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第08讲 对称问题-高二数学同步教学题型讲义（人教A版选择性必修第一册）
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这是一份第08讲 对称问题-高二数学同步教学题型讲义（人教A版选择性必修第一册），文件包含第08讲对称问题原卷版docx、第08讲对称问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
第8讲 对称问题考点分析考点一：点关于点的对称问题设点关于点的对称点为，则易知点为的中点由中点坐标公式得 ，解得的坐标为考点二：点关于直线的对称问题设点关于直线对称的点为，则易知直线垂直于直线，且的中点在直线上所以，解出即可求得对成点坐标．考点三：直线关于点的对称直线问题法一：在已知直线上取两点，利用点与点的对称方法求出对称点，再由两点式求出直线方程即可；法二：设直线为ax+by+c=0，直线上一点为P(u, v)关于点(p, q)对称点P'坐标为(x, y)，则有x=(p+u)/2, y=(q+v)/2, 得u=2x-p, v=2y-q，代入直线方程得：a(2x-p)+b(2y-q)+c=0，即ax+by+(c-ap-bq)/2=0，这就是所求的对称直线的方程。考点四：直线关于直线的对称直线问题法一：特殊点法：在直线上取两点，利用点关于直线的对称方法求出对称点，再由两点式求出直线方程即可；法二：在所求直线上设任意一点，设此点关于直线的对称点为，利用点关于直线的对称点问题解出，带入直线即可题型目录题型一：点关于点对称问题题型二：点关于直线对称问题题型三：直线关于点对称问题题型四：直线关于直线对称问题典型例题题型一：点关于点对称问题【例1】（点关于点对称）（全国高二单元测试）若点，关于直线l对称，那么直线l的方程为________.【答案】【解析】求得，∵点，关于直线l对称，∴直线l的斜率1，直线l过AB的中点，∴直线l的方程为，即.故答案为：.【题型专练】1.（全国高二课时练习）一条光线从点出发射向轴，经过轴上的点反射后经过点，则点的坐标为______.【答案】【解析】根据题意：关于轴的对称点为而反射光线直线又过∴其直线为：即：，当时，，即点的坐标为，故答案为：.题型二：点关于直线对称问题【例1】（点关于线对称）（全国高二课时练习）点关于直线的对称点是______.【答案】【解析】设点M（﹣1，1）关于直线l：x﹣y﹣1=0对称的点N的坐标（x，y） 则MN中点的坐标为（，），利用对称的性质得：KMN==﹣1，且 ﹣﹣1=0，解得：x=2，y=﹣2，∴点N的坐标（2，﹣2），故答案为（2，﹣2）．【例2】（2022·全国·高二专题练习）入射光线沿直线射向直线，被反射后的光线所在直线的方程是_____．【答案】【分析】在入射光线上取点，它关于直线的对称在反射光线上，再求得入射光线与直线的交点坐标，由两点求斜率后得直线方程．【详解】在入射光线上取点，则关于的对称点在反射光线上，又由得，，所以反射光线所在直线方程为，即．故答案为：．【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，∠的平分线所在直线方程为，则直线的方程为_____．【答案】【分析】由题意可知，点在角平分线上，可设点的坐标是，利用的中点在直线上，可解出点的坐标，再求出关于的对称点为，且在直线上，利用两点式方程可得答案．【详解】由题意可知，点在角平分线上，可设点的坐标是，则的中点，在直线上，，解得：，故点．设关于的对称点为，则有 ，，即则由在直线上，可得的方程为 ，即，即，故答案为：．【题型专练】1.（2022·全国·高二单元测试）点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______．【答案】【分析】设点(3,4)关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标是，根据垂直和中点列方程组可求出结果.【详解】设点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为， 则，解得，所以点（3，4）关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为．故答案为：2.（2022·全国·高二专题练习）原点关于的对称点的坐标为_____．【答案】【分析】设所求对称点的坐标为，由两对称点连线与对称轴垂直，两对称点连线段中点在对称轴上列方程组，解之可得．【详解】设原点关于的对称点的坐标为，则，解得．要求的点()．故答案为：．3．（全国高二课时练习 点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是____________．【答案】(－4，－1)【解析】设对称点的坐标为，则，解得，所以所求对称点的坐标为．4.（2022·全国·高二课时练习）已知直线和点，．(1)在直线l上求一点P，使的值最小；(2)在直线l上求一点P，使的值最大．【答案】(1)，(2)．【分析】（1）通过找出点A关于直线l的对称点为，将的最小值转化为的最小值，利用三角形三边的关系可知，即可求点P的坐标;（2）利用三角形的三边关系可知，再求出直线AB的方程，即可求出点P的坐标.（1）设A关于直线l的对称点为，则，解得，故，又∵P为直线l上的一点，则，当且仅当B，P，三点共线时等号成立，此时取得最小值，点P即是直线与直线l的交点．由 ，解得，故所求的点P的坐标为．（2）由题意，知A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，此时取得最大值，点P即是直线AB与直线l的交点,又∵直线AB的方程为，∴由 ，解得，故所求的点P的坐标为．5.（浙江高二期末）已知直线过定点，则点的坐标是___________，点关于直线的对称点的坐标是__________.【答案】 【解析】由，则，令，则，，所以点，设的坐标是，则，解得，，所以点的坐标是.故答案为：；6．（全国高二专题练习）已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】直线即，故，设点关于的对称点坐标为．则解得．点关于的对称点坐标为．故选：A．题型三：直线关于点对称问题【例1】（浙江）直线关于原点对称的直线方程是（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】点在直线上，则在所求直线上所求直线的斜率，则所求直线方程为故选：A【例2】（·四川省泸县第二中学高二月考（文））直线与关于点成中心对称，若的方程是，则的方程是__________【答案】【解析】在直线上任取一点，则关于点对称点一定在直线上，故有，即．故直线的方程为．故答案为：．【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过两条直线和的交点，且________，若直线m与直线l关于点对称，求直线m的方程．试从①与直线垂直，②在y轴上的截距为，这两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并解答．【答案】答案见解析【分析】先求出两直线的交点坐标，若选①，可设直线l的方程为，然后将交点坐标代入可求出，可得直线的方程，在直线上任取两个点，求出这两点关于点的对称点，从而可求出直线m的方程，若选②，则直线过点，从而可求出直线的方程，在直线上任取两个点，求出这两点关于点的对称点，从而可求出直线m的方程，【详解】由，得，所以交点坐标为．若选①，可设直线l的方程为，将点代入可得，即．在直线l上取两点和，点关于点对称的点的坐标为，点关于点对称的点的坐标为，所以直线m的方程为．若选②，可得直线l的斜率，所以直线l的方程为．在直线l上取两点和，点关于点对称的点的坐标为，点关于点对称的点的坐标为，所以直线m的方程为，即．【题型专练】1．（2019·全国·高三专题练习（理））若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，设直线上的任意一点，则点A关于点的对称点为，又由点在直线上，代入求得直线的方程，即可求解答案.【详解】由题意，设直线上的任意一点，则点A关于点的对称点为，又由点在直线上，即，整理得，令，即时，，可得直线过定点，故选B.【点睛】本题主要考查了直线过定点问题，以及直线关于点的对称问题，其中解答中根据对称性求得直线的方程，进而判定直线过定点是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2．（2022·全国·高二课时练习）直线关于点的对称直线的方程为________．【答案】【分析】方法一：设对称直线上一点，则将点关于点的对称点在直线上，代入即可.方法二：显然点不在直线上，设对称直线方程为，利用点到这两条直线的距离相等解出即可.方法三：在上任取两点，解出这两点关于的对称点，利用两点式即可得到直线方程.【详解】方法一 ：设对称直线上一点，则点关于的对称点为，所以点在直线上，代入得．方法二 ：易知直线关于点的对称直线与直线平行，故设为．由点到这两条直线的距离相等，得，解得（舍去）或－11，即所求直线方程为．方法三 ：易知点，在直线上，且它们关于点的对称点分别为，，则所求直线的方程为，即．故答案为：.3.（·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））直线关于点对称的直线方程为____________.【答案】【解析】设直线关于点对称的直线方程为，在上任取一点，则点关于点对称的点的坐标为，由题意可知点在直线上，故，整理可得.故答案为：4.（全国高二课时练习）已知直线与关于点对称，则______.【答案】-10【解析】在直线上取点，，M，N关于点对称的点分别为.点在直线上，，解得，.故答案为：题型四：直线关于直线对称问题【例1】（全国高二专题练习）直线关于对称的直线方程为（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】设直线上一点关于直线对称点的坐标为，则，整理可得：，，即直线关于对称的直线方程为：.故选：A.【例2】（2021·全国·高二专题练习）直线关于对称的直线方程是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设所求直线上任意一点是关于直线的对称点，根据对称关系求得,代入直线的方程整理即得所求.【详解】解：设所求直线上任意一点是关于直线的对称点，则，解得,由对称性得在直线上，,即,故选：A.【点睛】根据“一垂直二中点”列出方程组，求得是解决问题的关键，利用轨迹方程思想方法求直线的方程也是重要的思想之一.【例3】（广东湛江）已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；（2）直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；（3）直线l关于点A对称的直线l′的方程．【答案】（1）A′；（2）9x－46y＋102＝0；（3）2x－3y－9＝0.【解析】（1）设A′(x，y)，则解得即A′.（2）在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，则解得即M′.设m与l的交点为N，则由得N(4，3)．又m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.（3）法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上．易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.法二：设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)，∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.【题型专练】1.（2022·陕西·长安一中高一期末）直线关于直线的对称直线方程为__________．【答案】【分析】先求得两直线的交点坐标，然后在任取一点，求得其关于直线的对称点，即可求得答案.【详解】联立和直线，求得它们的交点为,在直线取点，设其关于的对称点为，则 ，解得，故直线关于直线的对称的直线为AC,其斜率为 ，直线方程为，即，故答案为：2.（2018·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）直线关于直线对称的直线方程为___________.【答案】【分析】结合点斜式求得直线方程.【详解】直线的斜率为，直线关于直线对称的直线的斜率为，点是直线上一点，点关于直线对称点为，所以直线关于直线对称的直线方程为.故答案为：3．（全国高二单元测试）已知点和，在轴上求一点，使得最小，则点的坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】找出点关于轴的对称点，连接，与轴的交于点，连接，此时为最短，由与关于轴对称，，所以，又，则直线的方程为化简得：，令，解得，所以故选：D．
第8讲 对称问题考点分析考点一：点关于点的对称问题设点关于点的对称点为，则易知点为的中点由中点坐标公式得 ，解得的坐标为考点二：点关于直线的对称问题设点关于直线对称的点为，则易知直线垂直于直线，且的中点在直线上所以，解出即可求得对成点坐标．考点三：直线关于点的对称直线问题法一：在已知直线上取两点，利用点与点的对称方法求出对称点，再由两点式求出直线方程即可；法二：设直线为ax+by+c=0，直线上一点为P(u, v)关于点(p, q)对称点P'坐标为(x, y)，则有x=(p+u)/2, y=(q+v)/2, 得u=2x-p, v=2y-q，代入直线方程得：a(2x-p)+b(2y-q)+c=0，即ax+by+(c-ap-bq)/2=0，这就是所求的对称直线的方程。考点四：直线关于直线的对称直线问题法一：特殊点法：在直线上取两点，利用点关于直线的对称方法求出对称点，再由两点式求出直线方程即可；法二：在所求直线上设任意一点，设此点关于直线的对称点为，利用点关于直线的对称点问题解出，带入直线即可题型目录题型一：点关于点对称问题题型二：点关于直线对称问题题型三：直线关于点对称问题题型四：直线关于直线对称问题典型例题题型一：点关于点对称问题【例1】（点关于点对称）（全国高二单元测试）若点，关于直线l对称，那么直线l的方程为________.【答案】【解析】求得，∵点，关于直线l对称，∴直线l的斜率1，直线l过AB的中点，∴直线l的方程为，即.故答案为：.【题型专练】1.（全国高二课时练习）一条光线从点出发射向轴，经过轴上的点反射后经过点，则点的坐标为______.【答案】【解析】根据题意：关于轴的对称点为而反射光线直线又过∴其直线为：即：，当时，，即点的坐标为，故答案为：.题型二：点关于直线对称问题【例1】（点关于线对称）（全国高二课时练习）点关于直线的对称点是______.【答案】【解析】设点M（﹣1，1）关于直线l：x﹣y﹣1=0对称的点N的坐标（x，y） 则MN中点的坐标为（，），利用对称的性质得：KMN==﹣1，且 ﹣﹣1=0，解得：x=2，y=﹣2，∴点N的坐标（2，﹣2），故答案为（2，﹣2）．【例2】（2022·全国·高二专题练习）入射光线沿直线射向直线，被反射后的光线所在直线的方程是_____．【答案】【分析】在入射光线上取点，它关于直线的对称在反射光线上，再求得入射光线与直线的交点坐标，由两点求斜率后得直线方程．【详解】在入射光线上取点，则关于的对称点在反射光线上，又由得，，所以反射光线所在直线方程为，即．故答案为：．【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，∠的平分线所在直线方程为，则直线的方程为_____．【答案】【分析】由题意可知，点在角平分线上，可设点的坐标是，利用的中点在直线上，可解出点的坐标，再求出关于的对称点为，且在直线上，利用两点式方程可得答案．【详解】由题意可知，点在角平分线上，可设点的坐标是，则的中点，在直线上，，解得：，故点．设关于的对称点为，则有 ，，即则由在直线上，可得的方程为 ，即，即，故答案为：．【题型专练】1.（2022·全国·高二单元测试）点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______．【答案】【分析】设点(3,4)关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标是，根据垂直和中点列方程组可求出结果.【详解】设点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为， 则，解得，所以点（3，4）关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为．故答案为：2.（2022·全国·高二专题练习）原点关于的对称点的坐标为_____．【答案】【分析】设所求对称点的坐标为，由两对称点连线与对称轴垂直，两对称点连线段中点在对称轴上列方程组，解之可得．【详解】设原点关于的对称点的坐标为，则，解得．要求的点()．故答案为：．3．（全国高二课时练习 点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是____________．【答案】(－4，－1)【解析】设对称点的坐标为，则，解得，所以所求对称点的坐标为．4.（2022·全国·高二课时练习）已知直线和点，．(1)在直线l上求一点P，使的值最小；(2)在直线l上求一点P，使的值最大．【答案】(1)，(2)．【分析】（1）通过找出点A关于直线l的对称点为，将的最小值转化为的最小值，利用三角形三边的关系可知，即可求点P的坐标;（2）利用三角形的三边关系可知，再求出直线AB的方程，即可求出点P的坐标.（1）设A关于直线l的对称点为，则，解得，故，又∵P为直线l上的一点，则，当且仅当B，P，三点共线时等号成立，此时取得最小值，点P即是直线与直线l的交点．由 ，解得，故所求的点P的坐标为．（2）由题意，知A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，此时取得最大值，点P即是直线AB与直线l的交点,又∵直线AB的方程为，∴由 ，解得，故所求的点P的坐标为．5.（浙江高二期末）已知直线过定点，则点的坐标是___________，点关于直线的对称点的坐标是__________.【答案】 【解析】由，则，令，则，，所以点，设的坐标是，则，解得，，所以点的坐标是.故答案为：；6．（全国高二专题练习）已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】直线即，故，设点关于的对称点坐标为．则解得．点关于的对称点坐标为．故选：A．题型三：直线关于点对称问题【例1】（浙江）直线关于原点对称的直线方程是（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】点在直线上，则在所求直线上所求直线的斜率，则所求直线方程为故选：A【例2】（·四川省泸县第二中学高二月考（文））直线与关于点成中心对称，若的方程是，则的方程是__________【答案】【解析】在直线上任取一点，则关于点对称点一定在直线上，故有，即．故直线的方程为．故答案为：．【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l经过两条直线和的交点，且________，若直线m与直线l关于点对称，求直线m的方程．试从①与直线垂直，②在y轴上的截距为，这两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并解答．【答案】答案见解析【分析】先求出两直线的交点坐标，若选①，可设直线l的方程为，然后将交点坐标代入可求出，可得直线的方程，在直线上任取两个点，求出这两点关于点的对称点，从而可求出直线m的方程，若选②，则直线过点，从而可求出直线的方程，在直线上任取两个点，求出这两点关于点的对称点，从而可求出直线m的方程，【详解】由，得，所以交点坐标为．若选①，可设直线l的方程为，将点代入可得，即．在直线l上取两点和，点关于点对称的点的坐标为，点关于点对称的点的坐标为，所以直线m的方程为．若选②，可得直线l的斜率，所以直线l的方程为．在直线l上取两点和，点关于点对称的点的坐标为，点关于点对称的点的坐标为，所以直线m的方程为，即．【题型专练】1．（2019·全国·高三专题练习（理））若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，设直线上的任意一点，则点A关于点的对称点为，又由点在直线上，代入求得直线的方程，即可求解答案.【详解】由题意，设直线上的任意一点，则点A关于点的对称点为，又由点在直线上，即，整理得，令，即时，，可得直线过定点，故选B.【点睛】本题主要考查了直线过定点问题，以及直线关于点的对称问题，其中解答中根据对称性求得直线的方程，进而判定直线过定点是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2．（2022·全国·高二课时练习）直线关于点的对称直线的方程为________．【答案】【分析】方法一：设对称直线上一点，则将点关于点的对称点在直线上，代入即可.方法二：显然点不在直线上，设对称直线方程为，利用点到这两条直线的距离相等解出即可.方法三：在上任取两点，解出这两点关于的对称点，利用两点式即可得到直线方程.【详解】方法一 ：设对称直线上一点，则点关于的对称点为，所以点在直线上，代入得．方法二 ：易知直线关于点的对称直线与直线平行，故设为．由点到这两条直线的距离相等，得，解得（舍去）或－11，即所求直线方程为．方法三 ：易知点，在直线上，且它们关于点的对称点分别为，，则所求直线的方程为，即．故答案为：.3.（·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））直线关于点对称的直线方程为____________.【答案】【解析】设直线关于点对称的直线方程为，在上任取一点，则点关于点对称的点的坐标为，由题意可知点在直线上，故，整理可得.故答案为：4.（全国高二课时练习）已知直线与关于点对称，则______.【答案】-10【解析】在直线上取点，，M，N关于点对称的点分别为.点在直线上，，解得，.故答案为：题型四：直线关于直线对称问题【例1】（全国高二专题练习）直线关于对称的直线方程为（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】设直线上一点关于直线对称点的坐标为，则，整理可得：，，即直线关于对称的直线方程为：.故选：A.【例2】（2021·全国·高二专题练习）直线关于对称的直线方程是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设所求直线上任意一点是关于直线的对称点，根据对称关系求得,代入直线的方程整理即得所求.【详解】解：设所求直线上任意一点是关于直线的对称点，则，解得,由对称性得在直线上，,即,故选：A.【点睛】根据“一垂直二中点”列出方程组，求得是解决问题的关键，利用轨迹方程思想方法求直线的方程也是重要的思想之一.【例3】（广东湛江）已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；（2）直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；（3）直线l关于点A对称的直线l′的方程．【答案】（1）A′；（2）9x－46y＋102＝0；（3）2x－3y－9＝0.【解析】（1）设A′(x，y)，则解得即A′.（2）在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，则解得即M′.设m与l的交点为N，则由得N(4，3)．又m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.（3）法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上．易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.法二：设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)，∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.【题型专练】1.（2022·陕西·长安一中高一期末）直线关于直线的对称直线方程为__________．【答案】【分析】先求得两直线的交点坐标，然后在任取一点，求得其关于直线的对称点，即可求得答案.【详解】联立和直线，求得它们的交点为,在直线取点，设其关于的对称点为，则 ，解得，故直线关于直线的对称的直线为AC,其斜率为 ，直线方程为，即，故答案为：2.（2018·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）直线关于直线对称的直线方程为___________.【答案】【分析】结合点斜式求得直线方程.【详解】直线的斜率为，直线关于直线对称的直线的斜率为，点是直线上一点，点关于直线对称点为，所以直线关于直线对称的直线方程为.故答案为：3．（全国高二单元测试）已知点和，在轴上求一点，使得最小，则点的坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】找出点关于轴的对称点，连接，与轴的交于点，连接，此时为最短，由与关于轴对称，，所以，又，则直线的方程为化简得：，令，解得，所以故选：D．
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