江苏省扬州市宝应县2022-2023学年八年级下学期期末测试数学试卷(含解析)

这是一份江苏省扬州市宝应县2022-2023学年八年级下学期期末测试数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列剪纸图形中，是中心对称图形的有( )
A. B. C. D.
2. 观察如图所示的频数分布直方图，其中组界为这一组的频数为( )
A. B. C. D.
3. 若、的值均扩大为原来的倍，则下列分式的值保持不变的是( )
A. B. C. D.
4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
5. 一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
6. 下列各式计算正确的是( )
A. B. C. D.
7. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
8. 如图，菱形中，，对角线、相交于点，过点作于点，连接，若菱形的面积为，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是 填“全面调查”或“抽样调查”．
10. 使分式有意义的的取值范围是______ ．
11. ▱中，，则______．
12. 若无理数与的积是一个正整数，则的最小值是______ ．
13. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是______．
14. 如图，在平行四边形中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，过，两点作直线，与交于点，与交于点，连接，，则四边形的周长为 ．
15. 已知反比例函数的图象经过点，则该函数表达式为 ．
16. 若一元二次方程的两个根是，，则的值是______ ．
17. 设函数与的图象的交点坐标为，则的值为______．
18. 如图，点在反比例函数的图象上，以为一边作等腰，其中，，则线段长的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
化简或计算：
；
．
20. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
21. 本小题分
为落实国家“双减”政策，某学校在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动该校从全校名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动每人必选且只选一种”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
参加问卷调查的学生共有______ 人；
条形统计图中的值为______ ，扇形统计图中的度数为______ ；
根据调查结果，可估计该校名学生中最喜欢“音乐社团”的约有多少人？
22. 本小题分
观察下面的等式：，，，
按上面的规律归纳出一个一般的结论用含的等式表示，为正整数．
请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
23. 本小题分
第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份．
八进制数换算成十进制数是______；
小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值．
24. 本小题分
如图，在矩形中，对角线、相交于点，且、．
求证：；
若，，求矩形的面积．
25. 本小题分
小明和小刚约定周末到某体育公园去打羽毛球他们到体育公园的距离分别是米、米小刚骑自行车的速度是小明步行速度的倍，若二人同时到达，则小明需提前分钟出发，求小明和小刚两人的速度．
26. 本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
求与的值；
为轴上的一动点，当的面积为时，求的值．
27. 本小题分
如图，正方形的边长为，是一个直角边长为的等腰直角三角形，把正方形和拼成一个如图所示的直角梯形，、分别为线段、上两个动点不与、、重合，且，的延长线分别交、于、．
求证：
≌；
．
设，试问：是否存在这样的值，使得和互相垂直平分，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
28. 本小题分
【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题：
初步思考：自变量的取值范围是______ ；
探索发现：当时，，当时，由此我们可猜想，该函数图象在第______ 象限；
深入思考：当时，于是，当时，即时，有最小值是请仿照上述过程，求当时，的最大值．
【实际应用】如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为和，求四边形面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】
解析：解：是中心对称图形，故本选项符合题意；
是中心对称图形，故本选项符合题意；
是中心对称图形，故本选项符合题意；
不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
2.【答案】
解析：解：由直方图可得，
组界为这一组的频数是，
故选：．
根据直方图中的数据，可以得到组界为这一组的频数．
本题考查频数分布直方图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
3.【答案】
解析：解：由题意，变成，变成，
对于选项，．
选项错误，不符合题意．
对于选项，．
选项正确，符合题意．
对于选项，．
选项错误，不符合题意．
对于选项，．
选项错误，不符合题意．
故选：．
依据题意，由分式的基本性质逐项分析即可得解．
本题主要考查了分式的基本性质的应用，解题时要能理解题意并学会转化是关键．
4.【答案】
解析：解：．，与的被开方数不同，故不是同类二次根式；
B.，与的被开方数相同，故是同类二次根式；
C.，与的被开方数不相同，不是同类二次根式；
D.与的被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：．
根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为者即可．
本题考查了同类二次根式的定义，要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断．
5.【答案】
解析：解：，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：．
求出判别式，判断符号即可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式时，方程有两个不相等的实数根是解决问题的关键．
6.【答案】
解析：解：不能合并，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据合并同类二次根式的方法可以判断；根据二次根式的减法可以判断；根据二次根式的乘法可以判断；根据二次根式的除法可以判断．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
7.【答案】
解析：解：，
函数图象分布在一三象限，在每个象限内随的增大而减小，
，
在三象限，在一象限，
．
故选：．
根据函数的增减性判断即可．
本题考查了反比例函数的增减性，掌握反比例函数性质是解题的关键．
8.【答案】
解析：解：四边形是菱形，，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
设，则，
，
，
解得或舍去，
．
故选：．
根据菱形中可得是等边三角形，设，则，由面积可得，计算得，根据直角三角形斜边中线是斜边的一半得．
本题考查了菱形性质，直角三角形性质．熟记等边三角形边与高的关系能快速提升做题速度．
9.【答案】抽样调查
解析：
解：为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是抽样调查．
故答案为：抽样调查．
10.【答案】
解析：解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据分式的分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为是解题的关键．
11.【答案】
解析：解：四边形是平行四边形，
，
又，
．
故答案是：．
根据平行四边形的对角相等，可得，又由，可得的度数．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对边平行．此题比较简单，解题时要细心．
12.【答案】
解析：解：，无理数与的积是一个正整数，
是含有的无理数，
最小的正整数是，
的最小值为：．
故答案为：．
由题意可得是含有的无理数，再根据最小的正整数是，从而可求的值．
本题主要考查二次根式的乘除法，无理数，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
13.【答案】
解析：解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立关于的方程，求出的值即可．
本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是解题的关键．
14.【答案】
解析：
解：，，，
，
由作图可知，是线段的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
同理证得，
四边形的周长，
故答案为：．
15.【答案】
解析：
解：令反比例函数为，
反比例函数的图象经过点，
，
，
反比例函数的解析式为．
故答案为：．
16.【答案】
解析：解：，是一元二次方程的两个根，
，，
，
故答案为：．
根据根与系数的关系直接可得答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
17.【答案】
解析：解：函数与的图象的交点坐标为，
，，
，
故答案为：．
由两函数的交点坐标为，将代入一次函数与反比例函数解析式中得到与的值，所求式子通分并利用同分母分式的减法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及分式的加减运算，求出与的值是解本题的关键．
18.【答案】
解析：解：三角形是等腰直角三角形，
当最小时，最小，
设点坐标为，
，
，
即：，
，
，
两边同时开平方得：，
当时，有最小值，
解得，舍去，
点坐标为，
，
三角形是等腰直角三角形，为斜边，
，
故答案为：．
根据三角形是等腰直角三角形，当最小时，最小，再根据完全平方公式解答即可．
本题主要考查了反比例函数，等腰直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
19.【答案】解：


；



．
解析：先化简，然后合并同类项和同类二次根式即可；
根据二次根式的乘除法计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：原式

，
把代入得：
原式．
解析：先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行计算即可．
本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．
21.【答案】
解析：解：人，
故答案为：；
，，
故答案为：，；
人，
答：该校名学生中最喜欢“音乐社团”的约有人．
从两个统计图可知，样本中选择体育社团的有人，占调查人数的，由频率即可求出调查人数；
由各组频数之和等于样本容量即可求出选择美术社团的人数，确定的值；求出选择文学社团的学生占调查人数的百分比，进而求出相应的圆心角度数；
求出样本中选择音乐社团所占的百分比，估计总体中选择音乐社团所占的百分比，由频率即可求出相应的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率是正确解答的关键．
22.【答案】解：观察规律可得：；
，
．
解析：本题考查探索规律及分式的运算，解题的关键是观察得到已知等式中的规律．
观察已知等式，可得规律，用含的等式表达即可；
先通分，计算同分母分式相加，再约分，即可得到中的等式．
23.【答案】解：；
依题意有：，
解得，舍去．
故的值是．
解析：
解：
．
故八进制数字换算成十进制是．
故答案为：；
见答案．
24.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，
，
，
，，
，
；
解：由可知，，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
．
解析：由矩形的性质得，得，再证，即可得出结论；
证是等边三角形，得，再证是等边三角形，得，则，然后由勾股定理得，即可解决问题．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：设小明的速度是米分钟，则小刚骑自行车的速度是米分钟，根据题意可得：
，
解得：，
经检验得：是原方程的根，故，
答：小明的速度是米分钟，则小刚骑自行车的速度是米分钟．
解析：直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的倍，若二人同时到达，则小明需提前分钟出发，进而得出等式求出答案．
此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
26.【答案】解：把代入，得，
，
把代入，得，
，
把代入，得，
，；
在中，当时，，
，
为轴上的动点，
，
，，
，
，
或．
解析：本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
根据，构建方程求解即可．
27.【答案】证明：四边形是正方形，是等腰直角三角形，
，，
又，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，
，
，
，
，
；
解：存在，，理由如下：
如图，连接，

若直线垂直平分线段，
则，
四边形是正方形，且，
，
，
，
此时，，
，
，
，
又，
，
直线垂直平分线段，
当时，和互相垂直平分．
解析：根据正方形和等腰直角三角形的性质得：，，由和等式的性质得：，从而得≌；
先根据全等得出，再由直角三角形的两锐角互余得到，则，所以；
如图，存在，先假设直线垂直平分线段，连接，根据垂直平分线的性质得：，表示出，再利用等腰三角形三线合一的性质证明，所以也是的垂直平分线，此时
和互相垂直平分．
本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，熟练运用正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定是解题的关键．
28.【答案】 一、三
解析：解：【提出问题】函数的自变量的取值范围是，
故答案为：；
当时，；当时，由此可见，图象在第一、三象限，
故答案为：一、三；
当时，，
当时，即时，有最大值是．
当时，即时，的最大值为；
【实际应用】设，已知，，
则由等高三角形可知：：：，
：：，
，
四边形面积，
当时，四边形面积有最小值，
当时，四边形面积的最小值为．
【提出问题】根据函数关系式即可得自变量的取值范围；
根据当时，；当时，可得图象在第一、三象限；
当时，先将变形为，再根据公式计算即可；
【实际应用】根据等高三角形的性质计算即可．
本题是反比例函数综合题，考查了配方法在二次根式、分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键．