【备战2024年中考】一轮复习 初中数学 考点精讲精炼 第1讲 实数(含二次根式）（考点精析+真题精讲） 教师版+学生版

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第1讲实数(含二次根式）
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一 实数的有关概念
考向二 实数的分类
考向三 无理数的估算
考向四 实数与数轴
考向五 实数的运算
考向六 实数的大小比较
考向七 非负性的运用
考向八 近似数和科学记数法
考向九 二次根式的概念与性质
考向十 二次根式的运算
考向十一 数字规律
第1讲实数(含二次根式）
实数在历年中考中以考查基础为主，也是考查重点,年年考查，是广大考生的得分点，分值为14~28分.
预计2024年各地中考还将继续重视对正负数的意义、相反数、绝对值、倒数、数轴等实数的相关概念及实数的分类的考查，也会对有理数的运算、科学记数法、数的开方、零次幂、负整数指数幂、二次根式及运算等进行考查，且考查形式多样，为避免丢分,学生应扎实掌握。
→➊考点精析←
1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.
2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.
3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.
4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|.
5．（1）按照定义分类
（2）按照正负分类

注意：0既不属于正数，也不属于负数.另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如，等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
（3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等；
（4）某些三角函数，如sin60°等.
6．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.
7．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
8．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根.
（2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根.
（3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为.
（4）
9．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根.
（2）表示：a的立方根表示为.
（3）.
10．数的乘方：求 QUOTE n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.
11．实数的运算：
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
12．指数，负整数指数幂：a≠0，则a0=1；若a≠0，n为正整数，则.
13．数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较法、中间值比较法等等.
14．二次根式的有关概念
（1）二次根式的概念
形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．
【注】被开方数只能是非负数．即要使二次根式eq \r(a)有意义，则a≥0．
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
（3）同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．
15．二次根式的性质
（1）≥ 0（≥0）；（2）； （3）；
（4）；（5）．
16．二次根式的运算
（1）二次根式的加减
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）二次根式的乘除
乘法法则：；除法法则：．
（3）二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．
在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．
→➋真题精讲←
考向一 实数的有关概念
此类问题一般以填空题、选择题的形式出现，熟练掌握实数的有关概念，如相反数、倒数、绝对值、算术平方根等是解决这类问题的关键.
1．（2023·四川南充·统考中考真题）如果向东走10m记作，那么向西走记作（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据具有相反意义的量即可得．
【详解】解：因为向东与向西是一对具有相反意义的量，
所以如果向东走10m记作，那么向西走记作，
故选：C．
【点睛】本题考查了具有相反意义的量，熟练掌握具有相反意义的量是解题关键．
2．（2023·四川达州·统考中考真题）的倒数是（ ）
A．B．2023C．D．
【答案】C
【分析】根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解．
【详解】解：的倒数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．
3．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）___________．
【答案】2023
【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此可解．
【详解】解：的相反数是2023，故，
故答案为：2023．
【点睛】本题考查求一个数的绝对值，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数．
4．（2023·安徽·统考中考真题）的相反数是（ ）
A．5B．C．D．
【答案】A
【分析】根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：的相反数是5，
故选：A．
【点睛】此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义．
5．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）﹣8的立方根是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．不存在
【答案】C
【分析】根据立方根的定义进行解答．
【详解】∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了立方根，解决本题的关键是数积立方根的定义．
6．（2023·甘肃武威·统考中考真题）9的算术平方根是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】由，可得9的算术平方根．
【详解】解：9的算术平方根是3，
故选：C.
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，熟练的求解一个数的算术平方根是解本题的关键．
7．（2020·内蒙古中考真题）点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（ ）
A．或1B．或2C．D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据绝对值的几何意义列绝对值方程解答即可．
【详解】
解：由题意得：|2a+1|=3
当2a+1＞0时，有2a+1=3，解得a=1
当2a+1＜0时，有2a+1=-3，解得a=-2
所以a的值为1或-2．
故答案为A．
【点睛】
本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义列出绝对值方程并求解是解答本题的关键．
8．（2023·四川广安·统考中考真题）的平方根是_______．
【答案】±2
【详解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案为：±2．
9．（2023·四川凉山·统考中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得．
【详解】解：A、，是有理数，则此项符合题意；
B、是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；
C、是无理数，则此项不符合题意；
D、是无理数，则此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键．
考向二 实数的分类
实数的分类
10．（2023·江西·统考中考真题）下列各数中，正整数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据有理数的分类即可求解．
【详解】解：是正整数，是小数，不是整数，不是正数，不是正数，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
11．（2020·四川遂宁·中考真题）下列各数3.1415926，，1.212212221…，，2﹣π，﹣2020，中，无理数的个数有_____个．
【答案】3
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的绝大部分数，找
出无理数的个数．
【解析】解：在所列实数中，无理数有1.212212221…，2﹣π，这3个，故答案为：3．
【点睛】本题考查无理数的定义，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
12．把下列各数填入相应集合内：
，，4， 1.101001000…， ，π ，0，3%，，-|-3|，
整数集合：{ …}
分数集合：{ …}
无理数集合：{ …}
正数集合：{ …}
【答案】见解析
【分析】
由整数、分数、无理数、正数的定义，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：整数集合：{ ，4，0，-|-3| ，，…}
分数集合：{ ， ，3% ，，…}
无理数集合：{1.101001000…，π，…}
正数集合：{，4，1.101001000…，π ，3%，，，…}
【点睛】
本题考查了无理数的定义，有理数的分类，解题的关键是掌握无理数和有理数的定义进行解题．
13．把下列各数序号分别填入相应的集合内：
①，② ，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩0.979779777···（相邻两个9之间7的个数逐次增加1）
【答案】有理数集合：②⑤⑨；无理数集合：①③④⑥⑦⑧⑩；负实数集合：④⑤⑧⑨
【分析】根据实数的性质即可分类．
【解析】有理数为，，；
无理数为，，，， ，，0.979779777···（相邻两个9之间7的个数逐次增加1）；
负实数为，，，，
∴有理数集合：②⑤⑨；无理数集合：①③④⑥⑦⑧⑩；负实数集合：④⑤⑧⑨．
【点睛】此题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知实数的分类方法及特点．
考向三 无理数的估算
无理数的估算在近年的中考试卷中频频出现，无理数的估算既不是估计、也不是猜测，它是一种科学的计算方法，往往通过逐步逼近的方法确定一个数的大小或范围.
14．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知，则与最接近的整数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．
【详解】解：
∵，
∴,
∴与最接近的整数为，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
15．（2023·山东临沂·统考中考真题）设，则实数m所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴，
即，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键．
16．（2023·四川自贡·统考中考真题）请写出一个比小的整数________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据算术平方根的意义求解 ．
【详解】解：∴由可得：，
即，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查算术平方根和无理数的估算，熟练掌握基本知识是解题关键．
考向四 实数与数轴
1．数轴形象地反映了数与点之间的关系，数轴上的点与实数之间是一一对应的，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.在中考中通常借助于数轴这一数与形的相互转化的特点来呈现或解决数学问题；
2.利用数轴可以形象直观地理解相反数、绝对值的意义（代数意义、几何意义）.
17．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）

A．B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解．
【详解】解：由数轴可知点A表示的数是，所以比大3的数是；
故选：D．
【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键．
18．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，数轴上点A表示的数是2023，，则点B表示的数是（ ）
A．2023B．C．D．
【答案】B
【分析】根据数轴的定义求解即可．
【详解】解；∵数轴上点A表示的数是2023，，
∴，
∴点B表示的数是，
故选：B．
【点睛】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
19．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，数轴上的点分别对应实数，则__________0.(用“”“”或“”填空)

【答案】
【分析】根据数轴可得，进而即可求解．
【详解】解：由数轴可得
∴
故答案为：.
【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数加法的运算法则，数形结合是解题的关键．
20．已知实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A．B．C．－2D．
【答案】A
【分析】
根据数轴上点的位置判断出b-1，a+1，a-b的正负，原式利用绝对值、算术平方根的性质等进行化简，即可得到结果．
【详解】
解：∵-2∴b-1>0，a+1<0，a-b<0，
∴
=
=
故选：A．
【点睛】
此题考查了实数与数轴，判断出各式的正负是解本题的关键．
考向五 实数的运算
实数的运算关键是依据正确运算顺序解答，另外还要熟记有关的运算性质，即：（1）；（2）；（3）的奇次幂为，偶次幂为1.
21．（2023·重庆·统考中考真题）计算_____.
【答案】1.5
【分析】先根据负整数指数幂及零指数幂化简，再根据有理数的加法计算.
【详解】.
故答案为：1.5.
【点睛】本题考查了负整数指数幂及零指数幂的意义，任何不等于0的数的负整数次幂，等于这个数的正整数次幂的倒数，非零数的零次幂等于1.
22．（2023·重庆·统考中考真题）计算：________．
【答案】6
【分析】根据绝对值、零指数幂法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：6．
考向六 实数的大小比较
比较实数的大小时，选择正确的方法比较大小是解题的关键.常用的有：
（1）平方法：当a＞0，b＞0时，a＞b．
（2）移动因数法：利用a＝(a≥0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．
（3）作差法：当a－b＝0时，可知a＝b；当a－b＞0时，可知a＞b；当a－b＜0时，可知a＜b．
（4）作商法：若，则A＝B；若＞1，则A＞B；若＜1，则A＜B(A，B＞0且B≠0).
（5）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
23．（2023·湖南怀化·统考中考真题）下列四个实数中，最小的数是（ ）
A．B．0C．D．
【答案】A
【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最小的数即可．
【详解】
最小的数是：
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．
24．（2023·四川成都·统考中考真题）在，，，四个数中，最大的数是（ ）
A．3B．C．0D．
【答案】A
【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得
，
∴最大的数是：3；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
25．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正数负数，即可进行解答．
【详解】解：∵
∴
∴
∴比1小的正无理数是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较实数是大小，无理数的估算，解题的关键是掌握正数负数．
26．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知，则a、b、c的大小关系是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
27．实数+2的整数部分a＝__，小数部分b＝__．
【答案】4 ﹣2
【分析】
根据算数平方根和实数大小比较的性质分析，即可得到+2的整数部分；再根据实数加减运算性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵2＜＜3，
∴4＜+2＜5，
∴+2的整数部分为4，小数部分为+2﹣4＝﹣2，
∴a＝4，b＝﹣2，
故答案为：4，﹣2．
【点睛】
本题考查了实数的知识；解题的关键是熟练掌握算术平方根、实数大小比较的性质，从而完成求解．
考向七 非负性的运用
直接利用绝对值及偶次乘方和算式平方根的非负数的性质分别得出字母的值，进而得出答案．
28．（2020·广东中考真题）若，则_________．
【答案】1
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性得出a，b的值，即可求出答案．
【解析】∵∴，，∴，故答案为：1．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，整数指数幂，得出a，b的值是解题关键．
29．（2020·湖北黄冈·中考真题）若，则__________．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质进行解答即可．
【解析】解：，，，，，
，故答案为：2．
【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0，是解题的关键．
30．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数；_____________．
【答案】8
【分析】要使是整数，则要是完全平方数，据此求解即可
【详解】解：∵是整数，
∴要是完全平方数，
∴正整数m的值可以为8，即，即，
故答案为：8（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到要是完全平方数是解题的关键．
31．若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长的平方为_____．
【答案】25或16 16或25
【详解】解：，
，解得：，，，，解得，，
①当a，b为直角边，该直角三角形的斜边长的平方为，②4也可能为斜边，
该直角三角形的斜边长的平方为16，
32．已知整数x，y满足，则的最小值为 _____．
【答案】
【详解】解：，变形为，
∴，∴，∴，
∵x，y均为整数，，∴最小值时，，∴最小值为
33．已知实数，，满足，求的值．
【答案】-40
【详解】解：原式配方得：，∴x+11=0，2x-3y-2=0，z-2=0，则x=-11，y=-8，z=2，．
34．二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题：
(1)已知，则的值为_______；
(2)若，为实数，且，求的值；
(3)已知实数， 满足，求的值．
【答案】(1)-2(2)x+y的值为2或8；(3)m+n的值为1．
【解析】（1）解：∵，
且≥0，≥0，∴a-1=0，且3+b=0，∴a=1，b=-3，∴a+b=-2；（2）解：∵x2+9，∴y-5≥0且5-y≥0，∴y≥5且y≤5，∴y=5，∴x2=9，∴x=±3，
当x=3时，x+y=3+5=8；当x=-3时，x+y=-3+5=2；答：x+y的值为2或8；（3）解：∵|2m-4|+|n+2|++4=2m，∴（m-3）n2≥0，∴m≥3，∴2m-4＞0，∴|2m-4|+|n+2|++4=2m，2m-4+|n+2|++4=2m，∴|n+2|+=0，
∵|n+2|≥0，≥0，∴n+2=0，（m-3）n2=0，∴n=-2，m=3，∴m+n=3-2=1．
考向八 近似数和科学记数法
用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a和n的值．
a值的确定：1≤|a|<10；(2)n值的确定：①当原数大于或等于10时，n等于原数的整数位数减1；②当原数大于0且小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)；③有计数(量)单位的科学记数法，先把数字单位转化为纯数字表示，再用科学记数法表示．常用的计数单位有：1亿＝108，1万＝104，计量单位有：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m等．
35．（2022·湖南娄底）截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿．5000亿用科学计数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，先将5000亿转化成数字，然后按要求表示即可．
【详解】解：5000亿，根据科学记数法要求500000000000的5后面有11个0，从而用科学记数法表示为，故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键．
36．（2022·湖南邵阳）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为，则的值是（ ）
A．0.11B．1.1C．11D．11000
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：因为1亿=108，所以11000亿用科学记数法表示为1.1×104×108=1.1×1012．故选：B．
【点睛】此题考查了科学记数法表示绝对值大于1的数．解题的关键是关键知道1亿=108，要正确确定a的值以及n的值．
37.（2020·海城市第四中学初三月考）2019-nCV 新型冠状病毒的直径约为0.00000012m，0.00000012这个数用科学计数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学计数法表示，一般形式为，与较大数的科学计数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定；
【解析】用科学计数法表示为米；故选：B.
【点睛】本题主要考查绝对值小于1的正数的科学计数法表示，熟练掌握科学计数法的表示方法是求解本题的关键.
38．（四川达州·中考真题）今年我市参加中考的学生人数约为人.对于这个近似数，下列说法正确的是（ ）
A．精确到百分位，有3个有效数字B．精确到百位，有3个有效数字
C．精确到十位，有4个有效数字D．精确到个位，有5个有效数字
【答案】B
【解析】有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
∵6.01×104=60100，∴它有3个有效数字，6，0，1，精确到百位．故选B．
【考点】科学记数法与有效数字
考向九 二次根式的概念与性质
1．二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．
2．利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．
39．（2023·湖南·统考中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是
A．x<1B．x≤1C．x>1D．x≥1
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：由题意得，x－1≥0，
解得x≥1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数．
40．（2023·山东·统考中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
解得且，
故选：D.
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．
41．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知，则与最接近的整数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．
【详解】解：
∵，
∴,
∴与最接近的整数为，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
42．（2023·山东临沂·统考中考真题）设，则实数m所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴，
即，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键．
43．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．
【详解】解：根据题意得，，
解得，
在数轴上表示如下：

故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
考向十 二次根式的运算
1．二次根式的运算
（1）二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．
（2）二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．
（3）二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）．
2．比较分式与二次根式的大小
（1）分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较；
（2）二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较．
44．（2023·山东烟台·统考中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与是同类二次根式，符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
45．（2023·天津·统考中考真题）计算的结果为________．
【答案】1
【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．
【详解】解：
故答案为：1.
【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
46．（2023·山东聊城·统考中考真题）计算：______．
【答案】3
【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算括号内的减法，然后计算二次根式的除法即可．
【详解】解：
.
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
47．（2023·上海·统考中考真题）已知关于的方程，则________
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，等式两边平方，解方程即可．
【详解】解：根据题意得，，即，
，
等式两边分别平方，
移项，，符合题意，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式与方程的综合，掌握含二次根式的方程的解法是解题的关键．
48．（2023·四川·统考中考真题）计算：．
【答案】4
【分析】先化简二次根式，绝对值，计算零次幂，再合并即可.
【详解】解：

.
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，化简绝对值，零次幂的含义，掌握运算法则是解本题的关键.
49．（2023·上海·统考中考真题）计算：
【答案】
【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．
50．（2023·甘肃武威·统考中考真题）计算：．
【答案】
【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．
考向十一 数字规律
51．若规定符号“f”、“g”表示不同的两种运算．它对实数运算结果如下：
f（0）＝﹣1，f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，…
g（0）＝0，g（1）＝﹣1，g（2）＝﹣2，g（3）＝﹣3…
利用上述规律计算：+结果为（ ）
A．1B．C．D．0
【答案】C
【分析】
根据题意知“f”表示的运算是比原数小1， “g”表示的运算是原数的相反数，由此化简原式进行实数计算即可．
【详解】
解：∵f（0）＝-1，f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，
∴f（2012）＝2012﹣1＝2011，f（13）＝13﹣1＝12，
∵g（0）＝0，g（1）＝﹣1，g（2）＝﹣2，g（3）＝﹣3，
∴g（2012）＝﹣2012，
∴+
＝1++|﹣2|
＝1+2+2﹣
＝3+，
故选：C．
【点睛】
此题考查新定义运算，实数的混合运算，掌握计算公式的规律，正确化简原式，熟记零指数幂定义，绝对值的性质是解题的关键．
52．观察下列等式：
，
，
，
…
将以上等式相加得到
．
用上述方法计算：其结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由上述规律可知， ，，，同理 ，然后将各式相加后即可求解．
【详解】
由题意可知：

=．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是实数的计算规律，此题为积化和差题型，有一定的难度，弄明白了计算规律就容易求解．能够理解题意，看懂运算规律，并能运用规律求解是前提，解决此类题型的关键是会裂项相消．
53．按一定规律排成的一列数依次为：，，，，，……按此规律排下去，这列数中的第10个数是__________．
【答案】
【分析】
根据题目给出数列的规律即可求出答案．
【详解】
解：分子可以看出：，，，，……，
故第10个数的分子为，
分母可以看出：第几个数的分母是其序数的平方加1，
例如：12+1＝2，22+1＝5，32+1＝10，42+1＝17，52+1＝26，
故第10个数的分母为102+1＝101，
故这列数中的第10个数是：．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了数字变化规律，正确得出分母的变化规律是解题关键．
54．观察下列等式的规律：，，，，……．设，，，．则的值是______．
【答案】
【分析】
根据题意分别求出的表达方式，再进行相加，对式子进行观察找到规律进行计算．
【详解】
解：由题意得：，
，
，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了式子运算的规律问题，解题的关键是先求出的表达式，相加后根据一定规律进行求和．