苏科版八年级上册第三章 勾股定理3.1 勾股定理课时练习

这是一份苏科版八年级上册第三章 勾股定理3.1 勾股定理课时练习，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，1，2B．2，3，4C．6，8，10D．6，6，6
3．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点，则AD的长为（ ）

A．4B．5C．6D．7
4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，作边AB的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于点E，且AB=8，BC=6，则△BEC的周长是（ ）
A．14B．16C．18D．22
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，则图中阴影部分的正方形的面积为（ ）

A．4B．8C．16D．25
6．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2=(x+4)2+(x+2)2B．x2=(x-4)2+(x-2)2
C．x2=42+(x-2)2D．x2=(x-4)2+22
7．如图，在△ABC中CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=3，則CE2+CF2=（ ）

A．36B．24C．9D．6
8．已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则CE的长是（ ）

A．54B．74C．154D．254
二、填空题（满分32分）
9．在Rt△ABC中，斜边BC=3．则AB2+BC2+AC2的值为 ．
10．如图，BC⊥AB，CD⊥AC，且AB=4，BC=3，CD=12，则线段AD的长为 ．

11．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则另一边BC= ，面积为 ，AB边上的高为 ．
12．如图，四边形ABCD中，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，则△ABC的面积为 ．

13．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为5，7，20，则正方形B的面积是 ．

14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，AC=13cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于 cm．

15．如图，在长方形ABCD中，AB=10，AD=6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为 ．
16．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD是∠BAC的平分线，若P、Q分别是AD、AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．

三、解答题（满分56分）
17．如图所示，在边长为单位1的网格中，△ABC是格点图形，求△ABC中AB边上的高．

18．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米），感应门自动打开，AD为多少米？

19．如图，△ABC与△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°．

(1)求证：△BCD≌△ACE；
(2)若BD=4，BA=7，求DE的长．
20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动，设运动时间为t秒（t>0）．

(1)若点P在BC上，且满足PA=PB，求此时t的值；
(2)若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值：
(3)在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．
21．公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了直角三角形三边之间的数量关系：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个结论称之为“勾股定理”．

(1)如图1，将等腰直角三角板ABD顶点A放在直线l上，过点B作BC⊥l，过点D作DE⊥l，垂足分别为C,E，设AC=b,BC=a,AB=c，请结合此图证明勾股定理．
(2)如图2，朵朵同学把四个直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，OC=6，求这个图案的面积．
22．问题探究
（1）如图1，M，N分别是正方形ABCD的边BC，CD上的动点，∠MAN=45°，DN=2，BM=3，求MN的长．

深入探究
（2）若把（1）中的条件改为5DN=CD=5，∠DAM=∠AMN，求MN的长．
类比探究
（3）在（2）的条件下，如图2，当点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD的延长线上时，请直接写出MN的长度．
参考答案
1．解：由勾股定理得：斜边长为：32+42=5．
故选：B．
2．解：A、12+12≠22，不是勾股数，该选项不符合题意；
B、22+32≠42，不是勾股数，该选项不符合题意；
C、62+82=102，是勾股数，该选项符合题意；
D、62+62≠62，不是勾股数，该选项不符合题意．
故选：C．
3．解：∵BC=6，D是BC的中点，
∴BD=CD=12BC=3，
∵AB=AC=5，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADB中，AD=AB2-BD2=52-32=4，
故选：A．
4．解：在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，
AC=AB2+BC2=10
∵DE是AB的垂直平分线
∴EA=EB，
∴△BEC的周长为BE+EC+CB=AE+EC+CB=AC+CB=10+6=16,
故选：B．
5．解：在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=52-32=4，
∴4×4=16，
所以图中阴影部分的正方形的面积为16，
故选：C．
6．解：设门对角线长为x尺，根据勾股定理可得：
x2=(x-4)2+(x-2)2，
故选：B．
7．解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=∠BCE=12∠ACB，∠ACF=∠DCF=12∠ACD，
∴∠ECF=12∠ACB+∠ACD=12×180°=90°，
∴△EFC为直角三角形，
∵EF∥BC，
∴∠BCE=∠CEM，∠DCF=∠CFM，
∴∠ACE=∠CEM，∠DCF=∠ACF，
∴CM=EM=MF=3，
∴EF=EM+MF=6，
由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=36，
故选：A．
8．解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，
∴AE=BE，
设AE=x，则BE=x，CE=8-x，
∵在Rt△BCE中，CE2=BE2-BC2，
即8-x2=x2-62，
解得，x=74，
∴CE=74．
故选：B
9．解：∵Rt△ABC中，斜边BC=3，
∴AB2+AC2=BC2=32=9，
∴AB2+BC2+AC2=2BC2=2×9=18，
故答案为：18．
10．解：∵ BC⊥AB，AB=4，BC=3，
∴在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=42+32=5
∵ CD⊥AC，CD=12，
∴在Rt△ACD中，AD=AC2+CD2=52+122=13
故答案为：13．
11． 解：如图所示，
∵ ∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=AB2-AC2=52-32=4，S△ABC=12AC⋅BC=12×3×4=6，
设AB上的高为h，
则根据面积可得：S△ABC=12AB⋅h=6，
∴h=125，
故答案为：4，6，125．
12．解：过点A作AE⊥BD交BD于点E，如图，

∵∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，
∴S△ABC=S△ABD，
∵AB=AD=5，
∴△ABD是等腰三角形，
∴BE=12BD=4，
∴AE=AB2-BE2=3，
∴S△ABD=12BD⋅AE=12×8×3=12，
∴S△ABC=S△ABD=12．
故答案为：12．
13．解：由题意：S正方形A+S正方形B=S正方形E,S正方形D-S正方形C=S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C
∵正方形A、C、D的面积依次为5、7、20，
∴S正方形B+5=20-7，
∴S正方形B=8．
故答案为：8．
14．解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，AC=13cm，
由勾股定理，得BC=AC2-AB2=12cm，
由翻折的性质，得CE=AE．
△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=5+12=17(cm)．
故答案为：17．
15．解：在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，由折叠的性质可得：
DF=DC=AB=10，
∴AF= DF2-AD2=102-62 =8，
∴BF=AB-AF=10-8=2，
设CE=x，则：EF=CE=x，BE=BC-CE=6-x，
在Rt△BEF中，由勾股定理可得：
22+6-x2=x2，
解得：x= 103，
∴CE= 103，
故答案为：103．
16．解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP=CP，BD=12BC=12×8=4，∠ADB=90°，
由勾股定理，得AD=AB2-BD2=52-42=3．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．

∵S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BQ，
∴BQ=BC⋅ADAC=8×35=245，
即PC+PQ的最小值是245．
故答案为：245．
17．解：如图所述，过点A作AD⊥ BC的延长于点D，过点C作CE⊥AB于点E，

∵△ABC是格点图形，每个小正方形的边长为单位1，
∴AD=3，BC=3，BD=4，
∴在Rt△ABD中，AB=AD2+BD2=32+42=5，
∵S△ABC=12BC·AD=12AB·CE，
∴CE=BC·ADAB=3×35=95，
∴△ABC中AB边上的高为95．
18．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米，
∴AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=AE2+DE2=0.92+1.22=2.5（米），
答：AD为2.5米．

19．（1）证明：∵△ABC与△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°．
∴BC=AC,CD=CE，∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACESAS；
（2）∵BD=4，BA=7，
∴AD=AB-BD=3，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°．
∴∠CBD=∠CAB=45°,
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBD=∠CAE=45°，BD=AE=4，
∴∠DAE=∠CAB+∠CAE=45°+45°=90°，
在Rt△DAE中，DE=AD2+AE2=32+42=5，
即DE的长为5．
20．（1）解：如图，设PB=PA=xcm，则PC=4-xcm，

∵∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，
∴AC=AB2-BC2=3cm，
在Rt△ACP中，由勾股定理得AC2+PC2=AP2，
∴32+4-x2=x2，
解得x=258，
∴BP=258，
∴t=AB+BP2=5+2582=6516；
（2）解：如图所示，当点P在AC上时，过P作PD⊥AB于D，

∵BP平分∠ABC，∠C=90°，PD⊥AB
∴PD=PC，∠DBP=∠CBP，
在△BCP与△BDP中，
∠BDP=∠BCP∠DBP=∠CBPBP=BP，
∴△BDP≌△BCPAAS
∴BC=BD=4cm，
∴AD=5-4=1cm，
设PD=PC=ycm，则AP=3-ycm，
在Rt△ADP中，由勾股定理得AD2+PD2=AP2，
∴12+y2=3-y2，
解得y=43，
∴CP=43，
∴t=AB+BC+CP2=5+4+432=316，
当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，
此时，t=AB2=52．
综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为316或52．
（3）解：分四种情况：
①如图，当P在AB上且AP=CP时，

∴∠A=∠ACP，
∵∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠B=∠BCP，
∴CP=BP=AP，
∴P是AB的中点，即AP=12AB=52cm，
∴t=AP2=54．
②如图，当P在AB上且AP=CA=3cm时，

∴t=AP2=32．
③如图，当P在AB上且AC=PC时，过C作CD⊥AB于D，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=125cm，

在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=AC2-CD2=32-1252=95cm，
∴AP=2AD=185cm，
∴t=AP2=95．
④如图，当P在BC上且AC=PC=3cm时，则BP=4-3=1cm，

∴t=AB+BP2=62=3．
综上所述，当t的值为54或32或95或3时，△ACP为等腰三角形．
21．（1）证明：由已知，得AD=AB，∠BAD=90°，∠BAC+∠DAE=90°．
又∵BC⊥l，DE⊥l，
∴∠BCA=∠DEA=90°，∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠DAE=∠ABC，
∴Rt△ABC≌Rt△DAEAAS，
∴BC=AE=a，AC=DE=b
∴S梯形BCED=12BC+DE⋅CE=12(a+b)2=12a2+ab+12b2．
又∵S梯形BCED=S△ABC+S△ABD+S△ADE=12ab+12c2+12ab，
∴12a2+ab+12b2=12ab+12c2+12ab，
∴a2+b2=c2．
（2）∵图形的周长为48，由图可知4AB+AC=48，
∴AB+AC=12．
由图可知OB=OC=6，
在Rt△OAB中，OB2+OA2=AB2，
即62+(6+AC)2=(12-AC)2，
解得AC=2，
∴OA=8，
∴图案的面积S=4S△ABO=4×12×6×8=96．
22．解：（1）如图，延长CD至点B1，使DB1=BM．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADB1=90°．
在△ABM和△ADB1中AB=AD∠B=∠ADB1BM=DB1，
∴△ABM≌△ADB1（SAS）．
∴AM=AB1，∠BAM=∠B1AD．
又∵∠MAN=45°，
∴∠NAB1=∠NAD+∠B1AD=∠NAD+∠BAM=90°－∠MAN=90°－45°=45°，
∴∠MAN=∠NAB1=45°．
在△AMN和△AB1N中AM=AB1∠MAN=∠NAB1AN=AN，
∴△AMN≌△AB1N(SAS)．
∴MN=B1N=DB1+DN=BM+DN=5．
（2）如图，过点A作AP⊥MN于点P，则∠APM=∠APN=90°．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠B=∠D=90°，
∴∠DAM=∠AMB．
又∵∠DAM=∠AMN，
∴∠AMB=∠AMN．
在△ABM和△APM中，AM=AM∠B=∠APM=90°∠AMB=∠AMN，
∴△ABM≌△APM(AAS)．
∴AB=AP，BM=MP．
在Rt△APN和Rt△ADN中，AP=ADAN=AN，
∴Rt△APN≌Rt△ADN(HL)．
∴PN=DN．
∵5DN=CD=5，
∴PN=DN=1，BC=CD=DN+CN=5．
设BM=MP=x，则MN=x+1，MC=5-x，
在Rt△MCN中，由勾股定理得MC2+CN2=MN2，
∴(5-x)2+42=(x+1)2，解得x=103，
∴MN=x+1=103+1=133．
（3）如图，延长MN，过A作AE⊥MN交MN的延长线于点E．

由正方形ABCD知AD∥BC，则∠DAM=∠AMB，
∵∠DAM=∠AMN
∴∠AMB=∠AMN．即∠AMB=∠AME
∵∠ABM=∠AEN=90°，AM=AM
∴△ABM≅△AEMAAS
∴MB=ME,AB=AE，又AB=AD
∴AD=AE．
在Rt△AEN与Rt△ADN中，AD=AEAN=AN
∴Rt△AEN≅Rt△ADNHL
∴DN=EN，
由5DN=CD=5，知DN=EN=1．
在Rt△CMN中，设MN=x，
则MC=MB-BC=ME-CD=x+1-5=x-4，CN=CD+DN=5+1=6．
由勾股定理得，MN2=MC2+CN2，
即：x2=x-42+62
解得x=132．
∴MN的长度为132．