【备战2024年中考】一轮复习 初中数学 考点精讲精炼 第2讲 整式及因式分解（考点精析+真题精讲） 教师版+学生版

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第2讲整式及因式分解
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一代数式及相关问题
考向二整式及其相关概念
考向三规律探索题
考向四幂的运算
考向五整式的运算
考向六因式分解
考向七整式加减中的两种取值无关型问题
第2讲整式及因式分解
以考查整式的加减、乘法、幂的运算、因式分解为主。也是考查重点，年年考查，是广大考生的得分点，分值为12分左右，预计2024年各地中考还将继续考查幂的运算性质、因式分解、整式的化简、代入求值，为避免丢分，学生应扎实掌握.
→➊考点精析←
一、代数式
代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.
二、整式
1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.
注： eq \\ac(○,1)单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成； eq \\ac(○,2)一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。
2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.
3．整式：单项式和多项式统称为整式.
4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.
5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
6．幂的运算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=.
7．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.
8．乘法公式：（1）平方差公式：.
（2）完全平方公式：.
9．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.
三、因式分解
1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.
2．因式分解的基本方法：
（1）提取公因式法：.
（2）公式法：
运用平方差公式：.
运用完全平方公式：.
3．分解因式的一般步骤：
（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;
（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：
为两项时，考虑平方差公式；
为三项时，考虑完全平方公式；
为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;
（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.
以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.
→➋真题精讲←
考向一代数式及相关问题
1.用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.
2.用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值.
1．（2023·湖南常德·统考中考真题）若，则( )
A．5B．1C．D．0
2．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）已知，则的值是（ ）
A．6B．C．D．4
3．（2023·河南·统考中考真题）某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发______套劳动工具．
4．（2023·湖北十堰·统考中考真题）若，，则的值是___________________．
5．（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为______．
6．（2023·山东·统考中考真题）已知实数满足，则_________．
7.（2023·湖北十堰·统考中考真题）若，，则的值是___________________．
8.（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为______．
9．（2020·湖南长沙·中考真题）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤：
第一步，A同学拿出三张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；
第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学，
请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________．
10．（2023·河南·统考中考真题）某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发______套劳动工具．
考向二整式及其相关概念
单项式与多项式统称整式.
观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同．
多项式的次数是指次数最高的项的次数．同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同．
考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独的一个常数的次数是0.
11．（2020·江苏苏州·中考真题）若单项式与单项式是同类项，则___________．
12．（2020·广东中考真题）若与是同类项，则___________．
13．（2022秋·上海·七年级专题练习）计算：________．
考向三规律探索题
解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.
14．（2020·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（ ）
A．B．C．D．
15．（2020·云南昆明·中考真题）观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是_____．
16．（2020·山东济宁·中考真题）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（ ）
A．B．C．D．
17．（山西中考真题）一组按规律排列的式子：则第n个式子是 .
考向四幂的运算
幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．
18．（2023·江西·统考中考真题）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·山东滨州·统考中考真题）下列计算，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
20．（2023·湖南·统考中考真题）计算：（ ）
A．B．C．D．
21．（2023·全国·统考中考真题）下列算式中，结果等于的是（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·浙江宁波·统考中考真题）下列计算正确的是( )
A．B．C．D．
23．（2023·云南·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
24．（2023·山东烟台·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
25.（2023·湖南岳阳·统考中考真题）下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
26．（2023·江苏扬州·统考中考真题）若，则括号内应填的单项式是( )
A．aB．C．D．
27．（2023·上海·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
28．（2023·湖南·统考中考真题）计算的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
29．（2023·山东临沂·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．．
30．（2023·山东枣庄·统考中考真题）下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
31．（2020春·云南玉溪·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A．3a+4b＝7abB．x12÷x6＝x6
C．（a+2）2＝a2+4D．（ab3）3＝ab6
32．（2023·山西·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
33．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）．
A．B．C．D．
34．（2023·湖南郴州·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
35．（2023·广西·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
36．（2023·四川·统考中考真题）下列计算正确的是( )
A． B．
C．D．
考向五整式的运算
整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项．
37．（2023·四川乐山·统考中考真题）计算：（ ）
A．aB．C．D．1
38．（2023·四川眉山·统考中考真题）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
39．（2023·湖南张家界·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
40.（2023·黑龙江·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
41．（2023·江苏苏州·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
42．（2023·新疆·统考中考真题）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
43．（2023·甘肃武威·统考中考真题）计算：（ ）
A．2B．C．D．
44．（2019·湖南常德·中考真题）观察下列等式： 根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A．0B．1C．7D．8
45．（2023·湖南·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
46．（2020·湖北荆门·中考真题）先化简，再求值：，其中．
47．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求的值．
考向六因式分解
因式分解的概念与方法步骤
①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算．符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形式．
②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法.
③因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．
一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全平方公式.
48．（2023·浙江杭州·统考中考真题）分解因式：（ ）
A．B．C．D．
49．（2023·山东·统考中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
50．（2023·湖南永州·统考中考真题）与的公因式为________．
51．（2023·辽宁丹东·校考二模）因式分解：______．
52．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）分解因式：=__________
53．（2020秋·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）分解因式：____________ ．
54．（2023·四川成都·统考中考真题）因式分解：m2﹣3m＝__________．
55．（2023·湖南张家界·统考中考真题）因式分解：______．
56．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）因式分解：_______．
57．（2023·湖南常德·统考中考真题）分解因式：_______．
考向七整式加减中的两种取值无关型问题
类型一与某一项的取值无关
58.已知，.
(1)当，时，求的值；
(2)若的值与y的值无关，求x的值.
类型二问题探究
59.有这样一道题“当时，求多项式的值”，小马虎做题时把错抄成， 但他做出的结果却是正确的，你知道这是怎么回事吗？请说明理由，并求出结果．