江苏省苏州市2023-2024学年第一学期初二苏科版数学期末综合复习卷(含解析)

这是一份江苏省苏州市2023-2024学年第一学期初二苏科版数学期末综合复习卷(含解析)，共38页。
一、选择题（8小题，每小题2分，共16分）
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2． “一座姑苏城，半卷江南诗．”2023年苏州市文旅行业势头强劲，经综合测算，国庆长假期间，我市累计接待游客万人次，按可比口径较2019年增长近似数万精确到（ ）
A．十分位B．百位C．千位D．千分位
3．已知点与点在同一条平行于x轴的直线上，且N到y轴的距离等于4，则点N的坐标是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
4．如图，在和中，．添加下列哪个条件，不能使的是（ ）
A．B．
C．D．
5．折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次的折返跑，用时在整个过程中，他的速度大小v（）随时间t（）变化的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，，C是延长线上的一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当t为（ ）s时，是等腰三角形．
A．B．6C．或6D．或8
7．如图，，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．6B．C．9D．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
9．已知一个正数的两个平方根分别是x和，则这个正数等于___________．
10．已知点在第二象限，则x的取值范围是___________．
11．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别是5，3，5，7，则最大的正方形E的面积是_______________．
12．已知一次函数（为常数，且）的图像过点，若，则_____．（用或填空）
13．（2022上·重庆合川·八年级校考期末）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为___________．
14．若一个面积为2的正方形的边长为，则是无理数．课本中采取“逼近法”对的大小进行了探究：即先判断出是大于1且小于2的数，再进一步得到：（精确到一位小数）．同样地，若一个面积为14的正方形的边长为，请运用课本的知识与方法，探究的取值范围是_________．（要求：精确到一位小数）
15．如图，在中，，，于点D，点E、F分别是线段上的动点，且，则的最小值为 _______________．

16．如图．直线：与轴，轴分别交于点，，直线经过点，与轴负半轴交于点，且，则直线的函数表达式为_________________________．
三、解答题（11小题，共68分）
17．计算：
(1)； (2)．
18．求下列各式中x的值：
(1) (2)
19．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
20．如图，在平面直角坐标系中，顶点．
(1)画出关于x轴对称的图形，其中分别和对应；
(2)分别写出三点坐标；
(3)若y轴上有一点P，且满足，直接写出点P坐标．
21．一次函数的图像经过点和．
(1)求这个一次函数表达；
(2)若点在该一次函数的图像上，且，求实数m的取值范围．
22．有一款线上军事游戏，我们可以把游戏地图模拟为一个边长为1的小正方形所组成的网格（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），此地图以直线l为分界线．我方玩家根据地可模拟为格点，请利用网格线和无刻度的直尺画图．
(1)对方玩家根据地与关于直线l成轴对称，请画出；
(2)为使得我方资源更加平衡，现需要在图中找一个能量补给站，使其到A、B、C三点距离相等，请在图中用点O表示，并指出O点是否越过分界线l；
(3)在界线l上安插一名侦察兵，并使其到点A、点B的距离之和最小，请找出侦察兵的位置P．
23．已知：在中，，．
(1)如图，点D在边上，点E在边上，，与交于点F．求证：；
(2)若点D是边上的一个动点，点E是边上的一个动点，且，与交于点F．当是等腰三角形时，求的度数．
24．某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元．由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．
(1)求A场馆和B场馆的门票价格．
(2)若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
(3)若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1100元，求所有满足条件的购买方案．
25．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值．
②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点．
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
(2)探究函数的性质
①当时，函数值y随着自变量x的增大而______；（填“减小”或“增大”）
②函数的图象关于______对称；
(3)运用函数图象及性质
①点，点，点在函数图像上，请比较y1，y2，y3的大小______．
②写出方程的解______．
③写出不等式的解集______．
26．若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”．
(1)如图1，与互为“底余等腰三角形”．若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”：______(填“是”或“否”)；
(2)如图1，与互为底余等腰三角形”．当时，若的“余高”是．
①请用直尺和圆规作出(要求：不写作法，保留作图痕迹)；
②求证：．
(3)如图2，当时，与互为“底余等腰三角形”，连接、，若，，请直接写出的长．
27．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．
(1)求点坐标；
(2)如图2，若为正半轴上一动点，以为直角边作等腰直角，，连接，求的度数；
(3)在（2）条件下求直线的函数关系式；
(4)如图3，过点作轴的垂线交轴于，为轴负半轴上一点，在的延长线上，以为直角边作等腰，过作轴垂线交于点，连，等式是否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由．
1．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断即可求解．
【详解】、不是轴对称图形，故选项不合题意；
、不是轴对称图形，故选项不合题意；
、不是轴对称图形，故选项不合题意；
、是轴对称图形，故选项合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
2．（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）“一座姑苏城，半卷江南诗．”2023年苏州市文旅行业势头强劲，经综合测算，国庆长假期间，我市累计接待游客万人次，按可比口径较2019年增长近似数万精确到（ ）
A．十分位B．百位C．千位D．千分位
【答案】C
【分析】本题考查的是近似数的精确度，将题目中的数化成原始数，看后面的5 在哪一位即可求解．
【详解】解：近似数万，
近似数万精确到千位，
故选：C．
3．（2023上·浙江·八年级专题练习）已知点与点在同一条平行于x轴的直线上，且N到y轴的距离等于4，则点N的坐标是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，解题的关键是熟练掌握平行于x轴的直线上的点纵坐标相同．
【详解】解：∵点与点在同一条平行于x轴的直线上，
∴，
∵N到y轴的距离等于4，
∴，
∴点N的坐标为或．
故选：D．
4．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在和中，．添加下列哪个条件，不能使的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据三角形全等的判定方法：、即可判定得到结果．
【详解】解：A.、添加，根据能判定，故本选项不符合题意；
B、 添加，根据，能判定，故本选项不符合题意；
C.、添加时，根据能判定，故本选项不符合题意；
D、 添加，不能判定，故本选项符合题意．
故选：D．
5．（2023·江苏·统考中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次的折返跑，用时在整个过程中，他的速度大小v（）随时间t（）变化的图像可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据速度与时间的关系即可得出答案．
【详解】解：刚开始速度随时间的增大而增大，匀速跑一段时间后减速到②，然后再加速再匀速到①，
由于体力原因，应该第一个50米速度快，用的时间少，第二个50米速度慢，用的时间多，
故他的速度大小v（）随时间t（）变化的图像可能是D．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的图象，要根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得出正确的结论．
6．（2023上·江苏扬州·八年级统考期中）如图，，C是延长线上的一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当t为（ ）s时，是等腰三角形．
A．B．6C．或6D．或8
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点在点的左侧还是在右侧是解答本题的关键．
根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点在线段上时；（2）当点在的延长线上时．分别列式计算即可求．
【详解】解：分两种情况：（1）当点在线段上时，
设秒后是等腰三角形，
有，
即，
解得，；
（2）当点在的延长线上时，
当是等腰三角形时，
，
是等边三角形，
，
即，
解得，，
故选：D．
7．（2023上·湖北·八年级校考周测）如图，，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先根据折叠可得，，，，，然后求得是等腰直角三角形，进而求得，，，，由勾股定理即可求得的长．此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是解本题的关键．
【详解】解：根据首先根据折叠可得，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵根据勾股定理求得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
8．（2022下·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．6B．C．9D．
【答案】D
【分析】作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，则PA+PB的最小值即为A'B的长，先求出点A坐标，再待定系数法求出b的值，根据轴对称的性质可得点A'的坐标，进一步求出A'B的长，即可确定PA+PB的最小值．
【详解】解：作点A关于x轴的对称点，连接，如图所示：
则PA+PB的最小值即为的长，
将点A（3，a）代入y=2x，
得a=2×3=6，
∴点A坐标为（3，6），
将点A（3，6）代入y=x+b，
得3+b=6，
解得b=3，
∴点B坐标为（0，3），
根据轴对称的性质，可得点A'坐标为（3，-6）
∴，
∴PA+PB的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及两直线的交点问题，一次函数的性质，利用轴对称解决最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质以及一次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
9．（2023上·江苏·八年级专题练习）已知一个正数的两个平方根分别是x和，则这个正数等于．
【答案】
【分析】本题考查的是平方根．一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，根据这个特点列方程求解 从而可得答案．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
∴这个正数等于，
故答案为：．
10．（2023上·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）已知点在第二象限，则x的取值范围是．
【答案】
【分析】本题考查了各个象限内点的坐标特征，根据坐标系不同象限点坐标的特点判断，第一象限坐标，第二象限坐标，第三象限坐标，第四象限坐标．据此即可解答．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
11．（2023上·江苏连云港·八年级江苏省灌云高级中学校考期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别是5，3，5，7，则最大的正方形E的面积是．
【答案】
【分析】本题主要考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是解题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，由此即可求解．
【详解】解：如图所述，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，

∴根据题意可得，，，
∴，
∵是正方形的面积，
∴正方形的面积为，即正方形的面积是正方形的面积和，
同理，正方形的面积为，
∴正方形的面积为，
故答案为：．
12．（2023上·江苏连云港·八年级江苏省灌云高级中学校考期中）已知一次函数（为常数，且）的图像过点，若，则．（用或填空）
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数图象的增减性，结合函数图象上的两点横坐标的大小，即可得到答案．
【详解】∵一次函数的解析式为：，
∵，
∴随着的增大而增大，
∵该函数图象上的两点，
∵，
∴，
故答案为：
13．（2022上·重庆合川·八年级校考期末）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先作“倍长中线法”，得证，然后通过角的等量代换，以及等角对等边得，即，同理，所以，故．即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：如图，延长至G，使，连接，

在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14．（2023上·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考期中）若一个面积为2的正方形的边长为，则是无理数．课本中采取“逼近法”对的大小进行了探究：即先判断出是大于1且小于2的数，再进一步得到：（精确到一位小数）．同样地，若一个面积为14的正方形的边长为，请运用课本的知识与方法，探究的取值范围是．（要求：精确到一位小数）
【答案】
【分析】本题考查无理数的估算，利用无理数的估算即可求得答案．
【详解】解：，
，
．
故答案为：
15．（2023上·江苏徐州·八年级校考期中）如图，在中，，，于点D，点E、F分别是线段上的动点，且，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】过点作，使，连接，，可证明，则当、、三点共线时，的值最小，最小值为，求出即可．熟练掌握轴对称求最短距离的方法，通过构造三角形全等，将所求的问题转化为将军饮马求最短距离是解题的关键．
【详解】解：过点作，使，连接，，

，
，
，，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，
，
，
，
在中，，
故答案为：．
16．（2023上·江苏·八年级统考期末）如图．直线：与轴，轴分别交于点，，直线经过点，与轴负半轴交于点，且，则直线的函数表达式为．
【答案】
【分析】过点作于点，由的解析式求出点，的坐标，由得，设，，根据勾股定理和等积法求出，，得出点坐标，最后设出解析式代入求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵：与轴，轴分别交于点，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，，则，，
由勾股定理得，即，
由等积法得，
∴，
联立，
解得或（舍去），
∴，
设：，
将点代入并解得，
∴的函数表达式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的几何综合，正确画出辅助线，熟练运用勾股定理和等积法是解题的关键．
三、解答题（11小题，共68分）
17．（2023上·江苏南京·八年级校考阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）根据算术平方根、立方根，零次幂进行计算即可求解；
（2）根据算术平方根的定义化简，绝对值的化简进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（2023上·江苏泰州·八年级校考期中）求下列各式中x的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．
（1）先移项，再开立方，继而求解；
（2）先移项，再开平方，继而求解．
【详解】（1）解：，
，
，
解得：；
（2），
，
，
解得：或．
19．（2023上·湖北·八年级校考周测）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据立方根及算术平方根的定义求得，的值，然后利用无理数的估算求得的值即可；
（2）将，，的值代入中计算，再根据平方根的定义即可求得答案．
【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是4，
，，
解得：，；
，
，
是的整数部分，
；
（2），，，
，
的平方根是，
所以的平方根是．
【点睛】本题考查无理数的估算，平方根，算术平方根及立方根．
20．（2023上·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，顶点．
(1)画出关于x轴对称的图形，其中分别和对应；
(2)分别写出三点坐标；
(3)若y轴上有一点P，且满足，直接写出点P坐标．
【答案】(1)见解析 (2) (3)或
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出即可；
（2）根据各点在坐标系的位置写出三点坐标即可；
（3）先用割补法求出，进而利用求出长，即可求出结论．
【详解】（1）解：根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
分别找出点关于x轴的对称点，顺次连接，如图：
即为所求；
（2）解：根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
；
（3）解：，
，
，
，即，
，
，
，
或．
【点睛】本题考查了轴对称作图及坐标系中求面积，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解题关键．
21．（2023上·江苏淮安·八年级统考期末）一次函数的图像经过点和．
(1)求这个一次函数表达；
(2)若点在该一次函数的图像上，且，求实数m的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）待定系数求解析式即可求解；
（2）根据解析式，随的增大而减小，结合题意可得，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像经过点和．
∴ 解得：
∴这个一次函数表达为；
（2）解：∵，，
∴随的增大而减小，
∵点在该一次函数的图像上，且，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
22．（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）有一款线上军事游戏，我们可以把游戏地图模拟为一个边长为1的小正方形所组成的网格（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），此地图以直线l为分界线．我方玩家根据地可模拟为格点，请利用网格线和无刻度的直尺画图．
(1)对方玩家根据地与关于直线l成轴对称，请画出；
(2)为使得我方资源更加平衡，现需要在图中找一个能量补给站，使其到A、B、C三点距离相等，请在图中用点O表示，并指出O点是否越过分界线l；
(3)在界线l上安插一名侦察兵，并使其到点A、点B的距离之和最小，请找出侦察兵的位置P．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，点O越过分界线l
(3)见解析
【分析】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键；
（1）根据轴对称的性质找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据题意可得点O是的三条边的垂直平分线的交点处，，垂直平分线的交点即可；
（3）连接交直线l与点P，点P即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，点O即为所求；
∴点O越过分界线l；
（3）解：如图所示，点P即为所求；
23．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）已知：在中，，．
(1)如图，点D在边上，点E在边上，，与交于点F．求证：；
(2)若点D是边上的一个动点，点E是边上的一个动点，且，与交于点F．当是等腰三角形时，求的度数．
【答案】(1)见解析 (2)或
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，
(1)证明，得出，根据等腰三角形判定即可得出答案；
(2)先求出，由(1)得出，设，则，，，分三种情况：①当时，②当时，③当时，求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
由（1）知，，，
∴，
设，
则，，
，
∵是等腰三角形，故分三种情况讨论：
①当时，此时，
∴，
得，
即；
②当时，此时，
∴，
得，
即；
③当时，此时，
∴，不符题意，舍去；
综上所述，或．
24．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元．由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．
(1)求A场馆和B场馆的门票价格．
(2)若购买A场馆的门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
(3)若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1100元，求所有满足条件的购买方案．
【答案】(1)A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元
(2)此次购买门票所需总金额的最小值为1210元
(3)共有2种购买方案，方案1：购买5张A场馆门票，16张B场馆门票，14张C场馆门票；方案2：购买10张A场馆门票，22张B场馆门票，8张C场馆门票
【分析】（1）设场馆门票为元，场馆门票为元，再根据文中数量关系列出等量关系式即可得出结论．
（2）购买场馆门票张，则购买场馆门票张，依题意得：求出的取值范围，再设此次购买门票所需总金额为元，则有，最后根据函数系数的性质确定最值问题．
（3）设购买场馆门票张，场馆门票张，则购买场馆门票，根据文中数量关系列出，则，根据、为正整数这一条件判断、的值即可得出结论，最后要记得检验是否符合题意．
【详解】（1）解：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，
，解得．
答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元．
（2）解：设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票张，
依题意得：，解得：．
设此次购买门票所需总金额为w元，则
，
∵，∴w随a的增大而减小 ．
∵，且a为整数，
∴当时，w取得最小值，最小值．
答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元．
（3）解：设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票，
依题意得：，
∴．
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
当，时，，符合题意．
当，时，，符合题意．
当，时，，符合题意，舍去；
∴共有2种购买方案，
方案1：购买5张A场馆门票，16张B场馆门票，14张C场馆门票；
方案2：购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C场馆门票．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，不等式的应用以及最值问题，解题的关键是根据题意列出相应的方程和不等式．
25．（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值．
②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点．
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
(2)探究函数的性质
①当时，函数值y随着自变量x的增大而______；（填“减小”或“增大”）
②函数的图象关于______对称；
(3)运用函数图象及性质
①点，点，点在函数图像上，请比较y1，y2，y3的大小______．
②写出方程的解______．
③写出不等式的解集______．
【答案】(1)答案见解析
(2)减小；图像关于轴对称
(3)；或；或
【分析】（1）①把代入解析式即可得的值；②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）观察函数图象即得答案．
【详解】（1）解：①列表：当时，，
故点的坐标为：；
②描点，③连线如下：
（2）①观察图像得：当时，函数值y随着自变量x的增大而减小；
②观察图像得：函数的图象关于y对称．
（3）①点，点，点在函数图像上，由图像得：；
②观察函数图象可得：当时，或，
的解是或，
故答案为：或；
③观察函数图象可得，当或时，，
的解集是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了函数图像及性质，准确的画出函数图像以及分析图像得出性质并利用图像解决问题是学习函数问题的一般步骤．
26．（2023上·江苏盐城·八年级校考期中）若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”．
(1)如图1，与互为“底余等腰三角形”．若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”：______(填“是”或“否”)；
(2)如图1，与互为底余等腰三角形”．当时，若的“余高”是．
①请用直尺和圆规作出(要求：不写作法，保留作图痕迹)；
②求证：．
(3)如图2，当时，与互为“底余等腰三角形”，连接、，若，，请直接写出的长．
【答案】(1)是(2)①详见解析；②证明详见解析(3)
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理；
（1）根据题意可得，，四边形内角和为，求出即可证明．
（2）①用直尺和圆规作出，如图； ② 过点A作，证明即可证明结论．
（3）过点A作，根据（2）可知，再根据勾股定理可得．
【详解】（1）∵与互为“底余等腰三角形”，
∴，
，
∴，
∵四边形内角和是，
∴，
∴，
∴与互为“底余等腰三角形”；
故答案为：是．
（2）①用直尺和圆规作出，如图，
② 过点A作，
∵，
，
∴，
又∵，
，
∴
∴
又∵
∴
（3）过点作，
根据等腰三角形的性质可得：
根据（2）可知，
根据勾股定理可得．
27．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．
(1)求点坐标；
(2)如图2，若为正半轴上一动点，以为直角边作等腰直角，，连接，求的度数；
(3)在（2）条件下求直线的函数关系式；
(4)如图3，过点作轴的垂线交轴于，为轴负半轴上一点，在的延长线上，以为直角边作等腰，过作轴垂线交于点，连，等式是否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由．
【答案】(1)(2)(3)(4)成立，见解析
【分析】（1）作于，因为为等腰直角三角形，，则点坐标可求；
（2）作于，于，利用得出，再根据等量变换，即可求出的度数
（3）由（2）可知，则是等腰直角三角形，设，则，设直线的解析式为，待定系数法求解析式即可求解．
（4）在上截取，连，易证，再根据角与角之间的关系，利用证明，则有，即可求证等式成立．
【详解】（1）如图所示，作于，
，
，
为等腰直角三角形，且，
，
，
．
（2）如图所示，作于，于，
为等腰直角三角形，
，
即，
，
，
又，
，
，，
,，
，
，即，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
（3）由（2）可知，则是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：；
（4）成立，理由：
如图所示，在上截取，连．
，，
，
又，，
，
，，
又为等腰直角三角形，
，即，
，
又，
，
又，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，线段之间的数量关系，熟练掌握等腰直角三角形的性质，灵活选择方法证明三角形全等是解题的关键．1
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