数学选择性必修 第三册6.2 排列与组合复习练习题

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考点一：组合及组合数的概念
①组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 合成一组 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
②组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同 组合的个数 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示．
考点二：组合数公式及其性质
公式：
性质：性质1： 性质2： 规定：
【题型目录】
题型一：组合的概念
题型二：组合数的计算
题型三：解组合数方程和不等式
题型四：组合数的性质及恒等式
题型五：组合的简单应用
【典型例题】
题型一：组合的概念
【例1】（多选题）下面问题中，是组合问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合
【例2】下列问题中，组合问题的个数是（ ）
①从全班50人中选出5人组成班委会；
②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；
③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积；
④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商.
A．1B．2C．3D．4
【例3】（多选题）给出下列问题，属于组合问题的有（ ）
A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法
B．有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法
C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种
D．从2，3，5，7，11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积
【题型专练】
1．以下四个问题，属于组合问题的是（ ）
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
2．（多选题）下列问题中，属于组合问题的是（ ）
A．10支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛
B．10支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能
C．从10名员工中选出3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法
D．从10名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法
3．（多选题）下列问题中是组合问题的有（ ）.
A．某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票
B．从7本不同的书中取出5本给某同学
C．3个人去做5种不同的工作，每人做一种，有多少种分工方法
D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法
4．（多选题）给出下列问题，其中是组合问题的是（ ）
A．由1，2，3，4构成的含3个元素的集合
B．从7名班委中选2人担任班长和团支书
C．从数学组的10名教师中选3人去参加市里新课程研讨会
D．由1，2，3，4组成无重复数字的两位数
题型二：组合数的计算
【例1】（ ）
A．B．C．D．
【例2】已知n，m为正整数，且，则在下列各式中错误的是（ ）
A．；B．；C．；D．
【例3】________．
【例4】设n为正整数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．该代数式的值唯一确定B．该代数式的值有两种情况
C．该代数式的值有三种情况D．该代数式的值有无数种情况
【题型专练】
1．求值：_______．
2.___．（用数字作答）
3．（ ）
A．B．C．D．
题型三：解组合数方程和不等式
【例1】已知，则_______．
【例2】若，则x的值为_______
【例3】若，则正整数___________.
【例4】已知则x＝______.
【题型专练】
1．已知，，成等差数列，则＝________.
2．已知，则的值是（ ）
A．9B．7C．9或D．8
3．（1）若，则的取值集合是___________.（2）___________.
题型四：组合数的性质及恒等式
【例1】已知，则方程的解是___________．
【例2】已知，则________．
【例3】下列等式不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例4】（多选题）对于，，，关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例5】（多选）（ ）
A．B．C．D．
【例6】计算：______．
【题型专练】
1.已知，则的值为（ ）
A．3B．3或4C．4D．4或5
2．已知 ， 则__________________.
3．（多选题）下列四个关系式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选题）下列有关排列数､组合数计算正确的有（ ）
A．
B．从中任取两个数相乘可得个积
C．
D．
5．（多选题）对且，下列等式一定恒成立的是（ ）.
A．B．
C．D．
6．（多选题）下列有关排列数､组合数的计算，正确的是（ ）
A．B．
C．D．是一个常数
7．计算：________．
题型五：组合的简单应用
【例1】如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A．20条B．21条C．22条D．23条
【例2】绿水青山就是金山银山，浙江省对“五水共治”工作落实很到位，效果非常好．现从含有甲的5位志愿者中选出4位到江西，湖北和安徽三个省市宣传，每个省市至少一个志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者没有条件限制，共有多少种不同的安排方法（ ）
A．228B．132C．180D．96
【例3】新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（ ）
A．14种B．15种C．16种D．17种
【例4】8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a不能去甲医院，则不同的选派方式共有（ ）
A．280种B．350种C．70种D．80种
【例5】平面上，四条平行直线与另外五条平行直线互相垂直，则它的矩形共有_____个（结果用数值表示）．
【例6】将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近的路线共有_________．（结果用数字作答）
【例7】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.如果某重卦中恰有3个阴爻，则该重卦可以有___________种.(用数字作答)
【例8】2022年4月，新型冠状病毒疫情牵动着全国人民的心，某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理外科、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴上海参加救助工作，该医院现有3名护理专家，，，5名外科专家，，，，，2名心理治疗专家，.
(1)求4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的选法有多少种?
(2)求至少含有2位外科专家，且外科专家和护理专家不能同时被选的选法有多少种?
【题型专练】
1．教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市4所高校的校长计划拜访当地的甲、乙两家企业，若每名校长拜访1家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（ ）
A．8种B．10种C．14种D．20种
2．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）
A．8B．10C．12D．14
3．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（ ）
A．8B．10C．12D．14
4．（多选题）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选择三门课程，则选法种数为35
B．若物理和化学至少选一门，则选法种数为30
C．若物理和历史不能同时选，则选法种数为30
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，则选法种数为20
5．从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有______种取法（用数字作答）．
6．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第三、四名，则该大师赛共有_________场比赛．
7．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有_______
8．从4男2女共6名学生中选出1人吃原味薯片，2人吃黄瓜味薯片，剩下3人吃番茄味薯片，共有__________种选法；如果男生不吃原味薯片，共有__________种选法．（用数字作答）
9．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
（1）共有多少种放法？
（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？
（3）恰有两个盒不放球，有多少种放法？
10．如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中的一点．今在道路网处的甲、乙两人分别要到处，其中甲每步只能向右走或者向上走，乙每步只能向下或者向左走．
(1)求甲从到达处的走法总数；
(2)求甲乙两人在相遇的方法数．