2023-2024学年广东省深圳市宝安区高二上学期调研测试数学试题(含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市宝安区高二上学期调研测试数学试题(含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知直线l的方程为 3x−y−2=0，则直线的倾斜角为
( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.直线ax−2y−1=0和直线2y−3x+b=0平行，则直线y=ax+b和直线y=3x+1的位置关系是
( )
A. 重合B. 平行C. 平行或重合D. 相交
3.已知x2+y2+2kx−4y+k2+k−2=0表示的曲线是圆，则k的值为
( )
A. 6,+∞B. −6,+∞C. −∞,6D. −∞,6
4.不论m取何值，直线(m−1)x−y+2m−1=0都过定点
( )
A. 1,−12B. (−2,1)C. (2,3)D. (−2,3)
5.已知圆C:x2+y2=25，则圆C关于点(−3,4)对称的圆的方程为
( )
A. (x+3)2+(y−4)2=16B. (x+3)2+(y−4)2=25
C. (x+6)2+(y−8)2=16D. (x+6)2+(y−8)2=25
6.下列说法正确的是( )
A. 零向量没有方向
B. 空间向量不可以平行移动
C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量
7.若数列an是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是
( )
A. anB. an+1−an
C. pan+q(p,q为常数)D. 2an+n
8.设F1，F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1|=|PQ|，若△OPF1的面积为 36b2，则|PQ||F1F2|=( )
A. 3B. 32C. 4 33D. 2 33
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面说法中错误的是
．( )
A. 经过定点P(x0,y0)的直线都可以用方程y−y0=kx−x0表示
B. 经过定点P(x0,y0)的直线都可以用方程x−x0=my−y0表示
C. 经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
D. 经过任意两个不同的点P1x1,y1，P2x2,y2的直线都可以用方程y−y1x2−x1=x−x1y2−y1表示
10.若双曲线C的一个焦点F(5,0)，且渐近线方程为y=±43x，则下列结论正确的是
( )
A. C的方程为x29−y216=1B. C的离心率为54
C. 焦点到渐近线的距离为3D. 两准线间的距离为185
11.瑞士数学家欧拉(LenℎardEuler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知▵ABC的顶点A(−2,0),B(0,2)，其欧拉线方程为x−y+1=0，则顶点C的坐标可以是
( )
A. 2,0B. 1,0C. 0,−1D. 0,−2
12.已知等差数列an是递增数列，其前n项和为Sn，且满足a7=3a5，则下列结论正确的是
( )
A. d>0B. a1<0
C. 当n=5时，Sn最小D. 当Sn>0时，n的最小值为8
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若PA→=a，PB=b，PC=c，则BE= .
14.已知双曲线C:x2a2−y24=1的一条渐近线方程为2x+3y=0,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且PF1=7，则PF2= ．
15.在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|= ．
16.过椭圆的右焦点F2作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，F1为椭圆的左焦点，若▵F1AB为正三角形，则该椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
记Sn为数列an的前n项和．
(1)已知an>0，a2=3a1，且数列 Sn是等差数列，证明：an是等差数列；
(2)若2S3=3S2+6，求公差d．
18.(本小题12分)
已知⊙O：x2+y2=1和定点A(2,1)，由⊙O外一点P(x,y)向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足PQ=2PA．
(1)求动点P的轨迹方程C；
(2)求线段PQ长的最小值；
(3)若以P为圆心所做的⊙P与⊙O有公共点，试求P半径取最小值时的P点坐标．
19.(本小题12分)
如图所示，在三棱锥A−BCD中，DA,DB,DC两两垂直，且DB=DC=DA=2，E为BC的中点．
(1)证明：AE⊥BC；
(2)求直线AE与DC所成角的余弦值．
20.(本小题12分)
已知AB,CD是过抛物线y2=8x焦点F且互相垂直的两弦，
(1)若直线AB的倾斜角为45∘，求CD弦长；
(2)求1AF⋅BF+1CF⋅DF的值．
21.(本小题12分)
已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
22.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为 22，一个焦点F1与抛物线y2=−4 2x的焦点重合．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l:y=kx+m交C于A,B两点，直线F1A与F1B关于x轴对称，证明：直线l恒过一定点．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据题意，求得直线的斜率，即可得到倾斜角．
【详解】因为直线l的方程为 3x−y−2=0，则斜率k= 3，
且k=tanθ= 3，θ∈0,π，所以θ=π3．
故选：B
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查两直线位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意两直线平行的性质的合理运用．
利用两直线平行的等价条件即可求解．
【解答】
解：因为直线ax−2y−1=0和直线2y−3x+b=0平行，
所以a=3,b≠1，
故直线y=ax+b为y=3x+b与直线y=3x+1平行，
故选：B
3.【答案】C
【解析】【分析】方程配方后得x+k2+y−22=6−k，根据圆的半径大于0求解．
【详解】由方程x2+y2+2kx−4y+k2+k−2=0可得x+k2+y−22=6−k，
所以当r= 6−k>0时表示圆，解得k<6．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】【分析】根据题意整理得mx+2−x+y+1=0，令x+2=0x+y+1=0，求解即可得定点．
【详解】因为(m−1)x−y+2m−1=0，整理得mx+2−x+y+1=0，
令x+2=0x+y+1=0，解得x=−2y=1,
所以直线过定点(−2,1)．
故选：B．
5.【答案】D
【解析】【分析】圆关于点对称只是圆心的位置发生了变化，因此只需求圆心关于点(−3,4)对称后的坐标即可解决．
【详解】圆C:x2+y2=25的圆心为(0,0)，半径为5，
(0,0)关于(−3,4)对称的点为(−6,8)，
圆C对称后只是圆心位置改变，圆的半径不会变化，仍为5，
因此所求的圆的方程为(x+6)2+(y−8)2=25．
故选：D
6.【答案】D
【解析】【分析】根据零向量的规定可以确定A错误；根据空间向量是自由向量可以确定B；根据相等向量的定义可以确定C、D．
【详解】对于A：零向量的方向是任意的，A错误；
对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；
对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，
所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确．
故选：D．
7.【答案】A
【解析】【分析】根据题意，结合等差数列的定义和特殊数列，逐项判定，即可求解．
【详解】因为数列an为等差数列，设公差为d，可得an+1−an=d，
对于A中，例如：等差数列an=n−2，则a1=1,a2=0,a3=1,a4=2，
此时数列an不是等差数列，所以A符合题意；
对于B中，数列an+1−an中，可得an+1−an=d，所以数列an+1−an为常数列，
所以数列an+1−an一定是等差数列，所以B不符合题意；
对于C中，数列pan+q中，可得pan+1+q−pan+q=p(an+1−an)=pd(常数)，
所以数列pan+q一定是等差数列，所以C不符合题意；
对于D中，数列2an+n中，可得2an+1+n+1−2an+n=2(an+1−an)+1=2d+1，
所以数列2an+n一定是等差数列，所以D不符合题意．
故选：A．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查运算求解能力，属于中档题．
设∠F1PF2=θ，利用△F1PF2的面积S=12|PF1||PF2|sinθ=sinθ1+csθb2= 33b2，求得θ=π3，即可得△PF1Q的是等边三角形，从而求得结论．
【解答】
解：在△PF1F2中，设∠F1PF2=θ，
由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|csθ，
即4c2=(|PF1|+|PF2|)2−2|PF1||PF2|−2|PF1||PF2|csθ
=4a2+(−2−2csθ)|PF1||PF2|，
则(2+2csθ)|PF1||PF2|=4a2−4c2=4b2，
所以△F1PF2的面积S=12|PF1||PF2|sinθ
=sinθ1+csθb2=2×S△POF1=2× 36b2= 33b2，
∴ 3sin⁡θ−cs⁡θ=2sin⁡(θ−π6)=1．
∵θ−π6∈(−π6,5π6)，∴θ−π6=π6，即θ=π3．
又|PF1|=|PQ|，所以△PF1Q的是等边三角形，即|PF1|=|QF1|=|QP|，
由椭圆的定义可得|PF1|+|QF1|+|QP|=4a，
即有|PF1|=43a，则|PF2|=23a，
∴|QF2|=2a3，
∴PQ⊥F1F2，则|PQ||F1F2|=2tan∠PF1F2=2 33．
故选：D．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】根据题意，结合直线方程的形式，逐项判定，即可求解．
【详解】对于A中，因为直线的点斜式方程y−y0=kx−x0，只能表示斜率存在的直线，
所以经过定点P(x0,y0)的直线不一定可以用方程y−y0=kx−x0表示，所以 A错误；
对于B中，因为直线x−x0=my−y0不能表示与y轴垂直的直线，
所以经过定点P(x0,y0)的直线不一定可以用方程x−x0=my−y0表示，所以 B错误；
对于C中，因为方程y=kx+b只能表示斜率存在的直线，
所以经过定点A(0,b)的直线不一定可以用方程y=kx+b表示，所以 C错误；
对于D中，因为方程y−y1x2−x1=x−x1y2−y1，即为直线的一般式方程，
可以表示坐标系能所有的直线，所以经过任意两个不同的点P1x1,y1,P2x2,y2的直线，
都可以用方程y−y1x2−x1=x−x1y2−y1表示，所以 D正确．
故选：ABC．
10.【答案】AD
【解析】【分析】先根据双曲线的几何性质求出其标准方程，再根据方程求出其它性质，再逐一判断各选项．
【详解】由题意设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0，焦距为2c，
∵双曲线C的一个焦点F(5,0)，且渐近线方程为y=±43x，
∴c=5ba=43a2+b2=c2，解得a=3b=4c=5,
∴双曲线的标准方程为x29−y216=1，A对；
∴其离心率为e=ca=53，B错；
焦点到渐近线的距离d=4×5 32+42=4，C错；
准线方程为x=±a2c=±95，则两准线间的距离为185，D对；
故选：AD．
本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查了三角形重心坐标公式的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力，属于中档题．
设顶点C的坐标为(x,y)，根据三角形重心坐标公式进行求解判断即可．
【解答】
解：设顶点C的坐标为(x,y)，所以重心坐标为(−2+x3,2+y3)，
因为欧拉线方程为x−y+1=0，所以−2+x3−2+y3+1=0⇒x−y=1．
A：当顶点C的坐标为2,0时，显然不满足x−y=1；
B：当顶点C的坐标为1,0时，显然满足x−y=1；
C：当顶点C的坐标为0,−1时，显然满足x−y=1；
D：当顶点C的坐标为0,−2时，显然不满足x−y=1，
故选：BC．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式以及等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由等差数列{an}是递增数列，得公差d>0，由a7=3a5，得a1+3d=0，从而a4=0，a1<0，由d>0，得a5>0，则S7=7a4=0，S8=4a5>0，可得Sn>0时n的最小值为8．
【解答】
解：因为an是递增数列，所以d>0．
因为a7=3a5，所以a5+2d=3a5，所以d=a5，
所以a1=a5−4d=−3d<0，故A，B正确；
又因为a4=a5−d=d−d=0，
所以S3=S4，且为Sn的最小值，故C错误；
又S8=8(a1+a8)2=4(a4+a5)=4a5=4d>0，
S7=7a1+a72=7a4=0，故D正确．
故选 ABD．
13.【答案】12a−32b+12c
【解析】【分析】
本题考查空间向量线性运算，属于基础题．
根据向量加法的平行四边形法则可得BE=12BP+BD，而BD=BA+BC=(PA−PB)+(PC−PB)，即可求得BE的结果．
【解答】
解：BE=12(BP+BD)
=−12PB+12(BA+BC)
=−12PB+12BA+12BC
=−12PB+12(PA−PB)+12(PC−PB)
=−32PB+12PA+12PC
=12a−32b+12c．
故答案为12a−32b+12c．
14.【答案】1 或 13
【解析】【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|.
【详解】由题知双曲线C:x2a2−y24=1的一条渐近线方程为2x+3y=0，
即y=−23x，则ba=23，
又b=2,∴a=3，
由双曲线的定义得，PF1−PF2=2a=6,
∵PF1=7，
∴PF2=1或PF2=13．
故答案为1或13
本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，由双曲线的方程、渐近线的方程求出a是解题的关键．
15.【答案】4
【解析】【分析】根据直线AF的倾斜角为120°得到∠AFO=60°，列出方程，求出A点纵坐标，进而求出P点纵坐标，代入抛物线方程求出P点横坐标，从而利用焦半径求出答案．
【详解】抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x=−1.因为直线AF的倾斜角为120°，所以∠AFO=60°，又tan60°=yA1−(−1)，所以yA=2 3.因为PA⊥l，所以yP=yA=2 3，代入y2=4x，得：xP=3，所以|PF|=|PA|=3−(−1)=4．
故答案为：4
16.【答案】 33
【解析】【分析】由题意可得AF1=4c 3,AF2=2 3c3，结合椭圆的定义计算即可求解．
【详解】由题意知，▵F1AB为正三角形，且F1F2⊥AB，
则∠AF1F2=30∘,∠F1AF2=60∘，
所以AF1=F1F2sin∠F1AF2=2c 32=4c 3，
AF2=F1F2tan∠AF1F2=2c⋅ 33=2 3c3，
由椭圆的定义知AF1+AF2=2a，
即4c 3+2 3c3=2a，解得e=ca= 33．
故答案为： 33．
17.【答案】(1)
∵数列 Sn等差数列，设公差为d1= S2− S1= a2+a1− a1= a1，
∴ Sn= a1+(n−1) a1=n a1，(n∈N∗)，
∴Sn=a1n2，(n∈N∗)，
∴当n≥2时，an=Sn−Sn−1=a1n2−a1n−12=2a1n−a1，
当n=1时，2a1×1−a1=a1，满足an=2a1n−a1，
∴an的通项公式为an=2a1n−a1，(n∈N∗)，
∴an−an−1=2a1n−a1−2a1n−1−a1=2a1，
∴an是等差数列，
(2)
由2S3=3S2+6可得2a1+a2+a3=3a1+a2+6，化简得2a3=a1+a2+6，
即2a1+2d=2a1+d+6，解得d=2．

【解析】【分析】(1)根据等差数列的定义，结合Sn与an之间的有关系进行运算证明即可；
(2)根据等差数列的前n项和定义和通项公式进行求解即可．
18.【答案】(1)连接OQ，
因为切点为Q，所以PQ⊥OQ，由勾股定理可得PQ2=OP2−OQ2，
因为PQ=2PA，
所以PQ2=4PA2，
所以OP2−OQ2=4PA2
所以x2+y2−1=4(x−2)2+4(y−1)2
化简可得3x2+3y2−16x−8y+21=0．
(2)方程3x2+3y2−16x−8y+21=0，可化为x−832+y−432=179，
则圆心C83,43，半径为 173，
所以CA= 83−22+43−12= 53< 173，
所以点A在圆C内，
所以PAmin= 173− 53，
因为PQ=2PA，
所以线段PQ长的最小值2 173− 53；
(3)⊙P半径取最小值时，直线OC与圆C相交的交点为所求，
因为C83,43，所以直线OC的方程为y=12x，
代入3x2+3y2−16x−8y+21=0，可得15x2−80x+84=0，
解得x=80± 802−4×15×8430=40±2 8515，
所以当x=40−2 8515时，⊙P半径取最小值，
此时P40−2 8515,20− 8515

【解析】【分析】(1)圆的切线垂直于过切点的半径可得PQ⊥OQ，由勾股定理得PQ2=OP2−OQ2；由已知PQ=2PA，可得PQ2=4PA2，利用两点间的距离公式列出关系式，化简即可得动点P的轨迹方程，
(2)将动点P的轨迹方程化为标准形式，可得圆心C和半径，由此可得CA的长度，则点A在圆内，可得PAmin= 173− 53，即可得线段PQ长的最小值；
(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切得情形，而半径的最小值为直线OC与圆C相交的交点即为所求．
19.【答案】解：(1)证明：AE=DE−DA=12(DB+DC)−DA,BC=DC−DB，
所以AE⋅BC=12DB+12DC−DA⋅(DC−DB)
=12DB⋅DC−12DB⋅DB+12DC⋅DC−12DC⋅DB−DA⋅DC+DA⋅DB
=0−2+2−0−0+0=0，
所以AE⊥BC．
(2)AE⋅DC=12DB+12DC−DA⋅DC
=12DB⋅DC+12DC⋅DC−DA⋅DC
=0+2−0
=2，
|AE|= ( 2)2+22= 6，
所以cs⟨AE,DC⟩=AE⋅DC|AE||DC|=2 6×2= 66，
即直线AE与DC所成角的余弦值为 66．

【解析】【分析】(1)由AE=12(DB+DC)−DA，BC=DC−DB，证明AE⋅BC=0即可．
(2)AE⋅DC=12DB+12DC−DA⋅DC=2，|AE|= ( 2)2+22= 6，根据cs⟨AE,DC⟩=AE⋅DC|AE||DC|即可求解．
本题考查了空间向量的数量积的应用，利用空间向量的数量积求异面直线所成角，考查了基本运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】(1)
解：由抛物线y2=8x，可得焦点为F(2,0)，
因为AB,CD是过焦点F且互相垂直的两弦，可得直线AB,CD的斜率一定存在，
又由直线AB的斜率为kAB=tan45∘=1，且AB⊥CD，可得kCD=−1，
则直线CD的方程为y=−x+2，
设C(x3,y3)，D(x4,y4)，联立方程组y=−x+2y2=8x，整理得x2−12x+4=0，
则Δ>0，且x3+x4=12，
根据抛物线的定义，可得|CD|=CF+DF=x3+x4+4=12+4=16．
(2)
解：由直线AB,CD的斜率一定存在，
设AB的方程为y=k(x−2)，且A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立方程组y=kx−2y2=8x，整理得k2x2−(4k2+8)x+4k2=0且Δ=64(1+k2)>0，
可得x1+x2=4(k2+2)k2，x1x2=4，
又由抛物线的定义，可得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，
所以AF⋅BF=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=16(k2+1)k2，
由CD⊥AB，设直线CD方程为y=2−xk，且C(x3,y3)，D(x4,y4)，
联立方程组y=2−xky2=8x，整理得x2−(8k2+4)x+4=0，
同理有x3+x4=8k2+4，x3x4=4，所以CF⋅DF=16(k2+1)，
综上可得1AF⋅BF+1CF⋅DF=k216(k2+1)+116(k2+1)=116．

【解析】【分析】(1)根据题意，得到直线CD的方程为y=−x+2，结合弦长公式，即可求解；
(2)设AB的方程为y=k(x−2)，联立方程组得到x1+x2=4(k2+2)k2，x1x2=4，结合抛物线的定义，求得AF⋅BF=16(k2+1)k2，同理得到CF⋅DF=16(k2+1)，进而求得1AF⋅BF+1CF⋅DF的值
21.【答案】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为a，则A(a,0,0)，B(a,a,0)，C(0,a,0)，A1(a,0,a)，C1(0,a,a).
设E(0,a,e)(0≤e≤a).
(1)A1E→=(−a,a,e−a)，BD→=(−a,−a,0)，
∵A1E→⋅BD→=a2−a2+(e−a)·0=0，
∴A1E→⊥BD→，即A1E⊥BD；
(2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1→=(x1,y1,z1)，n2→=(x2,y2,z2).
∵DB→=(a,a,0)，DA1→=(a,0,a)，DE→=(0,a,e)
∴n1→⋅DB→=0，n1→⋅DA1→=0，n2→⋅DB→=0，n1→⋅DE→=0．
∴ax1+ay1=0,ax1+az1=0,,ax2+ay2=0,ay2+ez2=0.
取x1=x2=1，得n1→=(1,−1,−1)，n2→=(1,−1,ae).
由平面A1BD⊥平面EBD得n1→⊥n2→．
∴2−ae=0，即e=a2。
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD．

【解析】【分析】以D为原点，DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
(1)计算A1E→⋅BD→=0即可证明；
(2)求出面A1BD与面EBD的法向量，根据法向量垂直计算即可．
22.【答案】(1)
由y2=−4 2x，可得F1− 2,0，
∴c= 2，又离心率为 22，
∴a=2，b2=2，
∴椭圆C的方程为x24+y22=1．
(2)
设Ax1,y1,Bx2,y2，
由y=kx+mx24+y22=1，可得2k2+1x2+4mkx+2m2−4=0，
∴Δ=4mk2−42k2+12m2−4>0，可得m2<2+4k2，
x1+x2=−4mk2k2+1,x1x2=2m2−42k2+1，
由直线F1A与F1B关于x轴对称，
∴kF1A+kF1B=0，即y1x1+ 2+y2x2+ 2=0，
∴y1x2+ 2+y2x1+ 2=kx1+mx2+ 2+kx2+mx1+ 2=0，
即2kx1x2+( 2k+m)x1+x2+2 2m=0，
∴2k×2m2−42k2+1+( 2k+m)−4mk2k2+1+2 2m=0，
可得m=2 2k，
所以直线l方程为y=k(x+2 2)，恒过定点(−2 2,0)．

【解析】【分析】(1)由题可得F1− 2,0，进而可得a=2，即得；
(2)利用韦达定理法，利用斜率互为相反数得k与m的一次关系即得．