第07讲 数列求和9种常见题型总结-高二数学同步教学题型讲义（人教A版选择性必修第二册）

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第7讲 数列求和9种常见题型总结 题型目录题型一：等差等比通向求和公式应用题型二：分析通项，构造新数列求和题型三：错位相减法求和题型四：分组求和法题型五：裂项相消法求和题型六：倒序相加法求和题型七：并项求和问题题型八：先求和，再证不等式题型九：先放缩，再求和典型例题题型一：等差等比通向求和公式应用根据通项公式的特点求和：（1）等差数列求和公式： （2）等比数列求和公式： 【例1】（2022·宁夏·平罗中学高二阶段练习（理））已知数列为等差数列，，．(1)求数列的通项；(2)设，求数列的前n项和.【例2】（2022陕西·安康市教学研究室一模）已知数列为等比数列，，且是与的等差中项．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【例3】（2022·江西·芦溪中学高三阶段练习（文））已知数列的前n项和.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【例4】（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））己知等差数列的前n项和为，满足，___________.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）(1)求的通项公式；(2)设，求的前n项和.【题型专练】1.（2022·广东汕尾·高二期末）记为等比数列的前项和.已知，.(1)求的通项公式；(2)求，判断，，是否成等差数列并说明理由.2.（2022·广东·江门市第二中学高二期中）设是首项为的等比数列，且、、成等差数列．(1)求的通项公式；(2)记为的前项和，求的前项和．3.（2022·北京八中高三阶段练习）已知数列的前项和为，且，请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.(1)求数列的通项公式；(2)若数列是公比为2的等比数列，，求数列的前项和.题型二：分析通项，构造新数列求和【例1】（2022·全国·模拟预测（文））在公差不为零的正项等差数列中，为数列的前项和，请在①，；②；③，，成等比数列，三个条件中，任选一个完成下面的问题．(1)求数列的通项公式；(2)正项数列满足，求．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【例2】（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高三阶段练习）在等差数列中，已知，，(1)求此数列的通项公式；(2)若从此数列中依次取出第二项，第四项，第八项，……，第项，……并按原来的先后顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式与前项和.【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知公比大于的等比数列满足，.(1)求的通项公式；(2)求.【题型专练】1．（2022·广东广州·一模）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.(1)求数列的通项公式：(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值.2．（2022·全国·高三专题练习）为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如.(1)求；(2)求数列的前2022项和.3．（2022·云南·高三阶段练习）已知等差数列满足，设.(1)求的通项公式，并证明数列为等比数列；(2)将插入中，插入中，插入中，，依此规律得到新数列，求该数列前20项的和.4．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习（文））已知数列满足，设.(1)证明：是等比数列；(2)求.题型三：错位相减法求和通项公式特点：等差等比，比如，其中代表一个等差数列的通项公式（关于的一次函数），代表一个等比数列的通项公式（关于的指数型函数），那么便可以使用错位相减法方法详解：以为例，设其前项和为 ①先将写成项和的形式 （前三后二，等差求出来，等比不要动） ② 两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列（两边同时乘以公比，后错一位） 发现乘完公比后，对比原式项的次数，新等式的每项向后挪了一位。③ 然后两式相减： 除了首项与末项，中间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出即可 所以 【例1】（2022·四川资阳·高一期末）给出以下条件：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③．从中任选一个条件，补充在题目中的横线上，再解答．已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______．(1)求数列的通项公式；(2)若是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列的前n项的和．【例2】（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）设数列的前项和为，已知，再从以下三个条件中，任意选择一个，并解决下面两个问题．①； ②； ③．(1)求数列的通项公式，(2)若数列满足，求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【例3】（2022·全国·高三专题练习）“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段，取的中点，以为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为，在图①中取的中点，以为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则___________；___________.【例4】（2022·河北·高三阶段练习）已知数列的前n项和为，且，.(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前n项和.【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足．(1)求{}和{}的通项公式；(2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围．【题型专练】1.（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知公差不为零的等差数列和等比数列，满足，，．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和为．若表示不大于m的正整数的个数，求．2.（2022·全国·模拟预测（文））若数列满足，，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．3.（2022·内蒙古赤峰·高一期末（文））已知数列的前n项和为，，且．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．4.（2022·湖南·高二期末）已知等差数列的前n项和为，，．正项等比数列中，，．(1)求与的通项公式；(2)求数列的前n项和．题型四：分组求和法分组求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加。例： 可知通项公式为，那么在求和的过程中可拆成3部分：分别求和后再相加 【例1】（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知数列{}满足，．(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；(2)求数列的前n项和．【例2】（2022·北京房山·高二期末）已知等差数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)证明数列是等比数列；(3)求数列的前n项和．【例3】（2022·上海松江·二模）在等差数列中，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．【例4】（2022·广东广州·高二期末）已知数列的前n项和为(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【题型专练】1.（2022·广东韶关·高二期末）已知数列满足，且．(1)若，证明：数列是等比数列；(2)求数列的前项和．2.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知正项数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．题型五：裂项相消法求和通项公式特点：的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多方法详解：以为例① 裂项：考虑（这里），在裂项的过程中把握两点：一是所裂两项要具备“依序同构”的特点，比如这里的结构相同，且分母为相邻的两个数；二是可以先裂再调：先大胆的将分式裂成两项的差，在将结果通分求和与原式进行比较并调整（调整系数），比如本题中，在调整系数使之符合通项公式即可② 求和：设前项和为 ，求和的关键在于确定剩下的项。通过观察可发现正项中没有消去，负项中没有消去。所以一般来说，裂开的项中有个正项，个负项，且由于消项的过程中是成对消掉。所以保留项中正负的个数应该相同。【例1】（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．【例2】（2022·浙江·模拟预测）已知数列的首项为正数，其前项和满足．(1)求实数的值，使得是等比数列；(2)设，求数列的前项和．【例3】（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）已知等差数列的首项，记数列的前项和为，且数列为等差数列.(1)证明：数列为常数列；(2)设数列的前项和为，求的通项公式.【例4】（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知数列中，，是数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式：(2)证明：.【例5】（2022·全国·高三专题练习（理））已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足(1)求数列{}的通项公式：(2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值.【例6】（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)，是数列的前项和，求．【例7】（2022·全国·高三专题练习）已知数列前n项和为，且，记.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求.【例8】（2022·江西九江·三模（理））已知数列的前项和为，且满足，.(1)求；(2)求数列的前项和.【例9】（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且是等比数列的前3项.(1)求；(2)设，求的前n项和.【例10】（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足．(1)求出，的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求证：．【题型专练】1．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）记为等比数列的前项和.已知，且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若，求.2.（2022·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．3.（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前项和，已知，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：．从①   ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.4．（2022·山西长治·高三阶段练习）已知数列的前项和满足（），且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足（），且，求数列的前项和．5.（2022·湖南·一模）已知等差数列中，前项和为，，为等比数列且各项均为正数，，且满足，.(1)求与；(2)设，，求的前项和.6.（2022·广东惠州·高三阶段练习）记是公差不为零的等差数列的前项和，若，是和的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前20项和.7.（2022·安徽·合肥一中高二期末）记为数列的前n项和，为数列的前n项和，已知，是与的等比中项.(1)求的通项公式；(2)若，求.8．（2022河南信阳·高二期中（文））若正项数列的前n项和为，首项，点在曲线上．(1)求数列的通项公式；(2)设，表示数列的前n项和，若对恒成立，求实数m的取值范围．9.（2022·山西大同·高三阶段练习）已知数列的前n项和满足.(1)证明：数列是等比数列；(2)设数列的前n项和为，求证：.10.（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且，；数列的前n项和，且，数列的，．(1)求数列、的通项公式；(2)若数列满足：，当时，求证：．11.（山东省日照市2021-2022学年高二下学期期末校际联合考试数学试题）已知为等差数列的前n项和，，.(1)求，；(2)若数列的前项和为，求满足的最小正整数n.12.（2022·河南新乡·高二期末（理））已知正项数列的前项和为，且，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.13.（2022·天津南开·三模）已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项．(1)求和的通项公式；(2)已知，数列满足，求数列的前2n项和；(3)设，求数列的前n项和．题型六：倒序相加法求和【例1】（2022·河北·高三阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若，则的前n项和_________．【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.(1)求数列的通项公式；(2)求的值；(3)令，求数列的前2020项和.【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，正项等比数列满足，则值是多少？.【题型专练】1.（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列，满足，，.（1）证明为等比数列，并求的通项公式；（2）求.2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式.3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）若函数，令，求数列的前2020项和．题型七：并项求和问题【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知的通项公式为，求的前n项和．【例2】（2022·四川内江·高一期末（理））已知数列满足：，.(1)①直接写出，的值；②求的通项公式；(2)求数列的前项和.【例3】（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知数列的前项和，，，．(1)计算的值，求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【例4】（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知数列为等差数列，为其前n项和，若．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前18项和．【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足.(1)求的通项公式；(2)在和中插入个相同的数，构成一个新数列，，，，，，，，，，，求的前项和．【题型专练】1.（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在数列中，，且.(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；(2)令，求数列的前项和.2.（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，.(1)证明：数列为等比数列.(2)求数列的前n项和.3.（山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）记等差数列的公差为d，前n项和为．已知，，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，求．4.（2022·广东广州·高二期末）已知数列的前n项和为(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．5.（2022·浙江·温州中学高二期末）已知数列满足(1)记，写出，并求出数列的通项公式；(2)求数列的前2022项和.6.（2022·上海普陀·二模）设是各项为正的等比数列的前项的和，且，，.(1)求数列的通项公式；(2)在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.7．（2022·江苏盐城·高二期末）已知数列是等差数列，是等比数列，且．(1)求数列、的通项公式；(2)设其中，数列的前n项和为，求的值．题型八：先求和，再证不等式【例1】（2022江西丰城九中高二阶段练习）等差数列中，前三项分别为，前项和为，且.(1)求和的值；(2)求=(3)证明: 【例2】（2022陕西安康市教学研究室高一期末）已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前项和，证明：．【例3】（2022·浙江·高二期末）已知数列满足，.(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.【题型专练】1．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知数列{}的前项和为，，(1)求数列{}的通项公式；(2)设，为数列的前项和.证明：2.（2022·江西萍乡·三模（理））已知正项数列的前项和满足：，且成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)令，求证：数列的前项和.3.（2022·四川·射洪中学高二开学考试）已知数列的前项和，其中.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，（i）证明：数列为等差数列；（ii）设数列的前项和为，求成立的的最小值.4．（2022·安徽·高三开学考试）已知数列满足且，且.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为，求证：.题型九：先放缩，再求和【例1】（2022·重庆·高三阶段练习）已知数列满足：，，.(1)设，求数列的通项公式；(2)设，，求证：.【例2】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，(1)求和(2)求证：．【例3】（2022·广东汕头·一模）已知数列的前n项和为，.(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；(2)设，证明：.【例4】（2022·辽宁·高二期中）设数列的前项和为，，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)证明：对一切正整数，有.【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列前n项积为，且．(1)求证：数列为等差数列；(2)设，求证：．2．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知数列单调递增且，前项和满足，数列满足，且，.(1)求数列、的通项公式;(2)若，求证：.3．（2022·重庆市云阳江口中学校高三期末）已知数列的前项和满足．(1)求及数列的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)求证：．4．（2022·云南·昆明市第一中学西山学校高三阶段练习（文））已知数列满足，且,是的前项和.(1)求；(2)若为数列的前项和，求证：.5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，，且．(1)求；(2)求证：．