江苏省连云港市灌云县2023届九年级下学期期中学业质量监测数学试卷(含解析)

这是一份江苏省连云港市灌云县2023届九年级下学期期中学业质量监测数学试卷(含解析)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的绝对值是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 成人每天维生素的摄入量约为克．数据“”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 下列几何体的三视图中没有矩形的是( )
A. B. C. D.
5. 一组数据，，，，对该组数据描述正确的是( )
A. 平均数是B. 中位数是C. 众数是D. 方差是
6. 如图，在中，，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，在中，在边上，：：，点是的中点，连接并延长交于点，则：( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
8. 已知，当且为整数时，随的增大而减小，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若分式的值为，则______．
10. 分解因式：______．
11. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为 ．
12. 若单项式与单项式的和是单项式，则 ______ ．
13. 三个能够重合的正六边形的位置如图．已知点的坐标是，则点的坐标是______．
14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
15. 如图，边长为的正方形中心与半径为的的圆心重合，、分别是、的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积是______结果保留
16. 如图，在中，，，点是在直角边上一动点，且为等边三角形，则的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
解不等式组：．
19. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
20. 本小题分
某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
请根据图表中的信息解答下列问题：
频数分布表中的______，______，______；
请补全频数分布直方图；
若该校九年级共有名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于的学生人数．
21. 本小题分
把算珠放在计数器的根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数．
若将一颗算珠任意摆放在这根插棒上，则构成的数是三位数的概率是 ；
若一个数正读与反读都一样，我们就把这个数叫做回文数现将两颗算珠任意摆放在这根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数且是回文数的概率．
22. 本小题分
如图，，，点在边上，，和相交于点．
求证：≌；
若，求的度数．
23. 本小题分
某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植、两种花卉，已知盆种花卉和盆种花卉的种植费用为元，盆种花卉和盆种花卉的种植费用为元．
每盆种花卉和每盆种花卉的种植费用各是多少元？
若该景区今年计划种植、两种花卉共盆，相关资料表明：、两种花卉的成活率分别为和，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．
24. 本小题分
桔槔俗称“吊杆”、“称杆”，如图，是我国古代农用工具，桔槔始见于墨子备城门，是一种利用杠杆原理的取水机械如图所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，：：当点位于最高点时，．
求点位于最高点时到地面的距离；
当点从最高点逆时针旋转到达最低点，求此时水桶上升的高度参考数据：，，
25. 本小题分
已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于、两点，与轴交于点，其中，．
求抛物线的解析式；
若点在抛物线上运动点异于点．
如图当面积与面积相等时．求点的坐标；
如图当时，求直线的解析式．
26. 本小题分
实践操作
在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为点、是折痕与矩形的边的交点，再将纸片还原．

初步思考
若点落在矩形的边上如图当点与点重合时， ______ ，当点与点重合时， ______ ；
深入探究
若点落在矩形的内部如图，且点、分别在、边上，的最小值是______ ；
拓展延伸
若点与点重合，点在上，射线与射线交于点如图在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段与线段的长度相等？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
解：，
故选：．
2.【答案】
解析：解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据完全平方公式，同底数幂的乘法，除法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，除法，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.【答案】
解析：
解：．
故选：．
4.【答案】
解析：解：该长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，因此选项A不符合题意；
B.该三棱柱的主视图、左视图是矩形，因此选项B不符合题意；
C.该圆柱体的主视图、左视图是矩形，因此选项C不符合题意；
D.该圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆、所以它的三视图没有矩形，因此选项D符合题意；
故选：．
根据长方体、三棱柱、圆柱以及圆锥的三视图进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
5.【答案】
解析：解：将这组数据重新排列为，，，，，
所以这组数据的众数为，故选项C不合题意；
中位数为，故选项B不合题意；
平均数为，故选项A符合题意；
方差为，，故选项D不合题意；
故选：．
将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．
本题主要考查方差，众数，中位数，算术平均数，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．
6.【答案】
解析：解：，，
，
，
故选：．
先利用平行线的性质可得，然后再利用圆周角定理，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7.【答案】
解析：解：如图，过点作，交于点，
点是的中点，
点是的中点．
又：：，
，
：：，
：：，
：：
设，，又点是的中点，
，，
：：，
，，
，，
故选：．
过点作的平行线交于点，由中位线的知识可得出，根据已知和平行线分线段成比例得出，：：，：：，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出：的比．
本题考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．
8.【答案】
解析：解：，
对称轴为，
，
抛物线开口向上，
在对称轴左侧随的增大而减小，
当且为整数时，随的增大而减小，
，
解得，
故选：．
可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，可求得答案．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，由函数的增减性得到关于的不等式是解题的关键．
9.【答案】
解析：解：依题意得：且．
解得．
故答案是：．
分式为零时：分子等于零且分母不等于零．
本题考查的是分式的值为的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
10.【答案】
解析：
解：，
，
．
故答案为．
11.【答案】
解析：解：连接，
，且是圆周角，
是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：，
所以圆形镜面的半径为，
故答案为：．
连接，根据得出是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出是圆形镜面的直径是解此题的关键．
12.【答案】
解析：解：单项式与单项式的和是单项式，
单项式与单项式是同类项，
，，
，，
．
故答案为：．
首先可判断单项式与单项式是同类项，再由同类项的定义可得、的值，代入求解即可．
本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个相同，即所含字母相同，相同字母的指数也相同．
13.【答案】
解析：解：因为点和点关于原点对称，点的坐标是，
所以点的坐标是，
故答案为：．
根据正六边形的性质可得点和点关于原点对称，进而可以解决问题．
本题考查了正六边形的性质，中心对称图形，解决本题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征．
14.【答案】且
解析：解：根据题意得且，
解得且，
所以的取值范围是且．
故答案为：且．
根据一元二次方程解的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了一元二次方程概念和根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
15.【答案】
解析：解：延长，交于，则被分成个部分，其中个部分是全等图形，

图中阴影部分的面积．
故答案为：．
证明阴影部分的面积，可得结论．
本题考查正方形是性质，圆的有关知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用全等图形解决问题．
16.【答案】
解析：解：在中，，，
，
，
点在以为直径的圆上，
设的中点为，连接，当点在线段上时，的值最小，连接，
，，
，
点为的中点，
，
是等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
根据直角三角形的性质得到，根据圆周角定理得到点在以为直径的圆上，设的中点为，连接，当点在线段上时，的值最小，根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得，于是得到的最小值是．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：原式

．
解析：直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：．
解析：按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19.【答案】解：原式


，
当时，
原式

．
解析：根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
20.【答案】解：；；；
补全频数分布直方图如下：
人，
答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于的学生人数为人．
解析：
解：由题意可知，，
，，
故答案为：；；；
见答案．
21.【答案】
解析：解：若将一颗算珠任意摆放在这根插棒上，则构成的数是三位数的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中构成的数是三位数且是回文数的结果有种，
构成的数是三位数且是回文数的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中构成的数是三位数且是回文数的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：证明：和相交于点，
．
在和中，
，．
又，
，
．
在和中，
，
≌．
≌，
，．
在中，
，，
，
．
解析：根据全等三角形的判定即可判断≌；
由可知：，，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数．
本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
23.【答案】解：设每盆种花卉种植费用为元，每盆种花卉种植费用为元，根据题意，
得：，
解得：，
答：每盆种花卉种植费用为元，每盆种花卉种植费用为元；
设种植种花卉的数量为盆，则种植种花卉的数量为盆，种植两种花卉的总费用为元，
根据题意，得：，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
当时，的最小值，
答：种植、两种花卉各盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为元．
解析：设每盆种花卉种植费用为元，每盆种花卉种植费用为元，根据题意列出关于的二元一次方程组，求解即可；
设种植种花卉的数量为盆，则种植种花卉的数量为盆，种植两种花卉的总费用为元，由题意：这两种花卉在明年共补的盆数不多于盆，列出一元一次不等式，解得，再由题意得，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：过作于，过作于，
米，：：，
米，米，
，，
，
在中，米，
点位于最高点时到地面的距离为米，
答：点位于最高点时到地面的距离为米；
过作，过作于，过作于，

，
，，
米，
在中，米，
在中，米，
米，
此时水桶上升的高度为米．
解析：作出如图的辅助线，在中，利用正弦函数求解即可；
作出如图的辅助线，在中和在中，分别利用三角函数求出和的长即可．
本题主要考查了解直角三角形的应用，读懂题意，构造直角三角形是解题的关键．
25.【答案】解：由题意，得，解得
抛物线的解析式为；
令，解得，，，
当点在轴上方时，如图，
过点作直线的平行线交抛物线于点，
易求直线的解析式为，
设直线的解析式为，
直线过点，代入求得．
直线的解析式为
解方程组，得，
点
当点在轴下方时，如图：
设直线交轴于点，
把直线向下平移个单位，交抛物线于点，，
得直线的解析式为，
解方程组，
得，
，，
综上所述，点的坐标为：，，，
，
，
设直线的解析式为
如图，延长交轴于点，
设，则，
，，
，
又
∽
，，
，
直线过点，
直线的解析式为．
解析：根据对称轴公式，、两点坐标，列方程组，求抛物线解析式；
只需要即可满足题意，先求直线解析式，根据平行线的解析式一次项系数相等，设直线的解析式，将点坐标代入可求直线的解析式，将抛物线与直线解析式联立，即可求点坐标，再根据平移法求满足条件的另外两个点坐标；
延长交轴于点，根据抛物线解析式可知为等腰直角三角形，利用角的关系证明，可证∽，利用相似比求解．
本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线与轴，轴的交点，判断三角形的特殊性，利用平移，相似的知识解题．
26.【答案】
解析：解：四边形是矩形，
，
当点与点重合时，是的中垂线，
，
当点与点重合时，如图，

则平分，
此时，，
故答案为：，；
若点落在矩形的内部，且点、分别在、边上，如图，

设，则，
当，，在一直线上时，最小，最小值为，
当最大为时，最小值为，
故答案为：；
分情况讨论：
如图，连接，

四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，
则，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
；
如图，

四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，即，
设，
则，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
；
综上所述，存在某一情况，使得线段与线段的长度相等，线段的长度为或．
当点与点重合时，画出图形可得结论；当点与点重合时，则平分，即可得出答案；
当与重合，点在对角线上时，有最小值，根据折叠的性质求，由勾股定理求，即可得出结果；
分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
运动时间
频数
频率
合计