重庆市潼南区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份重庆市潼南区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列汽车标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，点在上，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
4．某超市第一季度中，1月的营业额为200万元，2、3月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为，由题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
5．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．潼南明天会下雪
B．任意画一个平行四边形，其对角线互相平分
C．经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯
D．抛掷一枚质地均匀的骰子，7点向上
6．已知关于的一元二次方程的一个根是，则该方程两个根的和等于（ ）
A．B．C．3D．10
7．关于二次函数的图象及性质，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下B．图象与轴交于点
C．函数的最小值为D．当时，的值随值的增大而减小
8．如图，矩形的边，平分，交于点，若点是的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
9．现有7张正面分别标有数字，，，0，1，2，3的相同卡片，将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，使以为自变量的函数的顶点落在第二象限的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…如此进行下去，直至得．若在上，则的值为（ ）
A．B．3C．5D．12
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为 ．
12．关于的一元二次方程的两根是，则抛物线的对称轴是 ．
13．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的10个红球，5个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中绿球有 个．
14．如图，是的直径，，过点作的切线交的延长线于点，则等于 ．
15．如图，一个正六边形内接于，且的半径为1，该正六边形的面积为 ．
16．如图，在中，，，，以点为旋转中心，把顺时针旋转得，则的面积为 ．
17．方程是关于的一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，原方程可变为，先求解，再求解．在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想，请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题：若，则 ．
18．如图，抛物线与轴交于点，点在抛物线上，是抛物线对称轴上任意一点，、、分别是、、的中点，连接，则的最小值为 ．
三、解答题
19．解下列方程：
(1)；
(2)．
20．如图，的顶点坐标分别为，，，（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
(1)画出关于原点对称的；
(2)画出绕点逆时针方向旋转后得到的，并直接写出点的坐标．
21．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)若方程的一个根是2，求的值；
(2)求的取值范围．
22．2022年3月23日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员在中国空间站再次进行太空授课，生动地演示了微重力环境下的四个实验现象（A．太空冰雪实验；B．液桥演示实验；C．水油分离实验；D．太空抛物实验），神奇的太空实验堪称宇宙级精彩！为加深同学们的印象，某校团委组织了太空实验原理讲述的活动．
(1)小宇从四个试验中任意选取两个进行实验原理讲述，请写出他所有可能的选法（四个实验现象用字母表示即可）；
(2)若小东和小南两人各从四个实验中随机选取一个实验进行原理讲述，请你用列表或树状图的方法，求他们恰好选到同一实验的概率．
23．如图，二次函数的图象与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，若一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点．
(1)分别求出一次函数与二次函数的解析式；
(2)根据图象，写出满足的的取值范围．
24．如图，是的直径，弦于点，点在上，弦与交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
25．“潼南柠檬”获评国家地理标志商标，被认定为全国名特优新农产品，柠檬即食片是其加工产品中非常受欢迎的一款零食．一家超市销售了净重一袋的柠檬即食片，进价为每袋10元．销售过程中发现，如果以单价14元销售，那么一个月内可售出200袋．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少20袋．根据物价部门规定，这种柠檬即食片的销售单价不得低于进价且不得高于18元．
(1)求每月销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式；
(2)设超市每月销售柠檬即食片获得离利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？
(3)若超市想每月销售柠檬即食片所得利润稳定在900元，销售单价应定为多少元？
26．如图，抛物线与轴交于A，C两点（A点在C点左侧），直线与抛物线交于A，B两点，其中点的横坐标为2．
(1)求A，C两点的坐标及直线的函数表达式；
(2)若点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值；
(3)若点是抛物线上的一个动点，在轴上是否存在点，使得以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．
根据一元二次方程的定义求解即可．
【详解】解：A、不是一元二次方程，故A选项错误；
B、不是一元二次方程，故B选项错误；
C、不是一元二次方程，故C选项错误；
D、是一元二次方程，故D选项正确．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．根据轴对称图形：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，以及中心对称图形：一个平面图形，绕一点，旋转，与自身完全重合，进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
3．A
【分析】本题考查圆周角定理．根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出结果．
【详解】解：∵点在上，，
∴；
故选A．
4．C
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x，
∴该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，
又∵2、3月的总营业额为1000万元，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系是解决问题的关键．
5．B
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、潼南明天会下雪是随机事件，不符合题意；
B、任意画一个平行四边形，其对角线互相平分是必然事件，符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯是随机事件，不符合题意；
D、抛掷一枚质地均匀的骰子，7点向上是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，，．根据根与系数的关系得出即可．
【详解】解：设方程的两个根为，，
．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数顶点式得到函数的性质是解题的关键．
由函数的顶点式得到函数的对称轴和最值，顶点坐标，然后结合开口方向得到函数的增减性求解即可．
【详解】解：∵二次项系数为，
∴图象开口向上，故A选项错误；
当时，，
∴图象与y轴交于点，故B选项错误；
∵，
∴函数的最小值为，故C选项正确；
∴二次函数的对称轴为，开口向上，
∴当，时的值随值的增大而增大，故D选项错误；
故选：C．
8．D
【分析】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，正确得出的长以及的度数是解题关键．利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出，的长以及的度数，进而利用求出图中阴影部分的面积．
【详解】解：∵点是的中点，，
∴，
∵矩形，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积是，
故选D
9．C
【分析】本题考查的是二次函数的性质及概率公式．先用表示出抛物线的顶点坐标，再根据第二象限内点的坐标特点得出关于的不等式，求出的取值范围，再根据概率公式解答即可．
【详解】解：函数的顶点坐标为，
当顶点坐标在第二象限时，，解得，
数字，，，0，1，2，3中，2，3大于，
个数中有两个数符合，
为自变量的函数的顶点落在第二象限的概率．
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象，二次函数与几何变换．由抛物线与轴交点坐标得出抛物线的解析式，再根据周期为8即可求出的值．
【详解】解：一段抛物线，
图象与轴交点坐标为：，，
，
将绕点旋转得，
，
抛物线，
且曲线的一个周期长为8，
在上，
，且，
．
故选：B．
11．
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数进行解答即可．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，根据方程的解，得出抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线的对称性，即可解答．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根是，
∴抛物线与x轴的交点坐标，
∴该抛物线的对称轴为直线，
故答案为：．
13．5
【分析】本题主要考查的是频率估计概率的知识，
首先根据题意得到摸到绿球的概率是，然后设有x个绿球，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：∵经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，
∴摸到绿球的概率是，
设有x个绿球，
∵袋中有10个红球，5个白球，若干个绿球，
∴，
解得：，
故答案为：5．
14．/46度
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，也考查了圆周角定理．
连接，先利用圆周角定理得，再根据切线的性质得，然后利用互余计算的度数．
【详解】解：连接，如图所示，
∵，
∴，
为的切线，
，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定及性质、勾股定理，过点作于点，根据正六边形的性质易证是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出，然后根据勾股定理即可求出，最后根据三角形的面积公式即可求出正六边形的面积．
【详解】解：如图，过点作于点
六边形是正六边形
，
是等边三角形
在中，
正六边形的面积
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了旋转的性质，含角的直角三角形，勾股定理．根据勾股定理和直角三角形的性质以及三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
把顺时针旋转得，
，，
的面积为，
故答案为：．
17．2
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．设，原方程可变形为，运用因式分解法解得，，再根据，即可得出．
【详解】解：设，原方程可变形为，
整理得，即，
，，
，
，
故答案为：2．
18．
【分析】由三角形的中位线可得，求的最小值，求的最小值即可，作关于直线的对称点，当、、三点共线时，取得最小值，此时，，即可求解．
【详解】解：、、分别是、、的中点，
，
，
，
求的最小值，
求的最小值即可，
点在抛物线上，
，
，
，
对称轴为直线，
如图，作关于直线的对称点，
，
当、、三点共线时，取得最小值，
此时，，
，
，
的最小值为．
故答案：．
【点睛】本题考查了函数图象上的点，勾股定理，两点之间连线段最短，掌握性质及“将军饮马”典型问题解法是解题的关键．
19．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
【详解】（1）解：，
配方，得，
即，
根据平方根的意义，得，
解得，；
（2）解：，
，
，
解得，．
20．(1)见解析
(2)图见解析，的坐标为，的坐标为
【分析】（1）分别作点A、B、C关于原点对称的对应点，顺次连接即可；
（2）分别作点A、B、C绕点逆时针方向旋转后得到的对应点，顺次连接，得到，写出点的坐标即可．
此题考查了中心对称图形和旋转的作图，正确找到对应点是解题的关键．
【详解】（1）如图，即为所求，
（2）如图，即为所求，的坐标为，的坐标为，
21．(1)；
(2)且
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式．
（1）把代入一元二次方程，求出的值即可；
（2）根据一元二次方程有两个实数根可知，求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：把代入 得：，
解得；
（2）解：一元二次方程 有两个实数根，
，
解得．
22．(1)共有6种等可能的结果数，它们是：．
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）根据题意可直接列举出他所有可能的选法为：、、、、、．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及他们恰好选到同一实验的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，他共有6种等可能的选法，分别为：；
（2）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中他们恰好选到同一实验的结果有4种，
∴他们恰好选到同一实验的概率为．
23．(1)抛物线解析式为，一次函数解析式为；
(2)
【分析】本题考查了二次函数与不等式、待定系数法求一次函数与二次函数解析式、二次函数的图象与性质
（1）将A点坐标代入，求出的值，即可得出二次函数的解析式，根据二次函数的解析式可得出点C的坐标，进而可得点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）直接根据图象找到二次函数在一次函数上方时的取值范围即可．
【详解】（1）∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴点坐标为，
∵抛物线的对称轴是直线，且、关于对称轴对称，
∴点坐标为，
∵经过点、，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为．
（2）由图象可知，满足的的取值范围为．
24．(1)见解析
(2)
【分析】根据等边对等角得，由同弧所对圆周角相等得，利用内错角相等两直线平行即可判定；
连接，根据垂径定理可得和，利用勾股定理可求得，即可求得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）连接，如图，
∵是直径，，
∴为的中点，
∵，，
∴，，
∴，
则．
【点睛】本题主要考查等边对等角、同弧所对圆周角相等、平行线的判定、垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练使用垂径定理等圆的相关知识．
25．(1)；
(2)当销售单价定为17元时，每月可获得最大利润；每月获得最大利润为980元．
(3)当销售单价定为15元时，每月获得利润可稳定在900元．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握并灵活运用是解此题的关键．
（1）设销售单价x元，再由每月销售量，进而计算可以得解；
（2）结合（1）得，超市每月销售柠檬即食片获得利润为，再由二次函数的性质即可求解；
（3）结合（2）所得函数关系式，令，即而计算可以得解．
【详解】（1）由题意得：，，
∴；
（2）由题意，得：
，
∵且对称轴为，
∴当时，最大为980
∴当销售单价定为17元时，每月获得最大利润为980元．
（3）由题意得：
整理得：，
解得：或
∵，
∴，
∴当销售单价定为15元时，每月获得利润可稳定在900元．
26．(1)，，
(2)
(3)存在，，，，
【分析】（1）令，则，求出方程的解，即得A，C两点的坐标；再用待定系数法求出直线的函数表达式；
（2）设点的横坐标为，则可用含的代数式表示的长，再根据二次函数的性质求出长度的最大值；
（3）以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形分两大类，第一类是以为边的平行四边形，又分三种情况：①点F在点的左侧，②点F在点的右侧，③点F在之间．分别根据平行四边形的性质及一次函数的图象及性质，可逐步求得点F的坐标；第二类是以为对角线的平行四边形，同样利用，即可求得答案．
【详解】（1）令，则，
解得或，
∴，，
将点的横坐标代入得，
，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的函数解析式是；
（2）设点的横坐标为，
则P，D的坐标分别为，，
点在点的下方，
，
当时，的最大值为；
（3）存在这样的点，
当以A，B，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，分三种情况：
①点F在点的左侧时，如图，连接点与抛物线和轴的交点，
那么轴，
此时，
点的坐标是；
②点F在点的右侧时，如图，
此时B，E两点的纵坐标互为相反数，
点的纵坐标为，代入抛物线中即可得点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点代入后可得出直线的解析式为，
令，则，
因此直线与轴的交点的坐标为；
③点F在之间时，如图，
同②可求出的坐标为；
当以A，B，E，F为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，如图，
同①，则，
点的坐标为，
点的坐标为；
综上所述，存在这样的点，坐标为，，，．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，二次函数中动点最值问题，平行四边形的的性质等知识，熟练掌握相关性质及定理是解答本题的关键．