山东省泰安市宁阳县2023-2024学年七年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份山东省泰安市宁阳县2023-2024学年七年级上学期期末数学试题(含答案)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．中国的快速增长为汽车行业提供了广阔需求空间，汽车轮毂是汽车零部件的一个重要组成部分，汽车轮毂的需求量随汽车销量的增长而增长．下列轮毂的设计不是为轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ）
A．B．
C．D．
3．根据尺规作图的痕迹判断点C表示的数为（ ）
A．B．C．D．
4．若点在第二象限，则应在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．已知中，所对的边的长分别是，根据下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在中，，直线是的垂直平分线，E在上，，则（ ）

A．B．C．D．
7．如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的棱和草地的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为（ ）

A．13B．C．D．
8．如图，是的平分线，点A是上一点，作线段的垂直平分线交于点，过点作交于点，连接，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，直线l是一次函数的图象，且直线l过点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．直线l过坐标为的点
C．若点，在直线l上，则
D．
10．为测量一池塘两端间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．甲：如图1，先过点作的垂线，再在射线上取两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点．则测出的长即为间的距离；
乙：如图2，先确定直线，过点作射线，在射线上找可直接到达点的点，连接，作，交直线于点，则测出的长即为间的距离，则下列判断正确的是（ ）

A．只有甲同学的方案可行B．只有乙同学的方案可行
C．甲、乙同学的方案均可行D．甲、乙同学的方案均不可行
11．在一条直线上依次有三地，自行车爱好者甲、乙两人同时分别从两地出发，沿直线匀速骑向C地．已知甲的速度为，设甲、乙两人行驶后，与A地的距离分别为，与x的函数关系如图所示．两人在出发时都配备了通话距离为的对讲机，便于两人用对讲机通话．下列说法错误的是（ ）
A．甲比乙早到C地20分钟
B．甲在距离B地处追上乙
C．B，C两地的距离是
D．甲、乙两人从出发到都到达C地前可以用对讲机通话的时间为小时．
12．如图，，垂足为，垂足为，为的中点，，以下结论：①；②若F为中点，则；③；④直线是线段的垂直平分线．⑤正确的有（ ）
A．①②③B．①②⑤C．①②④D．①②③④
二、填空题
13．如图，和关于直线对称．若，则的度数为 ．
14．的平方根是 ， ．
15．上图是游乐园一角的平面示意图，如果跷跷板的坐标为，碰碰车的坐标为，则摩天轮的坐标为 ．
16．若点和关于轴对称，则点关于轴对称的点的坐标为 ．
17．如图，平面直角坐标系内，动点按照图中箭头所示方向依次运动，第1次从原点O运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，按这样的运动规律，动点第2024次运动到点的坐标为 ．
18．如图，中，，，．将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 ．
三、解答题
19．（1）计算：．
（2）根据平方根的意义解方程：
20．已知：如图，等边中，点E在边BC上，，且．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
21．如图1、图2，图3正方形网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，请你用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图（保留画图痕迹，不要求写出画法）
(1)在图1中画出的边上的高；
(2)在图2中，画出关于y轴对称图形，并写出的坐标，
______，______，______．
(3)在图3中，在直线上画出点P，使最小．
22．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，，满足关系式

(1)请求出、、三点的坐标：
(2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
23．消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
24．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和，直线经过点与点．
(1)求点的坐标；
(2)求直线的表达式；
(3)在轴上有一动点，过点作轴的垂线与直线交于点，与直线交于点，若，求的值．
25．（1）【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，过点B作直线的平行线，交线段的延长线于点，可以判定，得出，这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是：____________，
（2）【类比应用】如图2，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展创新】如图3，在四边形中，与的延长线交于点F，E是的中点，是的平分线，试判断的数量关系，请直接写出你的结论．
参考答案：
1．B
【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可．本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】A、∵是轴对称图形，
∴不符合题意；
B、∵ 是轴对称图形，
∴符合题意；
C、∵是轴对称图形，
∴不符合题意；
D、∵是轴对称图形，，
∴不符合题意；
故选B．
2．D
【分析】看是否符合所学的全等的公理或定理及三角形三边关系即可．此题主要考查由已知条件作三角形，应用了全等三角形的判定和三角形三边之间的关系．
【详解】解：A、只有两个条件，不能作出唯一三角形;
B、属于全等三角形判定中的情况，不能作出唯一三角形；
C、不符合三角形三边之间的关系，不能作出三角形；
D、符合全等三角形的，能作出唯一三角形．
故选D．
3．C
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理与无理数，利用基本作图得到，，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后利用数轴表示数的方法得到点表示的实数．
【详解】解：根据作图得，，
，
，
∴点表示的数为．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了点与象限，点的坐标在各象限的特点，利用特点进行计算与判断．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
∴，
则在第二象限，
故选B．
5．A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及勾股定理逆定理等知识，根据三角形内角和定理以及勾股定理逆定理分析判断即可求出答案．
【详解】解：A.由题意，，
∴是锐角三角形，本选项符合题意．
B.∵，，
∴，
∴是直角三角形，本选项不符合题意．
C.∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，本选项不符合题意．
D.∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
6．B
【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余，根据线段垂直平分线得到，推出，设，利用直角三角形的性质得到，由此求出答案．
【详解】解：∵直线是的垂直平分线，
∴
∴
设，
∴
∴
解得，
∴
故选：B．
7．A
【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，从不同的方向看几何体，将木块展开，然后根据两点之间线段最短利用勾股定理解答即可．
【详解】解：如图所示，将木块展开，
由题意得，展开后的长方形的长为，宽为，
∴一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为，
故选A．

8．A
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质；过点作于点，利用垂直平分线和角平角线的性质可得，，进而根据三角形的面积公式，即可求解.
【详解】解：如图，过点作于点，

是线段的垂直平分线
，
是的角平分线
，
的面积
故选：A．
9．D
【分析】根据函数图象可知，即得出，可判断A；将点代入，即得出，即直线l的解析式为，由当时，，即可判断B；由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，从而即可得出，可判断C正确；由该函数y的值随x的增大而减小，且当时，，即得出当时，，从而可判断D．
【详解】∵该一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与y轴的交点位于x轴下方，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
将点代入，得：，
∴，
∴直线l的解析式为，
当时，，
∴直线l过坐标为的点，故B正确，不符合题意；
由图象可知该函数y的值随x的增大而减小，
又∵，
∴，故C正确，不符合题意；
∵该函数y的值随x的增大而减小，且当时，，
∴当时，，即，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．由图象确定出，y的值随x的增大而减小是解题关键．
10．C
【分析】根据全等三角形的判定和性质分别证明，即可判断可行性．
【详解】解：方案一：由题意得，，，
，
在和中，
，
，
；
测出的长即为A，B间的距离；
方案二：，
，
在和中，
，
，
；
测出的长即为，间的距离，
∴两个同学的方案均可行，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键．
11．D
【分析】由图像可知，甲到C地用的时间为2小时，B地与A的距离为5千米，根据甲的速度求出，然后求出时的函数值，再设，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；分乙在前和甲在前两种情况求出距离为的时间，然后相减即为可以用对讲机通话的时间．
【详解】由图像可知，甲到C地用的时间为2小时，B地与A的距离为5千米，
∴A、C两地的距离为：千米，
∴B、C两地的距离是km．
故③正确；
∵甲的速度为，
∴，
当时， ，设，根据题意，得，
解得，
∴，
当时，即，
解得：，小时即为2小时20分钟，即乙到达C的时间为2小时20分钟，
∵甲到达C的时间为2小时，
∴甲比乙早到C地20分钟，
故①正确；
当时，，即甲乙两人相遇，千米，
∴甲在距离B地15km处追上乙，
故②正确；
根据题意，得时，
故，
解得，
通话时间为小时；
当甲到达C地时，
通话时间为小时，
故总时间为小时；
故④错误；，
故选：D．
12．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，由，，，得到，根据余角的性质得到，证得，得到①正确；由线段垂直平分线的性质得到④正确；根据等腰三角形的性质等边对等角，得到②正确；因为，，，，，得到③不正确；由，，得到，所以⑤不正确．
【详解】解：，，，
，
，
，
在与中，

，故①正确；
，
，
，
，
垂直平分，故④正确；
垂直平分，
，
，
，若为中点，则；故②正确
，
，，
，
，
，故③不正确；
，，，故⑤不正确．
故正确的有：①②④
故选：C．
13．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】∵和关于直线对称．
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：.
14． 6
【分析】本题考查了平方根，立方根，根据定义计算求解即可．
【详解】∵，
∴16的平方根是，
，
故答案为：，6．
15．
【分析】根据跷跷板的坐标为，碰碰车的坐标为，确定原点，后解答即可．
【详解】∵跷跷板的坐标为，碰碰车的坐标为，
建立坐标系如下：
∴摩天轮的坐标为,
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，根据题意，利用平面内两点关于轴对称时：纵坐标不变，坐标互为相反数，先求出，的值，代入点，再利用平面内两点关于轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出点的坐标．
【详解】解：∵点和关于轴对称，
∴
解得：
∴点关于轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了坐标系中点的坐标规律探索，仔细观察点的坐标发现第2次坐标为，第4次坐标为，第6次坐标为，故第2024次的坐标为．
【详解】第2次坐标为，第4次坐标为，第6次坐标为，
故第2024次的坐标为．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，轴对称的性质，掌握相关性质是解答本题的关键．
根据翻折的性质和勾股定理的逆定理，得到为直角三角形，设，则，再利用勾股定理得到答案．
【详解】解：由题意得：
，两点关于射线对称，
，
为定值，要使周长最小，
即最小，
如图，当点为与射线的交点时，周长最小，
，，，
，
，
，
为直角三角形，
，
，
，
设，则，
在中，
，
即，
解得：，
，
故答案为：．
19．（1）；（2）或
【分析】本题考查了立方根与平方根的定义；
（1）根据算术平方根以及立方根的定义化简，即可求解；
（2）根据题意，根据平方根的意义解方程即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
∴
∴，
解得：或
20．(1)见解析
(2)等边三角形，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得，，再根据“两直线平行，内错角相等”得，然后根据可得答案；
（2）根据全等三角形的性质得，，再说明，即可得出是等边三角形．
【详解】（1）∵等边三角形，
∴，.
∵，
∴.
∵，
∴≌；
（2）是等边三角形．理解如下：
∵≌，
∴，，
∴，
即，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等边三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)，见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了网格上高线的画图，轴对称画图，线段和最小画图，正确理解作图的意义是解题的关键．
（1）延长，与过点A的铅直线的交点为D，则即为所求
（2）根据纵不变，横相反，计算坐标，并画图即可．
（3）根据点A关于的对称点，连接，交于点P，点P即为所求．
【详解】（1）延长，与过点A的铅直线的交点为D，画图如下：
则即为所求．
（2）∵与关于y轴对称，且，
∴，画图如下：
则即为所求，
故答案为：．
（3）根据点A关于的对称点，连接，交于点P，画图如下：
点P即为所求．
22．(1)点坐标为，点坐标为，点坐标为；
(2)；
(3)存在这样的点M，点M的坐标为或．
【分析】本题考查非负数的性质，直角坐标系中的面积问题，三角形的面积公式等知识．
（1）根据非负数的性质求解即可；
（2）求出，，再用计算即可；
（3）根据设为，则，，再结合题意列出绝对值方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，；
∴点坐标为，点坐标为，点坐标为；
（2）解：过点作于，则，

∵，，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：存在，点M的坐标为或，
理由如下：
假设存在这样的点M，设为，则，
∵，
∴
∵，
由题意得
解得：或，
∴存在这样的点M，点M的坐标为或．
23．这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
由勾股定理求出、的长，即可解决问题．
【详解】解：由题意可知，，点、、三点共线，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
答：这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为．
24．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数性质；
（1）分别令，令，即可求解；
（2）将点，点坐标代入解析式可求解；
（3）由轴，可得点，点坐标，可求的长，即可求的值；
【详解】（1）解：令，则，
令，则，解得：，
点，；
（2）解：把点，代入，得：
，解得：，
直线的表达式为；
（3）解：点，
点，
，
点，
，
，
，解得：．
25．(1)
(2) ,见解析
(3) 见解析
【分析】本题考查了角平分线的意义，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定，等腰三角形的判定是解题的关键．
（1）根据判定，选择即可．根据，运用三角形三边关系定理计算即可．
(2) 根据，证明，判定是等腰三角形证明即可．
(3) 延长交的延长线于点G，仿照(2)的证明解答即可．
【详解】（1）∵边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
(2)延长交的延长线于点F，
∵，
∴，，
∵ E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵
∴．
故答案为：．
(3)如图，延长交的延长线于点G，
∵，
∴，，
∵ E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵
∴．