【备战2024年中考】一轮复习 初中数学 考点精讲精炼 第6讲 一元二次方程（考点精析+真题精讲） 教师版+学生版

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第2讲一元二次方程
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一 一元二次方程的解
考向二 解一元二次方程
考向三 一元二次方程根的判别式
考向四 含参问题
考向五 根与系数关系
考向六 一元二次方程在实际问题中的应用
第2讲一元二次方程
本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主,既有单独考查,也有和二次函数结合考察最值问题,年年考查,分值为20分左右,预计2024年各地中考还将继续考查上述的几个题型,为避免丢分,学生应扎实掌握.
→➊考点精析←
一、一元二次方程的概念
1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2．一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
二、一元二次方程的解法
1．直接开平方法：适合于或形式的方程．
2．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3．公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可．
4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．
三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系
1．根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．
2．一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；
（3）当时，方程没有实数根．
3．根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，．
四、利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．
1．增长率等量关系
（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有．
2．利润等量关系：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％．
3．面积问题
（1）类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．
（2）类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．
（3）类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．

图1 图2 图3
4. 碰面问题（循环问题）
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分.
∴m=12n（n-1）
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场.
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠.
∴m=n（n-1）
→➋真题精讲←
考向一 一元二次方程的解
紧扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。
1．（2020·甘肃金昌·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．-1或2B．-1C．2D．0
考向二 解一元二次方程
一元二次方程的常见解法及适用情形：
2．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）解方程：．
3．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：x2﹣5x+6＝0
4．（2020·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2020·四川乐山·中考真题）已知，且．则的值是_________．
考向三 一元二次方程根的判别式
对于方程，，①若，方程有两个不相等的实数根；②若，方程有两个相等的实数根；③若，方程没有实数根．
6．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．实数根的个数与实数的取值有关
7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①；②；③；④．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
考向四 含参问题
8．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
10．（2023·山东枣庄·统考中考真题）若是关x的方程的解，则的值为___________．
11．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当时，用配方法解方程．
12．（2020·四川南充·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．
考向五 根与系数关系
设一元二次方程的两根分别为，，则，．
13．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
14．（2020·河南中考真题）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根
15．（2023·天津·统考中考真题）若是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）已知、是方程的两根，则代数式的值为_________．
17．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
考向六 一元二次方程在实际问题中的应用
列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程．其中分析实际问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合实际问题．
18．（2023·广西·统考中考真题）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
19．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）

A．B．C．或D．
20．（2020·辽宁大连·中考真题）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____．
21．（2023·重庆·统考中考真题）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为___________．
22．（2023·辽宁大连·统考中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率．
23．（2020·山东滨州·中考真题）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
24．（2020·贵州黔南·中考真题）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为_____，当时，对应的______．
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
一般形式：
直接开平方法
形如的方程，可直接开方求解，则，
因式分解法
可化为的方程，用因式分解法求解，则，
配方法
若不易于使用分解因式法求解，可考虑配方为，再直接开方求解
公式法
利用求根公式：