苏科版2.7 有理数的乘方同步训练题

这是一份苏科版2.7 有理数的乘方同步训练题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每小题3分 共30分)
1．﹣33的结果是（ ）
A．+9B．﹣9C．±9D．﹣27
2．已知（a+2）2+|b﹣3|＝0，则ab的值等于（ ）
A．6B．﹣6C．﹣8D．﹣9
3．规定两正数a，b之间的一种运算，记作：（a，b），如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如23＝8，则（2，8）＝3．那么（）＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．计算（﹣2）100+（﹣2）101所得的结果是（ ）
A．2100B．﹣1C．﹣2D．﹣2100
5．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是63，则m的值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
解：根据题意得：83＝512＝57+59+61+63+65+67+69+71，则m＝8，故选：D．
6.下列各对数中，相等的一对是（ ）
A．与 B．﹣22与（﹣2）2 C．﹣（﹣3）与﹣|﹣3| D．（﹣2）3与﹣23
7．一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（ ）
A．B．C．D．
解：∵第一次剪去绳子的，还剩m；第二次剪去剩下绳子的，还剩＝m，
……∴第100次剪去剩下绳子的后，剩下绳子的长度为（）100m；故选：C．
8．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．6858B．6860C．9260D．9262
9．我国古代《易经》一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．84天B．336天C．510天D．1236天

第9题图 第10题图
10．如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中值可以等于732的是（ ）
A．A1B．B1C．A2D．B3
二、填空题(每小题3分 共30分)
11．若|m﹣4|+（n+2）2＝0，则nm﹣mn＝ ．
12．定义已知|3x﹣6|+（y+3）2＝0，则3x﹣2y的值是 ．
13.已知有理数x，y满足|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x+y＝ ．
14．某品种兔子，一对兔子每个月能繁殖3对小兔子，而每对小兔子，一个月后也能繁殖3对新小兔子，总之，所有的每对兔子，都是每月繁殖3对小兔子，如果开始只有一对兔子，那么半年后有 对兔子（不考虑意外死亡）．
15．若a是有理数，则|a+1|﹣2的最小值是 ，此时a2016＝ ．
16．《庄子•天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么6天之后，这个“一尺之棰”还剩 ．
17．计算：42n•（﹣）2n+1＝ （n为正整数）．
18．如果ab＝c，那么我们规定[a，c]＝b．例如：因为23＝8，所以[2，8]＝3．
若[3，5]＝n，[9，m]＝n；则[3，m+2]＝ ．
19．如图为一正方形网，若在第一个点上放1枚棋子，在第二个点上放2枚棋子，在第三个点上放4枚棋子，在第四个点上放8枚棋子，以次类推，则在最后一个点上应放 枚棋子．（结果用幂的形式表示）

第19题图 第20题图
20．有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，从中取出2张卡片，使卡片上的2个数分别作为底数和指数，进行一次乘方运算，并且运算结果最大，则最大值是 ．
三、解答题(共60分)
21．（6分）计第：
（1）． （2）﹣22÷×
22．（6分）阅读下列计算公式：2n+1﹣2n＝2n（2﹣1）＝2n．请你根据以上规律，计算：220﹣219﹣218﹣…﹣23﹣22+2．
23．（8分）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．
（1）若a＜b＜0，求a+b的值；
（2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值．
24．（8分）规定“✴”是一种运算法则：a✴b＝a2﹣b2．
（1）求2✴6的值；
（2）求3✴[（﹣2）✴3]的值．
25．（10分）问题：你能比较两个数20122013与20132012的大小吗为了解决这个问题，我们先把它抽象成这样的问题：写成它的一般形式，即比较nn+1和（n+1）n的大小（即是自然数）．然后，我们分析n＝1，n＝2，n＝3…这些简单情形入手，从而发现规律，经过归纳，才想出结论．
（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小：
①12 21； ②23 32； ③34 43；
④45 54； ⑤56 65； ⑥67 76．
（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想nn+1和（n+1）n的大小关系；
（3）根据下面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：20222023 20232022．
26．（10分）阅读材料，求值：1+2+22+23+24+…+22023．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22023，将等式两边同时乘以2得：
2S＝2+22+23+24+…+22023+22024
将下式减去上式得2S﹣S＝22024﹣1
即S＝1+2+22+23+24+…+22023＝22024﹣1
请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）
27．（12分）阅读计算：
阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…
回答下列三个问题：
（1）验证：（4×0.25）100＝ ；4100×0.25100＝ ．
（2）通过上述验证，归纳得出：（ab）n＝ ；（abc）n＝ ．
（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2023×22022×42022．
参考答案
一、选择题(每小题3分 共30分)
1．﹣33的结果是（ D ）
A．+9B．﹣9C．±9D．﹣27
2．已知（a+2）2+|b﹣3|＝0，则ab的值等于（ C ）
A．6B．﹣6C．﹣8D．﹣9
3．规定两正数a，b之间的一种运算，记作：（a，b），如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如23＝8，则（2，8）＝3．那么（）＝（ B ）
A．3B．4C．5D．6
4．计算（﹣2）100+（﹣2）101所得的结果是（ D ）
A．2100B．﹣1C．﹣2D．﹣2100
5．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是63，则m的值是（ D ）
A．5B．6C．7D．8
解：根据题意得：83＝512＝57+59+61+63+65+67+69+71，则m＝8，故选：D．
6.下列各对数中，相等的一对是（ D ）
A．与 B．﹣22与（﹣2）2 C．﹣（﹣3）与﹣|﹣3| D．（﹣2）3与﹣23
7．一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（ C ）
A．B．C．D．
解：∵第一次剪去绳子的，还剩m；第二次剪去剩下绳子的，还剩＝m，
……∴第100次剪去剩下绳子的后，剩下绳子的长度为（）100m；故选：C．
8．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ B ）
A．6858B．6860C．9260D．9262
解：由（2n+1）3﹣（2n﹣1）3＝24n2+2≤2019，可得n2≤，∵和谐数为正整数，
∴0≤n≤9，则在不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为13﹣（﹣1）3+33﹣13+53﹣33+…+193﹣173＝193﹣（﹣1）3＝6860．故选：B．
9．我国古代《易经》一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ C ）
A．84天B．336天C．510天D．1236天

第9题图 第10题图
10．如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中值可以等于732的是（ D ）
A．A1B．B1C．A2D．B3
解：A1＝2n﹣2+2n﹣4+2n﹣6＝732，整理可得：2n＝248，n不为整数；A2＝2n﹣8+2n﹣10+2n﹣12＝732，整理可得：2n＝254，n不为整数；B1＝2n﹣2+2n﹣8+2n﹣14＝732，整理可得2n＝252，n不为整数；B3＝2n﹣6+2n﹣12+2n﹣18＝732，整理可得：2n＝256，n＝8；故选：D．
二、填空题(每小题3分 共30分)
11．若|m﹣4|+（n+2）2＝0，则nm﹣mn＝ 24 ．
解：由题意得，m﹣4＝0，n+2＝0，解得m＝4，n＝﹣2，所以，nm﹣mn＝（﹣2）4﹣4×（﹣2）＝16+8＝24．故答案为：24．
12．定义已知|3x﹣6|+（y+3）2＝0，则3x﹣2y的值是 12 ．
解：由题意得，3x﹣6＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，则3x﹣2y＝12，故答案为：12．
13.已知有理数x，y满足|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x+y＝ 1 ．
解：由题意得，x+2＝0，y﹣3＝0，解得，x＝﹣2，y＝3，则x+y＝1，故答案为：1．
14．某品种兔子，一对兔子每个月能繁殖3对小兔子，而每对小兔子，一个月后也能繁殖3对新小兔子，总之，所有的每对兔子，都是每月繁殖3对小兔子，如果开始只有一对兔子，那么半年后有 4096 对兔子（不考虑意外死亡）．
解：由题意得：1个月后有3+1＝4对兔子，半年后：46＝4 096，故答案为：4 096．
15．若a是有理数，则|a+1|﹣2的最小值是 ﹣2 ，此时a2016＝ 1 ．
解：根据绝对值的非负性，得|a+1|≥0．∴|a+1|﹣2≥﹣2．∴当|a+1|＝0时，|a+1|﹣2取得最小值﹣2．即a＝﹣1时，|a+1|﹣2取得最小值﹣2．此时，a2016＝（﹣1）2016＝1．故答案为：﹣2，1．
16．《庄子•天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么6天之后，这个“一尺之棰”还剩 ．
解：一天之后剩尺，两天之后剩＝尺，三天之后剩尺，
以此类推，六天之后剩＝．故答案为：．
17．计算：42n•（﹣）2n+1＝ - （n为正整数）．
解：42n•（﹣）2n+1＝42n•（﹣）＝﹣＝﹣42n﹣（2n+1）＝﹣4﹣1＝﹣．
故答案为：﹣．
18．如果ab＝c，那么我们规定[a，c]＝b．例如：因为23＝8，所以[2，8]＝3．
若[3，5]＝n，[9，m]＝n；则[3，m+2]＝ 3 ．
解：由题意可知：3n＝5，9n＝m，∴9n＝（3n）2＝52＝25，∴m＝25，设3x＝m+2，
∴33＝27，∴[3，m+2]＝3，故答案为：3．
19．如图为一正方形网，若在第一个点上放1枚棋子，在第二个点上放2枚棋子，在第三个点上放4枚棋子，在第四个点上放8枚棋子，以次类推，则在最后一个点上应放 224 枚棋子．（结果用幂的形式表示）
解：第1个点放1枚，即20枚；第2个点放2枚，即21枚；第3个点放4枚，即22枚；
第4个点放8枚，即23枚；……第n个点放2n﹣1枚．此正方形网格格点共5×5＝25个点，所以，第25个点放225﹣1＝224．故答案为：224．

第19题图 第20题图
20．有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，从中取出2张卡片，使卡片上的2个数分别作为底数和指数，进行一次乘方运算，并且运算结果最大，则最大值是 625 ．
解：指数为+4，底数为﹣5时，乘方最大，（﹣5）4＝625．故答案为：625．
三、解答题(共60分)
21．（6分）计第：
（1）． （2）﹣22÷×
解：（1）原式＝﹣4÷（﹣）﹣×（﹣8﹣1）＝3﹣×（﹣9）＝3+3＝6．
（2）原式＝﹣4××＝﹣
22．（6分）阅读下列计算公式：2n+1﹣2n＝2n（2﹣1）＝2n．请你根据以上规律，计算：220﹣219﹣218﹣…﹣23﹣22+2．
解：∵2n+1﹣2n＝2n（2﹣1）＝2n∴220﹣219﹣218﹣…﹣23﹣22+2＝219﹣218﹣…﹣23﹣22+2＝218﹣…﹣23﹣22+2＝22+2＝6
23．（8分）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．
（1）若a＜b＜0，求a+b的值；
（2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值．
解：∵|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8，∴a＝±5，b＝±2，c＝﹣2，
（1）∵a＜b＜0，∴a＝﹣5，b＝﹣2，∴a+b＝﹣5+（﹣2）＝﹣7，a+b的值是﹣7；
（2）∵abc＞0，c＝﹣2，∴ab＜0，即a，b异号，当a＝﹣5，b＝2时，a﹣3b﹣2c＝﹣5﹣3×2﹣2×（﹣2）＝﹣5﹣6+4＝﹣7，当a＝5，b＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝5﹣3×（﹣2）﹣2×（﹣2）＝5+6+4＝15，∴a﹣3b﹣2c的值是﹣7或15．
24．（8分）规定“✴”是一种运算法则：a✴b＝a2﹣b2．
（1）求2✴6的值；
（2）求3✴[（﹣2）✴3]的值．
解：（1）根据题意得：2✴6＝22﹣62＝4﹣36＝﹣32；
（2）根据题意得：（﹣2）✴3＝4﹣9＝﹣5，
则3✴[（﹣2）✴3]＝3✴（﹣5）＝9﹣25＝﹣16．
25．（10分）问题：你能比较两个数20122013与20132012的大小吗为了解决这个问题，我们先把它抽象成这样的问题：写成它的一般形式，即比较nn+1和（n+1）n的大小（即是自然数）．然后，我们分析n＝1，n＝2，n＝3…这些简单情形入手，从而发现规律，经过归纳，才想出结论．
（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小：
①12 ＜ 21； ②23 ＜ 32； ③34 ＞ 43；
④45 ＞ 54； ⑤56 ＞ 65； ⑥67 ＞ 76．
（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想nn+1和（n+1）n的大小关系；
（3）根据下面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：20222023 ＞ 20232022．
【解答】解：（1）①∵12＝1，21＝2，∴12＜21；②∵23＝8，32＝9，∴23＜32；③∵34＝81，43＝64，∴34＞43；④∵45＝1024，54＝625，∴45＞54；⑤∵56＝15625，65＝7776，∴56＞65；⑥∵67＝279936，76＝117649，∴67＞76；
（2）n＜3时，nn+1＜（n+1）n，n≥3时，nn+1＞（n+1）n；
（3）∵2012＞3，∴20222023＞20232022．
故答案为：（1）＜、＜、＞、＞、＞、＞；（3）＞．
26．（10分）阅读材料，求值：1+2+22+23+24+…+22023．
解：设S＝1+2+22+23+24+…+22023，将等式两边同时乘以2得：
2S＝2+22+23+24+…+22023+22024
将下式减去上式得2S﹣S＝22024﹣1
即S＝1+2+22+23+24+…+22023＝22024﹣1
请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）
解：（1）设S＝1+2+22+23+24+…+210，将等式两边同时乘以2，得2S＝2+22+23+24+…+211
将下式减去上式，得2S﹣S＝211﹣1即S＝1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1；
（2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n，将等式两边同时乘以3，得3S＝3+32+33+34+…+3n+1，
将下式减去上式，得3S﹣S＝3n+1﹣1即2S＝3n+1﹣1得S＝1+3+32+33+34+…+3n＝．
27．（12分）阅读计算：
阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…
回答下列三个问题：
（1）验证：（4×0.25）100＝ ；4100×0.25100＝ ．
（2）通过上述验证，归纳得出：（ab）n＝ ；（abc）n＝ ．
（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2023×22022×42022．
解：①：（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1， 故答案为：1，1．
②（a•b）n＝anbn，（abc）n＝anbncn，故答案为：anbn，（abc）n＝anbncn．
③原式＝（﹣0.125）2022×22022×42022×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2022×（﹣0.125）
＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125．