高二下学期期末押题卷01-高二数学同步教学题型讲义（人教A版选择性必修）

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【分析】首先求出二项式展开式的通项，再令求出，再代入计算可得；
【详解】解：二项式展开式的通项为，令，解得，所以，故的系数为；
故选：A
2．A
【分析】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解.
【详解】由分布列的性质可知： 解得 ，
由 ， 等价于 ，由表可知 ；
故选：A.
3．D
【分析】由题意可得，求出的值，即可求出，再对求导，得到单调性，即可求出答案.
【详解】由，得，
又是函数的极大值点，，，
则，，
令，得或，
令，解得或；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则当时，的极小值为.
故选：D.
4．B
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出高二男生身高不低于170cm的概率，即可计算作答.
【详解】因为高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，且，
于是，因此，
所以高二男生身高不低于170cm的人数约为.
故选：B.
5．B
【分析】根据题设应用排列组合数求{数学不排第一节，物理不排最后一节}、{化学排第四节}的安排方法数，求出、，应用条件概率公式求目标概率.
【详解】事件：数学不排第一节，物理不排最后一节.
若物理安排在第一节，其它4节课安排4科，作全排有种；
若物理不在第一节，中间3节课任选一节上物理，余下的4节课去掉第1节课的3节课中任选一节上数学，最后剩下的3节课安排3科，做全排有种；
综上，事件A的安排数有种；
事件：化学排第四节.
若物理安排在第一节，其它3节课安排3科，作全排有种；
若物理不在第一节，中间前2节课任选一节上物理，余下的1节课和最后一节课任选一节上数学，最后剩下的2节课安排2科，做全排有种；
综上，事件B的安排数有种；
5科任意排有种，所以，，
故满足条件的概率是.
故选：B
6．D
【分析】利用二项式定理展开二项式，找出含有的项，即可求得项的系数.
【详解】在的展开式中，
含项的系数为.
故选：D
7．B
【分析】求出两个加数都大于2的情况，即两个加数都为素数的情况，即可得出概率.
【详解】记“两个加数都大于2”为事件A，“两个加数都为素数”为事件B，
在加数都大于2的条件下则事件A有这5种情况
事件B有这3种情况，故.
故选：B.
8．C
【解析】引入函数，利用导数确定它的单调性，然后由单调性判断各选项．
【详解】考查函数
由，得
由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
选项,
，，
故本选项正确，不符合题意；
选项：
即
故本选项正确，不符合题意；
选项
即
故本选项错误，符合题意；
选项
即
故本选项正确，不符合题意．
故选：．
【点睛】关键点点睛：本题考查实数的比较大小．解题关键是引入函数，由导数确定它的单调性，由单调性可判断各选项．
9．ACD
【分析】由椭圆的几何性质分别判断即可.
【详解】由椭圆方程知：，，；
对于A，离心率，A正确；
对于B，为椭圆左焦点，，B错误；
对于C，当为椭圆上下顶点时，，，
，，
则当在椭圆上运动时，，则大小可以是，C正确；
对于D，当为椭圆上下顶点时，，满足为等腰三角形；
，即，
能成立，根据椭圆对称性知：此时有点满足题意；
同理可知：时，有点满足题意；
满足为等腰三角形的点有个，D正确.
故选：ACD
10．AD
【分析】由对数函数的性质直接判断A，利用导数确定函数的单调性与最值判断BC，D选项中，不等式变形为，然后引入函数，由导数求得最小值判断D．
【详解】对于选项A，当时，；当时，，故选项A正确；
对于选项B，，令，
可得，有，可知函数的减区间为，增区间为，故选项B错误；
对于选项C，由上可知，
趋近正无穷时，趋近正无穷，选项C不正确；
对于选项D，，
令，有，
令可得，令可得，
故函数的增区间为，减区间为，
可得，选项D正确.
故选：AD.
11．ABD
【分析】令，将式子化成，然后利用赋值法分别求出选项对应的系数
【详解】令，则，
令，可得，即，故A正确；
令，可得，又，
所以，故B正确；
令，所以，
所以，所以，故C错误；
由题可知1798，故D正确.
故选:ABD.
12．BCD
【分析】利用二项分布的期望方差公式计算，求得p,q的值，从而判断A；
利用间接法计算，可以判定B；
利用超几何分布，写出分布列，计算期望，可以判定C；
利用二项分布的性质可以判定D.
【详解】A：，可得，A错；
B：利用间接法有，B对；
C：，，，
，则期望,故C正确；
D：，所以，当时概率最大，所以D对.
故选：BCD.
13．
【分析】根据题意可得出关于的方程，结合可求得的值.
【详解】由题意可得，则，
上述两个等式作商可得，即，
因为，解得.
故答案为：.
14．450
【分析】安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，第二类，分别安排3人，2人，1人，结合分堆分配问题解决方法求解即可.
【详解】满足条件的安排方案可以分为两类，
第一类，每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；
方案二：一个实验舱安排3人，一个实验舱2人，一个实验舱1人，
共有（种）不同的方案.
所以共有不同的安排方案.
故答案为：450.
15．12
【分析】根据三角形重心坐标公式以及抛物线的定义求解.
【详解】设三角形的三个顶点，
由条件可知，,
根据三角形的重心坐标公式，可得，所以，
根据抛物线的定义，可得
所以，
故答案为：12.
16．
【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围．
【详解】解：函数的导数为，
令，则或，
可得函数在上单调递减，和上单调递增，
或是函数的极值点，函数的极值为：，．
函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由勾股定理证明，再用线面垂直的判定定理证明平面，从而得到，即可证明平面ABM，最后由面面垂直的判定定理证明即可；
（2）以点B为坐标原点，以BA，BC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量求解即可
【详解】（1）不妨设，则，．
因为点M是的中点，
所以，
所以．
因为，
所以．
由直棱柱的性质可得平面ABC，
因为平面ABC，
所以．
因为，即，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
因为，，，AB，平面ABM，
所以平面ABM．
因为平面，
所以平面平面．
（2）以点B为坐标原点，以BA，BC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，，
所以，，．
设为平面ABM的一个法向量，则
令，得，，此时．
所以，
所以直线与平面ABM所成角的正弦值是．
18．（1）（2）50
【详解】（1）由，得．
将上述两式相减，得．
所以 ． ①
所以 ． ②
①－②，得 ，
所以 ．
故数列为等差数列．
又由，及，得，的公差．
所以．
（2）由（1）知，．
所以
．
所以
．
由，得．所以，，．
所以使成立的最小正整数的值为50．
19．(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）先根据分层抽样分别求出T骨牛排和非T骨牛排的和数，再利用古典概型求解即可；
（2）先求出从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的概率，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的分布列及期望公式求解即可.
【详解】（1）用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，
其中T骨牛排有3盒，非T骨牛排有7盒，
再从中随机抽取4盒，设恰好有2盒牛排是T骨牛排为事件A，
则；
（2）这100盒牛排中菲力牛排有20盒，所以菲力牛排的频率为，
设从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的事件为B，
将频率视为概率，用样本估计总体可得，
从这批牛排中随机抽取3盒，抽到的菲力牛排的数量X满足，
，
．
所以X的分布列为
所以．
20．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）首先根据题意得到，再根据，即可得到，，即可得到答案.
（2）首先设直线，与椭圆联立得到，根据直线、的倾斜角互补和根系关系即可得到，从而得到直线恒过定点.
【详解】（1）依题意：，∴，
由，，∴，，
∴，∴，
∴求椭圆的方程为．
（2）依题意可设直线，，，
由消去得：，
∴
由、的倾斜角互补可得：，
∴，∴，
即，
∴，
化简得：，
则直线过．
【点睛】方法点睛：定点问题，一般从三个方法把握：
（1）从特殊情况开始，求出定点，再证明定点、定值与变量无关；
（2）直接推理，计算，在整个过程找到参数之间的关系，代入直线，得到定点.
21．(1)71（分）
(2)5
(3)分布列见解析，
【分析】（1）X近似服从正态分布，根据正态分布的对称性可得，即可求解；
（2）随机变量服从且即可求出分布列，由二项分布的期望公式即可计算期望；
（3）求出的可能值，分别求出对应的概率值，写出分布列，进而计算期望作答.
【详解】（1）由，
又，，
所以该校预期的平均成绩大约是（分）；
（2）由得，，
即从所有参加笔试的学生中随机抽取1名学生，该生笔试成绩76.5以上的概率为.
所以随机变量服从二项分布，所以；
（3）X的可能取值为0，1，2，3，4.
，
，
，
，
，
所以.
22．（1）在上递减；（2）.
【解析】（1）求出导函数，令，利用导数确定，从而可得的单调性；
（2）由可得，求出，由令递增，并确定存在零点，是的极小值点，由得与的关系，这样可化简为，求出的范围，再由求得的范围．
【详解】解：（1）时，，
，
令，则，
当，；当，；
∴在递增，在上递减，∴，
∴，∴在上递减．
（2）（隐零点代换）
，
由，，∴可得，
令，则在上递增，
由，且当时，，
∴，
∴使得，
且当时，即；
当时，即，
∴在递减，在递增，
∴，
由，∴，
由得即，
由得，∴，
设，则，
可知在上递增∴，
∴，∴，
综上．
【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题．不等式恒成立中参数范围问题，在的解不容易确定时，可利用零点存在定理确定存在零点，由零点定义得出与参数的关系，由是的极值点，得出（需把参数用表示）的范围，然后再求得参数范围X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
4