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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理精品练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理精品练习题，文件包含第5讲二项式定理11种题型总结原卷版docx、第5讲二项式定理11种题型总结解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共73页， 欢迎下载使用。
考点一：二项式定理的概念
①二项式定理：
②通项公式：
③二项式系数：二项式系数为Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n)
④共有n＋1项
考点二：二项式系数的性质
①对称性：
②二项式系数的最值：当为偶数时，中间一项的二项式系数最大
当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大
③二项式系数和：
考点三：各项系数和（赋值法）
①形如的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．
②形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
【题型目录】
题型一：求展开式
题型二：二项展开式中的系数
题型三：二项式系数和和各项系数和
题型四：求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
题型五：求三项展开式中指定幂的系数
题型六：有理项问题
题型七：求系数最大小项问题
题型八：利用“赋值法”及二项式性质，求部分项系数，二项式系数和
题型九：利用二项式定理求余数
题型十：利用二项式定理求近似值
题型十一：二项式定理与杨辉三角
【典型例题】
题型一：展开式
【例1】求的展开式
【答案】；
【分析】直接利用二项式定理求解；
解
．
【例2】设，化简______.
【答案】
【分析】逆用二项式定理，即可容易求得结果.
【详解】容易知.
故答案为：.
【点睛】本题考查二项式定理的逆用，属基础题.
【例3】求值：________
【答案】
【分析】根据二项式定理展开式配凑，即可求出．
【详解】
．
故答案为．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,考查学生对二项展开式的理解．
【例3】化简多项式的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知，将多项式的每一项都变成二项式展开式的结构，观察结构变化，即可进行合并，完成求解.
【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作，
故该多项式为的展开式，
化简．
故选：D.
【题型专练】
1．求的展开式．
【答案】
【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果.
【详解】对，不妨令，
故
.
故求的展开式为：.
2．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，利用二项式定理展开，再对两边求导可得两边求导数，，分别取和，即可求出结果.
【详解】设，
两边求导数，，
令，得，
取，得.
故选：D.
3．化简的结果为（ ）
A．x4B．C．D．
【答案】A
【分析】逆用二项展开式定理即可得答案.
【详解】
故选：A.
题型二：二项展开式中的系数
【例1】在的展开式中，的系数是（ ）
A．35B．C．560D．
【答案】C
【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数.
【详解】二项式的展开式的通项公式为，
令，
所以的展开式中的系数为.
故选：C
【例2】若是一组数据的方差，则的展开式的常数项为（ ）
A．B．3360C．210D．16
【答案】B
【分析】根据数据信息，求解出方差的值，代入二项式中，求解二项式展开式的通项公式，求解常数项即可.
【详解】解：数据0，2，0，2的平均值为1，故方差，
故二项式为，其展开式的通项公式为，
令，解得，
故常数项为.
故选：B.
【例3】已知二项式展开式中含有常数项，则n的最小值为____________．
【答案】6
【分析】写出二项式的通项公式并化解，根据已知列式，利用即可得到最小时的情况即可得出答案.
【详解】二项式展开式的通项为：
，
二项式展开式中含有常数项，
有解，
则当时，最小，且最小值为6.
故答案为：6.
【例4】的展开式中含项的系数为__________.（用数字作答）
【答案】##
【分析】写出的展开式的通项，令，求得,即可求得答案.
【详解】由题意得：的展开式的通项为 ，
令 ，
故的展开式中含项的系数为，
故答案为：
【例5】的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为______．
【答案】135
【分析】根据展开式中二项式系数和求得的值，再利用展开式的通项公式求出常数项．
【详解】解：的展开式中各项二项式系数之和为64，
则，解得；
展开式的通项公式为
，
令，解得；
展开式中的常数项为．
故答案为：135．
【题型专练】
1．的展开式中的常数项为___________.
【答案】84
【分析】根据二项式定理确定展开式的通项，即可求得常数项.
【详解】的展开式的通项公式为，
令，得，所以的展开式中的常数项为.
故答案为：84.
2．写出一个正整数n，使的展开式中含有常数项，则n＝______．（答案不唯一，写出一个符合题意的即可）
【答案】7（答案不唯一，7的正整数倍均可）
【分析】求出展开式的通项，可得存在，使，即可得出.
【详解】展开式的通项为．
因为展开式中含有常数项，所以存在，使，即，
故且n为7的倍数．
故答案为：7（答案不唯一，7的正整数倍均可）.
3．若展开式中第5项为常数项，则________；
【答案】7
【分析】根据二项展开式的通项公式可得.
【详解】为常数项，所以.
故答案为：7.
4．的展开式共有8项，则常数项为____________．
【答案】
【分析】利用二项式的性质可求得，利用其通项公式即可求得的展开式中的常数项．
【详解】的展开式共有项，
依题意得：，
；
设的展开式的通项为，则，
由得，
的展开式中的常数项为．
故答案为：．
5．已知的展开式中的系数为____________
【答案】240
【分析】写出二项式展开式的通项公式，根据其通项公式可求得答案.
【详解】 展开式的通项公式为：
，
令 ，则，
故的系数为 ，
故答案为：240
6．在的二项展开式中，第______项为常数项.
【答案】7
【分析】直接利用二项式的通项公式，令的指数为0，求出即可．
【详解】解：的二项展开式的通项为，令，解得，即时，二项展开式为常数项，即第7项是常数项．
故答案为：7．
7．设常数，展开式中的系数为，则_______.
【答案】##
【分析】求出二项式展开式的通项，令的指数位置等于求出的值，取该的值时再令系数等于，解方程即可得的值.
【详解】展开式的通项为，
令可得，所以展开式中的系数为，
可得：或（舍），所以，
故答案为：.
题型三：二项式系数和和各项系数和
【例1】已知的展开式中二项式系数的和是1024，则它的展开式中的常数项是（ ）
A．252B．C．210D．
【答案】B
【分析】求解先求出n，在利用通项公式求解
【详解】由的展开式中二项式系数的和是1024，故，所以．
由二项式定理得展开通项为，
当时为常数项，
故选：B
【例2】在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则该展开式中的常数项为（ ）
A．15B．45C．135D．405
【答案】C
【分析】令可得展开式各项系数和，再由二项式系数和为，即可得到方程，求出，再写出二项式展开式的通项，令的指数为，即可求出，再代入计算可得；
【详解】解：对于，令，可得各项系数和为，又二项式系数和为，
所以，解得，
所以展开式的通项为，
令，解得，所以；
故选：C
【例3】（多选题）已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（ ）
A．B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458D．展开式中含项的系数为240
【答案】ACD
【分析】对于A,先利用赋值法算出；对于B和D，求出展开式的通项公式，再由多项式乘法法则即可判断；对于C，展开式系数的绝对值的和可看做是二项式展开式系数的和，然后用赋值法即可判断
【详解】解：对于A,令，所以的展开式中各项系数的和为，解得，故A正确；
对于B和D,展开式通项公式为,
当时，；当时，(舍去)，
所以展开式中常数项为；
当时，；当时，(舍去)，
所以展开式中含项的系数为，
故B错误，D正确；
对于C，二项式展开式系数的绝对值的和可看做是二项式展开式系数的和，
所以令，展开式系数的和为，故C正确；
故选：ACD
【例4】在二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的的系数是________．
【答案】160
【分析】根据二项式系数之和可求得，再根据二项式的通项即可求得的系数.
【详解】因为二项式系数之和为64，
故有，得，
二项式的通项为，
令，得，所以.
即的系数是.
故答案为：160.
【例5】在的展开式中，二项式系数之和为_________；各项系数之和为_________．（用数字作答）
【答案】 16 256
【分析】根据二项式系数和公式求得二项式系数之和；再用赋值法求各项系数之和.
【详解】在的展开式中，二项式系数之和为；
令，，即各项系数和为.
故答案为：①；②.
【题型专练】
1．在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（ ）
A．16B．32C．1D．
【答案】A
【分析】先根据二项式系数和公式得，再令特殊值即可求得答案.
【详解】解：因为二项式系数的和是16，所以，解得，
所以，令得展开式中各项系数的和为．
故选：A
2．已知的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1:8，则（ ）
A．B．展开式中所有项的系数和为1
C．展开式中二项式系数和为D．展开式中不含常数项
【答案】AD
【分析】根据二项式定理，由题意写出第二项与第三项系数之比的绝对值，求出n，用赋值法求出各项系数之和，再利用二项式定理以及系数的性质即可.
【详解】由题意，则，，A正确；
，令，则所有项系数之和，B错误；二项式系数之和为 ，C错误；
，若为常数项，则有，是分数，所以不存在常数项，D正确；
故选：AD.
3．若的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32,则展开式中项的系数是___________.
【答案】15
【分析】先赋值求出所有项的系数，进而计算出，再根据二项式定理计算展开式中项的系数.
【详解】令,得所有项的系数和为,二项式系数和为,所以,即的第项为
令,得
所以项的系数是
故答案为：15
4．若的展开式中二项式系数的和为，则该展开式中的常数项是______．
【答案】
【分析】由已知条件求出的值，写出展开式通项，令的指数为零，求出参数值，代入通项即可得解.
【详解】由已知可得，解得，
的展开式通项为，
令，可得，因此，展开式中的常数项为.
故答案为：.
5．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则的系数为_______.
【答案】
【分析】根据赋值法和二项式系数的定义可以求得n，再根据二项式的通项即可求得结果.
【详解】在的展开式中，令得展开式各项系数和为，又二项式系和为，
各项系数和与二项式系之比为32，即，∴，
在的展开式中，通项公式为
令，求得，∴的系数为，
故答案为：．
6．二项式的展开式中，常数项是___________，各项二项式系数之和是___________.（本题用数字作答）
【答案】
【分析】由展开式的通项，令即可找到常数项，利用即可算出二项式系数之和.
【详解】展开式的通项公式为，
令，得，
所以常数项为；
所有二项式系数之和为
.
故答案为： ； 64
题型四：求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
【例1】的展开式中的常数项为（ ）
A．240B．C．400D．80
【答案】D
【分析】根据二项式定理求解的展开式中的常数项和含的项的系数，进而求解的展开式中的常数项.
【详解】的展开式的通项为，
令，得，
则的展开式中的常数项为，
令，得，
则的展开式中含的项的系数为，
所以的展开式中的常数项为.
故选：D．
【例2】二项式展开式中的系数为（ ）
A．120B．135C．140D．100
【答案】B
【分析】利用二项式定理得到的展开式通项公式，求出，，，进而与对应的系数相乘，求出展开式中的系数.
【详解】的展开式通项公式为，
其中，，，
故二项式中的四次方项为，
即展开式中的系数为.
故选：B
【例3】已知，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根据，结合二项式定理求解即可.
【详解】因为，展开式第项，当时，，当时，，故，即.
故选：B
【例4】（多选题）已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（ ）
A．B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458D．展开式中含项的系数为240
【答案】ACD
【分析】对于A,先利用赋值法算出；对于B和D，求出展开式的通项公式，再由多项式乘法法则即可判断；对于C，展开式系数的绝对值的和可看做是二项式展开式系数的和，然后用赋值法即可判断
【详解】解：对于A,令，所以的展开式中各项系数的和为，解得，故A正确；
对于B和D,展开式通项公式为,
当时，；当时，(舍去)，
所以展开式中常数项为；
当时，；当时，(舍去)，
所以展开式中含项的系数为，
故B错误，D正确；
对于C，二项式展开式系数的绝对值的和可看做是二项式展开式系数的和，
所以令，展开式系数的和为，故C正确；
故选：ACD
【例5】的展开式中的系数为______（用数字作答）．
【答案】-800
【分析】要得到含的项，需在的展开式中取第4项，在的展开式中取第2项，从而利用二项式定理求解即可．
【详解】由题意知，在的展开式中取第4项，即，
的展开式中取第2项，即，
故的系数为．
故答案为：-800
【例6】的展开式中，记项的系数为，则______
【答案】
【分析】分别利用二项式定理求出和的展开通项求解即可.
【详解】表示的系数，即中含的系数和中的常数项相乘的结果，即，
表示的系数，即中含的系数和中的含的系数相乘的结果，即，
表示的系数，即中含的系数和中的含的系数相乘的结果，即，
表示的系数，即中含的系数和中的含的系数相乘的结果，即，
所以.
故答案为：.
【题型专练】
1．在的展开式中常数项为（ ）
A．14B．－14C．6D．－6
【答案】D
【分析】根据二项式定理及多项式乘法法则求解．
【详解】由二项式定理得，
所以所求常数项为．
故选：D．
2．已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为（ ）
A．0B．C．120D．
【答案】A
【分析】令，构建方程可得，再根据的展开式，令和，代入运算求解．
【详解】因为的展开式中各项系数的和为，
所以令，得，解得，
∵的展开式为
则展开式中含的项为，故的系数为0.
故选：A．
3．的展开式中常数项为_________．（用数字作答）
【答案】
【分析】先求出的展开式中的常数项和的系数，再求的常数项.
【详解】解：因为，
其中展开式的通项为，
令得的常数项为，
令，即得展开式中的系数为.
所以的常数项为.
故答案为：
4．已知，则的值为___________.
【答案】
【分析】赋值法求，根据二项式展开式通项求，即可求.
【详解】令，
由的展开式的通项为，
令，得，令，得，
所以，
所以.
故答案为：
5．已知的所有项的系数的和为64，展开式中项的系数为________．
【答案】15
【分析】根据系数和用赋值法可求，进而根据两个多项式相乘，根据结合律即可求解.
【详解】由题意知：令，则，
因此，要得的系数，则只需要分别提供的项分别与相乘即可，故项的系数为：，
故答案为：15
6．在的展开式中，记项的系数为，则（ ）
A．45B．60C．120D．210
【答案】C
【分析】根据题意，得到展开式中项的系数为：，分别求解，即可得出结果.
【详解】根据题意，得到展开式中项的系数为：
，
所以，，，，
因此．
故选：C.
7．的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．160D．80
【答案】D
【分析】先将表达式变形为，再求解展开式中，最后与中的乘积即可得的系数.
【详解】解：，
展开式的通项为，
令，得的展开式中的系数为，
所以的展开式中的系数为.
故选：D
8．展开式中的常数项为______.
【答案】4246
【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.
【详解】的展开式的通项:
,5,6.
的展开式的通项：
,.
两通项相乘得:，
令，得，
所以满足条件的有三组:，
故常数项为.
故答案为：4246.
9．已知多项式，则_______，_______．
【答案】 16 48
【分析】利用赋值法令第一空，利用二项式展开式的通项公式即可求解.
【详解】由题意可知，令时，，
设的展开式的通项为：，
的展开式的通项为:，
当时，，当时，，
所以．
故答案为：16；48.
题型五：求三项展开式中指定幂的系数
【例1】的展开式中x项的系数为（ ）
A．568B．－160C．400D．120
【答案】D
【分析】先写出的展开式的通项，再求出满足x的次幂为1的项，代入求和即可得解．
【详解】因为，
又的展开式的通项为，且，，
所以的展开式的通项为且，，
令，得或或或，则x项的系数为，
故选：D．
【例2】展开式中的系数为（ ）
A．B．21C．D．35
【答案】A
【分析】先将原式整理为，视为两项的展开式，要含有的项，需要在中找即可
【详解】因为展开式的通项公式为，所以当时，含有的项，此时，故的系数为．
故选：A
【例3】展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的项的系数为（ ）
A．B．C．100D．160
【答案】C
【分析】先用赋值法求得项数n，由于原式为三项式，需将作为整体进行二项式展开，从原式展开式中取出前两项再进行展开，分别求出包含项和项的系数，最后代回原式求和即可.
【详解】取代入，得，解得
则原式
其中，只有前两项包含项.
，其中项的系数为；
，其中项的系数为.
故原式展开式中的项的系数为.
故选：C.
【例4】的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（ ）
A．16B．32C．27D．81
【答案】D
【分析】原问题即为求展开式中的所有项的系数和，令，即可得答案.
【详解】解：展开式的通项公式为，
若展开式中的项不含z，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项，
令，可得所有不含z的项的系数之和为，
故选：D.
【例5】的展开式中的系数为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】B
【分析】变形后求出其通项公式，令，则，再求出中的的系数即可求得结果
【详解】的通项公式，
令，则，
所以的系数为，
故选：B
【例6】的展开式中，的系数为___________.
【答案】
【分析】，然后两次利用通项公式求解即可
【详解】解：因为，
设其展开式的通项公式为，
令，
得的通项公式为，
令，得，
所以的展开式中，的系数为，
故答案为：
【题型专练】
1．在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．-120B．-40C．-30D．200
【答案】C
【分析】将整理为，根据二项展开式分析可得，对每种情况再根据二项展开式理解运算.
【详解】，其展开式为：
根据题意可得：
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
综上所述：含的项的系数为
故选：C．
2．展开式中，项的系数为（ ）
A．5B．-5C．15D．-15
【答案】B
【分析】根据展开式的含义，可确定出现有两种情况，求出每种情况展开式中含有的项，即可求得答案.
【详解】，表示5个相乘，
展开式中出现有两种情况，第一种是中选出3个和2个1，
第二种是中选出4个和1个，
所以展开式中含有项有和，
所以项的系数为,
故答案为：B
3．在的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为（ ）
A．299B．C．300D．
【答案】A
【分析】先，求出展开式中所有项的系数和，然后求出项的系数，从而可得答案.
【详解】令，得.
所以的展开式中所有项的系数和为 .
由可以看成是5个因式相乘.
要得到项，则5个因式中有1个因式取，一个因式取，其余3个因式取1，然后相乘而得.
所以的展开式中含的项为，
所以的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为.
故选：A
4．在的展开式中，的系数为___________.
【答案】
【分析】运用二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式的通项公式为：，
令，二项式的通项公式为：，
令，
所以的系数为，
故答案为：
5．的展开式的所有项的系数和为243，则展开式中的系数为______.
【答案】51
【分析】令可得所有项的系数和，求出，再利用组合的知识确定含的项的系数即可.
【详解】令，则，解得，
由组合知识可得，的展开式中含的项为，，，故展开式中的系数为．
故答案为：51．
题型六：有理项问题
【例1】若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】根据条件可得.写出展开式的通项，则当是偶数时，该项为有理项，求得所有的有理项的系数，可解出的值.
【详解】由已知可得，.根据二项式定理，知展开式的通项为
，显然当是偶数时，该项为有理项，
时，；时，；
时，；时，；
时，；时，；
时，.
经比较可得，，即时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大．
故选：A.
【例2】二项式的展开式中系数为有理数的项共有（ ）
A．6项B．7项C．8项D．9项
【答案】D
【分析】由二项式的通项公式结合有理项的性质即可求解.
【详解】二项式的通项，
若要系数为有理数，则，，，且，
即，，易知满足条件的，
故系数为有理数的项共有9项.
故选：D
【例3】已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）
A．展开式所有项的系数和为B．展开式二项式系数最大为
C．展开式中没有常数项D．展开式中有理项共有5项
【答案】D
【分析】根据二项式展开式的项数、展开式的系数和、二项式系数最大值、常数项、有理项等知识求得正确选项.
【详解】因为，所以，令，得所有项的系数和为，故A错误.
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项的二项式系数为，故B错误.
因为展开式的通项为，
当时，， 故C错误.
当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确.
故选：D
【例4】（多选题）在的展开式中，有理项恰有两项，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用二项式定理的通项公式得到满足题意的项
【详解】展开式通项为，
对于A，展开式通项为，所以由可得或8，所以此时有两个有理项，故正确；
对于B，展开式通项为，所以由可得或6或12，所以此时有三个有理项，故错误；
对于C，展开式通项为，所以由可得或10，所以此时有两个有理项，故正确；
对于D，展开式通项为，所以由可得或6或12，所以此时有三个有理项，故错误；
故选：AC
【例5】的展开式中所有有理项的系数和为（ ）
A．85B．29C．D．
【答案】C
【分析】写出通项后可得有理项，进一步计算可得结果.
【详解】展开式的通项为：
，其中，
当时为有理项，故有理项系数和为
，
故选：C.
【题型专练】
1．在的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有（ ）
A．3项B．4项C．5项D．9项
【答案】C
【分析】根据题目，写出二次项展开式的通项公式，即可求出的幂指数是整数的项的个数．
【详解】由题意知，，
要使的幂的指数是整数，则必须是的倍数，故当满足条件，
即的幂指数是整数的项共有项，
故选：C
2．展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】利用二项式定理的性质与通项求解即可.
【详解】解：二项系数和为，则，所以的通项为：，其中，
则展开式中的有理项满足，故，共3项.
故选：D.
3．（多选题）已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ）
A．B．展开式中的常数项为45
C．含的项的系数为210D．展开式中的有理项有5项
【答案】ABC
【分析】根据二项式的展开式的通项公式，结合第3项与第5项的系数之比为，可得.再根据公式逐个选项判断即可.
【详解】二项式的展开式的通项为，由于第3项与第5项的系数之比为，则，故，得.
∴(n＋5)(n－10)＝0，解得n＝10，故A正确；
则，令，解得，
则展开式中的常数项为，故B正确；
令，解得，则含的项的系数为，故C正确；
令，则r为偶数，此时，故6项有理项．
故选：ABC
4．已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________．
【答案】2
【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可
【详解】的展开式有项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以
当时,,当时,,符合题意
所以展开式中有理项的个数为2
故答案为：2
5．如果的展开式中第3项与第2项系数的比是4，那么展开式里x的有理项有________项．（填个数）
【答案】2
【分析】利用二项式系数的性质可得，从而可求得的值，再写出展开式的通项，由的幂指数即可求得的值，从而可求得展开式里所有的有理项；
【详解】解：依题意可得，
即，解得或（舍去）．
所以二项式展开式的通项为（，1，2，，，
根据题意，解得或，
展开式里所有的有理项为，共项；
故答案为：
题型七：求系数最大小项问题
【例1】已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据二项式系数的性质可得，再结合二项展开式的通项求各项系数，分析列式求系数最小项时的值，代入求系数的最小值.
【详解】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则
∴展开式的通项为
则该展开式中各项系数
若求系数的最小值，则为奇数且，即，解得
∴系数的最小值为
故选：C.
【例2】的二项展开式中，系数最大的是第___________项.
【答案】
【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，然后设第项系数最大，列出不等式组，求出，从而得到答案.
【详解】展开式的通项公式为，
假设第项系数最大，则有，
解得：，
因为，所以，则，即系数最大的是第1868项.
故答案为：1868
【例3】在二项式展开式中，第3项和第4项的系数比为．
(1)求n的值及展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项是第几项．
【答案】(1)，；(2)第5项
【分析】（1）根据展开式的通项以及系数之比即可求解，由值和通项特征即可求解常数项，
（2）根据不等式法即可求解最大项，
（1）
二项式展开式的通项公式为:，因为第3项和第4项的系数比为，所以，化简得，解得，
所以，令，得，所以常数项为．
（2）
设展开式中系数最大的项是第项，则
解得，因为，所以，所以展开式中系数最大的项是第5项．
【题型专练】
1．已知为正偶数，在的展开式中，第5项的二项式系数最大．
(1)求展开式中的一次项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)；(2)，
【分析】(1)由第5项的二项式系数最大，可求得，再根据二项式的展开公式求一次项即可；
(2)令为展开式中系数，根据可得或，代入二项式的展开式中，即可求得答案.
（1）
解：因为正偶数，在展开式中的第5项的二项式系数最大，则，．
设，
令，得，所以展开式中的一次项为.
（2）
解：令，当时，
令，可得：,
即，
或．
所以系数最大的项为：，．
2．已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用二项式展开式的通项和等差中项解出.当是偶数时，中间项的二项式系数最大，当为奇数时，中间两项的二项式系数，相等且最大．
（2）求系数最大的项，则只需比较相邻两项系数的大小即可．
（1）的展开式的通项．因为展开式中前三项的系数成等差数列，所以，即，整理得，解得或．又因为，所以，所以第5项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为．
（2）由（1）得展开式中系数为由得整理得，解得所以当或时项的系数最大.因此，展开式中系数最大的项为和．
3．已知的二项式展开式的各项二项式系数和与各项系数和均为128，
(1)求展开式中所有的有理项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)展开式中所有的有理项为，；(2)和
【分析】（1）由二项式系数的性质可得，进而可得的值，再令求出的值，然后结合二项展开式的通项公式即可求解；
（2）由二项展开式的通项公式可知，展开式中系数最大的项即为展开式中二项式系数最大的项，从而利用二项式系数的性质即可求解.
（1）
解：因为的二项展开式的各二项式系数和为，各项系数和为，
所以由已知得，故，
所以，解得，
所以该二项式为，其通项为，，
所以当时，该项为有理项，
所以展开式中所有的有理项为，；
（2）
解：因为展开式的通项公式为，，
所以展开式中系数最大的项即为展开式中二项式系数最大的项，而由二项式系数的性质可知最大的项为展开式的第或第项，
所以展开式中系数最大的项为和；
题型八：利用“赋值法”及二项式性质，求部分项系数，二项式系数和
【例1】若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或B．C．或3D．
【答案】A
【分析】利用赋值法，分别令，和，
，
，
再根据，求得的值．
【详解】在中，
令可得，即，
令，可得，
∵，
∴，
∴，
整理得，
解得，或．
故选：A
【例2】设，若则非零实数a的值为（ ）
A．2B．0C．1D．-1
【答案】A
【分析】对原等式两边求导数可得，令，可得，由此即可求出结果.
【详解】∵，对其两边求导数，
∴，
令，得，①
又，②
∴，∴，解得，
故选：A．
【例3】（多选题）已知，若，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】令，已知式变为，可求得，然后二项式变形为，并令二项式化为，可求得，二项式两边都对求导后令可求得，从而判断各选项．
【详解】令，则，已知式变为，
解得，
，，
，
，
令，则有，
两边对求导得，
再令得，
所以，
故选：BCD．
【例4】（多选题）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】比较等式两侧x的最高次知且判断A、B；将C中等式两侧乘，再令验证即可；对已知等式两侧求导，将代入求值判断D.
【详解】由等式右边最高为项，且不含项，则且，即，故A错误，B正确；
所以.
C：等式两边同乘，原等式等价于，令，则，正确；
D：，可得：，令，则，错误；
故选：BC
【例5】若，则_______，________．
【答案】 0
【解析】赋值法，令，得．换元：设，则．只有中含有项，展开式的通项得解
【详解】令，得．
设，则．
因为仅有中含有项，展开式的通项，所以当，即时，．
【点睛】本题考查二项式定理，考查运算求解能力．属于基础题.
【例6】设多项式， 则_____.
【答案】
【分析】分别赋值，得到两个等式，两式相加即得偶数项系数的倍.
【详解】依题意，令，得到：，令，得到：
，两式相加可得：，故.
故答案为：
【题型专练】
1．已知，若，则自然数n＝______.
【答案】5
【分析】利用赋值的方法分别让，，得到两个等式，再结合题目中的条件即可求出.
【详解】令，得，
令，得，所以，.
故答案为：5.
2．已知且，，，且，则____________．
【答案】6
【分析】由二项式定理求解
【详解】由题意可得，令，得，
令，得，
故，解得，故．
故答案为：6
3．已知，且，则______．
【答案】
【分析】运用二项式定理将进行展开，分别求出各个项的系数，
再带入到中，解方程即可求．
【详解】由二项式定理得：的通项为：，
又
则其通项为：
即
，，，，
，，
代入，化简得：
，解得
故答案为：．
4．已知，若，则______或______．
【答案】 1
【分析】根据二项展开式的形式，分别令和，代入展开式求得和的值，再把它们相乘，结合条件，即可求解．
【详解】因为，
令，可得，
再令，可得，
则
，
解得或.
故答案为：1或．
5．（多选题）设，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】赋值令，代入整理运算，逐项判断.
【详解】令，则，即，A错误；
令，则，即①，
则，B错误；
令，则，即②，
由①②可得：，，C、D正确；
故选：CD.
6．（多选题）已知，下列命题中，正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为；
B．展开式中所有奇次项系数的和为；
C．展开式中所有偶次项系数的和为；
D．.
【答案】ACD
【分析】由二项式定理知的所有项的二项式系数和为，分别令、，再将所得作和差处理，求奇偶次项的系数和，根据通项，即可求，进而判断各选项的正误.
【详解】对于A：由二项式知：，故A正确；
当时，有，
当有，
对于B：由上，可得，故B错误；
对于C：由上，可得，故C正确；
对于D：由二项式通项知：，
则，，…，，
所以，故D正确.
故选：ACD
7.（多选题）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】对于A，利用赋值法求解，对于B，利用二项式展开式的通项公式求解，对于C，利用赋值法求解，对于D，利用二项式展开式的通项公式求解.
【详解】对于A，令，则，令，则，
所以，所以A错误，
对于B，二项式展开式的通项公式为，所以，所以B错误，
对于C，令，则，因为，所以，，
因为，所以，所以，所以C正确，
对于D，因为二项式展开式的通项公式为，所以，， ，，，
所以，，
所以，所以D正确，
故选：CD
8．已知.且，则__________，该展开式第3项为__________.
【答案】 5
【分析】根据二项式展开式可得，再利用赋值法得到，即可求出，再根据展开式的通项计算可得；
【详解】解：因为，
所以，令，则，令，则，
所以，所以，所以，解得或（舍去），
所以，
所以展开式的第项为；
故答案为：；
题型九：利用二项式定理求余数
【例1】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ）
A．2004B．2005C．2025D．2026
【答案】D
【分析】由二项式定理可得，结合算法新定义判断满足对应b值.
【详解】若，
由二项式定理得，则，
因为能被5整除，所以a除以5余，
又因为，选项中2026除以5余1．
故选：D．
【例2】（多选题）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则（ ）
A．
B．的展开式中有理项有5项
C．的展开式中偶数项的二项式系数和为512
D．除以9余8
【答案】ABD
【分析】由二项式系数的概念与组合数的性质可判断A；由二项式的通向结合有理项的概念判断B；由偶数项的二项式系数和判断C；由二项式定理判断D
【详解】对于，因为第4项与第7项的二项式系数相等，所以，
由组合数的性质知，故A正确；
对于，在的展开式中，令，得，
所以，
所以的二项式通项为.
由为整数，得，
所以展开式中有理项有5项，故B正确；
对于，展开式中偶数项的二项式系数和为，故错误；
对于D，由B知，则
，
所以除以9余8，故D正确.
故选：ABD.
【例3】设n∈N，且 能被6整除，则n的值可以为_________.(写出一个满足条件的n的值即可)
【答案】5（答案不唯一）
【分析】先利用二项展开式将变形，进而即可求得n的可能取值
【详解】
被6整除，
由能被6整除，可得能被6整除，
则n的值可以为5，或11，或17等，答案不唯一
故答案为：5（答案不唯一）
【例4】已知且满足能被8整除，则符合条件的一个的值为___________.
【答案】5（答案不唯一）
【分析】对进行合理变形，并利用二项式定理展开，从而得出的值.
【详解】由已知得，由已知且满足能被8整除，则是8的整数倍，所以（），则符合条件的一个的值为5.
故答案为：（答案不唯一）
【题型专练】
1．设，则当时，除以15所得余数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】A
【分析】利用二项式定理化简，结合二项式的展开式公式即可求解.
【详解】∵，
∴，当时，，
而，故此时除以15所得余数为3.
故选:A.
2.（多选题）设，且，若能被13整除，则a的值可以为（ ）
A．0B．11C．12D．25
【答案】CD
【分析】化简，再利用二项式定理分析得解.
【详解】解：，
又52能被13整除，
∴需使能被13整除，即能被13整除，
∴，，又，
∴或25.
故选：CD．
3．除以100的余数是______．
【答案】81
【分析】根据二项式定理的应用求余数即可.
【详解】，在此展开式中，除了最后两项外，其余项都能被100整除，故除以100的余数等价于除以100的余数，所以余数为81.
故答案为：81.
4．若能被13整除，则实数a的值可以为________．（填序号）
①0；②11；③12；④25．
【答案】③④
【分析】由，根据二项式定理展开，转化为能被13整除，结合选项即可求解.
【详解】解析：∵，
又52能被13整除，∴需使能被13整除，即能被13整除，
∴，，结合选项可知③④满足．
故答案为：③④．
题型式：利用二项式定理求近似值
【例1】的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930B．0.931C．0.932D．0.933
【答案】C
【分析】由二项式定理求解
【详解】.
故选：C
【例2】估算的结果，精确到0.01的近似值为（ ）
A．30.84B．31.84C．30.40D．32.16
【答案】A
【分析】利用二项式定理进行计算．
【详解】原式
+
．
故选：A．
【题型专练】
1．已知为正整数，若，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】由，根据二项式定理，将式子展开，估算，进而可得，再由题意，即可得出结果.
【详解】因为
，
而，
所以，
因此，
又为正整数，，所以；
故选：C.
【点睛】本题主要考查近似计算的问题，灵活运用二项式定理即可，属于常考题型.
2．1.028的近似值是___________.(精确到小数点后三位)
【答案】1.172
【分析】由题意，，根据二项式定理，展开计算，即可得答案.
【详解】由题意得：.
故答案为：1.172
题型十一：二项式定理与杨辉三角
【例1】当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：
若在的展开式中，的系数为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据广义杨辉三角形可得出的展开式，可得出的展开式中的系数，即可求得的值.
【详解】由广义杨辉三角形可得，
故的展开式中，的系数为，解得.
故选：C.
【例2】杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（ ）
A．1009B．1010C．1011D．1012
【答案】C
【分析】根据题意可得第斜列各项之和为，第斜列各项之和为，则可求出.
【详解】当时，第斜列各项之和为，
同理，第斜列各项之和为，所以，
所以第斜列与第斜列各项之和最大时，，则.
故选：C．
【例3】杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（，且）在三角形中的一种几何排列，北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋时期杭州人杨辉在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”，杨辉三角形的构造法则为：三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数字相加.根据以上信息及二项式定理的相关知识分析，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．当且时，
C．为等差数列
D．存在，使得为等差数列
【答案】ABD
【分析】由组合数性质可判断A；利用组合数公式化简可判断B；组合数公式结合等差数列定义可判断CD.
【详解】A选项：由组合数的性质可知A正确；
B选项：，
因为，所以，所以，B正确；
C选项：，C错误；
D选项：当时，，所以数列为公差为1的等差数列，D正确.
故选：ABD.
【例4】如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除两端的数字是以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数，第行中最大的数为，第行中最大的数为，且，则的值为______．
【答案】
【分析】根据二项式系数的最大值满足的条件求出，，代入，根据组合数的公式求解即可．
【详解】由题意知，故
，
，，
解得．
故答案为：．
【例5】如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：，记此数列的前项之和为，则的值为__________.
【答案】452
【分析】观察杨辉三角结合其中数的来源，可得到这个数列的奇数项的通项公式和偶数项的通项公式，分别求奇数项和与偶数项和，从而得到前n项和.
【详解】设数列为{}，
当为偶数时，易知；
前23项里面有偶数项11项，奇数项12项，
偶数项是首项为3，公差为1的等差数列，且，
所以偶数项之和为：；
当为奇数时，，，，，…，
所以，则，
所以前23项里面奇数项和为：
=
=
=
=364，
所以.
故答案为：452.
【题型专练】
1．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，第行的第3个数字为，则（ ）
A．165B．180C．220D．236
【答案】A
【分析】根据杨辉三角及二项式系数的性质确定，…，，再应用组合数的运算性质求结果.
【详解】由题意得，，
则.
故选：
2．（多选题）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84
B．在“杨辉三角”中，当时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为66
C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则
【答案】AC
【分析】二项式的系数求得第9行第7个数，可判定A正确；结合等差数列的求和公式，可判定B错误；结合的展开式的系数的关系，可判定C正确；根据第行的第个数为，结合，可判定D错误.
【详解】对于A中，在杨辉三角中，第9行第7个数是，所以A正确.
对于B中，当时，，所以B错误.
对于C中，用数学符号语言可表示为：，
证明如下：
对应相乘，恰好得到这一项的系数为
而是二项式的展开式中第项的二项式系数（即的系数）
故，所以C正确.
对于D中，第行的第个数为，所以
即，所以D错误.
故选：AC.
3．（多选题）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的叙述证确的是（ ）
A．第9行中从左到右第6个数是126
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据杨辉三角，利用组合数的计算判断ABD，利用二项式系数的性质判断C.
【详解】对于A，第9行中从左到右第6个数是，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，由二项式系数的性质知，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
4．（多选题）杨辉三角把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合．根据杨辉三角判断下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数和为
D．已知，则
【答案】AB
【分析】根据二项展开式的性质，逐个选项进行计算验证，即可得答案.
【详解】对于A，因为的展开式为，计算即可求出，故A正确；
对于B，因为，所以，，而，故B正确；
对于C，根据题意得，，所以，原式变为，令，所以，所有项的系数和为，故C错误；
对于D，令，得，令，得，所以，，根据展开式通项公式，明显可见，故D错误.
故选：AB
5．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，若第行中从左至右第14与第15个数的比为，则的值为___________.
【答案】34
【分析】根据杨辉三角形中数据的规律可以写出第行中从左至右第14与第15个数的表达式，根据比例结果可计算得的值.
【详解】由题意可知，根据数字规律可以看出第行中从左至右第个数为
所以，第行中从左至右第14与第15个数分别是和；
即，由组合数计算公式
可得，计算的；
故答案为：34.
6．在我国南宋数学家杨辉所著作的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律，下面的数字三角形可以看做当依次取、、、、时展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列，例，，，，设数列的前项和为.若，则___________.
【答案】##
【分析】推导出，则，结合裂项法可求得的值.
【详解】注意到，，，，，，
则，，，，
以此类推可知，则，
所以，
.
故答案为：.
考点一：二项式定理的概念
①二项式定理：
②通项公式：
③二项式系数：二项式系数为Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n)
④共有n＋1项
考点二：二项式系数的性质
①对称性：
②二项式系数的最值：当为偶数时，中间一项的二项式系数最大
当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大
③二项式系数和：
考点三：各项系数和（赋值法）
①形如的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．
②形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
【题型目录】
题型一：求展开式
题型二：二项展开式中的系数
题型三：二项式系数和和各项系数和
题型四：求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
题型五：求三项展开式中指定幂的系数
题型六：有理项问题
题型七：求系数最大小项问题
题型八：利用“赋值法”及二项式性质，求部分项系数，二项式系数和
题型九：利用二项式定理求余数
题型十：利用二项式定理求近似值
题型十一：二项式定理与杨辉三角
【典型例题】
题型一：展开式
【例1】求的展开式
【答案】；
【分析】直接利用二项式定理求解；
解
．
【例2】设，化简______.
【答案】
【分析】逆用二项式定理，即可容易求得结果.
【详解】容易知.
故答案为：.
【点睛】本题考查二项式定理的逆用，属基础题.
【例3】求值：________
【答案】
【分析】根据二项式定理展开式配凑，即可求出．
【详解】
．
故答案为．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,考查学生对二项展开式的理解．
【例3】化简多项式的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知，将多项式的每一项都变成二项式展开式的结构，观察结构变化，即可进行合并，完成求解.
【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作，
故该多项式为的展开式，
化简．
故选：D.
【题型专练】
1．求的展开式．
【答案】
【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果.
【详解】对，不妨令，
故
.
故求的展开式为：.
2．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，利用二项式定理展开，再对两边求导可得两边求导数，，分别取和，即可求出结果.
【详解】设，
两边求导数，，
令，得，
取，得.
故选：D.
3．化简的结果为（ ）
A．x4B．C．D．
【答案】A
【分析】逆用二项展开式定理即可得答案.
【详解】
故选：A.
题型二：二项展开式中的系数
【例1】在的展开式中，的系数是（ ）
A．35B．C．560D．
【答案】C
【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数.
【详解】二项式的展开式的通项公式为，
令，
所以的展开式中的系数为.
故选：C
【例2】若是一组数据的方差，则的展开式的常数项为（ ）
A．B．3360C．210D．16
【答案】B
【分析】根据数据信息，求解出方差的值，代入二项式中，求解二项式展开式的通项公式，求解常数项即可.
【详解】解：数据0，2，0，2的平均值为1，故方差，
故二项式为，其展开式的通项公式为，
令，解得，
故常数项为.
故选：B.
【例3】已知二项式展开式中含有常数项，则n的最小值为____________．
【答案】6
【分析】写出二项式的通项公式并化解，根据已知列式，利用即可得到最小时的情况即可得出答案.
【详解】二项式展开式的通项为：
，
二项式展开式中含有常数项，
有解，
则当时，最小，且最小值为6.
故答案为：6.
【例4】的展开式中含项的系数为__________.（用数字作答）
【答案】##
【分析】写出的展开式的通项，令，求得,即可求得答案.
【详解】由题意得：的展开式的通项为 ，
令 ，
故的展开式中含项的系数为，
故答案为：
【例5】的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为______．
【答案】135
【分析】根据展开式中二项式系数和求得的值，再利用展开式的通项公式求出常数项．
【详解】解：的展开式中各项二项式系数之和为64，
则，解得；
展开式的通项公式为
，
令，解得；
展开式中的常数项为．
故答案为：135．
【题型专练】
1．的展开式中的常数项为___________.
【答案】84
【分析】根据二项式定理确定展开式的通项，即可求得常数项.
【详解】的展开式的通项公式为，
令，得，所以的展开式中的常数项为.
故答案为：84.
2．写出一个正整数n，使的展开式中含有常数项，则n＝______．（答案不唯一，写出一个符合题意的即可）
【答案】7（答案不唯一，7的正整数倍均可）
【分析】求出展开式的通项，可得存在，使，即可得出.
【详解】展开式的通项为．
因为展开式中含有常数项，所以存在，使，即，
故且n为7的倍数．
故答案为：7（答案不唯一，7的正整数倍均可）.
3．若展开式中第5项为常数项，则________；
【答案】7
【分析】根据二项展开式的通项公式可得.
【详解】为常数项，所以.
故答案为：7.
4．的展开式共有8项，则常数项为____________．
【答案】
【分析】利用二项式的性质可求得，利用其通项公式即可求得的展开式中的常数项．
【详解】的展开式共有项，
依题意得：，
；
设的展开式的通项为，则，
由得，
的展开式中的常数项为．
故答案为：．
5．已知的展开式中的系数为____________
【答案】240
【分析】写出二项式展开式的通项公式，根据其通项公式可求得答案.
【详解】 展开式的通项公式为：
，
令 ，则，
故的系数为 ，
故答案为：240
6．在的二项展开式中，第______项为常数项.
【答案】7
【分析】直接利用二项式的通项公式，令的指数为0，求出即可．
【详解】解：的二项展开式的通项为，令，解得，即时，二项展开式为常数项，即第7项是常数项．
故答案为：7．
7．设常数，展开式中的系数为，则_______.
【答案】##
【分析】求出二项式展开式的通项，令的指数位置等于求出的值，取该的值时再令系数等于，解方程即可得的值.
【详解】展开式的通项为，
令可得，所以展开式中的系数为，
可得：或（舍），所以，
故答案为：.
题型三：二项式系数和和各项系数和
【例1】已知的展开式中二项式系数的和是1024，则它的展开式中的常数项是（ ）
A．252B．C．210D．
【答案】B
【分析】求解先求出n，在利用通项公式求解
【详解】由的展开式中二项式系数的和是1024，故，所以．
由二项式定理得展开通项为，
当时为常数项，
故选：B
【例2】在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则该展开式中的常数项为（ ）
A．15B．45C．135D．405
【答案】C
【分析】令可得展开式各项系数和，再由二项式系数和为，即可得到方程，求出，再写出二项式展开式的通项，令的指数为，即可求出，再代入计算可得；
【详解】解：对于，令，可得各项系数和为，又二项式系数和为，
所以，解得，
所以展开式的通项为，
令，解得，所以；
故选：C
【例3】（多选题）已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（ ）
A．B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458D．展开式中含项的系数为240
【答案】ACD
【分析】对于A,先利用赋值法算出；对于B和D，求出展开式的通项公式，再由多项式乘法法则即可判断；对于C，展开式系数的绝对值的和可看做是二项式展开式系数的和，然后用赋值法即可判断
【详解】解：对于A,令，所以的展开式中各项系数的和为，解得，故A正确；
对于B和D,展开式通项公式为,
当时，；当时，(舍去)，
所以展开式中常数项为；
当时，；当时，(舍去)，
所以展开式中含项的系数为，
故B错误，D正确；
对于C，二项式展开式系数的绝对值的和可看做是二项式展开式系数的和，
所以令，展开式系数的和为，故C正确；
故选：ACD
【例4】在二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的的系数是________．
【答案】160
【分析】根据二项式系数之和可求得，再根据二项式的通项即可求得的系数.
【详解】因为二项式系数之和为64，
故有，得，
二项式的通项为，
令，得，所以.
即的系数是.
故答案为：160.
【例5】在的展开式中，二项式系数之和为_________；各项系数之和为_________．（用数字作答）
【答案】 16 256
【分析】根据二项式系数和公式求得二项式系数之和；再用赋值法求各项系数之和.
【详解】在的展开式中，二项式系数之和为；
令，，即各项系数和为.
故答案为：①；②.
【题型专练】
1．在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（ ）
A．16B．32C．1D．
【答案】A
【分析】先根据二项式系数和公式得，再令特殊值即可求得答案.
【详解】解：因为二项式系数的和是16，所以，解得，
所以，令得展开式中各项系数的和为．
故选：A
2．已知的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1:8，则（ ）
A．B．展开式中所有项的系数和为1
C．展开式中二项式系数和为D．展开式中不含常数项
【答案】AD
【分析】根据二项式定理，由题意写出第二项与第三项系数之比的绝对值，求出n，用赋值法求出各项系数之和，再利用二项式定理以及系数的性质即可.
【详解】由题意，则，，A正确；
，令，则所有项系数之和，B错误；二项式系数之和为 ，C错误；
，若为常数项，则有，是分数，所以不存在常数项，D正确；
故选：AD.
3．若的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32,则展开式中项的系数是___________.
【答案】15
【分析】先赋值求出所有项的系数，进而计算出，再根据二项式定理计算展开式中项的系数.
【详解】令,得所有项的系数和为,二项式系数和为,所以,即的第项为
令,得
所以项的系数是
故答案为：15
4．若的展开式中二项式系数的和为，则该展开式中的常数项是______．
【答案】
【分析】由已知条件求出的值，写出展开式通项，令的指数为零，求出参数值，代入通项即可得解.
【详解】由已知可得，解得，
的展开式通项为，
令，可得，因此，展开式中的常数项为.
故答案为：.
5．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则的系数为_______.
【答案】
【分析】根据赋值法和二项式系数的定义可以求得n，再根据二项式的通项即可求得结果.
【详解】在的展开式中，令得展开式各项系数和为，又二项式系和为，
各项系数和与二项式系之比为32，即，∴，
在的展开式中，通项公式为
令，求得，∴的系数为，
故答案为：．
6．二项式的展开式中，常数项是___________，各项二项式系数之和是___________.（本题用数字作答）
【答案】
【分析】由展开式的通项，令即可找到常数项，利用即可算出二项式系数之和.
【详解】展开式的通项公式为，
令，得，
所以常数项为；
所有二项式系数之和为
.
故答案为： ； 64
题型四：求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
【例1】的展开式中的常数项为（ ）
A．240B．C．400D．80
【答案】D
【分析】根据二项式定理求解的展开式中的常数项和含的项的系数，进而求解的展开式中的常数项.
【详解】的展开式的通项为，
令，得，
则的展开式中的常数项为，
令，得，
则的展开式中含的项的系数为，
所以的展开式中的常数项为.
故选：D．
【例2】二项式展开式中的系数为（ ）
A．120B．135C．140D．100
【答案】B
【分析】利用二项式定理得到的展开式通项公式，求出，，，进而与对应的系数相乘，求出展开式中的系数.
【详解】的展开式通项公式为，
其中，，，
故二项式中的四次方项为，
即展开式中的系数为.
故选：B
【例3】已知，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根据，结合二项式定理求解即可.
【详解】因为，展开式第项，当时，，当时，，故，即.
故选：B
【例4】（多选题）已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（ ）
A．B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458D．展开式中含项的系数为240
【答案】ACD
【分析】对于A,先利用赋值法算出；对于B和D，求出展开式的通项公式，再由多项式乘法法则即可判断；对于C，展开式系数的绝对值的和可看做是二项式展开式系数的和，然后用赋值法即可判断
【详解】解：对于A,令，所以的展开式中各项系数的和为，解得，故A正确；
对于B和D,展开式通项公式为,
当时，；当时，(舍去)，
所以展开式中常数项为；
当时，；当时，(舍去)，
所以展开式中含项的系数为，
故B错误，D正确；
对于C，二项式展开式系数的绝对值的和可看做是二项式展开式系数的和，
所以令，展开式系数的和为，故C正确；
故选：ACD
【例5】的展开式中的系数为______（用数字作答）．
【答案】-800
【分析】要得到含的项，需在的展开式中取第4项，在的展开式中取第2项，从而利用二项式定理求解即可．
【详解】由题意知，在的展开式中取第4项，即，
的展开式中取第2项，即，
故的系数为．
故答案为：-800
【例6】的展开式中，记项的系数为，则______
【答案】
【分析】分别利用二项式定理求出和的展开通项求解即可.
【详解】表示的系数，即中含的系数和中的常数项相乘的结果，即，
表示的系数，即中含的系数和中的含的系数相乘的结果，即，
表示的系数，即中含的系数和中的含的系数相乘的结果，即，
表示的系数，即中含的系数和中的含的系数相乘的结果，即，
所以.
故答案为：.
【题型专练】
1．在的展开式中常数项为（ ）
A．14B．－14C．6D．－6
【答案】D
【分析】根据二项式定理及多项式乘法法则求解．
【详解】由二项式定理得，
所以所求常数项为．
故选：D．
2．已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为（ ）
A．0B．C．120D．
【答案】A
【分析】令，构建方程可得，再根据的展开式，令和，代入运算求解．
【详解】因为的展开式中各项系数的和为，
所以令，得，解得，
∵的展开式为
则展开式中含的项为，故的系数为0.
故选：A．
3．的展开式中常数项为_________．（用数字作答）
【答案】
【分析】先求出的展开式中的常数项和的系数，再求的常数项.
【详解】解：因为，
其中展开式的通项为，
令得的常数项为，
令，即得展开式中的系数为.
所以的常数项为.
故答案为：
4．已知，则的值为___________.
【答案】
【分析】赋值法求，根据二项式展开式通项求，即可求.
【详解】令，
由的展开式的通项为，
令，得，令，得，
所以，
所以.
故答案为：
5．已知的所有项的系数的和为64，展开式中项的系数为________．
【答案】15
【分析】根据系数和用赋值法可求，进而根据两个多项式相乘，根据结合律即可求解.
【详解】由题意知：令，则，
因此，要得的系数，则只需要分别提供的项分别与相乘即可，故项的系数为：，
故答案为：15
6．在的展开式中，记项的系数为，则（ ）
A．45B．60C．120D．210
【答案】C
【分析】根据题意，得到展开式中项的系数为：，分别求解，即可得出结果.
【详解】根据题意，得到展开式中项的系数为：
，
所以，，，，
因此．
故选：C.
7．的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．160D．80
【答案】D
【分析】先将表达式变形为，再求解展开式中，最后与中的乘积即可得的系数.
【详解】解：，
展开式的通项为，
令，得的展开式中的系数为，
所以的展开式中的系数为.
故选：D
8．展开式中的常数项为______.
【答案】4246
【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.
【详解】的展开式的通项:
,5,6.
的展开式的通项：
,.
两通项相乘得:，
令，得，
所以满足条件的有三组:，
故常数项为.
故答案为：4246.
9．已知多项式，则_______，_______．
【答案】 16 48
【分析】利用赋值法令第一空，利用二项式展开式的通项公式即可求解.
【详解】由题意可知，令时，，
设的展开式的通项为：，
的展开式的通项为:，
当时，，当时，，
所以．
故答案为：16；48.
题型五：求三项展开式中指定幂的系数
【例1】的展开式中x项的系数为（ ）
A．568B．－160C．400D．120
【答案】D
【分析】先写出的展开式的通项，再求出满足x的次幂为1的项，代入求和即可得解．
【详解】因为，
又的展开式的通项为，且，，
所以的展开式的通项为且，，
令，得或或或，则x项的系数为，
故选：D．
【例2】展开式中的系数为（ ）
A．B．21C．D．35
【答案】A
【分析】先将原式整理为，视为两项的展开式，要含有的项，需要在中找即可
【详解】因为展开式的通项公式为，所以当时，含有的项，此时，故的系数为．
故选：A
【例3】展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的项的系数为（ ）
A．B．C．100D．160
【答案】C
【分析】先用赋值法求得项数n，由于原式为三项式，需将作为整体进行二项式展开，从原式展开式中取出前两项再进行展开，分别求出包含项和项的系数，最后代回原式求和即可.
【详解】取代入，得，解得
则原式
其中，只有前两项包含项.
，其中项的系数为；
，其中项的系数为.
故原式展开式中的项的系数为.
故选：C.
【例4】的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（ ）
A．16B．32C．27D．81
【答案】D
【分析】原问题即为求展开式中的所有项的系数和，令，即可得答案.
【详解】解：展开式的通项公式为，
若展开式中的项不含z，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项，
令，可得所有不含z的项的系数之和为，
故选：D.
【例5】的展开式中的系数为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】B
【分析】变形后求出其通项公式，令，则，再求出中的的系数即可求得结果
【详解】的通项公式，
令，则，
所以的系数为，
故选：B
【例6】的展开式中，的系数为___________.
【答案】
【分析】，然后两次利用通项公式求解即可
【详解】解：因为，
设其展开式的通项公式为，
令，
得的通项公式为，
令，得，
所以的展开式中，的系数为，
故答案为：
【题型专练】
1．在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．-120B．-40C．-30D．200
【答案】C
【分析】将整理为，根据二项展开式分析可得，对每种情况再根据二项展开式理解运算.
【详解】，其展开式为：
根据题意可得：
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
综上所述：含的项的系数为
故选：C．
2．展开式中，项的系数为（ ）
A．5B．-5C．15D．-15
【答案】B
【分析】根据展开式的含义，可确定出现有两种情况，求出每种情况展开式中含有的项，即可求得答案.
【详解】，表示5个相乘，
展开式中出现有两种情况，第一种是中选出3个和2个1，
第二种是中选出4个和1个，
所以展开式中含有项有和，
所以项的系数为,
故答案为：B
3．在的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为（ ）
A．299B．C．300D．
【答案】A
【分析】先，求出展开式中所有项的系数和，然后求出项的系数，从而可得答案.
【详解】令，得.
所以的展开式中所有项的系数和为 .
由可以看成是5个因式相乘.
要得到项，则5个因式中有1个因式取，一个因式取，其余3个因式取1，然后相乘而得.
所以的展开式中含的项为，
所以的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为.
故选：A
4．在的展开式中，的系数为___________.
【答案】
【分析】运用二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式的通项公式为：，
令，二项式的通项公式为：，
令，
所以的系数为，
故答案为：
5．的展开式的所有项的系数和为243，则展开式中的系数为______.
【答案】51
【分析】令可得所有项的系数和，求出，再利用组合的知识确定含的项的系数即可.
【详解】令，则，解得，
由组合知识可得，的展开式中含的项为，，，故展开式中的系数为．
故答案为：51．
题型六：有理项问题
【例1】若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】根据条件可得.写出展开式的通项，则当是偶数时，该项为有理项，求得所有的有理项的系数，可解出的值.
【详解】由已知可得，.根据二项式定理，知展开式的通项为
，显然当是偶数时，该项为有理项，
时，；时，；
时，；时，；
时，；时，；
时，.
经比较可得，，即时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大．
故选：A.
【例2】二项式的展开式中系数为有理数的项共有（ ）
A．6项B．7项C．8项D．9项
【答案】D
【分析】由二项式的通项公式结合有理项的性质即可求解.
【详解】二项式的通项，
若要系数为有理数，则，，，且，
即，，易知满足条件的，
故系数为有理数的项共有9项.
故选：D
【例3】已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）
A．展开式所有项的系数和为B．展开式二项式系数最大为
C．展开式中没有常数项D．展开式中有理项共有5项
【答案】D
【分析】根据二项式展开式的项数、展开式的系数和、二项式系数最大值、常数项、有理项等知识求得正确选项.
【详解】因为，所以，令，得所有项的系数和为，故A错误.
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项的二项式系数为，故B错误.
因为展开式的通项为，
当时，， 故C错误.
当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确.
故选：D
【例4】（多选题）在的展开式中，有理项恰有两项，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用二项式定理的通项公式得到满足题意的项
【详解】展开式通项为，
对于A，展开式通项为，所以由可得或8，所以此时有两个有理项，故正确；
对于B，展开式通项为，所以由可得或6或12，所以此时有三个有理项，故错误；
对于C，展开式通项为，所以由可得或10，所以此时有两个有理项，故正确；
对于D，展开式通项为，所以由可得或6或12，所以此时有三个有理项，故错误；
故选：AC
【例5】的展开式中所有有理项的系数和为（ ）
A．85B．29C．D．
【答案】C
【分析】写出通项后可得有理项，进一步计算可得结果.
【详解】展开式的通项为：
，其中，
当时为有理项，故有理项系数和为
，
故选：C.
【题型专练】
1．在的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有（ ）
A．3项B．4项C．5项D．9项
【答案】C
【分析】根据题目，写出二次项展开式的通项公式，即可求出的幂指数是整数的项的个数．
【详解】由题意知，，
要使的幂的指数是整数，则必须是的倍数，故当满足条件，
即的幂指数是整数的项共有项，
故选：C
2．展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】利用二项式定理的性质与通项求解即可.
【详解】解：二项系数和为，则，所以的通项为：，其中，
则展开式中的有理项满足，故，共3项.
故选：D.
3．（多选题）已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ）
A．B．展开式中的常数项为45
C．含的项的系数为210D．展开式中的有理项有5项
【答案】ABC
【分析】根据二项式的展开式的通项公式，结合第3项与第5项的系数之比为，可得.再根据公式逐个选项判断即可.
【详解】二项式的展开式的通项为，由于第3项与第5项的系数之比为，则，故，得.
∴(n＋5)(n－10)＝0，解得n＝10，故A正确；
则，令，解得，
则展开式中的常数项为，故B正确；
令，解得，则含的项的系数为，故C正确；
令，则r为偶数，此时，故6项有理项．
故选：ABC
4．已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________．
【答案】2
【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可
【详解】的展开式有项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以
当时,,当时,,符合题意
所以展开式中有理项的个数为2
故答案为：2
5．如果的展开式中第3项与第2项系数的比是4，那么展开式里x的有理项有________项．（填个数）
【答案】2
【分析】利用二项式系数的性质可得，从而可求得的值，再写出展开式的通项，由的幂指数即可求得的值，从而可求得展开式里所有的有理项；
【详解】解：依题意可得，
即，解得或（舍去）．
所以二项式展开式的通项为（，1，2，，，
根据题意，解得或，
展开式里所有的有理项为，共项；
故答案为：
题型七：求系数最大小项问题
【例1】已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据二项式系数的性质可得，再结合二项展开式的通项求各项系数，分析列式求系数最小项时的值，代入求系数的最小值.
【详解】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则
∴展开式的通项为
则该展开式中各项系数
若求系数的最小值，则为奇数且，即，解得
∴系数的最小值为
故选：C.
【例2】的二项展开式中，系数最大的是第___________项.
【答案】
【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，然后设第项系数最大，列出不等式组，求出，从而得到答案.
【详解】展开式的通项公式为，
假设第项系数最大，则有，
解得：，
因为，所以，则，即系数最大的是第1868项.
故答案为：1868
【例3】在二项式展开式中，第3项和第4项的系数比为．
(1)求n的值及展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项是第几项．
【答案】(1)，；(2)第5项
【分析】（1）根据展开式的通项以及系数之比即可求解，由值和通项特征即可求解常数项，
（2）根据不等式法即可求解最大项，
（1）
二项式展开式的通项公式为:，因为第3项和第4项的系数比为，所以，化简得，解得，
所以，令，得，所以常数项为．
（2）
设展开式中系数最大的项是第项，则
解得，因为，所以，所以展开式中系数最大的项是第5项．
【题型专练】
1．已知为正偶数，在的展开式中，第5项的二项式系数最大．
(1)求展开式中的一次项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)；(2)，
【分析】(1)由第5项的二项式系数最大，可求得，再根据二项式的展开公式求一次项即可；
(2)令为展开式中系数，根据可得或，代入二项式的展开式中，即可求得答案.
（1）
解：因为正偶数，在展开式中的第5项的二项式系数最大，则，．
设，
令，得，所以展开式中的一次项为.
（2）
解：令，当时，
令，可得：,
即，
或．
所以系数最大的项为：，．
2．已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用二项式展开式的通项和等差中项解出.当是偶数时，中间项的二项式系数最大，当为奇数时，中间两项的二项式系数，相等且最大．
（2）求系数最大的项，则只需比较相邻两项系数的大小即可．
（1）的展开式的通项．因为展开式中前三项的系数成等差数列，所以，即，整理得，解得或．又因为，所以，所以第5项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为．
（2）由（1）得展开式中系数为由得整理得，解得所以当或时项的系数最大.因此，展开式中系数最大的项为和．
3．已知的二项式展开式的各项二项式系数和与各项系数和均为128，
(1)求展开式中所有的有理项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)展开式中所有的有理项为，；(2)和
【分析】（1）由二项式系数的性质可得，进而可得的值，再令求出的值，然后结合二项展开式的通项公式即可求解；
（2）由二项展开式的通项公式可知，展开式中系数最大的项即为展开式中二项式系数最大的项，从而利用二项式系数的性质即可求解.
（1）
解：因为的二项展开式的各二项式系数和为，各项系数和为，
所以由已知得，故，
所以，解得，
所以该二项式为，其通项为，，
所以当时，该项为有理项，
所以展开式中所有的有理项为，；
（2）
解：因为展开式的通项公式为，，
所以展开式中系数最大的项即为展开式中二项式系数最大的项，而由二项式系数的性质可知最大的项为展开式的第或第项，
所以展开式中系数最大的项为和；
题型八：利用“赋值法”及二项式性质，求部分项系数，二项式系数和
【例1】若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或B．C．或3D．
【答案】A
【分析】利用赋值法，分别令，和，
，
，
再根据，求得的值．
【详解】在中，
令可得，即，
令，可得，
∵，
∴，
∴，
整理得，
解得，或．
故选：A
【例2】设，若则非零实数a的值为（ ）
A．2B．0C．1D．-1
【答案】A
【分析】对原等式两边求导数可得，令，可得，由此即可求出结果.
【详解】∵，对其两边求导数，
∴，
令，得，①
又，②
∴，∴，解得，
故选：A．
【例3】（多选题）已知，若，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】令，已知式变为，可求得，然后二项式变形为，并令二项式化为，可求得，二项式两边都对求导后令可求得，从而判断各选项．
【详解】令，则，已知式变为，
解得，
，，
，
，
令，则有，
两边对求导得，
再令得，
所以，
故选：BCD．
【例4】（多选题）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】比较等式两侧x的最高次知且判断A、B；将C中等式两侧乘，再令验证即可；对已知等式两侧求导，将代入求值判断D.
【详解】由等式右边最高为项，且不含项，则且，即，故A错误，B正确；
所以.
C：等式两边同乘，原等式等价于，令，则，正确；
D：，可得：，令，则，错误；
故选：BC
【例5】若，则_______，________．
【答案】 0
【解析】赋值法，令，得．换元：设，则．只有中含有项，展开式的通项得解
【详解】令，得．
设，则．
因为仅有中含有项，展开式的通项，所以当，即时，．
【点睛】本题考查二项式定理，考查运算求解能力．属于基础题.
【例6】设多项式， 则_____.
【答案】
【分析】分别赋值，得到两个等式，两式相加即得偶数项系数的倍.
【详解】依题意，令，得到：，令，得到：
，两式相加可得：，故.
故答案为：
【题型专练】
1．已知，若，则自然数n＝______.
【答案】5
【分析】利用赋值的方法分别让，，得到两个等式，再结合题目中的条件即可求出.
【详解】令，得，
令，得，所以，.
故答案为：5.
2．已知且，，，且，则____________．
【答案】6
【分析】由二项式定理求解
【详解】由题意可得，令，得，
令，得，
故，解得，故．
故答案为：6
3．已知，且，则______．
【答案】
【分析】运用二项式定理将进行展开，分别求出各个项的系数，
再带入到中，解方程即可求．
【详解】由二项式定理得：的通项为：，
又
则其通项为：
即
，，，，
，，
代入，化简得：
，解得
故答案为：．
4．已知，若，则______或______．
【答案】 1
【分析】根据二项展开式的形式，分别令和，代入展开式求得和的值，再把它们相乘，结合条件，即可求解．
【详解】因为，
令，可得，
再令，可得，
则
，
解得或.
故答案为：1或．
5．（多选题）设，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】赋值令，代入整理运算，逐项判断.
【详解】令，则，即，A错误；
令，则，即①，
则，B错误；
令，则，即②，
由①②可得：，，C、D正确；
故选：CD.
6．（多选题）已知，下列命题中，正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为；
B．展开式中所有奇次项系数的和为；
C．展开式中所有偶次项系数的和为；
D．.
【答案】ACD
【分析】由二项式定理知的所有项的二项式系数和为，分别令、，再将所得作和差处理，求奇偶次项的系数和，根据通项，即可求，进而判断各选项的正误.
【详解】对于A：由二项式知：，故A正确；
当时，有，
当有，
对于B：由上，可得，故B错误；
对于C：由上，可得，故C正确；
对于D：由二项式通项知：，
则，，…，，
所以，故D正确.
故选：ACD
7.（多选题）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】对于A，利用赋值法求解，对于B，利用二项式展开式的通项公式求解，对于C，利用赋值法求解，对于D，利用二项式展开式的通项公式求解.
【详解】对于A，令，则，令，则，
所以，所以A错误，
对于B，二项式展开式的通项公式为，所以，所以B错误，
对于C，令，则，因为，所以，，
因为，所以，所以，所以C正确，
对于D，因为二项式展开式的通项公式为，所以，， ，，，
所以，，
所以，所以D正确，
故选：CD
8．已知.且，则__________，该展开式第3项为__________.
【答案】 5
【分析】根据二项式展开式可得，再利用赋值法得到，即可求出，再根据展开式的通项计算可得；
【详解】解：因为，
所以，令，则，令，则，
所以，所以，所以，解得或（舍去），
所以，
所以展开式的第项为；
故答案为：；
题型九：利用二项式定理求余数
【例1】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ）
A．2004B．2005C．2025D．2026
【答案】D
【分析】由二项式定理可得，结合算法新定义判断满足对应b值.
【详解】若，
由二项式定理得，则，
因为能被5整除，所以a除以5余，
又因为，选项中2026除以5余1．
故选：D．
【例2】（多选题）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则（ ）
A．
B．的展开式中有理项有5项
C．的展开式中偶数项的二项式系数和为512
D．除以9余8
【答案】ABD
【分析】由二项式系数的概念与组合数的性质可判断A；由二项式的通向结合有理项的概念判断B；由偶数项的二项式系数和判断C；由二项式定理判断D
【详解】对于，因为第4项与第7项的二项式系数相等，所以，
由组合数的性质知，故A正确；
对于，在的展开式中，令，得，
所以，
所以的二项式通项为.
由为整数，得，
所以展开式中有理项有5项，故B正确；
对于，展开式中偶数项的二项式系数和为，故错误；
对于D，由B知，则
，
所以除以9余8，故D正确.
故选：ABD.
【例3】设n∈N，且 能被6整除，则n的值可以为_________.(写出一个满足条件的n的值即可)
【答案】5（答案不唯一）
【分析】先利用二项展开式将变形，进而即可求得n的可能取值
【详解】
被6整除，
由能被6整除，可得能被6整除，
则n的值可以为5，或11，或17等，答案不唯一
故答案为：5（答案不唯一）
【例4】已知且满足能被8整除，则符合条件的一个的值为___________.
【答案】5（答案不唯一）
【分析】对进行合理变形，并利用二项式定理展开，从而得出的值.
【详解】由已知得，由已知且满足能被8整除，则是8的整数倍，所以（），则符合条件的一个的值为5.
故答案为：（答案不唯一）
【题型专练】
1．设，则当时，除以15所得余数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】A
【分析】利用二项式定理化简，结合二项式的展开式公式即可求解.
【详解】∵，
∴，当时，，
而，故此时除以15所得余数为3.
故选:A.
2.（多选题）设，且，若能被13整除，则a的值可以为（ ）
A．0B．11C．12D．25
【答案】CD
【分析】化简，再利用二项式定理分析得解.
【详解】解：，
又52能被13整除，
∴需使能被13整除，即能被13整除，
∴，，又，
∴或25.
故选：CD．
3．除以100的余数是______．
【答案】81
【分析】根据二项式定理的应用求余数即可.
【详解】，在此展开式中，除了最后两项外，其余项都能被100整除，故除以100的余数等价于除以100的余数，所以余数为81.
故答案为：81.
4．若能被13整除，则实数a的值可以为________．（填序号）
①0；②11；③12；④25．
【答案】③④
【分析】由，根据二项式定理展开，转化为能被13整除，结合选项即可求解.
【详解】解析：∵，
又52能被13整除，∴需使能被13整除，即能被13整除，
∴，，结合选项可知③④满足．
故答案为：③④．
题型式：利用二项式定理求近似值
【例1】的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930B．0.931C．0.932D．0.933
【答案】C
【分析】由二项式定理求解
【详解】.
故选：C
【例2】估算的结果，精确到0.01的近似值为（ ）
A．30.84B．31.84C．30.40D．32.16
【答案】A
【分析】利用二项式定理进行计算．
【详解】原式
+
．
故选：A．
【题型专练】
1．已知为正整数，若，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】由，根据二项式定理，将式子展开，估算，进而可得，再由题意，即可得出结果.
【详解】因为
，
而，
所以，
因此，
又为正整数，，所以；
故选：C.
【点睛】本题主要考查近似计算的问题，灵活运用二项式定理即可，属于常考题型.
2．1.028的近似值是___________.(精确到小数点后三位)
【答案】1.172
【分析】由题意，，根据二项式定理，展开计算，即可得答案.
【详解】由题意得：.
故答案为：1.172
题型十一：二项式定理与杨辉三角
【例1】当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：
若在的展开式中，的系数为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据广义杨辉三角形可得出的展开式，可得出的展开式中的系数，即可求得的值.
【详解】由广义杨辉三角形可得，
故的展开式中，的系数为，解得.
故选：C.
【例2】杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（ ）
A．1009B．1010C．1011D．1012
【答案】C
【分析】根据题意可得第斜列各项之和为，第斜列各项之和为，则可求出.
【详解】当时，第斜列各项之和为，
同理，第斜列各项之和为，所以，
所以第斜列与第斜列各项之和最大时，，则.
故选：C．
【例3】杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（，且）在三角形中的一种几何排列，北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋时期杭州人杨辉在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”，杨辉三角形的构造法则为：三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数字相加.根据以上信息及二项式定理的相关知识分析，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．当且时，
C．为等差数列
D．存在，使得为等差数列
【答案】ABD
【分析】由组合数性质可判断A；利用组合数公式化简可判断B；组合数公式结合等差数列定义可判断CD.
【详解】A选项：由组合数的性质可知A正确；
B选项：，
因为，所以，所以，B正确；
C选项：，C错误；
D选项：当时，，所以数列为公差为1的等差数列，D正确.
故选：ABD.
【例4】如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除两端的数字是以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数，第行中最大的数为，第行中最大的数为，且，则的值为______．
【答案】
【分析】根据二项式系数的最大值满足的条件求出，，代入，根据组合数的公式求解即可．
【详解】由题意知，故
，
，，
解得．
故答案为：．
【例5】如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：，记此数列的前项之和为，则的值为__________.
【答案】452
【分析】观察杨辉三角结合其中数的来源，可得到这个数列的奇数项的通项公式和偶数项的通项公式，分别求奇数项和与偶数项和，从而得到前n项和.
【详解】设数列为{}，
当为偶数时，易知；
前23项里面有偶数项11项，奇数项12项，
偶数项是首项为3，公差为1的等差数列，且，
所以偶数项之和为：；
当为奇数时，，，，，…，
所以，则，
所以前23项里面奇数项和为：
=
=
=
=364，
所以.
故答案为：452.
【题型专练】
1．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，第行的第3个数字为，则（ ）
A．165B．180C．220D．236
【答案】A
【分析】根据杨辉三角及二项式系数的性质确定，…，，再应用组合数的运算性质求结果.
【详解】由题意得，，
则.
故选：
2．（多选题）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84
B．在“杨辉三角”中，当时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为66
C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则
【答案】AC
【分析】二项式的系数求得第9行第7个数，可判定A正确；结合等差数列的求和公式，可判定B错误；结合的展开式的系数的关系，可判定C正确；根据第行的第个数为，结合，可判定D错误.
【详解】对于A中，在杨辉三角中，第9行第7个数是，所以A正确.
对于B中，当时，，所以B错误.
对于C中，用数学符号语言可表示为：，
证明如下：
对应相乘，恰好得到这一项的系数为
而是二项式的展开式中第项的二项式系数（即的系数）
故，所以C正确.
对于D中，第行的第个数为，所以
即，所以D错误.
故选：AC.
3．（多选题）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的叙述证确的是（ ）
A．第9行中从左到右第6个数是126
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据杨辉三角，利用组合数的计算判断ABD，利用二项式系数的性质判断C.
【详解】对于A，第9行中从左到右第6个数是，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，由二项式系数的性质知，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
4．（多选题）杨辉三角把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合．根据杨辉三角判断下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数和为
D．已知，则
【答案】AB
【分析】根据二项展开式的性质，逐个选项进行计算验证，即可得答案.
【详解】对于A，因为的展开式为，计算即可求出，故A正确；
对于B，因为，所以，，而，故B正确；
对于C，根据题意得，，所以，原式变为，令，所以，所有项的系数和为，故C错误；
对于D，令，得，令，得，所以，，根据展开式通项公式，明显可见，故D错误.
故选：AB
5．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，若第行中从左至右第14与第15个数的比为，则的值为___________.
【答案】34
【分析】根据杨辉三角形中数据的规律可以写出第行中从左至右第14与第15个数的表达式，根据比例结果可计算得的值.
【详解】由题意可知，根据数字规律可以看出第行中从左至右第个数为
所以，第行中从左至右第14与第15个数分别是和；
即，由组合数计算公式
可得，计算的；
故答案为：34.
6．在我国南宋数学家杨辉所著作的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律，下面的数字三角形可以看做当依次取、、、、时展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列，例，，，，设数列的前项和为.若，则___________.
【答案】##
【分析】推导出，则，结合裂项法可求得的值.
【详解】注意到，，，，，，
则，，，，
以此类推可知，则，
所以，
.
故答案为：.
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