数学选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征当堂达标检测题

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考点一：离散型随机变量的期望
①期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.
数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
②随机变量的数学期望：
③单点分布：其分布列为：.
④两点分布：，其分布列为：（p + q = 1）
⑤二项分布： 其分布列为～.（P为发生的概率）
⑥几何分布： 其分布列为～.（P为发生的概率）
考点二：离散型随机变量的方差、标准差
①当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差. 显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.
②方差的性质.
⑴随机变量的方差.（a、b均为常数）
③期望与方差的关系.
⑴如果和都存在，则
⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则
⑶期望与方差的转化： ⑷（因为为一常数）.
【题型目录】
题型一：离散型随机变量的期望
题型二：离散型随机变量的方差
题型三：离散型随机变量的期望方差的性质
【典型例题】
题型一：离散型随机变量的期望
【例1】在采用五局三胜制（先取得三局胜利的一方，获得最终胜利）的篮球总决赛中，当甲队先胜2场时，因疫情暴发不得不中止比赛.已知甲､乙两队水平相当，每场甲､乙胜的概率都为，总决赛的奖金为80万元，总决赛的胜者获得全部奖金.根据我们所学的概率知识，甲队应分得的奖金为（ ）万元.
A．80B．70C．50D．40
【答案】B
【分析】奖金额的值为0和80，计算出概率后由期望公式计算出期望即得．
【详解】设甲队应分得的奖金为万元，则，80，.
故选：B．
【例2】一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个红球，小明从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记1分，摸到一个红球记2分，则小明总得分的数学期望等于（ ）
A．3.8分B．4分C．4.2分D．4.4分
【答案】C
【分析】确定的取值，求出概率，由期望公式计算期望．
【详解】由题意的取值是3，4，5，
，，，
，
故选：C．
【例3】从一批含有6件正品和4件次品的10件产品中随机抽取2件产品进行检测，记随机变量X为抽检结果中含有的次品件数，则随机变量X的期望________．
【答案】##
【分析】根据题意，确定随机变量X的可能取值，再求出每个变量对应的概率即可求解.
【详解】由题意可知：X的可能取值为，
，， ，
所以，
故答案为：.
【例4】某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
则该公司一年后估计可获收益的期望是____________（元）．
【答案】4760
【分析】设可获收益为x万元，先求出投资成功与失败的概率和收益，再计算收益的期望即得.
【详解】设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为，
一年后公司成功的概率估计为＝，失败的概率估计为＝，
所以一年后公司收益的期望为（元）.
故答案为：4760.
【例5】电机（或变压器）绕组采用的绝缘材料的耐热等级也叫绝缘等级，电机与变压器中常用的绝缘材料耐热等级分为如下7个级别：
某绝缘材料生产企业为测试甲、乙两种生产工艺对绝缘耐温的影响，分别从两种工艺生产的产品中各随机抽取50件，测量各件产品的绝缘耐温（单位：℃），其频率分布直方图如下：
(1)若10月份该企业采用甲工艺生产的产品为65万件，估计其中耐热等级达到C级的产品数；
(2)若从甲、乙两种工艺生产的产品中分别随机选择1件，用频率估计概率，求2件产品中耐热等级达到C级的产品数的分布列和数学期望．
【答案】(1)52万件；(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据频率分布直方图可知耐热等级达到C级的频率，从而可估计65万件产品中达到C级的产品数；
（2）根据频率分布直方图可知甲、乙两种产品耐热等级达到C级的概率，各随机选择1件产品可能为两个都达到C级，恰有一个达到C级，两个都没达到C级，分别计算它们的概率，列出分布列，计算期望.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，
65万件产品中，耐热等级达到C级的产品数为（万件），
故耐热等级达到C级的产品数约为52万件．
（2）设采用甲工艺生产的产品中耐热等级达到C级的产品数为X，采用乙工艺生产的产品中耐热等级达到C级的产品数为Y，则耐热等级达到C级的产品总数为X＋Y．由频率分布直方图可知，
随机选择1件采用甲工艺的产品耐热等级达到C级的概率为，
随机选择1件采用乙工艺的产品耐热等级达到C级的概率为．
X＋Y所有可能的取值为0，1，2，则且，
且且，
且．
分布列如下表所示：
．
【例6】现有甲、乙、丙、丁等6人去参加新冠疫苗的接种排队，有A、B、C、D 4个不同的窗口供排队等候接种，每个窗口至少有一位同学等候．
(1)求甲、乙两人在不同窗口等候的概率；
(2)设随机变量X表示在窗口A排队等候的人数，求随机变量X的期望．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先利用排列组合求出事件得总数及甲乙排在一起的情况得数量，再根据古典概型及对立事件得概率公式即可得解；
（2）先写出随机变量的取值，再求出对应随机变量的概率，再根据期望公式进行求解．
【详解】（1）解：总数为，
其中甲乙排在一起的情况为：，
故甲、乙两人在不同窗口等候的概率为；
（2）解：可取，
，
，
，
所以.
【题型专练】
1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知，根据题意设出事件，求出对应的概率，然后直接求解期望即可.
【详解】由题意，随机变量X的可能取值是2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为，
若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响，
所以，
,
，
所以期望为．
故选：B．
2．某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元.在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为：
若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为（ ）
A．1716.8元B．206.5元C．168.6元D．156.8元
【答案】D
【分析】由题意2台设备使用期间需更换的零件数可能取值为12、13、14、15、16，再求出它们对应的概率，进而求2台设备另需购买易损零件所需费用可能值及其概率，最后求期望即可.
【详解】记Y表示2台设备使用期间需更换的零件数，则Y的可能取值为12，13，14，15，16，
，，
，，
.
若购买2台设备的同时购买易损零件13个，在使用期间，记这2台设备另需购买易损零件所需费用为Z元，
则Z的可能取值为0，280，560，840，
，
，，，
.
故选：D.
3．袋中装有大小与质地相同的5个红球、m个白球，现从中任取2个球．若取出的两球都是红球的概率为，记取出的红球个数为X，则______．
【答案】##
【分析】由题意可知即可求m，由，利用古典概型的概率求法求、、，即可求.
【详解】由题意知：，整理得，
∴，
由，则，，，
∴.
故答案为：.
4．农历五月初五是我国的传统节日——端午节，为纪念伟大的爱国诗人屈原，民间有吃粽子的习惯，粽子也就成为了我们生活中的一种美食.设一盘中装有6个粽子，其中豆粽、肉粽、白粽各2个，这三种粽子的外观完全相同．小明从中任取2个吃，吃完这2个，若是吃到了肉粽就不再吃了；若是还没吃到肉粽，就再从剩下的4个中任取1个吃，吃完这个不管是否吃到肉粽都不再吃了.
(1)求小明吃到肉粽的概率；
(2)设X表示取到的肉粽个数，求X的分布列与数学期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据先吃的两个有无肉粽计算出迟到肉粽的概率.
（2）根据吃到肉粽的个数以及古典概型概率计算公式计算出分布列并求得数学期望.
【详解】（1）小明吃到肉粽的概率为.
（2）∵ X的所有可能取值为0，1，2，
且，，．
∴X的分布列为
．
5．某人花了元预定2023年杭州亚运会开幕式门票一张，另外还预定了两张其他门票，根据亚奥理事会的相关规定，从所有预定者中随机抽取相应数量的人，这些人称为预定成功者，他们可以直接购买门票，另外，对于开幕式门票，有自动降级规定，即当这个人预定的元门票未成功时，系统自动使他进入b元开幕式门票的预定.假设获得a元开幕式门票的概率是0.1，若未成功，仍有0.2的概率获得b元开幕式门票的机会，获得其他两张门票中的每一张的概率均是0.5，且获得每张门票之间互不影响.
(1)求这个人可以获得亚运会开幕式门票的概率；
(2)假设这个人获得门票总张数是，求的分布列及数学期.
【答案】(1)；(2)分布列见解析；
【分析】（1）由独立事件概率乘法公式即可求得获得开幕式门票的概率；
（2）由题意确定的可能取值，再利用独立事件概率乘法公式求得每个取值对应的概率，从而求得的分布列，进而求得数学期.
【详解】（1）依题意得，获得元开幕式门票的概率为0.1，则未获得元开幕式门票的概率为0.9，
获得b元开幕式门票概率为0.2，
则获得开幕式门票的概率为.
（2）依题意得，的可能取值为，
则，，，，
故的分布列为：
则.
6．中国男子篮球职业联赛“简称CBA”半决赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.同时比赛采用主客场制，比赛先在A队的主场进行两场比赛，再移师B队主场进行两场比赛（有必要才进行第二场），如果需要第五场比赛，则回到A队的主场进行，已知A队在主场获胜的概率为，在客场获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立.
(1)第一场比赛B队在客场通过全队的努力先赢了一场，赛后B队的教练鼓励自己的队员说“胜利的天平已经向我们倾斜”，试从概率大小的角度判断B队教练的话是否客观正确；
(2)每一场比赛，会给主办方在门票，饮食，纪念品销售等方面带来综合收益300万元，设整个半决赛主办方综合收益为，求的分布列与期望，
【答案】(1)从概率大小的角度判断B队教练的话是客观正确的.
(2)分布列见解析，万元.
【分析】（1）计算B队获胜的情况的概率判断即可；
（2）由题知的可能取值为，再计算概率求解分布列，期望即可.
【详解】（1）由题知，B队获胜的情况有三种，
第一种情况，比赛三场获胜，其概率为；
第二种情况，比赛四场获胜，则第二场或第三场B队失败，故其概率为；
第三种情况，比赛五场获胜，则B队在第二场，第三场，第四场中赢得一场比赛，第五场比赛获胜，其概率为，
所以，B队在第一场比赛获胜的情况下，赢得比赛的概率为，
所以，从概率大小的角度判断B队教练的话是客观正确的.
（2）由题知，至少举办3场球赛，至多举办5场球赛，
所以的可能取值为，
所以，当举办3场球赛时，A队获胜的概率为，B队获胜的概率为，
所以，；
当举办4场球赛时，A队获胜的概率为，
B队获胜的概率为，
，
所以，，
所以，的分布列为：
所以，万元
7．某工厂质检部门要对该厂流水线生产出的一批产品进行检验，如果检查到第4件仍未发现不合格品，则此次检查通过且认为这批产品合格，如果在尚未抽到第4件时已检查到不合格品，则拒绝通过且认为这批产品不合格.且每件产品质检费用为80元.设这批产品的数量足够大，并认为每次检查中查到不合格品的概率都为，即每次抽查的产品是相互独立的.
(1)求这批产品能够通过检查的概率；
(2)记对这批产品的质检个数记作，求的分布列和数学期望；
(3)已知100批此类产品，若，则总平均检查费用至少需要多少元？（总平均检查费用=每批次平均检查费用×批数）
【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3)27512元
【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算；（2）由题可知，分别求概率，可得分布列和期望；（3）设，求导，利用导数求最值，进而可得结果.
【详解】（1）记事件A为“这批产品能够通过检查”，则由题意知：.
（2）由题可知，
，，，，
所以的分布列为：
故的数学期望为：
.
（3）设，则，
因为，且开口向下，则当时恒成立，
所以在单调递减，
所以，
所以每批次平均检查费用至少为（元），
故100批次此类产品总平均检查费用至少需要（元）.
题型二：离散型随机变量的方差
【例1】若随机变量X的概率分布表如下：
则（ ）
A．0.5B．0.42C．0.24D．0.16
【答案】C
【分析】根据分布列的数学期望和方差公式直接求解.
【详解】根据概率的性质可得，
所以，
所以，
故选:C.
【例2】已知随机变量的分布列如下表所示：
若，则（ ）
A．>，>B．<，>
C．>，【答案】A
【分析】通过计算期望和方差来求得正确答案.
【详解】，
，
由于，所以.
，
同理可得.
，
所以.
故选：A
【例3】（多选题）设，随机变量的分布列为：
则当m在（0，1）上增大时，（ ）
A．减小B．增大
C．先增后减，最大值为D．先减后增，最小值为
【答案】BD
【分析】首先根据分布列的性质求，再分别求期望和方差，根据函数特征判断选项.
【详解】由题意得，，得，，
，增大；
，

当实数m在上增大时，先减小后增大，当时，取最小值.
故选：BD.
【例4】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.求：
(1)的分布；
(2)的期望与方差.
【答案】(1)答案见解析；(2)，
【分析】（1）由题，根据超几何分布求解即可；
（2）根据期望与方差公式求解即可.
【详解】（1）解：所选女生人数的所有可能取值为，
；
；
.
所以，选3个人中女生人数的概率分布为：
（2）解：由（1）知，
【例5】某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取5个，求恰好有2个水果是礼品果的概率（结果用分数表示）；
(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，
方案1：不分类卖出，单价为21元；
方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及方差.
【答案】(1)；(2)应该采用第二种方案，理由见详解；(3)分布列见详解，
【分析】（1）根据题意结合二项分布运算求解；
（2）根据加权平均数求方案二的平均单价，结合题意分析判断；
（3）先根据分层抽样求各层应抽取的样本个数，再结合超几何分布求分布列和方差.
【详解】（1）记“从这100个水果中随机抽取1个，这个水果是礼品果”为事件A，则，
从这100个水果中有放回地随机抽取5个，设礼品果的个数为，则，
故恰好有2个水果是礼品果的概率.
（2）方案2：每公斤的单价为（元），
∵，故从采购商的角度考虑，应该采用第二种方案.
（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，则标准果、优质果、精品果、礼品果应抽取的个数分别为，即4个精品果，6个非精品果，
由题意可得：的可能取值有：，则有：
,
的分布列如下：
则，
.
【例6】为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．
【答案】(1)；(2)答案见解析
【分析】（1）由题意两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，然后求出相应的概率即可；
（2）确定ξ的所有可能取值，计算相应的概率，得出分布列，进一步求解均值和方差即可．
【详解】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，
甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－－＝，1－－＝．
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
两人都付80元的概率为P3＝×＝，
则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝．
（2）ξ的所有可能取值为0，40，80，120，160，
则P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝．
所以ξ的分布列为
E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80，
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝．
【题型专练】
1.（多选题）已知下表为离散型随机变量X的分布列，其中，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．有最大值D．有最小值
【答案】AC
【分析】利用分布列的性质以及期望与方差公式，列出表达式，结合函数的性质判断选项的正误即可.
【详解】由题意可知 ，即 ，所以A正确.
，所以B不正确.

，
是开口向下的二次函数.
所以 在 上单调递增，在上单调递减，
所以有最大值，无最小值.
所以C正确，D不正确.
故选：AC.
2．（多选题）2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则（ ）
A．的可能取值为0，1，2，3B．
C．D．
【答案】BD
【分析】由题知的可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，进而求分布列，计算期望方差即可判断.
【详解】解：根据题意，的可能取值为0，1，2，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，了解冰壶的人数在30以下的学校有6所，
所以，，，
所以，的概率分布列为：
所以，，，
所以，BD选项正确，AC选项错误.
故选：BD．
3．已知一个随机变量的分布为，且，则______.
【答案】0.4##
【分析】根据和分布列的性质求得的值,再利用方差的公式即可求解.
【详解】由题意得 ,解得,
故答案为:0.4
4．某网站规定：一个邮箱在一天内出现3次密码尝试错误，该邮箱将被锁定24小时.小王发现自己忘记了邮箱密码，但是可以确定该邮箱的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该邮箱被锁定.
(1)求当天小王的该邮箱被锁定的概率；
(2)设当天小王尝试该邮箱的密码次数为，求的分布列及，的值.
【答案】(1)；(2)的分布列见解析，，
【分析】（1）“当天小王的该邮箱被锁定”即3次尝试均错误，进而求解；
（2）由题可能取到1，2，3，分别求得概率，列出分布列，根据期望和方差的公式求解即可.
（1）
设“当天小王的该邮箱被锁定”为事件，
则
（2）
由题意，可能取到1，2，3，
则，，，
所以的分布列为：
所以，
5．为了响应大学毕业生自主创业的号召，小李毕业后开了水果店，水果店每天以每个5元的价格从农场购进若干西瓜，然后以每个10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的西瓜作赠品处理．
(1)若水果店一天购进16个西瓜，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；
(2)水果店记录了100天西瓜的日需求量（单位：个），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若水果店一天购进16个西瓜，表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望及方差；
②若水果店计划一天购进16个或17个西瓜，你认为应购进16个还是17个？请说明理由．
【答案】(1)
(2)①分布列见解析；期望为，方差；②应购进17个；理由见解析
【分析】（1）分和两种情况讨论，分别求出所对应的利润，即可得解；
（2）①依题意可得的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列，从而求出数学期望与方差；②求出购进个西瓜所对应的利润，即可判断.
（1）
解：当时，，
当时，，
所以.
（2）
解：①依题意可得的可能取值为，，，
所以，，，
所以的分布列为
所以，
．
②购进个时，当天的利润为
，
因为，所以应购进17个．
6．冬奥会志愿者有名男同学，名女同学.在这名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的所大学.现从这名志愿者中随机选取名同学，到机场参加活动.每位同学被选中的可能性相等.
(1)求选出的名同学是来自互不相同的大学的概率；
(2)设为选出的名同学中女同学的人数，求随机变量的期望和方差．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）求出选出的名同学是来自互不相同大学的情况种类，除以从10名学生选出4名的情况种类即为答案；（2）求出X的可能取值，利用超几何分布求概率公式求出对应的概率，写出分布列，求出期望和方差
(1)
设“选出的名同学是来自互不相同大学”为事件，
则，
所以选出的名同学是来自互不相同大学的概率为；
(2)
随机变量的所有可能值为，，，，4.
，
∴，，
，，.
所以随机变量的分布列是：
=
．
7．甲、乙、丙进行乒乓球比赛，比赛规则如下：赛前抽签决定先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有人累计胜两场，比赛结束.经抽签，甲、乙先比赛，丙轮空.设比赛的场数为，且每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求和；
(2)求的标准差.
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）分析，两种情况下的胜负关系，再根据概率的公式求解即可；
（2）根据题意可得可能的取值为，再求解的概率，进而根据均值和方差的公式求解即可
(1)
：甲胜乙，甲胜丙，结果甲胜；乙胜甲，乙胜丙，结果乙胜.
；
：甲胜乙，丙胜甲，丙胜乙，结果丙胜；乙胜甲，丙胜乙，丙胜甲，结果丙胜.
.
(2)
根据题意可得可能的取值为.
：甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，结果甲胜；
甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，乙胜甲，结果乙胜；
乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，甲胜乙，结果甲胜；
乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，乙胜甲，结果乙胜；
.
，
，所以标准差为.
题型三：离散型随机变量的期望方差的性质
【例1】已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由数学期望与方差的性质求解
【详解】，得，
，得，
故选：B
【例2】设随机变量的分布列为，,分别为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】利用分布列的性质概率之和为1，得出，利用概率的性质可判断A选项，再利用均值方差定义公式以及其性质逐项判断BCD即可.
【详解】因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知，，解得，
对于A，，故A不正确；
对于B，，
，故B不正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，，故D不正确.
故选：C
【例3】（多选题）设离散型随机变量的分布列为：
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据分布列的性质求得参数，结合分布列求得，再结合期望和方差的性质，即可判断和选择.
【详解】对A：由，解得，故A正确；
对B：，
，故B正确；
对C：，故C正确；
对D：，故D错误.
故选：ABC.
【例4】已知离散型随机变量X的取值为有限个，，，则______．
【答案】##
【分析】根据题意和方差公式，以及方差的线性公式即可求解.
【详解】因为，
由，
得.
故答案为：.
【例5】某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X（单位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．
(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；
(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．
【答案】(1)分布列见解析，，；(2)均值为71元，方差为.
【分析】（1）利用概率和为1求出的值，然后可得X的分布列，然后算出其期望方差即可；
（2）设此人一天中出车一次的收入为Y元，则，然后利用期望方差的性质可算出答案.
【详解】（1）由题意，得．∴．
∴X的分布列为
∴，
．
（2）设此人一天中出车一次的收入为Y元，则，
∴，．
故此人一天中出车一次收入的均值为71元，方差为95.4．
【题型专练】
1．已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据方差和期望的性质即可求解.
【详解】根据方差和期望的性质可得：,,
故选：D
2．已知随机变量满足，则（ ）
A．或4B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据均值的性质可得，则即为，解方程求得答案.
【详解】因为，所以，
解得或（舍去）,
故选：D
3．离散型随机变量X的分布为：
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为______．
①；②；③；④．
【答案】①③
【分析】根据分布列的性质，求得，利用期望和方差的公式，求得的值，进而根据，进而求得的值，即可求解.
【详解】由离散型随机变量X的分布列的性质，可得，
则，
，
所以①③正确；
又由离散型随机变量Y满足，所以，
，所以②④错误，
故答案为：①③．
4．对于随机变量X，它的数学期望和方差，下列所有正确的序号是______．
①是反映随机变量的平均取值； ②越小，说明X越集中于；
③； ④．
【答案】①②③
【分析】根据离散型随机变量期望与方差的意义，以及期望与方差的性质依次判断即可.
【详解】离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，
方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值，则①②正确；，，则③正确，④错误.
故答案为：①②③.
5．某工厂的某种产品成箱包装，每一箱100件.每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取10件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品是不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记10件产品中恰有1件不合格品的概率为，求的最大值点；
(2)现对一箱产品检验了10件，结果恰有1件不合格品，以（1）中确定的作为x的值.已知每件产品的检验费用为2.5元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付20元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求；
②以检验费用与赔偿费用的和的期望值为决策依据是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【答案】(1)；(2)①；②不应该
【分析】（1）依题意可得，求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点.
（2）①令表示余下的件产品中的不合格品件数，则，，根据二项分布的期望公式及期望的性质计算可得；②由①的期望判断即可.
(1)
解：因为10件产品中恰有1件不合格品的概率为
所以
令，解得.
当时，；当时，.
所以在上单调递增；在上单调递减.
所以的最大值点为.
(2)
解：由（1）知，.
①令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知：，
所以，且，即.
所以.
②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为250元.
由于，故不应该对该箱余下的产品作检验.
…
…
P
…
…
ξ
0
1
P
q
p
投资成功
投资失败
192次
8次
耐热等级
Y
A
E
B
F
H
C
绝缘耐温（℃）
X＋Y
0
1
2
P
X
6
7
8
P
0.4
0.5
0.1
Ｘ
0
1
2
1
2
3
4
X
0
1
P
0.4
0
1
2
0
m
1
P
0
1
2
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价（元
16
18
22
24
0
1
2
3
P
ξ
0
40
80
120
160
P
X
0
1
2
P


1
2
3




日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
4
0
1
2
3
4
0.4
0.1
0.2
0.2
X
20
22
24
26
28
30
P
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.2

0
1
2
4
5