河北省石家庄市辛集市2023-2024学年高三上学期2月期末教学质量监测数学试卷

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2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】AC
10【答案】BC
11.【答案】BCD
12.【答案】ABC
13【答案】42
14【答案】或
15【答案】
16【答案】
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【详解】（1）∵，∴，
，，
∴，∵，∴.
（2）由面积为得：，而，∴
∵边上的高为，∴，则，
∵，∴，当且仅当时，取“=”，
即的最小值为2．此时最大为．
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【详解】（1），且平面，平面，
∴平面，又∵平面，且平面平面，∴；
（2）连接，取AC中点O，连接，，在菱形中，，
∴是等边三角形，
又∵O为AC中点，∴，
∵平面平面，
平面平面，平面，且，
∴平面，平面，∴，
又∵，∴，
以点为原点，，，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
假设存在点D，满足题意，设，
，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，则，，故，
设平面的法向量为
，，
，，令，则，，故，
，解，
所以点D在点C的位置时，平面与平面所成锐角为，
由于D不与A、C重合，故AC上不存满足题意的点.
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【详解】（1）因为，
当时，，又因为，所以
当时，因为，由，得①，所以②，
所以得：
，经验证，当时不等于，所以不是等差数列.
（2）由，得，两式相减得：
.所以当时：
数列（）是首项为，公差为6的等差数列；
数列（）是首项为，公差为6的等差数列.
当为偶数时，不妨设，则，
此时
因为，所以此时.
当为奇数时，不妨设，则，
此时
.
因为，所以此时
综上所述，当为偶数时，，当为奇数时，.
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【详解】（1）依题意得甲获得决赛资格的概率为，乙获得决赛资格的概率为，
的所有可能取值为，
，，
，
所以的分布列为：
0 1 2

所以.
（2）记“甲从箱中抽出的是道选择题”，“乙从箱中抽取的第一题是选择题”，
则，，，，，，
所以
. 甲从箱中抽出的是2道选择题的概率为.
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【详解】（1）法一：设点，则．
由题意知，即，
整理得：，则曲线C的方程为．
法二：由题意知，点P到点的距离等于其到直线的距离相等，
则点P的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，
则曲线C的方程为.
（2）法一：由题意知，为圆的直径，则．
由题意知直线存在斜率，设为k，且，则直线的斜率为．
又OA所在直线为，
联立，解得：或，则不妨取S点横坐标为，
联立，解得：或，则不妨取A点横坐标为，
所以．
同理可得，
四边形的面积
,
令，,则,
因为S在上单调递增，所以当时，S有最小值36．
即当时，四边形面积的最小值为36
法二：设方程为， 由,得．
由,得, ∴,
同理可得：．
令, 则在上单调递增．
∴，
当即时，四边形面积的最小值为36
即四边形面积的最小值为36．
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【详解】（1）的定义域是，，
①时，，在单调递增，
②时，，
令，解得；令，解得，
故在递减，在递增，
综上：时，在单调递增，
时，在递减，在递增.
（2）要证，即证，，
①当时，，，该不等式恒成立；
②当时，，结合，得，
只需证明：，即证，
令，，
令，则，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
又，，所以存在，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
所以当时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，问题得证，
即当时，恒成立．
综上所述，当时，恒成立．