数为33
C. 这组数据的中位数为31或33D. 这组数据的第60百分位数为33
10.下列有关直线与圆的结论正确的是( )
A. 方程kx−y+3k+1=0表示的直线必过点(−3,1)
B. 过点(2,5)且在x，y轴上的截距相等的直线方程为x+y−7=0
C. 圆C1:(x−1)2+y2=1和圆C2:x2+y2−4x−4y+4=0的公共弦所在的直线方程为x+2y−2=0
D. 若圆(x−1)2+y2=4上恰有3个点到直线y=x+b的距离等于1，则b=−1± 2
11.在等比数列{an}中，a1=1，a4=27，则( )
A. {anan+1}的公比为9B. {lg3an+1的前20项和为210
C. {an}的前20项积为3200D. k=1n(ak+ak+1)=2(3n−1−1)
12.已知双曲线C:x2−y2=4，点M为双曲线右支上的一个动点，过点M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B两点，则( )
A. 双曲线的离心率为2
B. 存在点M，使得四边形OAMB为正方形
C. 四边形OAMB的面积为2
D. 四边形OAMB的周长最小值为2 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一排有8个座位，如果每个座位只能坐1人，现安排四人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有 种(用数字作答)．
14.已知抛物线C的准线与圆M:(x−1)2+(y+1)2=4相切，请写出一个抛物线C的标准方程为 ．
15.已知P(x0,y0)是圆C:(x−1)2+y2=1上任意一点，则y0+1x0+1的取值范围为 ．
16.已知数列{an}的通项公式an=2n+1，记bm为{an}在区间[m+2,2m+2)(m∈N∗)内项的个数，则b4= ;使得不等式bm+1−bm>1048成立的m的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知点A(−2,1)，B(2,4)，C(2,1)中恰有两个点在抛物线E:x2=2py(p>0)上．
(1)求E的标准方程;
(2)若点M(x1,y1)，N(x2,y2)在E上，且x1x2=−4，证明：直线MN过定点．
18.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，an+1=Sn+2．
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=1lg2an⋅lg2an+2，记数列{bn}的前n项和为Tn，证明Tnb>0)的焦点相同，点P是W和C在第一象限的公共点，记W的左，右焦点依次为F1，F2，|PF2|= 22．
(1)求C的标准方程;
(2)设点Q在C上且在第一象限，QF1，QF2的延长线分别交C于点E1，E2，设r1，r2分别为△QF1E2，△QF2E1的内切圆半径，求r1−r2的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线的方向向量和直线的倾斜角与斜率，属于基础题．
设直线l的倾斜角为θ，由题意得tanθ= 3，可得倾斜角．
【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°,180°)，
由直线l的一方向向量为AB=(1, 3)
得tanθ= 31= 3，
则θ=60°，
故选C．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标表示，考查空间向量的数量积运算，是基础题．
根据a,b的坐标分别求出7a+5b与2a−b的坐标表示，由7a+5b与2a−b互相垂直，得7a+5b与2a−b的数量积为零即可求解．
【解答】
解：7a+5b=7(1,1,0)+5(−1,λ,2)=(2,7+5λ,10)，
2a−b=2(1,1,0)−(−1,λ,2)=(3,2−λ,−2)，
∵7a+5b与2a−b互相垂直，
∴2×3+(7+5λ)×(2−λ)+10×(−2)=0，解得λ=0或λ=35．
故选C．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题．
由题意可得，c=3，由5+b2=9，解得，b=2，可得b，求出渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到．
【解答】
解：由题意可得，c=3，
则5+b2=9，解得，b=2，又a= 5，
则双曲线的渐近线方程为y=±2 55x，
则焦点到渐近线的距离为6 52 1+45=2．
故选B．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积运算，空间向量的线性运算，属于一般题．
用 CD,CA,AB 表示出 GE,GF ，再求数量积即可求解．
【解答】
解：因为E，F，G分别是 AB,AD,DC 的中点，四面体 ABCD 是正四面体，且棱长 2 ，
所以 GE⋅GF=(GC+CA+AE)⋅12CA=(−12CD+CA+12AB)⋅12CA =−14CD⋅CA+12CA2+14AB⋅CA
=−14× 2× 2cs60∘+12×( 2)2+14× 2× 2cs120∘=12 ．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程，考查两点间的距离公式，属于中档题．
根据椭圆的标准方程和两点间的距离公式即可求解．
【解答】
解：设点P(m,n)，(−2⩽n⩽2)，
因为动点P在椭圆x23+y24=1上，则m2=3−3n24，
因为点P到直线y=4的距离为d，
所以4−n=d，
又F(0,1)，
所以PF= m2+(n−1)2
= 3−3n24+n2−2n+1
= n24−2n+4= n2−8n+164= n−424=d2．
故选C．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查圆的一般方程，考查两点间的距离，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键，属于基础题．
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，则圆的方程可得，令x=0，即可得出结论．
【解答】解：设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，
则 1+4+D+2E+F=09+4+3D+2E+F=01+36+D−6E+F=0,
∴D=−4，E=4，F=−9，
∴x 2+y 2−4x+4y−9=0，
令x=0，可得y 2+4y−9=0，
∴ y=−4± 16+362=−4±2 132=−2± 13，
∴ |MN|=2 13．
故选D．
7.【答案】B
【解析】【分析】本题考查等差数列的判定或证明，等差数列的前n项和公式，“对勾”函数的图象与性质，属于中档题．
由题意可分析出数列{an}是首项为3，公差为5的等差数列，利用等差数列的前n项和公式化简Sn+an+7n，结合对勾函数的单调性可知最小值．
【解答】解：被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列
是一个首项为3，公差为5的等差数列{an}，
所以Sn=5n2+n2
∴Sn+an+7n=52n+112+5n，
由对勾函数的性质可得：
函数f(x)=52x+112+5x在(0, 2)上单调递减，在( 2,+∞)上单调递增，又n为正整数，所以Sn+an+7n最小值为192
8.【答案】C
【解析】【分析】
解：对于A：由抛物线的方程可知其焦点为(1,0)，故准线l的方程为：x=−1，故A错误．
对于B：当直线AB的斜率不存在时，即AB直线方程：x=1，易得|AB|=2p=4，则以AB为直径的圆半径为2，
此时不与y轴相切，故B错误．
对于C：①当直线AB的斜率不存在时，易得|AB|=2p=4，|MF|=2，∴|AB||MF|=2;
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x−1) (k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=k(x−1)y4=4x得k2x2−2(k2+2)x+k2=0，
∴Δ=16(k2+1)>0，x1+x2=2(k2+2)k2，x1x2=1，
∴|AB|= 1+k2|x1−x2|= 1+k2 2(k2+2)k22−4×1=4(k2+1)k2，
易知直线FM的方程为y=−1k(x−1)，由
x=−1y=−1k(x−1)，得M(−1,2k)，
∴|MF|= 22+4k2=2 1+k2k2，|AB||MF|=4(k2+1)k22 1+k2k2=2 1+1k2>2，
综上所得，|AB||MF|的最小值为2，故C正确．
对于D：当直线AB的斜率不存在时，易得|A8|=2p=4，|MF|=2，
S△ABE=12|AB|⋅|MF|=4，
当直线AB的斜率存在时，S△ABE=12|AB|⋅|MF|=12×4(k2+1)k2×2 1+k2k2=41+1k232，
故当1k2→0时，S△ABE取得最小值，且此时最小值为4，故D错误．
故选：C．
【解答】
本题考查抛物线性质，直线与抛物线关系的应用，考查转化思想，考查运算求解能力，属中档题．
对于A：根据抛物线方程结合准线定义即可判断；
对于B：当直线AB斜率不存在时，计算可得此时以AB为直径的圆不与y轴相切，即可判断；
对于C、D：分直线AB斜率存在以及不存在两种情况分别讨论，即可求解．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查样本的数字特征，属于基础题．
对于A，根据极差的概念通过计算即可判断；对于B，对这组数据重新排序，再根据众数的概念计算即可判断；对于C，对这组数据重新排序，再根据中位数的概念计算即可判断；对于D，求出这组数据的第60百分位数即可判断．
【解答】解：对于A，极差为56−17=39，所以A正确；
对于B，这组数据从小到大依次是：17，23，26，30，31，33，33，35，41，56，所以众数为33，故B正确；
对于C，这组数据从小到大依次是：17，23，26，30，31，33，33，35，41，56，
所以中位数为31+332=32，C错误；
对于D，因为10×60％=6，所以这组数据的第60百分位数为33+332=33，所以D正确．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查直线过定点问题，考查直线的截距式方程，考查直线与圆、圆与圆的位置关系，属于一般题．
对于A，将直线方程化为kx+3=y−1即可判断；对于B，当截距为0时即可判断；对于C，由圆的方程可得圆C1与圆C2相交，再将两圆的方程作差即可判断；对于D，由题意可得圆心1,0到直线y=x+b的距离等于1，根据点到直线的距离公式即可判断．
【解答】
解：对于A，方程kx−y+3k+1=0可化为kx+3=y−1，
直线过定点(−3,1)，故A正确；
对于B，当截距为0时，直线方程为y=52x，故B错误；
对于C，圆C2的一般方程化为标准方程得x−22+y−22=4，圆心为C22,2，半径为2，
圆C1的圆心为C11,0，半径为1，
因为2−1