第12讲 导数中极值的5种常考题型总结-高二数学同步教学题型讲义（人教A版选择性必修第二册）

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第12讲 导数中极值的5种常考题型总结 【考点分析】考点一：函数的驻点若，我们把叫做函数的驻点．考点二：函数的极值点与极值①极大值点与极大值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作，其中叫做函数的极大值点②极小值点与极小值：函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作，其中叫做函数的极小值点考点三：求可导函数极值的步骤①先确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.注意：可导函数在满足是在取得极值的必要不充分条件，如，，但不是极值点.【题型目录】题型一：求函数的极值与极值点题型二：利用导函数图像判断极值题型三：根据极值、极值点求参数的值题型四：根据极值、极值点求参数的范围题型五：证明函数存在极值点极值问题【典型例题】题型一：求函数的极值与极值点【方法总结】利用导数求函数极值的步骤如下：（1）求函数的定义域；（2）求导；（3）解方程，当；（4）列表，分析函数的单调性，求极值：①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值【例1】（2022·全国·高二课时练习）“”是“函数在处有极值”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例2】(2022石泉县石泉中学)函数的极小值为( )A．0 B． C． D．【例3】（2022·北京大兴·高二期中）已知函数，则（    ）A．有极小值，无极大值 B．有极大值，无极小值C．既有极小值又有极大值 D．无极小值也无极大值【例4】（2022·全国·高三专题练习）函数在处（    ）A．有极大值 B．无极值 C．有极小值 D．无法确定极值情况【例5】（2023·全国·高三专题练习多选题）设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（    ）A．是的最小值点B．是的极大值点C．是的极大值点D．是的极大值点【例6】（2022全国·高二期末）已知函数，下列结论中错误的是（    ）A．存在，使得B．若，则函数的图像是中心对称图形C．若是的极小值点，则在区间上单调递减D．若是的极值点，则【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数，则下列结论正确的是A．在处有极大值 B．在处有极小值C．在上单调递减 D．至少有3个零点【例8】（2022·浙江·高二期中）下列关于极值点的说法正确的是（    ）A．若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值B．在任意给定区间上必存在最小值C．的最大值就是该函数的极大值D．定义在上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点【题型专练】1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ）A．在上为增函数 B．在上为减函数C．在上有极大值 D．在上有极小值2．（2022·全国·高三专题练习）函数（e为自然对数的底数），则下列说法正确的是（    ）A． 在R上只有一个极值点 B．在R上没有极值点C．在处取得极值点 D．在处取得极值点3．（2022·全国·高二课时练习）若函数，则（    ）A．既有极大值，也有极小值 B．有极小值，无极大值C．有极大值，无极小值 D．既无极大值，也无极小值4．（2022·全国·高三专题练习）设，则函数（    ）A．有且仅有一个极小值 B．有且仅有一个极大值C．有无数个极值 D．没有极值5．（2018·云南·红河县第一中学高二期末（文））已知函数，则下列结论中错误的是（    ）A．， B．函数的图像是中心对称图形C．是函数的极大值点 D．函数在区间单调递减6．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数，那么（    ）A．有极小值，也有大极值 B．有极小值，没有极大值C．有极大值，没有极小值 D．没有极值7．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．在点处的切线方程为B．的单调递减区间为C．有且只有一个零点D．的极小值点为8．（2022·重庆·高二阶段练习多选题）对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（    ）A．使的一定是函数的极值点B．在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调9．（2022全国高三专题练习）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论错误的是（    ）A．， B．是的极小值点C．是的极小值点 D．是的极小值点10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则_____，有极__________（填大或小）值．题型二：利用导函数图像判断极值【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ）A．B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值D．函数的最小值为【例2】（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）A．函数有极大值和B．函数有极小值和C．函数有极小值和极大值D．函数有极小值和极大值【例3】（2022·重庆市璧山来凤中学校高二阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（    ）A．是函数的极值点B．在区间上单调递减C．函数在处取得极小值D．的图象在处的切线斜率小于零【题型专练】1．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）A．函数在区间单调递增 B．函数在区间单调递减C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极小值2．（2022·全国·高二单元测试）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）A．在，上为减函数B．在，上为增函数C．的极小值为，极大值为D．的极大值为，极小值为4．（2022·河北邢台·高二阶段练习）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（    ）A．为函数的单调递增区间B．为函数的单调递减区间C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值题型三：根据极值、极值点求参数的值【方法总结】解含参数的极值问题要注意：①是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；②若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值．【例1】（2022·天津市第四中学高二期中）函数在处取极小值，则（    ）A．6或2 B．或 C．6 D．【例2】(2022全国课时练习)若函数的极小值点是，则的极大值为( )A． B． C． D．【例3】（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））函数在处有极大值，则a的值为（    ）A．2 B．6 C．2或6 D．无答案【例4】（2022·重庆·万州纯阳中学校高二期中）已知函数在时有极值0，则= ______ .【题型专练】1．（2023全国高三专题练习）已知函数，设是的极值点，则a=___，的单调增区间为___.2.（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（       ）A．-1 B．2 C．-3 D．43.设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为________4．（2023河南省实验中学高二月考）函数在处有极值，则的值为（ ）A． B． C． D．5.(2021·河南新乡市)已知函数的图象在处的切线方程为，则的极大值为( )A． B． C． D．1题型四：根据极值、极值点求参数的范围【例1】（2022·全国·高二专题练习）若函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是______．【例2】（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【例3】（2022·全国·高二课时练习）若函数在区间上的极大值为最大值，则m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【例4】（2022·江西江西·高三阶段练习（文））设，若为函数的极小值点，则（    ）A． B． C． D．【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值集合是（    ）A． B． C． D．【例6】（2022·全国·高二课时练习）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________．【例7】（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））已知函数有两个不同的极值点，且，则实数的取值范围是___________.【例8】（2022·全国·高二专题练习）已知函数在区间上有且只有一个极值点，则实数的取值范围为___________.【例9】（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数在上无极值，则实数的取值范围（       ）A． B． C． D．【题型专练】1.（2022吉林通榆县第一中学校高二期末（理））已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（   ）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（　　）A． B． C． D．3．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．4.（2022·江西·丰城九中高二期末（理）多选题）函数在区间内仅有唯一极值点的一个充分不必要条件为（    ）A． B． C． D．5．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末多选题）设函数.若在处取得极大值，a的值可能为（    ）A．-2 B． C．1 D．26．（2022·广东·东莞市东华高级中学高三阶段练习多选题）对于函数，下列选项正确的是（    ）A．函数的极小值点为，极大值点为B．函数的单调递减区间为，单调递增区为C．函数的最小值为，最大值为D．函数存在两个零点1和7．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是____________.8．（2022·山东青岛·高三开学考试）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是___________.9.（2022·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．10．（2022贵州遵义·高三）若函数无极值点则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．11.（2022辽宁高三月考）已知函数有两个不同的极值点，，则a的取值范围___________；且不等式恒成立，则实数的取值范围___________.题型五：证明函数存在极值点极值问题【例4】（2022·上海市进才中学高三阶段练习）已知函数.(1)求处的切线方程；(2)求证：有且仅有一个极值点；【例2】（2022·江西师大附中三模（理））已知函数为的导函数．(1)判断函数在区间上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求证：函数存在唯一的极大值点；【题型专练】1．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）已知函数，为的导数．(1)判断并证明在区间上存在的极大值点个数；2.（2022·北京房山·高三开学考试）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：在上存在唯一的极大值点．3.（2022·江苏苏州·模拟预测）函数．(1)求函数在上的极值；